Введение к работе
Актуальность работы. Конвекция движение вещества, вызванное вариацией его плотности в пространстве, основная причина перемещения вещества на Земле. Она присутствует во множестве проявлений на различных пространственных и временных масштабах. Можно выделить четыре различных типа конвекции, представляющие наибольший интерес с точки зрения геофизики: конвекция в океанах, атмосфере, мантии и внешнем ядре Земли.
Причиной конвекции в океанах служит разность плотности воды на различных глубинах, вызванная разностью ее температуры или солености. Уменьшение плотности воды с глубиной вызывает опускание более плотной воды до глубины, на которой плотность опустившейся воды оказывается равной плотности окружающих вод. Таким образом, конвекция приводит к перемешиванию воды на различных глубинах и обогащению нижележащих слоев кислородом. В придонных областях океана могут возможно уменьшение плотности с глубиной за счет геотермического притока тепла из недр Земли, которое также может сопровождаться конвекцией. Наиболее характерна конвекция, связанная с охлаждением и осолонением (за счет испарения и льдообразования) поверхностного слоя воды.
Воздух - плохой проводник тепла, поэтому конвекция - основной способ перераспределения энергии в атмосфере. Неравномерно нагретый воздух над различными участка Земли начинает циркулировать, перенося с собой энергию и влагу. Типичные примеры атмосферной конвекции ветры, например, бризы: днем нагретый над сушей воздух поднимается вверх, на его место поступает холодный воздух с моря, и у поверхности Земли ветер дует с моря на берег. Аналогично, более теплый воздух у экватора расширяется и поднимается вверх, а взамен к экватору устремляется поток более холодного и плотного воздуха. При охлаждении на высоте из воздуха конденсируется избыточная влага, приводя к образованию облаков. Эти конвективные процессы определяют погоду на Земле, в частности, выпадение дождя и снега, грозы, смерчи и образование воздушных фронтов. Как видно, конвективные течения воды в океанах и в воздухе над океанами существенно взаимосвязаны.
Конвекция в мантии определяет эволюцию Земли в целом, ее топографию, гравитационное поле, климат, формирование природных ресурсов и биологическую эволюцию. Она является важным механизмом переноса тепла из глубин Земли к ее поверхности. Вещество мантии имеет свойства очень вязкого, но все же текучего вещества. Конвективные потоки в мантии устанавливаются из-за неравномерного разогрева ее отдельных участков. Они вызывают перемещения литосферных плит, находящихся на поверхности мантии. В местах, где плиты сталкиваются и одна из них наползает на другую, возникают большие напряжения, приводящие к землетрясениям. Таким образом, конвекция в мантии служит первопричиной и источником энергии для тектоники плит, формирования и дрейфа континентов, вулканических явлений, землетрясений и горообразования. Вероятно, она происходит или происходила внутри Венеры, Марса, Меркурия, Луны (до ее остывания), а также внутри других планет.
Наблюдаемые свойства магнитного поля Земли хорошо согласуются с представлением о его возникновении благодаря механизму гидромагнитного динамо. Этот механизм вызывает усиление начального затравочного магнитного поля как результат конкуренции двух процессов: магнитной диффузии и переноса магнитного поля течением расплавленного электропроводного вещества в ядре звезд или планет. Амплитуда генерируемого поля контролируется нелинейностью магнитогидродинамических процессов; считается, что астрофизические динамо функционируют в режимах, для которых характерно примерное равенство общего запаса магнитной и кинетической энергии. Источником течений в расплавленных ядрах планет служит, как правило, тепловая или композиционная конвекция. Гипотеза о динамическом характере происхождения магнитного поля объясняет такие его особенности, как западный дрейф, вариация интенсивности магнитного поля, его экскурсии и инверсии (изменение полярности главной дипольной компоненты). Источником магнитного поля различных астрофизических объектов планет, звезд и галактик также принято считать конвективное движение материи.
Возможный подход к изучению конвективных течений в геофизике -численное моделирование систем, максимально приближенных к реальным, т.е. наиболее точно воспроизводящих физические процессы, гео-
метрию и величину параметров изучаемой системы. В рамках этого подхода, например, в расчетах Глатцмайера с соавторами конвективных гидромагнитных явлений в сферическом слое удалось воспроизвести дипольную в главном морфологию магнитного поля Земли и его хаотические инверсии. Однако на этом пути возникают существенные сложности: неизвестны достаточно точные реологические соотношения и величины параметров для исследуемой системы уравнений (оценки некоторых физических величин для внешнего ядра Земли различаются на порядки); для численного решения решения фундаментальных уравнений не хватает мощности современных компьютеров, поэтому приходится эти уравнения модифицировать и/или использовать другие величины параметров; пространственная и временная дискретизация неизбежно вносит искажения; обработка и качественное осмысление результатов расчетов затруднены из-за сложности исходной физической системы и соответствующей математической задачи.
Другой подход состоит в изучении общих характерных особенностей и закономерностей без точного воспроизведения всех деталей исследуемых процессов. (Так, в геофизической литературе широко принято использовать модель конвекции в плоском слое для качественного объяснения процессов, протекающих в сегментах мантии и земного ядра.) Рассмотрение наиболее простых случаев позволяет использовать аналитические математические методы, понять общие закономерности и физическую природу процессов, происходящих в системе, и причины, вызывающие особенности ее поведения. Постепенно добавляя дополнительные эффекты, можно понять их роль и влекомые ими изменения в поведении системы. В постепенном переходе от изучения простых систем к изучению более сложных накапливается знание о природных процессах.
В силу вышесказанного актуально исследование конвекции в приложении к геофизике в наиболее простой постановке.
Цель диссертационной работы состояла в аналитическом и численном изучении устойчивости течений вблизи установления конвекции в плоском горизонтальном слое с учетом факторов, важных для геофизических приложений. Предполагалось выявить основные закономерности и установить качественные зависимости от величин параметров, что важно для
изучения гео- и астрофизических процессов.
Методология. В диссертации изучено установление конвекции в бесконечном плоском горизонтальном слое, подогреваемом снизу, (конвекция Рэлея-Бенара) в приближении Буссинеска. Горизонтальные границы предполагаются либо жесткими, либо свободными (на верхней и нижней границах условия одинаковы), температура на границах фиксирована. Дополнительно рассмотрены эффекты, возникающие при вращении слоя жидкости относительно вертикальной оси и при наложении вертикального магнитного поля.
Для решения фундаментальных уравнений, описывающих конвективные процессы, в диссертации применены аналитические и гибридные ана-литико-вычислительные методы. Моды неустойчивости тривиального стационарного состояния (жидкость неподвижна) представлены в виде конечной суммы произведений тригонометрических функций и экспонент. Такое представление возможно ввиду особенности структуры оператора линеаризации вблизи тривиального стационарного состояния. Для случая свободных границ эта сумма является вырожденной и содержит одно слагаемое, поэтому задача линейной устойчивости тривиального состояния для слоя со свободными границами решается аналитически. Для случая жестких границ критическое число Рэлея является корнем трансцендентного уравнения, решаемого численно.
Для исследования устойчивости течения вблизи установления конвекции рассмотрено ограничение оператора линеаризации вблизи этого течения на семейство инвариантных подпространств. Если границы слоя жидкости свободны, устойчивость конвективных режимов определяется собственными значениями матрицы, размер которой зависит от исследуемого течения. Элементы этой матрицы вычисляются аналитически. В случае жестких границ устойчивость зависит от соотношения между коэффициентами амплитудных уравнений. В диссертации выведены формулы для этих коэффициентов; поскольку они громоздки, границы области устойчивости валов (в плоскости двух параметров) определяются численно.
Цель работы определила постановку задач:
доказательство неустойчивости конвективных валов и течений с квадратной ячейкой периодичности во вращающемся слое жидкости со
свободными границами вблизи установления конвекции; вычисление для этого старших членов асимптотического разложения мод неустойчивости и их инкрементов роста по корню из надкритичности и другим малым параметрам задачи;
доказательство неустойчивости бегущих и стоячих волн, возникающих при колебательной неустойчивости во вращающемся слое жидкости со свободными границами, посредством вычисления старших членов асимптотического разложения мод неустойчивости и их инкрементов роста;
аналитическое и численное исследование устойчивости валов в слое жидкости со свободными границами при отсутствии вращения вблизи установления конвекции при различных числах Прандтля;
аналитическое и численное исследование устойчивости валов во вращающемся слое проводящей жидкости с жесткими непроводящими границами, находящейся во внешнем магнитном поле;
- исследование асимптотической зависимости путей установления конвекции от кинематического и магнитного чисел Прандтля для случая, когда величины этих параметров близки к их значениям во внешнем ядре Земли.
Новые научные результаты и положения, выносимые на защиту, - аналитическое и численное решение задач слабонелинейной устойчивости течений вблизи установления конвекции в плоском горизонтальном слое:
В слое, вращающемся относительно вертикальной оси, со свободными горизонтальными границами: г. Исследование устойчивости валов; гг. Исследование устойчивости квадратных ячеек; Hi. Исследование устойчивости бегущих волн; iv. Исследование устойчивости стоячих волн.
В слое со свободными горизонтальными границами в отсутствие вращения:
v. Исследование устойчивости валов: вывод неравенств, при выполнении которых валы устойчивы относительно возмущений, периодических в горизонтальных направлениях; vi. Оценка асимптотических ошибок в этих неравенствах;
vii. Оценка асимптотики инкремента роста.
В слое проводящей жидкости без вращения с жесткими горизонтальными границами и наложенным вертикальным магнитным полем: viii. Исследование устойчивости валов, построение бифуркационных диаграмм на плоскостях (P,Q) и (q,Q).
В слое проводящей жидкости, вращающемся относительно вертикальной оси, с жесткими горизонтальными границами и наложенным вертикальным магнитным полем:
ix. Исследование характера неустойчивости тривиального стационарного состояния в зависимости от значений параметров, вычисление критических чисел Рэлея;
х. Исследование устойчивости валов, построение бифуркационных диаграмм на плоскости (Р,Та).
В списке задач использованы безразмерные параметры, характеризующие конвекцию: числа Рэлея R (относительная величина силы Архимеда), Прандтля Р (отношение кинематической вязкости к коэффициенту тепловой диффузии), магнитного Прандтля Рт (отношение кинематической вязкости к коэффициенту магнитной диффузии), Тейлора Та (корень из которого пропорционален скорости вращения), Чандрасекара Q (корень из которого пропорционален величине магнитного поля), и Ро-бертса q = Рт/Р.
Научная новизна. В настоящей работе впервые:
доказано, что вблизи установления конвекции валы с волновым числом, отличным от критического, и течения с квадратной ячейкой периодичности во вращающемся слое жидкости со свободными границами неустойчивы;
доказана неустойчивость бегущих и стоячих волн во вращающемся слое жидкости со свободными границами вблизи установления конвекции;
выведено неравенство, описывающее границу области устойчивости валов на плоскости параметров (&, R) при Р ^ 0.782 в слое со свободными границами при отсутствии вращения;
исследована устойчивость течений вблизи установления конвекции в слое проводящей жидкости с жесткими горизонтальными границами во внешнем магнитном поле в отсутствие и при наличии вращения;
на примере конвективного слоя во внешнем магнитном поле показан асимптотический характер поведения системы (т.е. слабая зависимость от чисел Прандтля в случае их малости, которая характерна для внешнего ядра Земли);
- разработаны асимптотические методы, носящие общий характер и применимые к задачам о конвекции в бесконечном плоском слое.
Практическая значимость работы. Приведенные в диссертации результаты существенно расширяют понимание характера поведения конвективных систем и влияние вращения, внешнего магнитного поля и величины чисел Прандтля на тип и устойчивость конвективных течений при установлении конвекции. Идентифицированные в данной работе новые типы неустойчивостей конвективных валов могут служить объяснением явлений, наблюдаемых в экспериментах. Найденные неустойчивости валов носят общий характер: в произвольной физической системе, бесконечной в двух направлениях, неустойчивости такого же типа могут встречаться у стационарных структур, периодичных по одному из направлений и независимых от координаты вдоль другого. Проведенные исследования указывают на асимптотический характер зависимостей при стремлении чисел Прандтля к нулю следующих величин: критического числа Рэлея установления конвекции в колебательной неустойчивости, критического числа Тейлора для границы областей монотонной и колебательной неустойчивости, и критического угла и числа Тейлора для неустойчивости Кюпперса-Лортца. Эти результаты указывают на возможность построения асимптотических моделей конвективных систем, где значения чисел Прандтля малы, например, конвективных процессов, протекающих во внешнем ядре Земли.
Для оценки устойчивости течений разработан новый аналитический метод, согласно которому исследование устойчивости стационарных структур сводится к вычислению матрицы, состоящей из главных членов асимптотического разложения по нескольким параметрам (надкритичности, малого угла, разности между волновым числом исследуемых на устойчивость структур и критическим волновым числом), и исследованию собственных значений этой матрицы. Этот метод дает возможность оценивать погрешности, возникающие при отбрасывании асимптотически малых чле-
нов разложений, поскольку одновременно оцениваются остаточные члены. Важным достоинством этого метода, по сравнению со всеми применяемыми ранее, является возможность оценки собственных значений для любых асимптотических соотношений между малыми параметрами задачи. Предложенный в диссертации подход применим к исследованию устойчивости в любых системах, где присутствуют несколько малых параметров.
Личный вклад автора. Метод решения задач, рассмотренных в главах 1-3, принадлежит автору диссертации. Математический анализ, изложенный в главах 1-4, а также разработка алгоритмов численного решения и программного обеспечения для численного решения задач, рассмотренных в главах 3-5, выполнены автором единолично. Основные результаты работы изложены в статьях [1, 3, 5, 9, 11, 12], единственным автором которых является автор диссертации.
Структура работы. Диссертация объемом 212 стр. состоит из введения, 5 глав, заключения и списка литературы (127 работ). В диссертации 1 таблица и 22 рисунка.
Выполнение работы. Основная работа над диссертацией была выполнена в Лаборатории геодинамики Международного института теории прогноза землетрясений и математической геофизики РАН. Часть работы над диссертацией проведена автором во время научных визитов в Обсерваторию Лазурного берега (Ницца, Франция), Университет Эксетера (Великобритания) и Университет Порто (Португалия).
Апробация результатов. Основные результаты исследований по теме диссертационной работы изложены в 30 публикациях на русском и английском языках, в т.ч. в 15 статьях в рецензируемых международных и российских журналах, рекомендованных ВАК для публикации. Результаты работы неоднократно докладывались на научных семинарах Международного Института теории прогноза землетрясений и математической геофизики РАН, Института механики МГУ, Института математических наук им. Исаака Ньютона (Кембридж, Великобритания), Школы инженерных наук, вычислений и математики Университета Эксетера (Великобритания), Обсерватории Лазурного берега (Франция) и Отделения прикладной математики Факультета естественных наук Университета Порто (Португалия), а также представлялись на отечественных и международных
конференциях: Международной конференции "Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости" (Москва, 1998-2010 гг.); Международном семинаре "Динамо в лаборатории, на компьютерах и в небесах" (Нор-дита, Копенгаген, Дания, 2001 г.); Симпозиуме Лондонского Математического общества "Астрофизическая гидродинамика" (Университет Дар-эма, Великобритания, 2002 г.); Международном семинаре "Формирование структур в механике жидкости" (Институт математических наук им. Исаака Ньютона, Кембридж, Великобритания, 2005 г.); Научной конференции "Ломоносовские чтения" (Секция механики, МГУ, Москва, 2003 2006 гг.); VIII Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001 г.); XII Школе-семинаре "Современные проблемы аэрогидродинамики" (Сочи, 2004 г.); Конференции "Современные проблемы механики", посвященной 40-летию Института механики МГУ (1999 г.).
Благодарности. Автор диссертации выражает благодарности академику РАН В.И.Кейлису-Бороку и члену-корреспонденту РАН А.А.Соловьеву за постоянную поддержку; академику АН Франции профессору У.Фришу и члену Королевского Общества Великобритании профессору Э.Соуорду за многолетнее научное общение и помощь; профессорам П.Эшвину и Э.Гильберту за многочисленные обсуждения; коллективу Международного Института теории прогноза землетрясений и математической геофизики РАН за стимулирующую творческую атмосферу и постоянную поддержку. Автор благодарна Министерству научных исследований и технологий Франции и Королевскому Обществу Великобритании за финансирование ее неоднократных визитов в научные центры этих стран. Работа частично финансировалась РФФИ (гранты 04-05-64699, 07-01-92217-НЦНИЛ_а и 11-05-00167-а) и Национальным агентством научных исследований (Agence nationale de la recherche) Франции (грант ANR-07-BLAN-0235 OTARIE).
