Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Аппроксимационныи подход к решению некоторых классических задач гравиметрии и магнитометрии 12
1.1. Основные принципы аппроксимационного подхода 17
1.2. Математическая формулировка метода интегральных представлений 19
1.3. Основная аппроксимационная конструкция ( S- аппроксимация) 22
1.4. S- аппроксимация в локальном варианте 29
1.5. S-аппроксимация в глобальном и региональном вариантах 31
1.6. Разделение полей в случае сред рудного типа 34
1.7. Интегральное преобразование Радона в рамках аппроксимационного подхода в локальном варианте 37
1.8. Методы нахождения устойчивых приближенных решений систем линейных уравнений с приближенно заданной правой частью 44
Глава 2 Компьютерные технологии построения линейных аналитических аппроксимаций аномальных потенциальных полей и некоторые результаты их опробования на модельных и практических примерах 58
Введение
2.1. Компьютерные технологии нахождения линейных аналитических аппроксимаций гармонических функций (элементов потенциальных полей) в локальном варианте 59
2.1.1. Первый этап - формирование элементов матрицы А 59
2.1.2. Второй этап-решение СЛАУ 60
2.1.3. Третий этап - восстановление поля и нахождение его трансформант ... 62
2.2. Методика апробирования на модельных примерах 62
2.3. Результаты опробования компьютерных технологий S-аппроксимации на материалах детальной гравиметрической и магнитометрических съемок 103
2.3. Методика апробирования алгоритмов и программ построения S-аппроксимаций в региональном варианте 108
2.5. S-аппроксимация рельефа земной поверхности 118
Глава 3 Линейные трансформации аномальных потенциальных полей с использованием s- аппроксимации 140
Введение 140
3.1. Вычисление высших производных гравитационного потенциала в локальном случае 142
3.2. Аналитическое продолжение потенциальных полей на основе S-аппроксимации 146
3.3. Разделение гравитационных полей на основе S-аппроксимации 146
Глава 4. Новые методы решения обратных нелинейных задач гравимагниторазведки 185
4.1. Интегральное уравнение обратной нелинейной задачи потенциала 185
4.2. Устойчивый алгоритм восстановления базового цилиндра с использованием понятия емкости компакта 196
4.2.1. Некоторые определения 197
4.2.2. Постановка обратной задачи потенциала для базового цилиндра. Типі 199
4.2.3. Постановка обратной задачи потенциала для базового цилиндра. Тип II 203
4.3. Устойчивый алгоритм восстановления эллипсоидов 207
4.3.1. Постановка обратной задачи потенциала для эллипсоида .Тип I 207
4.3.2. Постановка обратной задачи потенциала для эллипсоида. Тип II 213
4.4. О решении некоторых задач геофизики типа рудных с помощью
методов теории функций многих комплексных переменных 216
4.4.1. Поликруг 217
4.4.2. Произвольная область в С2 с гладкой границей 220
4.4.3. Многосвязная область 222
4.5. О решении обратной структурной задачи потенциала в трехмерном случае 224
4.5.1. Постановка обратной задачи 227
4.5.2. Алгоритм численного решения обратной задачи 230
4.5.3. О единственности решения обратной задачи потенциала в случае многообразий 235
4.6. Восстановление замкнутых римановых поверхностей 241
4.6.1. Алгоритм численного решения обратной задачи 247
4.7. Восстановление открытых римановых поверхностей 253
4.7.1. Постановка задачи 253
4.7.2. Описание аппроксимационного подхода 255
4.7.3. Алгоритм решения обратной задачи 258
4.8. О построении регуляризованного решения интегрального уравнения Фредгольма I рода 262
Глава 5. Алгебраические методы в решении обратных задач гравиметрии и магнитометрии ( решение обратных задач без решения прямых) 276
Заключение 292
Список литературы
- Математическая формулировка метода интегральных представлений
- Третий этап - восстановление поля и нахождение его трансформант
- Разделение гравитационных полей на основе S-аппроксимации
- Постановка обратной задачи потенциала для базового цилиндра. Тип II
Введение к работе
2.1. Компьютерные технологии нахождения линейных аналитических аппроксимаций гармонических функций (элементов потенциальных полей) в локальном варианте 59
Первый этап - формирование элементов матрицы А 59
Второй этап-решение СЛАУ 60
Третий этап - восстановление поля и нахождение его трансформант.... 62
Методика апробирования на модельных примерах 62
Результаты опробования компьютерных технологий S-аппроксимации на материалах детальной гравиметрической и магнитометрических съемок 103
2.3. Методика апробирования алгоритмов и программ построения S-аппроксимаций в региональном варианте 108
2.5. S-аппроксимация рельефа земной поверхности 118
Математическая формулировка метода интегральных представлений
Чтобы определить пространственное распределение полей , применим в рамках аппроксимационного подхода метод линейных интегральных представлений, разработанный В.Н.Страховым [125,165-175].
На практике значения элементов аномальных полей на некоторых горизонтальных плоскостях (редуцированных полей), а также значения линейных трансформаций этого поля необходимо находить лишь в некоторой конечной совокупности точек П5, 5=1, 2,..., S.
Математическая проблема состоит в следующем. Пусть требуется найти совокупность величин А=Е \pr{)P?()dttr(g), (1-І) r=i мг s=\, 2,..., 5, в которых функции Рг(,)() являются заданными, а функции р,. (4) - неизвестные, Мг - заданные в R области -конечные или бесконечные,или даже много-образия ( поверхности, кривые в R ; / ,() - заданные меры на Мг. При этом известными Л =/,+# / = 1,-, , (1.2) являются величины, в которых полезные компоненты fi имеют интегральные представления /=/лсое жю, (1-3) в которых jur (4) и Мг - те же самые, что и в представлениях (1.1), Q{?{) - заданные функции, функции же рг(%)- неизвестные, но те же самые что и в (1.1). При этом принимается, что все функции рД),Р, Л),,(0() удовлетворяют условиям интегрируемости с квадратом: \p2r(t)djur(t) +« ,r = \,2,...,R, \(P \%)fdvf(4) +« ,r = \,2,...,R,s = \,2,...,S, м, \{Ql \t))1dpr(t) +x ,r=\,2,...,RJ = l2,...,N.
Принимается также, что для вектора д/с компонентами dft , 1-І, 2, ... , N, известна априорная информация следующего вида: (1.4) где 82mm ,;ax - суть заданные числа. Таким образом, схема решения задачи нахождения значений функционалов/ 5 такова: 1) сначала по заданной информации (1.2)-(1.4) находятся аппроксимации д(а)( функций рг(4У, 2) далее найденные аппроксимации р(га){%) подставляются в выражения функционалов ps - и таким образом находятся приближенные значения этих функционалов. Имеется два основных метода нахождения аппроксимаций р(га\%) функций л-(), г= 1, 2, ...,R: а) вариационный метод; б) структурно-параметрический метод.
В обоих методах задача нахождения аппроксимаций функций редуцируется к нахождению числовых параметров из решения некоторой системы линейных алгебраических уравнений.
После того как задача аппроксимации сформулирована как математическая задача, возникают классические математические проблемы существования, единственности и устойчивости решений задач аппроксимации.
Как правило, решения задач аппроксимации всегда существуют, но далеко не всегда (особенно в случае задач II класса) имеет место единственность, а устойчивость не имеет мести практически никогда. Особо следует подчеркнуть, что описанная выше общая схема аппроксимационного подхода к решению задач гравиметрии и магнитометрии является полностью адекватной реальной геофизической практике и реальным компьютерным возможностям, ибо все вопросы решаются в конечномерных пространствах тех параметров, от которых зависят аппроксимации; при этом все вопросы решаются наиболее простым способом в случае глобальных явных линейных аппроксимаций. И в этом радикальное отличие общего и универсального аппроксимационного подхода от подходов, основанных на бесконечномерных конструкциях математической физики.
Задачи аппроксимации всегда решаются по входным данным, содержащим погрешности. Отсюда следует, что при решении некорректных (всегда -неустойчивых) задач аппроксимации необходимо использовать регуляризацию.
Ясно, что сущность регуляризации любых задач, и прежде всего - задач построения конечномерных аппроксимаций, состоит в том, чтобы находить устойчивые приближенные решения задач, исходя из определенной априорной информации о свойствах помех во входных данных, а также искомого решения, находить такие приближенные решения, которые согласованы с этой априорной информацией. При этом необходимо исходить из того, что в имеющейся априорной информации всегда содержится некоторая неопределенность, например, точное значение какой-либо нормы для вектора помехи bf неизвестно, а известны лишь некоторые оценки bf\\ сверху и снизу.
Третий этап - восстановление поля и нахождение его трансформант
Для практической реализации описанных выше компьютерных технологий был использован следующий единый трехэтапный методический подход как для модельных, так и для практических примеров. Первый этап - формирование матрицы А.
На этом этапе с использованием описанных выше программ вычислялись элементы матрицы размером NxN , где N - число исходных пунктов с известными координатами и значениями аномального гравитационного (магнитного) поля. Предварительно до вычисления элементов матрицы часть пунктов производится сортировка данных и выборка определенного числа пунктов для независимого контроля точности аппроксимации. Для исследования эффективности аппроксимационного подхода предлагается несколько способов выбора контрольных точек.
1. Способ трехступенчатого контроля, предложенный В.Н.Страховым, заключается в следующем. На первом шаге из исходных пунктов исключается порядка 20% пунктов, имеющих минимальное по модулю значения аномального поля, которые включаются в число контрольных, а оставшиеся 80% пунктов используются для построения аппроксимационной конструкции. На втором шаге из контрольных пунктов выделяется половина, имеющие максимальные по модулю отклонения от исходного поля и они добавляются к числу пунктов, используемых для построения аппроксимации. Контроль точности производится по оставшимся контрольным пунктам (10%). На третьем шаге для построения аппроксимации используются все исходные пункты.
2. Второй способ заключается в следующем. Из исходных гравиметрических (магнитометрических) пунктов исключался каждый пятый (десятый) пункт (или любые заданные пункты) или случайным образом исключалось определенное количество iVK0HTp пунктов наблюдений (5-20% от общего числа пунктов). После исключения части пунктов наблюдений снова производился расчет элементов матрицы СЛАУ размером МхМ, где M=N—NKQmp. Исключенные из исходных данных NKQmp пунктов в последующем использовались для независимого контроля точности аппроксимации. На следующем шаге аппроксимация уже строилась с использованием всех пунктов.
Второй этап -решение СЛАУ.
Вторым этапом и наиболее важной вычислительной проблемой практической реализации аппроксимационного подхода к спектральному анализу аномального гравитационного и магнитного полей является СЛАУ большой размерности. Для этой цели использовались программы из пакета прикладных программ СПИМ, реализующие три вычислительных метода: а) метод М.М.Лаврентьева (программа S-1); б) метод регуляризации разложения Холецкого, разработанный В.Н.Страховым (программа S-5); в) итерационный метод В.Н.Страхова (программа S-6); а также два других метода: г) метод блочного координатного спуска (программы Т-7 и Т-9); д) метод, основанный на редукции системы к трехдиагональной матрице (программа Т-11, созданная автором). Третий этап — восстановление поля.
На этом этапе производится расчет гравитационного (магнитного) поля по результатам аппроксимации и оценка точности. Восстановление поля и его сравнение с исходным (а в случае модельных примеров с точным значением поля) производится в N исходных пунктах, если вычисление элементов матрицы (NxN) и соответственно решение СЛАУ производилось по N исходным пунктам. В случае если эти расчеты производились для М пунктов, то восстановление поля и оценка точности производилась для Л тр контрольных пунктов и всех исходных данных.
Характеристика модельных примеров и результаты расчетов.
Для опробования компьютерных технологий построения аппроксимаци-онных конструкций аномальных гравитационных и магнитных полей на основе метода линейных интегральных представлений были использованы следующие модельные примеры. Модельные примеры № 1 и № 2 были предоставлены И.А.Керимовым и в данной работе приводятся для более полной апробации разработанных методов и подходов.
Модельный участок № 1. Размер площади 70 км х 100 км. Рельеф земной поверхности относительно спокойный, перепад высот составляет более 500 м (рис.2.1). Общее количество расчетных гравиметрических пунктов составляет 6000, сеть квазирегулярная (рис. 2.2). Для данной сети было рассчитано модельное гравитационное поле, обусловленное 10 призматическими телами. Параметры призматических тел для модельного участка 1 приведены в табл. 2.1. Схема размещения призм приведена на рис. 2.2. Расчетное аномальное гравитационное поле для данного участка приведено на рис. 2.3. Из этого рисунка видно, что аномальное поле на участке 1 осложнено региональной компонентой (без выхода на нормальное поле).
Разделение гравитационных полей на основе S-аппроксимации
В предыдущем разделе были приведены формулы,позволяющие вычислять любые линейные функционалы от найденного с помощью S-аппроксимации эквивалентного распределения источников.По формулам (3.3) ,(3.7) мы можем строить аналитические продолжения гравитационного поля в любой совокупности точек (xv,xiv). Мы вычисляли значения аномального гравитационного поля на горизонтальных плоскостях,расположенных как выше рельефа, так и ниже. Как известно, продолжение вверх позволяет выявить более глубоко расположенные источники. Результаты использования S-аппроксимации для построения аналитического продолжения в модельных примерах изображены на рис. 3.30-3.37 ив таблицах 3.6-3.12. На рисунках приводятся карты изолиний продолженного поля и карты изолиний разностного поля, которое получается вычитанием из вычисленного поля от источников поля,построенного с помощью S- аппроксимации. Из таблиц видно,что аналитическое продолжение с помощью S- аппроксимации достаточно хорошо строится на уровни выше рельефа. В таблицах 3.5-3.10 приводятся те значения h, на которые поле было продолжено с относительно небольшой погрешностью ( ее характеризует показатель качества решения). "Качество" построенного аналитического продолжения зависит от различных факторов - размерности системы (количества точек S, характера рельефа, конфигурации источников). Наилучшие результаты аналитического продолжения с помощью S- аппроксимации были достигнуты, как видно из таблиц 3.5,3.6, для модельных примеров 1 и 2.
Для практических примеров (Сибирская площадь и Сереговская площадь) также были построены аналитические продолжения. (См. рис. 3.38, 3.39). Как указывалось в главе I настоящей работы, определение множителей Лагранжа Xt,i = 1,...,N ,где N- количество точек, в которых заданы значения элементов гравитационного поля ( размерность системы линейных уравнений,которую мы решаем) позволяет находить значения любых функционалов вида :рх « p{sa) = Jp{ra)( )Pr(x)( )djur(4),поскольку аппроксимации функций/ 0 (), г = 1,2,...,R становятся известны: p(ra) = ,6 ( ) В случае аппроксимации источников гравитационного поля в виде суммы простого и двойного слоев, распределенных на горизонтальных плоскостях (будем считать,что их R штук),мы получим следующие формулы для определения по лей,создаваемых каждой такой плоскостью в отдельности:
Неравенства (3.14) означают, что нам известны « этажи» , не которых залегают источники.
С целью проверки эффективности S- аппроксимации для разделения гравитационных полей был проведен расчет на модельном примере. Источники гравитационного поля представляли собой 7 прямоугольных призм,расположенных на глубине 20 км и 7 прямоугольных призм,расположенных на глубине 3 км. Схема расположения источников полностью аналогична представленной на рис. 2. для модельного примера № 7.Поле указанной совокупности источников аппроксимировалось полем суммы простого и двойного слоев,распределенных на плоскости ,залегающей на глубине 14 км и на плоскости,расположенной на глубине 0,91 км. С помощью метода М2 была решена система линейных алгебраических уравнений и найдены /1,,/ = 1,2,...,6000. Значения исходного поля были заданы на ровном рельефе (рис. 3.).Перепад высот небольшой (3 км),сеть нерегулярная.Затем по найденным значениям Я,,/ = 1,2,...,6000,вычислялись значения поля,создаваемого суммой простого и двойного слоев,распределенных на плоскости h=0.91 км, и эти значения сравнивались со значениями поля,создаваемыми группой призм,расположенных на глубине 3 км.
Результаты расчета приведены в таблице 3.11. На рис. 3.40 приведено исходное поле от источников,залегающих на глубине 3 км, а на рис. 3.41 результат разделения полей (горизонтальная плоскость,на которой распределены простой и двойной слои имеет координату 1.4 км); на рис. 3.43 приведено поле от источников, расположенных на глубине 20 км,а на рис. 3.42 результат разделения полей с помощью S -аппроксимации, h=14 км. Из сравнения рисунков 3.40 и 3.41, а также рисунков 3.42 и 3.43 следует,что S аппроксимация дает достаточно хорошую точность ( около 20 % ) при разделении полей от групп источников,находящихся на значительном расстоянии друг от друга.
Также разделение полей было опробовано на модельном примере ( назовем его модельным примером № 15) с числом точек п=6000. Рельеф изменялся от 0.01 до 3 км, поле создавалось двумя группами параллелепипедов, одна из которых залегала на средней глубине h=-6.5 км, а другая - на глубине h= -2 км.
Сначала, как и в первом случае, решалась система линейных алгебраических уравнений с целью построения S- аппроксимации распределения поля, создаваемого беими группами параллелепипедов. Исходное поле аппроксимировалось полем сумм простого и двойного слоев, распределенных на плоскостях h= -0.07 км и h=-4.07 км. Затем с помощью полученных коэффициентов аппроксимации Xibi = 1,...,6000, строились аппроксимации полей каждой из двух групп тел в отдельности. Поле параллелепипедов, залегающих более глубоко, аппроксимировалось полем суммы простого и двойного, распределенных на плоскости h=-4.07 км, а поле тел, залегающих ближе к дневной поверхности, - суммой простого и двойного слоев, распределенных на плоскости h= -0.07 км. На рис. 3.51-3.52 показаны карты изолиний исходных полей и карты изолиний разности между исходными полями и аппроксимированными. В таблице 3.11 приводятся количественные показатели расчетов. Источники разнесены на меньшее расстояние, чем в предыдущем примере. Точность разделения несколько ниже ( около 25 %).
Постановка обратной задачи потенциала для базового цилиндра. Тип II
В данном разделе аппроксимационный подход используется для локализации источников гравитационного поля, имеющих форму,близкую в некотором смысле (точное определение будет дано ниже) к эллипсоидам вращения.Такое представление источников гравитационного поля кажется автору обоснованным, поскольку в рудных задачах ,как правило, поле создается телами, гомеоморфными шару или шаровому слою.
Мы будем рассматривать также тела,представляющие собой некоторые объединения эллипсоидов.
На практике всегда имеется лишь конечная информация об изучаемом элементе аномального поля, поэтому классические теоремы единственности решения обратных нелинейных задач гравиметрии, например,соответствующие теоремы для однородных выпуклых и звездных областей ,каковыми и являются эллипсоиды ,и областей,обладающих средней плоскостью (см. [128] ), несправедливы.Поэтому автором предлагается итерационный алгоритм решения обратной нелинейной трехмерной задачи потенциала в двух вариационных постановках, аналогично предыдущему разделу. Рассматриваются также вопросы устойчивости предлагаемого алгоритма.
Как известно, (см.,например,[17]), эллипсоид в С,п 2, является строго псевдовыпуклой областью. Если даны две области Д , и их границы описываются полиномами от z, то биголоморфные отображения областей являются алгебраическими (теорема Уэбстера, см. [17] ). Согласно еще одной теореме Уэбстера, биголоморфные отображения эллипсоидов являются линейными отображениями.
Трехмерный источник гравитационного поля (область, близкую в некотором смысле к эллипсоиду вращения) мы будем аппроксимировать четырехмерным эллипсоидом ,также немного «искаженным».
После надлежащего комплексного линейного преобразования, границу всякого эллипсоида D аС можно записать в виде Е /Г+ІЧ ;+ )-1 = 0- (4-24) ,=1 ,=1
Будем считать, что соответсвующее комплексное линейное преобразование произведено. Назовем тело De "є-близким " к эллипсоиду D , если его граница может быть записана в виде dz dz ) , 0. ХЫ +ИАМ + 2) + (г,2)-1 = 0,где z = (z,,...,zn),max(j ,=i ./=1
Мы будем рассматривать трехмерные эллипсоиды как проекции четырехмерных эллипсоидов пространства R4 = С" переменных (x,y,z,v) на подпространство v=0. На практике, в некоторых случаях, аномальное гравитационное поле порождается совокупностью тел, которая может быть приближенно представлена как объединение нескольких областей , близких к различным эллипсоидам, или объединение слоев SE , которые представляют собой разность DE при различных е
.Поэтому, при наличии априорной информации о нескольких близко расположенных источниках, можно ввести класс областей А, аппроксимирующих односвязные области в пространстве Я3 с непрерывной границей и обладающих следующими свойствами:
1) Область DE представляет собой объединение N+1 слоев Sel,каждый из которых является разностью областей D, и Ds,_,.
2) Область DFI є-близка к і- ому эллипсоиду D{.
Запишем уравнение для производной по z гравитационного поля, создаваемого четырехмерным эллипсоидом Д,в точке М с координатами (x,y,z,v) пространства /?4: U W) = -f {т - f . (4.25) G-гравитационная постоянная. Тогда соответствующая производная в R7, U(M) может быть записана как свертка U4(M) по координате v, поскольку мера dv инвариантна относительно сдвигов в RA: 4 ,J[(x_x) +0/- j )2+(z-z)2]3/2
Пусть U(M) известна в некоторой области пространства Я3 , внешней по отношению к!)Добозначим эту область через В),пусть также задана р -постоянная плотность распределения гравитационных масс в D .Тогда под решением обратной задачи потенциала будем понимать область De ,являющуюся є-близкой к некоторому эллипсоиду D4. Мы вводим нижний индекс для того, чтобы подчеркнуть, что искомой является область в четырехмерном пространстве Л4,которое можно естественным образом отождествить с пространством двух комплексных переменных С2.
Если переписать (4.26) в виде / )= }i/.. ,I/,h,,.).f Г - „„у.где Дз,-СЄЧЄН„Є . . 4 D .[(x-x)+(y-y) +(z-z)T DA плоскостью v = const, то станет ясно, что U(M) является суперпозицией полей, создаваемых софокусными эллипсоидами с непрерывно меняющимися в некоторых пределах параметрами, плотность источников в которых постоянна.
