Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. О решении трехмерной обратной задачи электроразведки постоянным током 12
1.1 Введение 12
1.2 Постановка задачи 13
1.3 Алгоритм решения явного операторного уравнения ТОЗ метода заряда 14
ГЛАВА 2. О решении трехмерной обратной задачи для уравнения гельмгольца 19
2.1 Введение 19
2.2 Постановка задачи 20
2.3 Явные операторные уравнения ТОЗ 22
2.4 Алгоритм решения уравнения ТОЗ в классе звездных тел 23
2.5 Численные примеры 24
ГЛАВА 3. Алгоритм и примеры решения обратной задачи для электромагнитного поля 28
3.1 Введение 28
3.2 Постановка задачи 29
3.3 Явные уравнения ТОЗ и алгоритм решения 31
3.4 Численные примеры 34
Заключение 47
Литература
- Алгоритм решения явного операторного уравнения ТОЗ метода заряда
- Явные операторные уравнения ТОЗ
- Алгоритм решения уравнения ТОЗ в классе звездных тел
- Явные уравнения ТОЗ и алгоритм решения
Введение к работе
Электромагнитные методы широко используются для изучения глубинного строения Земли, поисков месторождений полезных ископаемых, решения экологических задач. Завершающим этапом в исследованиях всегда является интерпретация экспериментальных данных. Получить как можно более точные и подробные результаты интерпретации - задача геофизика. Для этой цели требуется разработка математической теории интерпретации данных, полученных при измерении геофизических полей, и построение эффективных алгоритмов, основанных на этой теории.
Исследования в области решения задач для электромагнитных полей (прямых и обратных) проводились М.Н. Бердичевским [4, 5], Л.Л. Баньяном [9], В.П. Губатенко [116], В.И. Дмитриевым [18-24],. М.С. Ждановым [4, 5, 7, 19, 28-38, 210], П.С. Мартышко [64-98, 193-203], Б.С. Световым [114-116], В.Н. Страховым [17, 118-133] и другими учеными. Известны работы новосибирских ученых под руководством М.И. Эпова [189] по интерпретации данных ВИКИЗ. Можно отметить работы иностранных ученых, таких как G.W. Hohmann [192, 207], Р.Е. Wannamaker [207], P. Weidelt [208], Art Raiche [209]. Заметим, что большинство работ в этой области посвящено решению прямых задач, а обратные задачи, как правило, решались методом многократного решения прямой задачи. Этот метод требовал большого количества машинного времени.
В Институте геофизики УрО РАН в области исследования электромагнитных полей, в частности, получены следующие результаты.
В. В. Кормильцевым [52-54] рассмотрен учет вызванной поляризации в уравнениях электродинамики. Предложены формулы для вычисления
электрического и магнитного полей ВП для объектов сложной формы. Рассмотрены физико-теоретические основы метода ВП на переменном и импульсном токе, учет ВП в индуктивных методах электроразведки.
О.А. Хачай [15, 147-159] на основе интегральных представлений электромагнитных полей в слоистой среде с неоднородным включением, полученных Е.В. Захаровым и И.В. Ильиным [41], выведены уравнения теоретической обратной задачи для электромагнитных геофизических полей.
Г.М. Воскобойниковым [12-16] и А.Ф. Шестаковым [15, 16, 26, 85, 178-187] предложен трехмерный вариант метода особых точек (МОТ) для интерпретации переменного электромагнитного поля, возбуждаемого в гармоническом режиме. Сконструированы оригинальные гасящие функции конкретного вида, допускающего эффективное их использование при определении параметров особых точек гармонических электромагнитных полей; разработаны устойчивые алгоритмы и программы численного решения задачи, реализующие МОТ. В дальнейшем А.Ф. Шестаковым [171-177] разработаны также теория и математический аппарат определения эффективных источников аномалий двухмерного электромагнитного поля, возбуждаемого в гармоническом режиме в однородной и слоистой средах, вмещающих геоэлектрическую неоднородность. На их основе предложен и обоснован двухмерный вариант МОТ для интерпретации монохроматического электромагнитного поля. Сконструированы гасящие функции для однородной и слоистой вмещающей среды, допускающие эффективное их использование при определении параметров особых точек ЭМ поля в двухмерной постановке; разработаны устойчивые алгоритмы численного решения задачи и реализующие их программы.
Под руководством А.Г. Дьяконовой [25-27] (в том числе и с использованием методики А.Ф. Шестакова) были проведены обширные
магнитотеллурические исследования на И региональных профилях, общей протяженностью свыше 4000 км. По результатам этих исследований были составлены площадные схемы распределения электрических параметров на разных глубинах, проведена количественная интерпретация магнитотеллурических данных и построены геоэлектрические модели строения земной коры и верхней мантии по ряду протяженных субширотных геотраверсов, дающих представление о расслоенности геоэлектрических параметров до глубин в сотни километров.
Цель работы - получение интегральных уравнений обратной задачи электромагнитных геофизических полей и разработка эффективных алгоритмов решения обратной задачи электромагнитных геофизических полей.
В Институте геофизики УрО РАН под руководством А.В. Цирульского была разработана теория и алгоритмы двухэтапной интерпретации гравитационных и магнитных полей (в двумерном варианте) [14, 101, 102, 161-167].
Сущность двухэтапных методов состоит в следующем:
наблюденные данные аппроксимируются полями сингулярных источников (идея В.Н. Страхова и А.В. Цирульского);
решается теоретическая обратная задача (ТОЗ) - по заданному всюду полю сингулярных источников строится эквивалентное семейство решений операторного уравнения 1-го рода с явно заданным оператором.
Таким образом, на первом этапе происходит разделение полей, и обратная задача решается для каждой группы источников, трактуемых как один аномальный объект, отдельно. Подчеркнем, что второй этап был реализован с использованием уравнения ТОЗ В.К. Иванова [43-51]. Эти методы успешно используются для интерпретации двумерных потенциальных полей.
Применим ли данный подход для трехмерной обратной задачи электроразведки? Следует отметить, что разработка алгоритмов численного решения ТОЗ для электромагнитного поля сопряжена со значительно большими (по сравнению с потенциальными полями) трудностями, поскольку приходится находить решение операторного уравнения I рода, при этом уравнения имеют векторный характер.
При решении обратной задачи электроразведки возникают дополнительные трудности: нелинейная обратная задача электроразведки в общем случае сводится к уравнению с неявно заданным оператором. Для теоретической обратной задачи П.С. Мартышко в работах [67, 69] были получены явные уравнения. Позже нами были выведены явные уравнения для теоретической обратной задачи электроразведки в случае, когда рассматривается полупространство с произвольной границей раздела земля-воздух [90].
Поле, произвольно меняющееся во времени, в силу линейности уравнений Максвелла, может быть представлено в виде суммы гармонических полей, зависимость которых от времени выражена с помощью множителя exp(-ifirf). Далее в работе рассматривались уравнения для гармонических электромагнитных полей - уравнения Гельмгольца. При численном решении этих уравнений использовался алгоритм, разработанный в [67] для класса звездных тел.
Вследствие того, что еще не определен полный класс функций для подбора элементов поля, позволяющий установить разрешимость обратной задачи в конечном виде, проблема реализации первого этапа в трехмерном варианте до сих пор остается открытой. Но исследование эквивалентных семейств решений представляет собой самостоятельный научный и практический интерес, позволяющий создавать и анализировать геологически
содержательные модели аномалиеобразующих объектов, эквивалентных по полю различным классам сингулярных источников.
Отдельный интерес представляет задача учета границы раздела земля-воздух. В статье Е.В. Захарова и И.В. Ильина [41] приведены интегральные представления электромагнитных полей в неоднородной слоистой среде. Авторы работы смогли избавиться от интеграла по поверхности раздела земля-воздух за счет введения тензорных функций Грина. Но при этом значительно усложнилась подынтегральная функция.
В полученных нами уравнениях учет границы земля-воздух задается интегралом по границе. Как показали решения для модельных примеров, вычисление интеграла по бесконечной границе раздела земля-воздух можно с большой степенью точности заменить интегралом по сравнительно небольшому прямоугольнику, так как электромагнитное поле быстро затухает с расстоянием. К тому же значение этого интеграла для каждой точки нашего носителя информации (множества точек, в которых задано поле) не зависит от изменения границы аномального включения, и поэтому он рассчитывается только один раз в начале работы алгоритма, после чего в минимизационный функционал подставляются заранее вычисленные значения интеграла.
Научная новизна проведенных исследований состоит в следующем:
Выведены уравнения (с явно заданным оператором) теоретической обратной задачи электромагнитных полей, удовлетворяющих уравнению Гельмгольца (с учетом границы раздела земля-воздух).
Впервые построены примеры решений трехмерной теоретической обратной задачи электромагнитных полей.
Построены примеры, иллюстрирующие зависимость решения теоретической обратной задачи от выбора носителя информации.
Построены примеры, иллюстрирующие зависимость решения теоретической обратной задачи от рельефа границы раздела земля-воздух.
Защищаемые положения:
Получены новые уравнения теоретической обратной задачи (с явно заданным оператором) электромагнитного поля с учетом границы раздела земля-воздух для модели тела с постоянными значениями и и /л в однородном полупространстве.
На основе разработанных алгоритмов решения теоретических обратных задач электромагнитных полей показано, что результаты интерпретации электромагнитных данных существенно зависят от взаимного расположения изучаемого объема внутри Земли и множества точек, в которых задано (измерено) электромагнитное поле.
Практическая значимость работы
Создан пакет программ для решения теоретической обратной задачи трехмерных электромагнитных полей. Решение ТОЗ представляет интерес не только как реализация одного из этапов методов интерпретации, но и дает возможность строить геологически содержательные эквиваленты различным классам сингулярных источников.
Личный вклад автора состоит:
в получении уравнений теоретической обратной задачи для скалярного уравнения Гельмгольца и векторного уравнения Гельмгольца с учетом границы раздела земля-воздух;
в разработке и программной реализации алгоритмов решения обратных задач для метода заряда, скалярного уравнения Гельмгольца и векторного уравнения Гельмгольца;
в построении примеров решений трехмерной теоретической обратной задачи для метода заряда, скалярного уравнения Гельмгольца и векторного уравнения Гельмгольца.
Апробация работы
Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на научно-практических конференциях: Международной конференции «Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей» (Воронеж, 1996 г), Российской конференции «Теория и практика интерпретации данных электромагнитных геофизических методов (Екатеринбург, 1996 г), Международной конференции «Электромагнитные исследования с контролируемыми источниками» (Санкт-Петербург, 1996), General Assembly of the EGS (Vienna - Austria, 1997), 59th EAGE Conference & Technical exhibition (Geneva - Switzerland, 1997), 8th Scientific Assembly of IAGA (Uppsala - Sweden, 1997), Международной конференции «Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей» (Москва, 1997 г), Всероссийской научной конференции, посвященной памяти В.К. Иванова (Екатеринбург, 1998 г), Международной конференции «Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей» (Ухта, 1998 г), "Electromagnetic Induction in the Earth" (Romania, 1998), Международной конференции «Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей» (Екатеринбург, 1999 г), 61st EAGE Conference & Technical exhibition (Helsinki - Finland, 1999), Second International Symposium on 3D Electromagnetics (Salt Lake City - USA, 1999), Международной научно-практической конференции молодых ученых и специалистов «Геофизика - 99» (Санкт-Петербург, 1999 г), Международной конференции «Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей» (Москва, 2000 г), Уральской молодежной научной школе по геофизике (Екатеринбург, 2000 г), 15th Workshop on Electromagnetic Induction
in the Earth (Cabo Frio - Brazil, 2000), Международной конференции «Проблемы геокосмоса» (Санкт-Петербург, 2000 г), Международной конференции «Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей» (Киев, 2001 г), Всероссийской научной конференции «Алгоритмический анализ неустойчивых задач» (Екатеринбург, 2001 г), Международной конференции молодых ученых, специалистов и студентов «Геофизика-2001» (Новосибирск, 2001 г), Второй Уральской молодежной научной школе по геофизике (Пермь, 2001 г), Международной конференции «Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей» (Екатеринбург, 2002 г), Третьей Уральской молодежной научной школе по геофизике (Екатеринбург, 2002 г), Четвертой Уральской молодежной научной школе по геофизике (Пермь, 2003 г), V Международной научно-практической геолого-геофизической конкурсе-конференции молодых ученых и специалистов «ГЕОФИЗИКА-2005» (Санкт-Петербург, 2005 г), XI Всероссийской школе-семинаре "Современные проблемы математического моделирования" (Абрау-Дюрсо, 2005 г).
Основное содержание изложено в 40 работах (из них 10 на английском языке), 9 выполнено лично автором.
Исследования по теме диссертации выполнены автором за период с 1994 по 2005 год в лаборатории математической геофизики Института геофизики УрО РАН под руководством заведующего лабораторией член-корреспондента РАН П.С. Мартышко. Соискатель выражает искреннюю признательность своему научному руководителю за постановку задачи, многочисленные научные консультации и ценные замечания в процессе работы над диссертацией, за корректное руководство и помощь в анализе материала.
Автор признателен своим коллегам - сотрудникам лаборатории математической геофизики И.Л. Пруткину, Н.В. Федоровой, А.Ф. Шестакову, К.В. Мусыгину, О.А. Касимовой, с которыми обсуждались результаты работы.
Объем и структура работы
Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения, содержит 71 страницу текста и 9 рисунков. Библиография содержит 210 наименований.
Алгоритм решения явного операторного уравнения ТОЗ метода заряда
В настоящее время в геофизической разведке достаточно эффективно используются электрические и магнитные поля токов растекания, т.е. токов, создаваемых в земле с помощью заземленных электродов. Теория интерпретации этих данных активно разрабатывается, но проводимые исследования посвящены, как правило, решению прямых задач. Обратная задача в общем случае сводится к операторному уравнению 1 -го рода с неявно заданным оператором. Вместе с тем, для случая теоретической обратной задачи (ТОЗ), когда по заданному в явном виде аномальному электрическому потенциалу, требуется найти семейство тел с различной постоянной проводимостью, создающих в поле некоторого источника этот потенциал, П.С. Мартышко были получены явные операторные уравнения [67-69]. Отметим, что решение ТОЗ представляет интерес не только как реализация одного из этапов методов интерпретации [101, 166, 167], но и позволяет строить геологически содержательные эквиваленты различным классам сингулярных источников.
Цель настоящей главы - построить на основе явных операторных уравнений примеры решения ТОЗ метода заряда. 1.2 Постановка задачи
Пусть D - область из евклидова пространства R3 проводимости з2 -находится в среде с проводимостью «г, (cr,,(j2 - const), W - электрический потенциал сторонних источников, помещенных в D; Vx и V2 - внешний и внутренний потенциалы проводящего включения D. Как известно, потенциалы Vx, V2 и W - гармонические функции, т.е. А =0, AW = 0B D , AV2=0B D+, (1.1) кроме того, на границе D - поверхности S - выполняются следующие соотношения: VX=V„ (1.2) dv2 dv{ aw n -, on on on Решение прямой задачи метода заряда сводится к нахождению потенциалов F, и V2 из условий (1.1)-(1.3).
Обратная задача может быть сформулирована следующим образом: по заданной функции Vx (К,), удовлетворяющей на границе искомой области условиям (1.1)-(1.3), найти эту область. 1.3 Алгоритм решения явного операторного уравнения ТОЗ метода заряда. В работе [67] с использованием условий (1.1)-(1.3) и основной формулы теории гармонических функций, было получено уравнение ТОЗ метода заряда для определения границы S: і aw Q± R dn dn (1.4) dS. An a, I Для решения уравнения (1.4) будем использовать алгоритм, разработанный П.С. Мартышко в [67] для класса тел, звездных относительно некоторой внутренней точки О. Построим сферическую систему координат с центром в этой точке. Пусть г=г(0,ф) - уравнение границы S в сферических координатах. Вектор-функция 7-г{в,ф) определяется тремя скалярными функциями х(в,ф), у(0,ф), г(в,Ф): r={x,y,z), (1.5) где х{в,ф) = г sin 0 cos ф, - у{в,ф) = г$тв$тф, (1-6) 2(6 )=: 003(9, а её производные rg, гф - производными этой тройки функций хв, ув, ze и хф, уф, гф соответственно, которые имеют вид: хв {в, ф) = r0 sin 9 cos ф + г cos 9 cos ф, уд (9, ф) = rg sin 9 sin ф + г cos 9 sin ф, zg (9, ф) = r0cos9 r sin 9; хф (9, ф) - гф sin в cos ф-r sin в sin , {в, ф) = гф sin в sin + г sin 6і COS , гЖф) = гф cose. По определению векторного произведения R?x ;] = Ув zeУФ V Zg Хд 2ф Хф хв Ув Хф Уф откуда с учетом формул (1.7), (1.8) получаем: [гд хгф] = Y-гф sin +г sin" 9-со?,ф-г -гф cosф-sin9-cos9, -гф -гсоъф + г2 sinф-sin2 9 + г -гв sin(9-sin -cos6і, r2 sin6 cos6 + г re sin2 0 : ]=Л/И )+ ( ІП2 +ГЛА У ) Ортонормальный вектор и = І Ч, р=?" -г 17вх7ф\ dS = г{9,ф)лІ[г\9,ф) + Гд1(9,ф)\5т29 + гв2(9 Шф Подставляя (1.5)-(1.12) под интеграл в (1.4), получаем: gradW(P(r,ej))N An о-, 0J0J r-r (1.13) У,{Р{г,в,ф)){г г\Ы) \r-r йвйф, где r-r =R, N = rexrr Соотношение (1.13)- уравнение 1-го рода относительно г(в,ф). Функция г{9,ф) выбирается так же, как в работе [67] в виде отрезка двойного ряда Фурье г„,т {О, Ф) = Ё % % Шкв + ]ф)). k=-nj=-m (1.14) Будем искать коэффициенты ряда akj, минимизируя следующий функционал: и г f{a) = YXV ny i)-Vr\xl,ynzi)\, (1.15) где точки {х/5 ,.,2,.} принадлежат носителю информации, а - вектор коэффициентов функции г1иш(в,ф), по которым осуществляется минимизация, V" " - правая часть уравнения (1.13) с заменой г на гят. Функция г(0,ф), задающая границу односвязной трехмерной области, должна обладать следующим свойством:
Явные операторные уравнения ТОЗ
Для решения уравнения (2.9) использовался алгоритм, описанный в главе 1 для класса тел, звездных относительно некоторой внутренней точки О. Построим систему координат с центром в этой точке. Выполняя в уравнении (2.9) сферическую замену переменных, получаем где г(9,ф) - правая часть уравнения поверхности S в сферических координатах г = г(9,ф), Р = Р[г(в,ф),в,ф], N = rexr,.
При заданной всюду (вплоть до особенностей) функции V] соотношение (2.10) - явное уравнение относительно г{9,ф). Как и в главе 1 функция г(в,ф) выбирается в виде отрезка двойного ряда Фурье
Источники Ql и Q2 равны по величине. За нулевое приближение выбирался шар минимального радиуса, содержащий внутри себя все особенности функции Р,. Были построены при различных отношениях о-2/сг, примеры решения ТОЗ для скалярного уравнения Гельмгольца. На рисунке 2.1 показаны сечения координатными плоскостями полученных тел [76, 88]. Рис. 2.1 Случай симметричных источников Q] и Q2. 1 — 72 I сг, =10,2 — т2 /и, = 5 . Пример 2. При тех же модельных функциях были взяты источники со значениями б, = 1, Q2 = 2, б, = -3, б4 = 4, т.е. б, и б2 несимметричны. Сечения координатными плоскостями полученных тел показаны на рисунке 2.2 [76, 88].
Нелинейная обратная задача электроразведки в общем случае сводится к уравнению с неявно заданным оператором. Для теоретической обратной задачи в работах [67-69] были получены явные уравнения.
Цель настоящей главы - построить примеры решения ТОЗ для электромагнитного поля для различных значений проводимости аномального объекта, для различных значений частоты поля, исследовать зависимость решений от выбора носителя, на котором задано поле, и построить примеры с учетом рельефа границы земля-воздух.
Отметим, что решение ТОЗ представляет интерес не только как реализация одного из этапов методов интерпретации [101, 166, 167], но и дает возможность строить геологически содержательные эквиваленты различным классам сингулярных источников. 3.2 Постановка задачи
Пусть в линейной однородной среде с проводимостью а и магнитной проницаемостью цу находится тело Т с параметрами т2, /и2. Пусть также в среде имеются источники электромагнитного поля и Й],Ё],Н2,Ё2 -напряженности магнитного и электрического полей во внешности и внутри проводящего включения, соответственно, обусловленные этими источниками. В дальнейшем предполагаем, что Т - трехмерная область, S - ее граница -поверхность Ляпунова, г = {x,y,z} - радиус-вектор точки из R3. Как известно, в линейной изотропной среде (є,/и, a- const) в отсутствие сторонних токов и зарядов вектор-функции Я, Ё удовлетворяют следующей системе уравнений (соответственно внутри и вне Т): rotH = j + Sia, (3.1) rotE = -ffiia, (3.2) divB = 0, (3.3) divD = 0, (3.4) где D = sE, В = цН, ] = оЁ - плотность токов проводимости. На границе S имеем [Я2-Я,,Л] = 0, (//2Я2-//,Я,,й) = 0, [E2-Evn] = 0, (e22-s,,,«) = 7, є - диэлектрическая проницаемость среды, rj - поверхностная плотность электрического заряда. Пусть Я„ Ё, - внешнее поле области Г, наведенное полем источников Нн и Ён. Тогда НХ=Щ+НН, ЁХ=Ё?+ЁН, (3.6) [ЯЯ+Я;,Я]=[Я2,Й], [ЁН+Ё:,Н]=[Ё2,П], (3 7) {Н2,п) = -{НН+Щ,п\ (2,й) = [ Д,Я) + 77]/ 2.
В силу линейности уравнений Максвелла поле, произвольно меняющееся во времени, может быть представлено в виде суммы гармонических полей, зависимость которых от времени выражена с помощью множителя exp(-/urf) . Для монохроматического поля из (3.1) - (3.4) следует rotH = сг Ё, rotE = ia juH, divE = 0, divH = 0, (3-8) где а = а-ісоє - комплексная электропроводность; вектор-функции Ё и Н удовлетворяют уравнению Гельмгольца AF + k 2F = 0, (3.9) где волновое число среды к :к 2 = icojua + о)г/иє.
Алгоритм решения уравнения ТОЗ в классе звездных тел
Ниже приводятся примеры реализации алгоритма для ряда модельных случаев.
Пример 1. Для проверки работоспособности алгоритма был построен следующий пример. В качестве модельной взята функция U(x,y,z) = 1 а\ а \ R dr d R где г = л]х2 +y2+z2 , R = -yJd2 + г1 -2drcos і?, =Y+Y/di 2r\/dJcos a = 3 = 9 J = bn, Pi=\. Известно, что аналитическим решением обратной задачи с такими параметрами является шар радиуса 3. На рисунке 3.1 показано сечение координатной плоскостью решения обратной задачи, полученного по вышеописанному алгоритму в сравнении с сечением шара радиуса 3. Как видно, контуры практически совпадают. t Вычисленное значение Шар радиуса З Рис. 3.1 Пример 2. В качестве модельных взяты функции ik2r, ik2r2 ik2r, ik2r, ікл ікл К 0., — + Q-J—+QJ-. Єі,—+Є2,—+0з,—. r, r2 r3 rx r2 гъ ікл ik2r2 ікгг, 1 Г ікгг, ik2rA ікл ] 0,, —+02z—+0Z— , »= 0,—, 04,—. 04,— k r, r2 r3 J [ r4 r4 r, J PvP2AzD+, P4,PeD-, г Щ, / = 1,2,3,4, 0,,=0,=0,,=1, 62.=62,=62,=2, 63, =63, = 0з, =-3, 64, =04, =04, =-9
За нулевое приближение выбирался шар минимального радиуса, содержащий внутри себя все особенности функции Е". Были построены примеры решения ТОЗ для уравнения Гельмгольца при отношении а21 а] = 5 для набора частот со. На рисунке 3.2 показаны сечения координатными плоскостями полученных тел при со = 2л -100, 2л--1000, 2л--10000. За носитель информации выбиралась сфера радиуса 7. Заметно, что при уменьшении частоты особенности сглаживаются. Время, затрачиваемое на построение решения, порядка 10 минут на IBM Pentium 4—2400 (при двухстах точках наблюдений). Для ускорения процесса количество точек на носителе уменьшалось вдвое: путём разрежения сетки, выбором в качестве носителя верхней или нижней полусферы. При этом время построения решения сокращалось примерно в 2 раза, а решение в случаях разрежения сетки и выборе верхней полусферы изменялось незначительно, в случае же, когда за носитель информации выбиралась нижняя полусфера, решение изменялось достаточно сильно [79].
Был проведен ряд численных экспериментов с целью определения зависимости решения от выбора носителя информации. В качестве носителя выбирались сфера радиуса 7, сфера радиуса 9, набор точек, лежащих на плоскости на высоте 10, и 3 вертикальных профиля, имитирующих скважины на расстоянии 4, 6 и 8 от начала координат по оси Ох. Результаты счета при т2 / о; = 5, со = 2л- -10000. приведены на рис. 3.3. Легко заметить, что особенности лучше выделяются, когда в качестве носителя информации выбирается сфера [87].
Пример 4. Были построены примеры решения ТОЗ для уравнения Гельмгольца при различных соотношениях а2 /сг, с учетом горизонтальной границы раздела земля-воздух. На рисунке 3.4 показаны сечения координатными плоскостями полученных тел. За носитель информации выбиралась сфера радиуса 7. Параметры источников Qu = QXy = Qu = 3, Q2x = Q2y = Q2z = 6, Q3x =Q3y=Qiz=-9, Q x=Q4y=Q z =-W, со = 2тгЛ0000. [91] 40
Явные уравнения ТОЗ и алгоритм решения
В Институте геофизики УрО РАН под руководством А.В. Цирульского была разработана теория и алгоритмы двухэтапной интерпретации гравитационных и магнитных полей (в двумерном варианте) [14, 101, 102, 161-167].
Сущность двухэтапных методов состоит в следующем:
1) наблюденные данные аппроксимируются полями сингулярных источников (идея В.Н. Страхова и А.В. Цирульского);
2) решается теоретическая обратная задача (ТОЗ) - по заданному всюду полю сингулярных источников строится эквивалентное семейство решений операторного уравнения 1-го рода с явно заданным оператором.
Таким образом, на первом этапе происходит разделение полей, и обратная задача решается для каждой группы источников, трактуемых как один аномальный объект, отдельно. Подчеркнем, что второй этап был реализован с использованием уравнения ТОЗ В.К. Иванова [43-51]. Эти методы успешно используются для интерпретации двумерных потенциальных полей. Применим ли данный подход для трехмерной обратной задачи электроразведки? Следует отметить, что разработка алгоритмов численного решения ТОЗ для электромагнитного поля сопряжена со значительно большими (по сравнению с потенциальными полями) трудностями, поскольку приходится находить решение операторного уравнения I рода, при этом уравнения имеют векторный характер.
При решении обратной задачи электроразведки возникают дополнительные трудности: нелинейная обратная задача электроразведки в общем случае сводится к уравнению с неявно заданным оператором. Для теоретической обратной задачи П.С. Мартышко в работах [67, 69] были получены явные уравнения. Позже нами были выведены явные уравнения для теоретической обратной задачи электроразведки в случае, когда рассматривается полупространство с произвольной границей раздела земля-воздух [90].
Поле, произвольно меняющееся во времени, в силу линейности уравнений Максвелла, может быть представлено в виде суммы гармонических полей, зависимость которых от времени выражена с помощью множителя exp(-ifirf). Далее в работе рассматривались уравнения для гармонических электромагнитных полей - уравнения Гельмгольца. При численном решении этих уравнений использовался алгоритм, разработанный в [67] для класса звездных тел.
Вследствие того, что еще не определен полный класс функций для подбора элементов поля, позволяющий установить разрешимость обратной задачи в конечном виде, проблема реализации первого этапа в трехмерном варианте до сих пор остается открытой. Но исследование эквивалентных семейств решений представляет собой самостоятельный научный и практический интерес, позволяющий создавать и анализировать геологически б содержательные модели аномалиеобразующих объектов, эквивалентных по полю различным классам сингулярных источников.
Отдельный интерес представляет задача учета границы раздела земля-воздух. В статье Е.В. Захарова и И.В. Ильина [41] приведены интегральные представления электромагнитных полей в неоднородной слоистой среде. Авторы работы смогли избавиться от интеграла по поверхности раздела земля-воздух за счет введения тензорных функций Грина. Но при этом значительно усложнилась подынтегральная функция.
В полученных нами уравнениях учет границы земля-воздух задается интегралом по границе. Как показали решения для модельных примеров, вычисление интеграла по бесконечной границе раздела земля-воздух можно с большой степенью точности заменить интегралом по сравнительно небольшому прямоугольнику, так как электромагнитное поле быстро затухает с расстоянием. К тому же значение этого интеграла для каждой точки нашего носителя информации (множества точек, в которых задано поле) не зависит от изменения границы аномального включения, и поэтому он рассчитывается только один раз в начале работы алгоритма, после чего в минимизационный функционал подставляются заранее вычисленные значения интеграла.
Результатом работы является создание алгоритмов решения теоретической обратной задачи для электромагнитных полей на основе оригинальных уравнений с явно заданным оператором.
Основные результаты, полученные в работе, состоят в следующем:
1. Выведены уравнения теоретической обратной задачи для скалярного уравнения Гельмгольца и векторного уравнения Гельмгольца с учетом границы раздела земля-воздух, позволяющие построить эффективные алгоритмы интерпретации электромагнитных данных.
2. Разработаны и программно реализованы алгоритмы решения теоретических обратных задач для метода заряда, скалярного уравнения Гельмгольца и векторного уравнения Гельмгольца.
3. Создан комплекс программ для решения теоретической обратной задачи трехмерных электромагнитных полей.
4. Впервые получены примеры решений трехмерной теоретической обратной задачи для метода заряда, скалярного уравнения Гельмгольца и векторного уравнения Гельмгольца.
5. Показана зависимость решения теоретической обратной задачи для векторного уравнения Гельмгольца от выбора носителя информации.
6. Показана зависимость решения теоретической обратной задачи для векторного уравнения Гельмгольца от рельефа границы раздела земля-воздух и положения возбуждающего источника.
