Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Современные методы решения прямых и обратных задач геоэлек трики 10
1.1. Классификация методов геоэлектрики 10
1.2. Обзор математических моделей и современных методов моделирования 12
1.2.1. Прямое моделирование 12
1.2.2. Алгоритмы генерации расчетной сетки 15
1.2.3. Алгоритмы решения обратных задач 16
Глава 2. Прямое моделирование задач геоэлек трики в трехмерных средах 19
2.1. Особенности исследуемого объекта 19
2.2. Математические модели прямых задач 22
2.3. Вариационная формулировка 25
2.4. Критерии качества тетраэдральных расчетных сеток . 27
2.4.1. Критерий Делоне и диаграмма Вороного 28
2.4.2. Качество симплекса 29
2.5. Дискретная вариационная формулировка 30
Глава 3. Обратная задача восстановления фор мы границ 32
3.1. Функция чувствительности и оптимальный план . 33
3.2. Методы решения обратных коэффициентных задач 36
3.2.1. Метод Ньютона и его модификации 38
3.2.2. Метод сопряженных направлений 41
3.2.3. Вычислительная сложность 43
3.3. Восстановление формы границы 44
3.3.1. Однородное полупространство 44
3.3.2. Двухслойная модель 45
Глава 4. Описание разработанной библиотеки. вычислительный эксперимент . 48
4.1. Общая характеристика разработанной библиотеки конечно-элементного моделирования FEAINVLIB... 48
4.2. Особенности реализации 49
4.2.1. Операции ввода-вывода 52
4.2.2. Модуль хранения и обработки матриц 53
4.2.3. Модуль конечно-элементного моделирования . 57
4.2.4. Модуль минимизации функционалов 60
4.3. Влияние методов построения сетки 61
4.4. Влияние характера зависимости параметра т от электрической проводимости 72
4.4.1. Плоскопараллельная среда 72
4.4.2. Объект в однородном слое 78
4.5. Идентификация эллипсоидальной неоднородности . 83
4.6. Восстановление формы границы 93
4.6.1. Синтетические тесты 93
4.6.2. Практические результаты 98
Заключение 103
Литература 105
- Обзор математических моделей и современных методов моделирования
- Критерии качества тетраэдральных расчетных сеток
- Влияние характера зависимости параметра т от электрической проводимости
- Идентификация эллипсоидальной неоднородности
Введение к работе
Объект исследования — электрическое поле в неоднородных средах с локальными включениями с различной электропроводностью. Предметом исследования являются вычислительные схемы для расчета трехмерных электрических полей для задач прямого моделирования и инверсии, анализ свойств элементов разбиения и параметризации на эффективность алгоритмов инверсии и точность получаемых решений.
Актуальность темы. В геоэлектрике при интерпретации данных зондирований сложных по своей структуре объектов необходимо использование математических методов, реализованных в виде соответствующего программного обеспечения, позволяющего обрабатывать данные большого количества измерений и выявлять неоднородности.
Широко распространенные при малоглубинных зондированиях методы сопротивлений [Светов Б.С, 2008], основанные на использовании установок, генерирующих постоянный ток, часто применяются для получения детализированной информации о пространственном распределении электрического сопротивления в среде [Giinter Т. et al., 2006; Li Y. and Spitzer T. 2002]. В работах, посвященных инверсии по данным зондирований на постоянном токе [Haber Е. et al., 2007; Pidlisecky A. et al., 2007], при прямом моделировании используются методы конечных разностей и конечных объемов [Ильин В. П. 2003]. Метод конечных элементов, в том числе и подход основанный на использовании вложенных расчетных сеток, так же широко используется при решении задач структурной геоэлектрики [На Т. et al., 2006; Marescot L. et al., 2008]. Использование семейства методов Ньютона [Ben Hadj Miled M.K. and Miller E.L., 2007; van den Doel K. and Ascher U.M., 2006], а так же МНК-решений [Banks H.T. et al., 2007; Ory, J. and Pratt R.G., 1995] являются широко распространенными подходами к решению задач инверсии. Построение конкретных типов регуляризирующих операторов полностью определяется классом рассматриваемых обратных задач [Ascher U.M. et al., 2006; Frtihauf F. et al., 2005]. Выбор функции чувствительности оказывает значительное влияние на результативность метода решения обратной задачи [Bhattacharya В.В. and Shalivahan M.S., 2003; Boonchaisuka S. et al., 2008; Pek J. and Santos F.A.M., 2006]. Эффективные методы вычисления производных Фреше позволяют значительно ускорить процесс инверсии [McGillivray P.R. and Oldenburg D.W., 1990].
Несмотря на значительное количество предлагаемых методов определения диапазона оптимальных значений регуляризирующего множителя [Воскобойников Ю.Е., 2007], большинство из них достаточно сложно использовать при решении реальных задач либо в силу слишком жест-
ких ограничений, либо из-за отсутствия гарантированного определения такого множителя для произвольного набора данных. Наиболее часто используемым методом является метод L-кривой [Воскобойников Ю.Е., 2006; Жданов М.С., 2007; Krawczyk-Stando D. and Rudnicki М., 2008], хотя для некоторого класса задач сходимость не имеет места [Vogel C.R., 1996]. Возможны варианты ускорения итерационного процесса определения регуляризирующего множителя, основанные на построении адаптивных расчетных сеток [Griesbaum A. et al., 2008].
Подобласти с высоким контрастом проводимостей оказывают существенное влияние на сходимость итерационного процесса и достоверность получаемого при помощи регуляризации решения [Ascher U. and Haber Е., 2004; Chen J. and Oldenburg D.W., 2006].
Различные способы определения функции значимости данных измерений могут оказывать существенное влияние на эффективность процесса решения [Maurer Н. et al., 2000; Abubakar A. et-al., 2008].
Существующие в настоящее время пакеты программ трехмерной инверсии: res3dinv (Geotomo Inc), RESINVM3D(Pidlisecky, A., Haber, E., Knight, R) не позволяют контролировать такой параметр как регуля-ризирующий оператор, имеют фиксированный ограниченный набор алгоритмов минимизации, в них отсутствует возможность контроля над решением прямых задач и вычислением функции чувствительности.
Обратная задача определения свойств среды по данным измерений, проводимых в некоторых ее участках, является в общем случае некорректной [Романов В.Г., Кабанихин СИ., 1991], имеющей множество решений, что приводит к необходимости получения как можно большего количества априорной информации: использование результатов прямого моделирования, идентификация наиболее информативных профилей измерений.
В данной работе рассматриваются методы моделирования, позволяющие эффективно решать задачи распределения электрического поля в сложной среде с локальными неоднородностями и источниками поля в виде постоянного тока или постоянной разностью потенциалов. Произвольность расположения источников поля, а также геометрическая сложность неоднородностей, приводит к необходимости использования симплициальных разбиений, для которых реализуются локальные сгущения, обеспечивающие достаточно точную аппроксимацию границы между различными произвольно ориентированными подобластями. Использование аппарата планирования эксперимента [Ермаков СМ., Жи-глявский А.А., 1987; Иткина Н.Б., 2008] позволяет автоматизировать процесс нахождения наиболее информативных областей для измерений.
Исследование алгоритмов решения обратных коэффициентных задач — минимизация первого и второго порядков с различными вариантами регуляризирующих операторов для задач геоэлектрики в областях, имеющих проводящие и непроводящие включения, определение областей оптимальных для измерений, является актуальной проблемой не только для геофизики, но и для вычислительной математики.
Цель работы. Разработка и реализация вычислительных схем для решения задач идентификации геометрически сложных трехмерных объектов, электрическая проводимость которых отличается от проводимости вмещающей среды. Прямое моделирование реализуется на базе скалярного метода конечных элементов. Обратная коэффициентная задача решается с использованием алгоритмов минимизации второго и первого порядков.
Методы исследования. Функциональный анализ, методы оптимизации, аппарат планирования эксперимента, методы вычислительной математики, линейная алгебра, численные методы.
Научная задача. Разработать алгоритмы интерпретации данных площадных измерений разности потенциалов на дневной поверхности и исследовать возможность идентификации локальных включений с различной электрической проводимостью.
Защищаемые научные результаты:
Разработаны и программно реализованы алгоритмы решения задачи распределения электрического потенциала в трехмерной среде с локальными неоднородностями, имеющими сложную геометрию.
Разработаны, исследованы и программно реализованы алгоритмы решения обратной задачи определения диапазона относительных изменений электрической проводимости в трехмерных подобластях.
Разработана и программно реализована вычислительная схема восстановления сложного рельефа границы проводящего слоя и непроводящего основания по данным измерений разности потенциалов на дневной поверхности.
Научная новизна:
Разработан программно-математический аппарат трехмерного моделирования для решения обратных коэффициентных задач в геометрически сложных средах.
Показана зависимость эффективности решения обратной задачи от алгоритмов построения трехмерных симплициальных сеток и качества получаемого разбиения.
Разработан программно-математический аппарат для расчета функций чувствительности и построения оптимального плана измерений.
Значимость работы. Разработанные и реализованные вычислительные схемы, учитывающие геометрические особенности сложных трехмерных объектов, фрагменты которых характеризуются различными кусочно-постоянными коэффициентами электропроводности, позволяют эффективно определять поверхность, разделяющую проводящие и непроводящие включения, и оценить контраст проводимостей в смежных подобластях. Реализованная вычислительная схема построения оптимального плана используется для определения схем измерений, характеризующих параметры объектов исследования.
Личный вклад. Все результаты, изложенные в диссертации без ссылок на работы других авторов, принадлежат лично автору.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на: XLII Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 2004); Международная конференция «Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании» (Новосибирск, 2006); Международная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященная 75-летию академика М.М. Лаврентьева (Новосибирск, 2007); Российская научно-техническая конференция «Информатика и проблемы телекоммуникаций» (Новосибирск, 2007); Международная школа-конференция «Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач» (Новосибирск, 2009).
Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 7 печатных работ, в том числе в ведущих научных рецензируемых изданиях, рекомендованных Перечнем ВАК, — 1 («Геология и геофизика», 2009, №10).
Структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка использованной литературы (159 наименований). Работа изложена на 124 страницах, включая 46 рисунков и 6 таблиц.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 09-05-00702, 09-05-12047).
Благодарности. Автор выражает искреннюю благодарность научному руководителю д.т.н. профессору Элле Петровне Шуриной, к.т.н. доценту Наталье Борисовне Иткиной, а так же руководству Института нефтегазовой геологии и геофизики им. А.А. Трофимука СОРАН и лично д.т.н., академику Михаилу Ивановичу Эпову за помощь и поддержку при работе над диссертацией.
Обзор математических моделей и современных методов моделирования
Идентификация слабопроводящего объекта может быть приведена к задаче определения электрической проводимости конкретной области под курганом (коэффициентная обратная задача), или к восстановлению рельефа границы с мерзлотой и выделение объекта как участка границы наиболее характерной формы.
Оба подхода приводят к необходимости вычисления электрического потенциала в среде с заданным расположением источников поля и распределением электрической проводимости в среде — прямой задачи. Наиболее критичным фактором при выборе алгоритма решения прямой задачи является скорость получения решения. Быстрый алгоритм решения прямой задачи позволяет получить эффективную процедуру решения обратной задачи — интерпретация данных геофизических исследований.
Прямое моделирование играет важную роль при разработке и верификации различных приборов, интерпретации данных, полученных в ходе физических экспериментов. Например, в георазведке прямое моделирование позволяет определить изменение сигнала, вызванное наличием объектов с заданными геометрией и физическими свойствами при регистрации измерений, модификации свойств объектов и их смещении по отношению к электродам-источникам поля. В результате решения прямых задач можно сформулировать требования к точности измерений, диапазону измеряемых величин.
Прямое моделирование на синтетических задачах позволяет существенно сократить количество проводимых натурных экспериментов [83], ускорить и удешевить процесс проектирования приборов.
Основные теоретические результаты решения задачи распространения электромагнитного поля в однородной и слоистой среде принадлежат А.Н. Тихонову [47,48,52]. Но применение данных методов к решению задач со сложной геометрией расчетной области, а именно: расположение и тип источников поля, отсутствие симметрии, наличие подобластей с границами произвольной формы, существенно затруднено. При решении уравнений, описывающих распределение электрического поля в неоднородной среде с включениями, имеющими различные электрические свойства, широко используются сеточные методы: конечные разности [38,113,145,153], конечные объемы [18, 75, 76, 98] и конечные элементы [109,156,159].
Основной идеей метода конечных разностей является замена исходного дифференциального оператора разностным, искомых непрерывных функций, начальных и краевых условий — дискретными, определенными на конечном множестве узлов сетки [74,140,152,155].
Метод конечных объемов для построения дискретных аналогов применяет интегральные балансные соотношения на элементарных объемах, используя заданное разбиение расчетной области [17]. По сравнению с методом конечных разностей, ориентированном на работу с узлами, данный метод основывается на обработке ячеек расчетной сетки. Возможность использования неструктурированных сеток позволяет применять данный метод для решения задач в областях со сложной геометрией. Метод конечных объемов эффективно используется при решении прямых и обратных задач электромагнетизма [60,95,101,148).
Метод конечных элементов основан на построении эквивалентных вариационных постановок в форме Ритца или Галеркина для исходной дифференциальной краевой задачи. На каждом элементе расчетной сетки определяются финитные базисные функции, и приближенное решение исходной задачи выражается в виде их линейной комбинации. Полное решение задачи сводится к определению весов в разложении по базисным функциям множества элементов разбиения. В зависимости от физических свойств искомой величины базисные функции выбираются из соответствующего пространства функций, имеющих необходимые свойства и удовлетворяющих требуемым ограничениям [115,116]. По типу базисных функций выделяют скалярный [78,92,110], векторный [3,65,114] и смешанный [89,158] методы конечных элементов, которые в настоящее время наиболее активно используются для решения задач электромагнетизма. Сопоставление методов конечных разностей и конечных элементов для задачи моделирования на постоянном токе приведено в [109].
Существует множество программных реализаций методов конечных разностей, конечных объемов и конечных элементов, представленных в виде библиотек (DUNE, Hermes Project, deal.II [63], FEMSTER [72]); свободно распространяемых (Calculix, Z88, OOFEM [121,122]) и коммерческих (ANSYS [108], COMSOL Multiphysics [14,71]) пакетов конечноэле-ментного моделирования.
Для решения задачи моделирования распределения электрического потенциала в окрестности кургана (прямой задачи) был выбран метод конечных элементов. Возможность использования в качестве источника поля как постоянного тока, так и фиксированного напряжения на электродах приводит к необходимости решения двух краевых задач, имеющих одинаковое уравнение, но различные краевые условия, соответствующие различным способам задания источника. Геометрические особенности, а именно, произвольное размещение объекта, местоположение и форма электродов, сложный рельеф границ подобластей приводят к необходимости использования нерегулярного тетраэдрального разбиения расчетной области.
Критерии качества тетраэдральных расчетных сеток
Для построения дискретного аналога уравнений (2.6) и (2.8) необходимо построить триангуляцию расчетной области. Под конечным элементом К будем понимать тройку [46,139] где Т(П) — разбиение расчетной области 1 на геометрические элементы, W — конечномерное подпространство где VP(T) — пространство полиномов порядка не более чем р, определенное на Т, D — пространство степеней свободы, представленное линейными функционалами над пространством W. Триангуляцией Т некоторой области Q будем называть множество симплексов {lj}, удовлетворяющее следующим критериям: 2. любой симплекс меньшего порядка, являющийся частью границы любого симплекса из Т, либо является подсимплексом другого симплекса из Т, либо принадлежит границе области ft. Можно выделить следующие преимущества использования тетраэдрального разбиения для решения рассматриваемой задачи: геометрия — построение разбиения, полностью учитывающего геометрию расчетной области, включая наклонные и криволинейные границы; вычислительные затраты. Вследствие произвольной формы объектов, составляющих область моделирования, использование тетраэдрального разбиения является необходимым для построения наиболее точного разбиения расчетной области, что позволяет учесть произвольную форму и расположение объекта, наличие слоев с наклонными границами и локальными поднятиями и впадинами, учесть малые, по сравнению с остальными объектами, размеры электродов. Тетраэдральное разбиение обеспечивает возможность локальных сгущений сетки в окрестностях разномасштабных объектов без значительного увеличения размерности задачи, что позволит существенно снизить вычислительные затраты и значительно ускорить процесс решения. Для определения понятия качественной триангуляции введем необходимые определения [130]. Определение 2.1.
Для некоторой точки р заданного множества точек Р, принадлежащих некоторой области О,, ячейкой Вороного будем называть множество точек из Г2, расположенных к точке р ближе, чем к любой другой точке из Р. Полученное разбиение области Q назовем диаграммой Вороного для данного множества точек Р. Определение 2.2. Триангуляция Делоне — это триангуляция, двойственная к разбиению области на ячейки Вороного, полученная соединением узлов, имеющих общую границу ячеек. Основным свойством триангуляции Делоне [13], часто принимаемым за ее определение, является следующее: в открытый шар соответствующей размерности, описанный около каждого симплекса триангуляции, не попадает ни одной из вершин симплексов триангуляции. Пример триангуляции Делоне и соответствующей диаграммы Вороного приведен на рис. 4. В случае, когда четыре точки из Р лежат на одной окружности (рис. 5) триангуляция Делоне определена неоднозначно. Соответствующие ячейки Вороного для пары точек имеют общую границу нулевой длины. Отношение радиуса вписанной в симплекс iV-мерной сферы к радиусу описанной сферы для правильного TV-симплекса равно - . На основании этого можно ввести численный критерий качества iV-мерного симплекса [22,23,37]. Определение 2.3. Под качеством iV-мерного симплекса s будем понимать величину Q полученную согласно соотношению где RB — радиус вписанной в s сферы, RQ — радиус описанной вокруг s сферы. Замечание 1. Для правильного симплекса величина Q равна 1, а для вырожденного симплекса стремится к 0. Замечание 2. В двумерном случае формула (2.10) имеет вид: где а, Ъ и с длины соответствующих сторон. Данное определение качества симплекса не единственно, альтернативные варианты, а так же связь между ними, их преимущества и недостатки приведены в [123]. Ряд критериев и соответствующих оценок приведены в [12]. Дискретная вариационная формулировка, построенная с использованием симплициалыюго разбиения Т{0), соответствующая (2.6), будет иметь вид Дискретная вариационная формулировка, соответствующая (2.8), будет иметь вид где 97ps(f2) — множество ребер симплициального разбиения границы Г .
Поскольку для поиска решения обратной задачи требуется вычисление функции чувствительности, для аппроксимации искомого решения будем использовать в качестве базиса в Н1 и HQ функции vi из пространства V2(T). полиномы второго порядка. Используя выбранный базис, из (2.11) и (2.12) получим системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), решая которые, найдем значения функции (р, являющиеся решением задач I и II соответственно. Выводы: Рассмотрены особенности задачи вычисления распределения электрического поля в области с непроводящими и слабопроводящими включениями (прямое моделирование) для двух типов источников: задание постоянной разности потенциалов и задание постоянного тока. Сформулированы критерии качества симплициальных разбиений расчетной области. Приведены скалярные вариационные постановки в форме Га-леркина, сформулированы дискретные вариационные задачи и соответствующие им системы линейных алгебраических уравнений.
Влияние характера зависимости параметра т от электрической проводимости
В качестве измеряемых значенні! возьмем величину разности потенциала в двух точках на дневной поверхности (рис. 10), контрастность проводимостей равна 10. Рассмотрим вариант логарифмической зависимости параметра m от сг в уравнении (3.7). Необходимо отметить, что вычислительная сложность рассматриваемых методов не зависит от изменения характера зависимости. Результаты работы алгоритмов для тиражированного и нерегулярного разбиения расчетной области для контраста 10 представлены на рис. 20, 21, а для контраста 2.5 — на рис. 22, 23.
По полученным результатам можно сделать вывод о том, что использование в качестве т величины In а в методах второго порядка приводит к большему количеству итераций и более медленной скорости сходимости, но для случаев меньшего, чем истинный, контраста начального приближения, дает более точные результаты, а для случаев большего контраста — приводит с расхождению итерационного процесса. Для методов первого порядка использование логарифмической зависимости позволяет сократить число итераций и получить более близкие к истинному значению результаты.
Модифицируем тест: разделим верхний слой на два слоя равной мощности (рис. 19). В качестве значений датчиков, как и раньше, возьмем измерения, над средой из двух слоев с контрастом 10 (рис. 10).
В таблицах 2 и 3 приведено количество итераций и параметры проводимости, полученные алгоритмом FR при достижении условия выхода (єт = 10_о), при различных начальных приближений для т = а и т = In сг.
Полученные результаты показывают, что при задании т — In а для сходимости процесса требуется существенно меньше итераций, и улучшается сходимость итерационной процедуры. Итоговые параметры проводимости (7ц и o"i2 компенсируют значение друг друга: при уменьшении значения одного из них растет значение второго. Контраст между величинами тц и и 2 близок к истинному значению, соответствующему контрасту параметров проводимости, для модели среды, приведенной на рис. 10.
Рассмотрим в качестве расчетной области среду, представленную на рис. 24: объект, представляющий собой параллелепипед 3 х 2 х 1.5 м., помещен в однородный слой с непроводящим основанием на глубину 1.5 м. и расположен на равном расстоянии от Л и В. Данные датчиков получены для контраста проводимостеп объекта и вмещающего слоя равного 10. Общий вид решения задачи (2.3) (задачи (2.6)) для среды, состоящей из объекта в однородном слое, в сечении xOz представлен на рис. 25, соответствующая функция чувствительности - на рис. 26, функция чувствительности Щ - на рис. 27. Местоположение точек измерений, являющихся .D-оптимальным планом, представлено на рис. 28.
Результаты работы разработанных алгоритмов для объекта 3 х 2 х 1.5 м. на тиражированном разбиении расчетной области представлены на рис. 30, 31, а для объекта 6 х 3 х 1.5 м. — на рис. 32, 33. На нерегулярном разбиении предложенные алгоритмы на рассматриваемых значениях контраста начального приближения проводимостей не сходились.
Представленные данные показывают, что для рассмотренной среды разработанные алгоритмы дают результаты, подобные результатам для среды из двух слоев, равной мощности.
Сопоставление результатов работы алгоритмов на всех рассмотренных типах областей, контрастах проводимостей и рассмотренных зависимостях т от а представлены в таблице 4. Необходимо отметить, что алгоритм PR при большом контрасте начальных приближений проводимостей и логарифмической зависимости т от а показывал более медленную сходимость. Алгоритм GN оказался менее чувствительным к малой контрастности начальных приближений параметров проводимостей и показал лучшие по точности и скорости результаты при т = а для контраста между слоями равного 2.5.
Рассмотрим эффективность работы алгоритмов минимизации функционала с регуляризирующим множителем на примере задачи идентификации эллипсоидальной неоднородности. Относительное расположение неоднородности и системы возбуждения-измерения представлено на рис. 29.
Исследуем эффективность алгоритма FR для рассматриваемой области. Поскольку над исследуемым объектом происходит серия последовательных измерений, необходимо выделить те из них, которые значительно реагируют на наличие объекта. Для придания таким измерениям большего веса можно использовать матрицу V, элементы которой имеют
Будем предполагать, что длина электрической линии АВ принята равной 9 м, а ток равен 1 А. Целевой объект представляет собой параллелепипед с размерами 3 х 2 х 1.5м. Глубина до непроводящего основания равна 3 м. В качестве критериев сравнения будем рассматривать распределение абсолютной (АЕХ) и относительной (5ЕХ) разности горизонтальной компоненты электрического поля Ех для среды с объектом и без объекта. Абсолютная разность приведена в мВ, а относительная — в процентах. В качестве исходной вмещающей среды возьмем полупространство.
Рассмотрим «вырожденный» случай, когда линия А В совпадает с проекцией средней линии объекта на дневную поверхность, а электроды находятся на одинаковом расстоянии от его центра (рис. 35). Несмотря на наибольшее значение абсолютной разности АЕХ, определить положение объекта не удается. Это объясняется тем, что в абсолютно симметричном случае происходят взаимокомпенсации сигналов от различных частей объекта.
Рассмотрим вариант расположения объекта при котором угол между средней линией объекта и питающей линией составляет 45, а расстояние от центра объекта до центра питающей линии составляет 4 м (рис. 36). На рис. Збв-Збг приведено распределение остаточных сигналов, на которых явно виден аномалеобразующин объект. По этим данным можно определить не только положение центра неоднородности, но и оценить угол между ее ребром и линией АВ.
Рассмотрим более реалистичную модель, когда углубление имеет эллиптическую форму. Будем считать, что максимальная глубина до мерзлоты достигается в центре углубления и составляет 5.5 м.
Идентификация эллипсоидальной неоднородности
Эффективность методов решения прямых и обратных задач геоэлектрики определяется тем, насколько точно выбранный метод решения позволяет учесть особенности исследуемых объектов и физических процессов, протекающих в них. В данной главе представлена классификация существующих методов геоэлектрики, рассмотрены математические модели и методы моделирования для задач геоэлектрики, рассмотрены сеточные методы, методы построения сеток различных типов, подходы к решению обратных задач.
По типам источников поля методы геоэлектроразведки могут быть разделены на два класса: высокочастотные и низкочастотные методы.
К первому типу можно отнести индукционные методы [7-9,19,29,53], в которых измеряется разность фаз ЭДС, наведенных в измерительных катушках. Интерпретация результатов измерений позволяет охарактеризовать распределение электрической проводимости в среде.
Ко второму типу относятся методы, использующие набор электродов для задания постоянного (низкочастотного) тока, и набор электродов, регистрирующих разность потенциалов в определенных участках среды, позволяющую оценить значение электрической проводимости в разных участках среды. Зондирование с использованием постоянного тока, в силу своей высокой глубинности, используется в морской геофизике [34,35] и при разведке нефтегазовых месторождений [126].
По способу размещения источников поля п измерительных устройств можно выделить наземные испытания [100,109] и скважиниые [117,125].
Для геофизических приложений характерно исследование областей с контрастно изменяющимися диэлектрической проницаемостью и электрической проводимостью. В дайной работе рассматриваются методы сопротивлений, широко распространенные при малоглубинных зондированиях [41], основанные на использовании постоянного тока. Многоэлектродные установки часто применяются для получения детализированной информации о пространственном распределении электрического сопротивления в среде [92,109]. При обработке данных измерений для реальных геофизических объектов необходимо использовать метод моделирования, позволяющий обрабатывать неровный рельеф границы слоев, произвольно расположенные и ориентированные в пространстве трехмерные объекты, имеющие границы произвольной формы.
Одним из таких конкретных приложений электроразведки на постоянном токе являются археологические объекты, а именно, древние захоронения, имеющие ряд особенностей: надкурганная насыпь, состоящая из камней, кровля мерзлоты сложного рельефа с возможными локальными поднятиями и впадинами, низкопроводящая вмещающая среда, сла-бопроводящий объект, приповерхностный более проводящий слой. Необходимо определить наличие слабопроводящего объекта, расположенного под курганом. Первая особенность сужает область возможного размещения электродов до некоторой окрестности насыпи, что приводит к ограниченной глубинности зондирования [21]. Вторая особенность усложняет выявление слабопроводящего объекта на фоне возможных естественных изменений рельефа кровли мерзлоты и приводит к необходимости решения задачи в сложной трехмерной области.
Присутствие слабопроводящего по отношению к вмещающей среде объекта, наличие углублений в кровле мерзлоты и возможность залегания объекта на границе между проводящим и непроводящим слоем ограничивает множество используемых подходов к решению задачи ме тодами, позволяющими исследовать среды, имеющие подобласти произвольной формы, с низкой проводимостью.
При построении сеточного решения в геометрически сложной области требуется применять нерегулярное разбиение [36]. В трехмерных областях со специфической формой объектов могут быть использованы различные типы разбиений, а именно, пирамидальные [90], шестигранные [129], и наиболее универсальные тетраэдральные [59].
Идентификация слабопроводящего объекта может быть приведена к задаче определения электрической проводимости конкретной области под курганом (коэффициентная обратная задача), или к восстановлению рельефа границы с мерзлотой и выделение объекта как участка границы наиболее характерной формы.
Оба подхода приводят к необходимости вычисления электрического потенциала в среде с заданным расположением источников поля и распределением электрической проводимости в среде — прямой задачи. Наиболее критичным фактором при выборе алгоритма решения прямой задачи является скорость получения решения. Быстрый алгоритм решения прямой задачи позволяет получить эффективную процедуру решения обратной задачи — интерпретация данных геофизических исследований.
Прямое моделирование играет важную роль при разработке и верификации различных приборов, интерпретации данных, полученных в ходе физических экспериментов. Например, в георазведке прямое моделирование позволяет определить изменение сигнала, вызванное наличием объектов с заданными геометрией и физическими свойствами при регистрации измерений, модификации свойств объектов и их смещении по отношению к электродам-источникам поля. В результате решения прямых задач можно сформулировать требования к точности измерений, диапазону измеряемых величин.
Прямое моделирование на синтетических задачах позволяет существенно сократить количество проводимых натурных экспериментов [83], ускорить и удешевить процесс проектирования приборов.
Основные теоретические результаты решения задачи распространения электромагнитного поля в однородной и слоистой среде принадлежат А.Н. Тихонову [47,48,52]. Но применение данных методов к решению задач со сложной геометрией расчетной области, а именно: расположение и тип источников поля, отсутствие симметрии, наличие подобластей с границами произвольной формы, существенно затруднено. При решении уравнений, описывающих распределение электрического поля в неоднородной среде с включениями, имеющими различные электрические свойства, широко используются сеточные методы: конечные разности [38,113,145,153], конечные объемы [18, 75, 76, 98] и конечные элементы [109,156,159].
Основной идеей метода конечных разностей является замена исходного дифференциального оператора разностным, искомых непрерывных функций, начальных и краевых условий — дискретными, определенными на конечном множестве узлов сетки [74,140,152,155].
