Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Методы интерпретации гравитационных и магнитных данных в геофизике.
1,1, Обзор существующих методов интерпретации данных гравитационных и магнитных аномалий. стр 12
1. 2.Дискретный метод при решении задач гравиметрии и магниметрии.стр 16
1.2.1. Основы теории дискретных гравитационных полей стр 17
1.2.2. Основы теории дискретных магнитных полей стр 27
1.3. Постановка задачи при аналитическом продолжении заданных значений поля в дискретной постановке . стр 35
1.4. Методы устойчивого решения системы линейных алгебраических уравнений. стр 51
1.4.1. Метод последовательного умножения полиномов для решения системы линейных алгебраических уравнений. стр 51
1.4.2. Метод с использованием преобразования Хаусхолдера для решения системы линейных алгебраических уравнений. стр 56
Глава2 Компьютерные технологии при вычислении пространственных элементов аномальных гравитационных полей в горизонтальном слое, расположенном выше источников поля .
2.1. Методика проведения вычислительных экспериментов. стр 60
2 2. Пример прямого пласта . стр 71
2.3. Пример слоистой структуры. стр 87
2.4. Пример наклонного пласта. стр 91
2.5. Фильтрация заданных значений поля — , осложненных помехой, и используемых в качестве входных данных при аналитическом продолжении в двухмерном случае. стр 104
Глава 3 Компьютерные технологии при аналитическом продолжении заданных значений поля в области, занятые источниками .
3.1. Восстановление пространственных элементов поля в областях с удаленными «купюрами». стр 120
3. 2. Формальное аналитическое продолжение заданных значений поля в горизонтальный слой, но при этом в этом слое заведомо находятся источники поля . стр 138
3. 2.1. Формальное аналитическое продолжение заданных значений поля в горизонтальный слой, если заданные значения поля располагаются на двух горизонтальных уровнях z = 0, z = -h. стр 143
3. 2.1.1. Формальное аналитическое продолжение заданных значений поля в горизонтальный слой , если в модельных примерах аномалеобразующие тела представлены в виде прямых и вертикальных пластов. стр 143
3. 2.1.2. Формальное аналитическое продолжение заданных значений поля в горизонтальный слой, если в модельных примерах аномалеобразующие тела представлены в виде круговых горизонтальных цилиндров. стр 155
3. 2.2. Формальное аналитическое продолжение заданных значений поля в горизонтальный слой, если заданные значения поля располагаются на двух горизонтальных верхних уровнях z = 0, z = -h и боковых вертикальных профилях или на полном контуре. стр 169
3.3. Инвариантность восстанавливаемых значений поля относительно различных решений прямой задачи. стр 180
3.4. Новые технологии , позволяющие повысить точность восстанавливаемых при аналитическом продолжении значений поля. стр 188
Глава4 Дополнительные вычислительные эксперименты для решения различных практических и теоретических задач в дискретной постановке .
4 1.Вычисление высших производных потенциального поля. стр 201
4.2. Локализация особых точек построением функции подобной функции Березкина. стр 208
4.3. Сглаживание краевых эффектов у аномальных кривых поля Ag. стр 214
4.3.1. Технология сглаживания краевых эффектов у аномальных кривых поля Ag . стр 214
4 .3 .2 Составление программ и результаты расчетов. стр 220
4.4. Сходимость дискретных схем к точному решению при уменьшении шага сетки. стр 225
4.4.1. Аналитическое продолжение заданных значений поля в дискретной постановке при различных шагах сетки. стр 225
4.4.2. Исследование сходимости дискретных схем к точному решению при неограниченном уменьшении шага сетки. стр 229
4.4.2. 1 Аппроксимация, устойчивость и сходимость стр 229
4.4.2.1.1. Приближение банахова пространства с помощью после довательности банаховых пространств. стр 229
4.4.2. 1 .2. Порядок аппроксимации элемента последовательностью, стр 232
4.4.2.1.3. Аппроксимация линейных операторов. стр 232
4.4.2.1.4. Условие устойчивости. стр 233
4.4.2. 1 .5. Теорема о сходимости приближенной схемы. стр 234
4.4.2.2 .Сходимость разностной схемы в случае уравнения Лапласа.стр 236
Глава 5. Решение обратной задачи с использованием методов теории дискретного гравитационного поля .
5.1. Пересчет заданных значений поля — на физической поверхности Земли dz
в узлы равномерной сетки с заданным шагом, расположенных на уровнях z = О, z = -h. стр 248
5.2. Постановка задачи при восстановлении значений поля — внутри источников. стр 274
5.2.1. Потенциал однородной сферы. стр 277
5.2.2. Потенциал объемных масс (общий случай). стр 282
5.3. Компьютерные технологии при решении уравнения Пуассона в дискретной постановке. стр 287
Заключение стр 297
Литература
- Основы теории дискретных гравитационных полей
- Пример прямого пласта
- Формальное аналитическое продолжение заданных значений поля в горизонтальный слой, но при этом в этом слое заведомо находятся источники поля
- Технология сглаживания краевых эффектов у аномальных кривых поля Ag
Введение к работе
Актуальность проблемы.
В последнее десятилетие XX века огромное влияние на прикладную геофизику имело развитие вычислительной техники, и прежде всего -персональных компьютеров. Стали возможными реализации самых сложных вычислительных процедур и с каждым годом эти возможности возрастают. Соответственно возрастает роль математических методов в геофизике. Применение методов и результатов самых современных разделов математики при интерпретации данных об аномальных физических полях должно соответствовать реальной геофизической практике. Это соответствие теории практике достигается за счет:
а) введения постановок любых задач, решения которых должны находиться по
экспериментальной информации об аномальном поле, с учетом конечности и
приближенности этой информации;
б) использования аппроксимационного подхода ;
в) использования идеи алгебраизации, суть которой в том, чтобы редуцировать
решение линейных задач гравиметрии и магнитометрии к проблеме
нахождения устойчивых приближенных решений систем линейных
алгебраических уравнений, а решение нелинейных задач редуцировать к
нахождению устойчивых приближенных решений последовательности систем
линейных алгебраических уравнений.
Адекватные реальной геофизической практике постановки возникают в рамках метода построения дискретных аппроксимаций аномальных физических полей, общая методология и конструктивные основы которого были разработаны В. Н, Страховым. Использование этого метода в современной теории интерпретации имеет два важнейших преимущества: а) в рамках этого метода алгебраизация всех задач интерпретационного характера достигается наиболее простым и естественным образом;
б) возникающие в рамках этого метода системы линейных алгебраических уравнений имеют очень сильно разреженные матрицы и специфические (содержащие много нулевых компонент) векторов правых частей.
Цель диссертации: разработка методологии интерпретации данных гравимагниторазведки на основе метода дискретных аппроксимаций физических полей, соответствующей возрастающим потребностям современной геофизической практике.
Основные задачи исследования:
Постановка задачи и разработка теории продолжения заданных значений поля в нижнее полупространство на основе метода дискретных аппроксимаций физических полей, предложенного В.Н. Страховым.
Разработка алгоритмов и компьютерных технологий продолжения заданных значений поля вертикального градиента потенциала вниз в заданный горизонтальный слой, целиком расположенный выше верхних особенностей, с использованием дискретных аппроксимаций оператора Лапласа в двумерном случае.
щ 3. Разработка алгоритмов и компьютерных технологий продолжения
заданных значений поля вертикального градиента потенциала в заданный горизонтальный слой, заведомо содержащий источники поля, с использованием дискретных аппроксимаций оператора Лапласа в двумерном случае. 4. Создание алгоритмов и компьютерных программ в при решении
следующих задач в дискретной постановке, обеспечивающих повышение точности восстанавливаемых значений поля при аналитическом продолжении: фильтрация входных данных, осложненных помехой; разработка новых подходов, обеспечивающих повышение точности
ty восстанавливаемых значений поля; постановка вычислительных
экспериментов с уменьшением шага сетки и увеличением длины профиля , на котором расположены заданные значения поля.
Создание алгоритмов и компьютерных программ в дискретной постановке для трансформации аномальных элементов поля и построения функции, подобной функции Березкина для локализации особых точек.
Создание алгоритмов и компьютерных технологий решение обратных задач гравимагнитой разведки без решения прямых с использованием метода дискретных аппроксимаций физических полей.
Апробация созданных алгоритмов и программ на модельных и практических примерах.
Научная новизна:
Разработана теория построения дискретных аппроксимаций потенциальных полей при решении интерпретационных задач.
Разработаны основы аналитического продолжения заданных значений потенциальных полей в нижнее полупространство с использованием дискретных аппроксимаций.
Оценена точность восстанавливаемых значений поля с учетом гармоничности функций, представляющих потенциальные поля.
Разработаны основы линейного трансформирования потенциальных полей на базе полученных дискретных аппроксимаций.
Показано, что с помощью дискретных аппроксимаций гравитационного поля можно эффективно решать задачи фильтрации входных данных и разрабатывать технологии, которые значительно повышают точность восстанавливаемых значений поля.
Предложен алгебраический метод решения обратной задачи без многократного решения прямых задач с использованием дискретных аппроксимаций уравнения Пуассона.
Практическая ценность.
Теоретические разработки реализованы в виде программных продуктов для персональных компьютеров и могут применяться для широкого круга задач.
Создана новая технология обработки данных непосредственно в поле на основе метода дискретных аппроксимаций потенциальных полей.По полученной из наблюдений информации исследователь с помощью ноутбуков может построить дискретные аппроксимации элементов аномальных потенциальных полей, а затем, по мере накопления данных, уточнять уже построенные. Личный вклад автора.
Автором разработана теория и методика применения дискретных аппроксимаций для решения разнообразных геолого-геофизических задач, созданы программные продукты, обработанные на модельных и практических примерах.
Защищаемые положения. Показано, что
Для интерпретации данных гравитационных и магнитных аномалий вместе с классическим подходом, основанном на континуальном представлении, целесообразно применение дискретного подхода, основанного на дискретных аппроксимациях полей и соответствующих дифференциальных уравнений и обеспечивающих решение обратных задач по устойчивому определению локальных особенностей аномалеобразующих объектов.
Для получения устойчивых приближенных решений геофизических задач с учетом имеющейся априорной информации эффективны: 1) редукция указанных задач к решению систем линейных алгебраических уравнений с приближенно заданной правой частью и 2) решение получающихся систем линейных алгебраических уравнений с помощью специально разработанных устойчивых методов, что обеспечивает резкое повышение точности оценки положения верхней кромки источников.
3. Применение разработанных алгебраических методов, не нуждающихся в многократном решении прямых задач, дает возможность эффективно локализовать источники гравитационного и магнитного полей.
Апробация и публикации. Основные положения и результаты работы докладывались на семинаре «Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей» им. А.Г. Успенского в разные годы (Ухта 1998, Киев 2001, Екатеринбург 2002, Москва 2003 ; 2004); на Второй Всероссийской конференции «Геофизика и математика» (Пермь, 2001 г.);на конференции «Геофизика на рубеже XX и XXI веков», посвященной 10-летию РФФИ (Москва, 2002 год);на Международной школе-семинаре«Вопросы теории и практики комплексной интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей» ( Апатиты,2002г.); на Пятых ежегодных геофизических чтениях им.В.В.Федынского (Москва,2003 г.); на III Международном социальном конгрессе «Глобальная стратегия социального развития России: социологический анализ и прогноз».Секция « Актуальные проблемы математики и ее приложений»(Москва, 2003 г.).
Были сделаны два доклада на Ученом совете Института геофизики НАН Украины по приглашению вместе с академиком Страховым В.Н. по случаю Года России на Украине в марте 2003 года.
По теме диссертации опубликовано около 18 печатных работ, написано 3 отчета по опытно-методическим и тематическим работам.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы из 288 наименований. Она содержит 321 страниц основного текста, в том числе 124 рисунков и 36 табл.
Значительная часть диссертационной работы выполнена во время учебы в очной докторантуре при ИФЗ им.О.Ю.Шмидта РАН под научным руководством В.Н.Страхова .Большинство методологических и теоретических' положений, представленных в диссертации, базируется на научных работах
В.Н.Страхова жоторому автор выражает огромную благодарность.
Практические примеры были любезно предоставлены
А.С.Долгалем,С.Г.Бычковым и др.специалистами лаборатории Горного
института Уральского отделения РАН. Автор выражает также благодарность А.В.Страхову за полезные советы и
рекомендации при использовании пакета компьютерных программ SPM.
Основы теории дискретных гравитационных полей
В настоящее время базовым математическим аппаратом теории интерпретации гравитационных и магнитных аномалий является классическая континуальная теория ньютоновского потенциала, в случае плоской задачи в качестве такового выступает классическая теория логарифмического потенциала. Соответственно в плоской задаче наряду с аппаратом теории функций двух вещественных переменных используется теория (аналитических) функций комплексного переменного [212, 214], а в пространственной задаче наряду с аппаратом теории функций трех вещественных переменных используются теории кватернионных функций и функций двух комплексных переменных. Однако с течением времени выяснилось ,что базовая классическая континуальная теория потенциала порождает (излишнюю) сложность и запутанность теории интерпретации гравитационных данных в целом ряде принципиальных вопросов. Во-первых, существуют сложности в проблемах эквивалентности и единственности решений обратной задачи гравиметрии. Во-вторых, существуют большие сложности в проблеме аналитического продолжения; в двухмерной задаче требуется вводить в рассмотрение поля, определенные на римановой (в общем случае счетнолистной) поверхности, а в трехмерной задаче - поля, определенные на римановом пространстве, в общем случае содержащем счетное число сложно соединенных трехмерных пространств. В-третьих, существуют большие сложности в проблеме так называемых особых точек гармонических функций, описывающих элементы полей (точнее, аналитические продолжения этих функций).
Из сказанного однозначно следует вывод: необходимо переходить к некоторому другому базовому математическому аппарату, на основе которого можно иметь более простую и адекватную физическим соображениям и вычислительным процедурам теорию интерпретации гравитационных аномалий. Иными словами: необходимо осуществить глобальную регуляризацию классической континуальной теории потенциала. Ясно (в силу опытного характера закона всемирного тяготения Ньютона), что сделать это можно многими способами. Наиболее простой, согласованный с физикой и вычислительными средствами, способ состоит в переходе к дискретному гравитационному полю. Этот способ вытекает из имеющихся в математической физике средств приближенного решения краевых задач для линейных уравнений в частных производных эллиптического типа, в том числе — для уравнений Лапласа и Пуассона. Таким образом, вроде бы фактически необходимо сделать всего две вещи: 1) ввести в теорию дискретного гравитационного поля аналог фундаментального решения уравнения Лапласа; 2) на основе полученного фундаментального решения для дискретного (сеточного) гравитационного поля построить аналоги интегральных представлений классической континуальной теории для элементов внешнего и внутреннего полей. Оказывается, однако, что переход к дискретной теории гравитационного потенциала с очевидностью приводит к принципиально новым возможностям, которые не были осознаны в теории интерпретации, основанной на континуальной теории потенциала, и которые в рамках континуальной теории несравненно сложнее.
Напомним сначала основные (фундаментальные) факты континуальной теории потенциала.
1. Распределение тяготеющих масс в пространстве R" описывается плотностью р{%\ = (#1» #2» «); носитель масс (замкнутое множество, представляющее собой объединение конечного числа замкнутых областей) обозначается через supp р. Если х = (х,, х2,..., х„), х є supp р, то потенциал гравитационного поля V(x) = Vfe) удовлетворяет в точке х уравнению Лапласа: AV(X)=O, Д = ; (1.1) если же х є Int supp р, то потенциал гравитационного поля V(x) = Vi(x) удовлетворяет в точке х уравнению Пуассона: AV(x)=-CnGp(x), (1.2) где С„ - абсолютная константа, G — постоянная тяготения. В случаях « = 2и« = 3 имеем С2 = Сг =Ая. Очевидно, что уравнения (1.1) и (1.2) -это по-разному записанное одно и то же определяющее уравнение поля, ибо при х є supp р, р (х) = 0 и (1.2) переходит в (1.1). Что же касается выражения констант С„, то при п 3 они представляют собой площади поверхности единичной сферы в R". Следует подчеркнуть, что в точках границы носителя уравнение для потенциала поля не определено.
В точках JC, в которых потенциал гравитационного поля удовлетворяет определяющему уравнению, имеет место интегральное представление V(x)=G jp{xpn{4-x)dt, (1.3) supp/? где Qn(x) — так называемое фундаментальное решение уравнения Лапласа (или Пуассона) в безграничном пространстве, которое удовлетворяет уравнению: Аая(х) = -Сн5(?\ (1.4) и при п 2- условию: limQ„(x)=0. (1.5) В (1.4) б(х) суть так называемая дельта-функция Дирака, определяемая соотношениями:
Пример прямого пласта
Область, заполненная аномалеобразующими массами, представляет здесь прямой пласт однородной плотности бесконечной протяженности в направлении оси у . Дадим подробный вывод формул ,выражающих точное решение кш прямой задачи при вычислении вертикального градиента потенциала — для прямо dz го пласта.
Аномальный гравитационный потенциал и его производные мы отождествляем впредь с потенциалом притяжения и его производными.
Введем в рассмотрение прямоугольную систему координат xyz. Обозначим через xj, yi, Z] координаты внешней точки А, а через х, у, z - координаты элементарной точной массы dm в точке М(рис.2.3). Напряженность поля притяжения этой массы в точке А будет в соответствии с законом всемирного тяготения равна: Перейдем теперь непосредственно к компьютерным технологиям расчетов по аналитическому продолжению в заданный горизонтальный слой заданных на уровнях z = 0 и z = -h значений поля — до верхней кромки аномалеобразующего тела (рис. 2.5) для прямого пласта бесконечного простирания в направлении оси Как видно из рис.2.5, длина профиля заданных значений поля на уровнях z = О и z = -h равна 16 км; шаг сетки h\ = hi — 0.4, так что число точек наблюдений (заданий) равно 41.
Расстояние от z = 0 до верхней кромки прямого пласта 4 км; таким образом, число уровней, на которых располагаются искомые значения аналитически продолженно 8V го в дискретной постановке поля — и значения поля, полученных решением пря dz мой задачи, будет равно 10 (на каждом располагаются 41 искомых значения поля); число искомых неизвестных здесь равно 41 10 = 410, а число уравнений здесь очевидно будет равно 39 10 2 = 780, так как дискретное уравнение Лапласа рассматривается на шаблонах «прямой крест» и «косой крест» во всех внутренних точках профиля на уровне z = 0 и во всех внутренних точках xs є ІпіД? заданного горизонтального слоя.
Таким образом, здесь возникает переопределенная система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) Au = fs где размерность матрицы А = 780x410, а размерность вектора fs— 780х 1 (из которых ненулевых, очевидно, 156 компоненты).
Для решения прямой задачи, т. е. нахождения точных значении поля — в уз dz лах заданной области 1 и заданных значений поля на уровнях Z = 0HZ = -/ZC помощью формулы (2.29), была составлена программа рг Gd AN.
Для определенности, избыточная плотность принимается равной 0,1 г/см , гравитационная постоянная G = 66,7 10 см3 г"1 сек"2, размерность поля см/сек".
Для формирования матрицы А и вектора fs в правой части уравнения (2.2), были составлены программы (соответственно, рг 606 и рг 607) при рассмотрении дискретного уравнения Лапласа на составном шаблоне «прямой крест» + «косой крест».
Аналогично рассмотренному, формируется матрица А и вектора fs в правой части операторного уравнения (2.2), когда дискретное уравнение Лапласа (2.5),(2.6),(2.7) рассматривается на составном шаблоне «прямой крест» + «косой крест» + «ящик 1-го порядка»; для чего были составлены программы (соответственно, рг KKJ и рг KKJvek) .Здесь возникает также переопределенная СЛАУ с числом неизвестных значений поля равным 410 для рассматриваемого выше примера прямого пласта, однако, добавляются 390 уравнений, так как дискретное уравнение Лапласа рассматривается совместно на трех шаблонах во всех внутренних точках профиля на уровне z = 0 и во всех внутренних точках xs є ІіиЦу заданного горизонтального слоя. Таким образом, здесь размерность матрицы = 1170x410, а размерность вектора fs= 1170х 1 (их которых ненулевых 234 компоненты). Результаты вычислений приведены в виде табл 2.1 и табл 2.2 и рис. 2.6, 2.7, 2.8.
Следует отметить,что,если относительная погрешность У в таблицах порядка 10"3, то в масштабе стандартного листа А4 графики аномальных кривых,представ-ляющих точные решения прямой задачи ,и графики аномальных кривых,построенных
Формальное аналитическое продолжение заданных значений поля в горизонтальный слой, но при этом в этом слое заведомо находятся источники поля
Очевидно,что этот подход кардинально отличается от подхода,который изла гался выше: ведь теперь считается,что уравнение Лапласа справедливо и в об ласти занятой источниками. Целесообразность такого подхода обосновывается тем, что во-первых, программирование при формировании элементов матрицы и правой части и обработке результатов существенно упрощается, так как те перь сеточная область будет представлять собой один блок; во-вторых, аномальные кривые теперь имеют цельный,а не фрагментарный вид и,таким образом,их легче анализировать и сравнивать с точными решениями прямой за дачи: в-третьих, применяя этот подход вместе с вычислением пространствен ных элементов аномальных потенциальных полей ( см.пункт 3.1) , можно приб лиженно определять местоположение верхних и нижних особенностей анома т леобразующего тела.
Как было установлено в главе 2, можно увеличить точность вычисляемых значений поля при аналитическом продолжении если:
а) увеличить длину профиля , на котором расположены заданные значе ния поля;
б) уменьшить шаг сетки (в главе 4 будет установлена в результате про ведения вычислительных экспериментов и теоретически обоснована сходи ) мость приближенных схем к точному решению при неограниченном уменьше нии шага сетки).
В главе 2 также установлено,что применяя соответствующую схему фильтрации можно «очистить» заданные значения поля от высокочастотной помехи. Очевидно,что можно точнее оценить влияние верхних и нижних особенностей, если снизить погрешности при восстановлении значений поля с учетом факторов, о которых шла речь выше. Если считать размеры аномалеобразующего тела равными АхА ,т.е. принимая размеры тела в плоскости Oxz примерно одинаковыми в направлении осей х и z, то оптимальными будут : 1) длина профиля L 7А; 1 2) расстояние от земной поверхности при z =0 до верхней кромки анома леобразующего тела 0 Н 1.5А; 3) шаг сетки 0 h 0.08A.
В модельных примерах настоящего пункта расчеты проводились на сетке с оптимальным шагом равным 0.2 км(за исключением модельного примера1,где шаг0,4км ) и профиле оптимальной длины равной 32 км в отсутствии помехи для следующих тел бесконечной протяженности в направлении оси у: Модельный примері..Прямой пласт 2,4x2,1 км,профиль длиной 32, шаг 0,4 км, расстояние до верхней кромки - 4,0 км; аналитическое продолжение до отметки 5,2 км (чуть ниже ц.масс) , размер матрицы А=2054х1053, вектор правой части f=2054xl,время решения СЛАУ=00:03:36. Модельный пример2..Прямой пласт 4,8x4,0 км,профиль длиной 32, шаг 0,2 км, расстояние до верхней кромки - 4,0 км; аналитическое продолжение до отмет ки 4,0 км, размер матрицы А=6360х3220 , вектор правой части f=6360x1,время решения СЛАУ=01:39:12.
Модельный примерЗ..Прямой пласт 4,8x4,0 км,профиль длиной 32, шаг 0,2 км, расстояние до верхней кромки - 4,0 км; аналитическое продолжение до отметки 6,0 км (до ц.масс) , размер матрицы А=9540х4830 , вектор правой части f=9540xl,время решения СЛАУ=07:46:57. «) Модельный пример4..Прямой пласт 4,8x4,0 км,профиль длиной 32, шаг 0,2 км, расстояние до верхней кромки - 4,0 км; аналитическое продолжение до отметки 12,0 км, размер матрицы А=19080х9660 , вектор правой части f=9660xl, время решения СЛАУ=20:08:19.
Модельный пример5.Два прямых пласта 4,8x4,0 км с расстоянием между ними равным 4,8км, профиль длиной 32, шаг 0,2 км, расстояние до верхней кромки - 4,0 км; аналитическое продолжение до отметки 6,0 км(до ц.масс), размер матрицы А=9540х4830 , вектор правой части f=4830xl, время решения СЛАУ=05:06:43. Модельный примерб. Два цилиндра 0 0,8 км (расстояние между ними — 4,8 1 км), профиль длиной 32, шаг 0,2 км, расстояние до верхней кромки - 4,0 км; аналитическое продолжение до отметки 4,0 км, размер матрицы А=6360х3220 , вектор правой части f=6360xl, время решения СЛАУ=01:04:29. Модельный пример7. Два цилиндра 0 0,8 км (расстояние между ними - 4,8 км),профиль длиной 32, шаг 0,2 км, расстояние до верхней кромки - 4,0 км(чуть ниже ц.масс); аналитическое продолжение до отметки 4,6 км, размер матрицы А=7314x3703 , вектор правой части f=7314xl, время решения СЛАУ=02:48:48. Модельный пример8. Два цилиндра 0 0,8 км (расстояние между ними - 4,8 км),профиль длиной 32, шаг 0,2 км, расстояние до верхней кромки - 4,0 км ; аналитическое продолжение до отметки 8,8 км, размер матрицы А=13992х7084, вектор правой части f=13992xl, время решения СЛАУ=12:48:37. Модельный пример9. Два цилиндра 0 0,8 км (расстояние между ними — 9,2км),профиль длиной 32, шаг 0,2 км, расстояние до верхней кромки - 4,0 км ; аналитическое продолжение до отметки 8,8 км, размер матрицы А= 13992x7084, вектор правой части f=13992xl, время решения СЛАУ=12:04:29. Модельный примерЮ.Вертикальный пласт 2,0x12,0 км,профиль длиной 32, шаг 0,2 км, расстояние до верхней кромки - 4,0 км; аналитическое продолжение до отметки 4,0 км, размер матрицы А=63 60x3220 , вектор правой части f=6360x1,время решения СЛАУ=01:06:06.
Модельный примерП.Вертикальный пласт 2,0x12,0 км,профиль длиной 32, шаг 0,2 км, расстояние до верхней кромки - 4,0 км; аналитическое продолжение до отметки 10,0 км (до ц.масс), размер матрицы А=15900x8050 , вектор правой части f=l5900x1,время решения СЛАУ=14:51:27.
Модельный пример12.Вертикальный пласт 2,0x12,0 км,профиль длиной 32, шаг 0,2 км, расстояние до верхней кромки - 4,0 км; аналитическое продолжение до отметки 16,4 км , размер матрицы А=26076х 13202 , вектор правой части f=26076xl,время решения СЛАУ=25:53:25.
Технология сглаживания краевых эффектов у аномальных кривых поля Ag
Заданные значения поля во внешней точке определялись в результате суммарного гравитационного действия обоих цилиндров, а гравитационное действие каждого цилиндра в отдельности находилось по формуле (3.6) (компьютерные программы ргТС ,ргТС1 соответственно для 2 вариантов расстояний между цилиндрами ). Аналитическое продолжение осуществлялось с использованием дискретного оператора Лапласа, рассматриваемого на составном шаблоне «прямой крест» + «косой крест», и составлением СЛАУ с использованием программ рг 606, рг607 ; далее СЛАУ решалась при помощи пакета программ SPM. Аналититическое продолжение проводилось в 3 вариантах: а) До верхней кромки аномалеобразующих тел. б) До центра масс аномалеобразующих тел. в) Ниже верхних и нижних особенностей аномалеобразующих тел. Часть результатов расчетов приводится ниже в виде табл.3.11-3.14 и рис 3.30-3.34. Как показали результаты расчетов, закономерности, возникающие при аналитическом продолжении заданных значений поля для двух цилиндров аналогичны закономерностям, возникающим при аналитическом продолжении заданных значений поля для одного и двух прямых пластов и вертикального пласта.
При аналитическом продолжении до верхней кромки значения поля — вычис ляются с высокой точностью, но с меньшей ,чем для тел указанных выше (табл 3.11,рис.3.30,3.31 и ср. с табл 3.4,табл 3.8); при аналитическом продолжении до центра масс значения поля также вычисляются с достаточно высокой точностью в точках выше верхней кромки ( табл 3.12 и ср. с табл 3.5) .После прохождения верхних особенностей в аномальных кривых и здесь начинают зарождаться высокочастотные колебания (осцилляции), амплитуда которых с глубиной увеличивается.
При аналитическом продолжении ниже верхних и нижних особенностей значения поля в точках полупространства z 0 выше верхней кромки также вычисляются с достаточно высокой точностью , далее при продвижении в глубину здесь начинают зарождаться высокочастотные колебания в аномальных кривых ,амплитуды первых максимумов в сравнении с обобщенным максимумом с глубиной быстро растут и после прохождения нижних особенностей амплитуды первых максимумов и обобщенного максимума становятся примерно одинаковыми, период колебаний все время сохраняется (табл.3.13,рис 3.32-3.34).Для двух цилиндров с тем же диаметром ,но с расстоянием между ними равным 9.2 км закономерности при аналитическом продолжении аналогичны вышеперечисленным (табл 3.14 и ср. с табл 3.13).
В настоящем пункте рассматриваются вычислительные эксперименты и их результаты по аналитическому продолжению с добавлением к заданным на 2 горизонтальных уровнях z = 0,z =-h значениям поля последовательно значения поля сначала на 2 боковых вертикальных профилях ( модельные примеры 13,14,17),затем на 4 боковых вертикальных профилях ( модельные примеры 15,16) и наконец, когда заданные значения поля расположены на полном контуре (модельные примеры 18,19). Задача аналитического продолжения решается здесь в трех вариантах: а) До верхней кромки аномалеобразующих тел. б) До центра масс аномалеобразующих тел. в) Ниже верхних и нижних особенностей аномалеобразующих тел. Для формирования матриц и векторов правой части возникающих здесь СЛАУ были составлены компьютерные программы pr 606KTZ,pr 607KTZ ( модельные примеры 13-17 ) pr 606K,pr 607К (модельные примеры 18,19).
Далее СЛАУ решались с использованием пакета программ SPM . Обработка результатов расчетов проводилась также как это делалось ранее. Некоторые результаты расчетов приведены в виде табл 3.15-3.20 и рис.3.35-3.44. Как видно из таблиц и рисунков, при аналитическом продолжении до верхней кромки аномалеобразующих тел и до центра масс добавление значений поля на 2 вертикальных боковых профилях (рис.3.35,3.36; табл 3.15) и даже добавление значений поля на 4 вертикальных профилях ( рис.3.37,табл 3.17,3.18) очень мало сказывается на точности вычисляемых значений поля (ср.табл 3.4,3.5), что в свою очередь говорит о том, что аналитическое продолжение заданных на 2 горизонтальных уровнях z=0 , z=-h значений поля при оптимальном шаге сетки и оптимальной длине профиля осуществляется с высокой точностью.
При аналитическом продолжении заданных значений поля на 2 горизонтальных уровнях z = 0,z =-h с добавлением значений поля на 2 боковых вертикальных профилях ниже верхних и нижних особенностей аномалеобразующих тел т.е. до отметки 11,8 км ( табл 3.16) поле восстанавливается ( выше верхних особенностей ) примерно с той же точностью , что и при задании значений поля только на двух горизонтальных уровнях z=0 , z=h (ср.с табл 3.6) при аналитическом продолжении до отметки 12,0 км.И, наконец, приведем расчеты с заданием значений поля на полном контуре (рис.3.38 ,3.39); как уже было сказано, в этом случае для формирования матрицы и вектора правой части были составлены компьютерные программы ргбОбК, рг607К).
Условия, в которых рассматривается расчетная схема, изображенная на рис.3.38 , аналогична условиям, в которых рассматривается классическая задача Дирихле для уравнения Лапласа в квадрате. Как видно из табл. 3.19 результаты расчетов полностью подтверждают теоретический результат решения « задачи Дирихле» о однозначном восстановлении значений поля в квадрате (пункт 1.3).
