Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Концепция детерминированного хаоса и обратная задача теории колебаний в применении к геофизическим и гелиофизическим экспериментальным временным рядам.
1.1 История проблемы. 19
1.1.1. Развитие математических представлений от Пуанкаре и Ляпунова до Такенса и Хаусдорфа 19
1.1.2. Развитие физических представлений и простейших моделей. Атмосферной циркуляции (Лоренц). Конвекции в жидкости (Релей, Бенар). Земного магнитного динамо (Рикитаке). Солнечной активности (Гудзенко, Рузмайкин) .Прямая и обратная задача динамики 22
1.2 Экспериментальные данные. 25
1.2.1 Солнечная активность: числа Вольфа.., 26
1.2.2 Площадь солнечных пятен 26
1.2.3 Числа Вольфа, реконструированные по ряду Шоува (наблюдения полярных сияний с 11 века) 27
1.2.4 Ряды характеристик движения Солнца относительно центра масс Солнечной системы 28
1.2.5 Ряды индексов геомагнитной активности: АА, Кр, 29
1.2.6 Геомагнитные пульсации 30
ГЛАВА П. Фрактальность и хаос в модельных и природных временных рядах: особенности интерпретации .
2.1. Процедуры восстановления псевдофазового пространства из экспериментальных данных:
2.1.1 Вложение Такенса и дифференциальное вложение. Взаимосвязанность и свойства этих пространств 32
2.1.2 Определение характеристического времени — оптимального временного сдвига для исследуемых процессов 34
2.2. Определение фрактальных размерностей. Влияние шума на фрактальную размерность модельных процессов. Вычисление фрактальных размерностей исследуемых временных рядов.
2.2.1. Понятие и примеры фрактальных структур 38
2.2.2. Обобщенное определение фрактальной размерности 40
2.2.3. Анализ корреляционного интеграла чисел Вольфа 43
2.2.4. Сравнение корреляционных интегралов числа Вольфа и ряда, восстановленного по данным о наблюдениях полярных сияний .45
2.2.5. Анализ корреляционного интеграла Аа - индекса геомагнитной активности 47
Выводы 49
2.3. Отображение и последовательность Пуанкаре и их интерпретация для исследуемых процессов.
2.3.1. Отображение Пуанкаре для наблюденных и реконструированных чисел Вольфа 50
2.3.2. Определение неподвижных точек отобраэ/сения по экспериментальным данным 51
2.3.3. Последовательность Пуанкаре для реконструированного ряда чисел Вольфа и формулировка правила вековых тенденций 54
2.3.4. Сравнение рядов на основе анализа последовательности
Пуанкаре. Последовательность Пуанкаре для чисел Вольфа, Аа индекса, скорости изменения углового момента Солнца 55
Выводы 56
2.4. Максимальный показатель Ляпунова. Локальный и глобальный показатель Ляпунова по экспериментальным данным.
2.4.1 Определения, постановка задачи, и основные свойства 60
2.4.2 Алгоритмы вычисления показателей Ляпунова по экспериментальным данным 63
2.4.3 Локальный максимальный показатель Ляпунова.. 68
2.4.4 Выявление аномалий в экспериментальных данных 73
2.4.5. Физический смысл полученных особенностей 79
2.4.6 Возможность предсказания «фазовых катастроф» для чисел Вольфа 82
Выводы 82
2.5. Время детерминированного поведения и горизонт предсказуемости солнечной активности.
2.5.1. Постановка задачи и терминология 83
2.5.2.Расчет локальной предсказуемости чисел Вольфа 88
Выводы 91
ГЛАВА III. Реконструкция уравнений динамики для исследуемых геофизических временных рядов .
3.1. Модельные уравнения и методы аппроксимации, полиномиальная аппроксимация.
3.1.1. Постановка задачи 92
3.1.2. Требования, предъявляемые временному ряду, при которых возможна корректная реконструкция. Длина ряда. Уровень шума. «Наблюдаемость» данной переменной - проблема индекс и физическая величина для исследуемых процессов...93
3.2 Построение модельного оператора.
3.2.1. Моделирование из физических аналогий, редукция уравнений прямой задачи по существующей модели, аппроксимация экспериментальных данных модельным оператором заданного вида 96
3.2.2 Полиномиальная аппроксимация, спектр коэффициентов, устойчивость процедуры восстановления к уровню шумов. Алгоритм и его апробация на тестовых системах 98
3.3 Построение и анализ решений уравнений динамики для исследуемых процессов.
3.3.1 Тестирование алгоритма реконструкции уравнений на данных записи геомагнитных пульсаций 108
3.3.2 Реконструкция глобальных векторных полей для индексов Аа и W 114
Выводы 117
3.4 Прогноз и эпигноз чисел Вольфа по построенным модельным системам уравнений.
3.4.1. Задача сверхдолгосрочного прогноза солнечной активности 117
3.4.2 Числа Вольфа и 11-летний цикл солнечной активности (расчет) 120
3.4.3 Числа Вольфа, ряд Шоува и вековой цикл солнечной активности (расчет) 121
Выводы 127
Заключение 128
Литература
- Развитие физических представлений и простейших моделей. Атмосферной циркуляции (Лоренц). Конвекции в жидкости (Релей, Бенар). Земного магнитного динамо (Рикитаке). Солнечной активности (Гудзенко, Рузмайкин) .Прямая и обратная задача динамики
- Числа Вольфа, реконструированные по ряду Шоува (наблюдения полярных сияний с 11 века)
- Возможность предсказания «фазовых катастроф» для чисел Вольфа
- Тестирование алгоритма реконструкции уравнений на данных записи геомагнитных пульсаций
Развитие физических представлений и простейших моделей. Атмосферной циркуляции (Лоренц). Конвекции в жидкости (Релей, Бенар). Земного магнитного динамо (Рикитаке). Солнечной активности (Гудзенко, Рузмайкин) .Прямая и обратная задача динамики
Относительные числа солнечных пятен, или числа Вольфа являются самым продолжительным во времени из всех ныне использующихся индексов солнечной активности. Они определяются по формуле W=k(10G+F). (1.1)
Здесь G - число групп пятен на видимом диске Солнца, F - число пятен (включая все ядра и поры) во всех группах. Коэффициент к выводится из сравнения различных рядов наблюдений. Он определяется условиями видимости, используемым инструментом и методом наблюдений (визуальным или фотографическим), а также индивидуальными особенностями наблюдателя (его утомляемостью, выбором способа объединения пятен и пор в группы и подсчета ядер (Витинский,1973, 1986, Брей, 1967). Видно, что числа Вольфа являются довольно субъективным индексом активности. Кроме того, само определение индекса построено таким образом, что он весьма чувствителен к мелким флуктуациям на Солнце, особенно в минимуме активности. Обычно приводят такой пример: пусть на диске одно большое пятно - W=k, если рядом появилось сколь угодно маленькое второе пятно (возможно, незамеченное наблюдателем ) - это группа, W=kl2, т.е. на порядок больше. Тем не менее это самый продолжительный квазипериодический (продолжительность цикла варьируется от 7 до 17 лет) ряд индексов солнечной активности: среднемесячные данные восстановлены с 1749 года, среднегодовые - с 1700 года.
Индекс суммарной площади пятен на видимом солнечном диске является более объективным. Этот индекс был введен в Гринвиче с 1874 г. и определяется там регулярно. Суммарная площадь солнечных пятен определяется как сумма площадей всех групп пятен, видимых на солнечном диске, исправленных за перспективное сокращение по формуле S=SSisecQ.i. (1.2) Где S=r/R, здесь R- радиус видимого солнечного диска, г-расстояние от его центра до рассматриваемого пятна. Между суммарной площадью пятен и числами Вольфа существует определенная статистическая связь, но она не очень тесная (Витинский, 1973).
Индексы пятен отражают поведение активных областей на Солнце и тесно связаны с динамикой фотосферных (и, видимо, подфотосферных магнитных полей). Различные индексы активности по разному характеризуют различные виды солнечного излучения, от корпускулярного до длинноволнового; при этом индексы пятен, видимо, наиболее информативны для анализа природы солнечной активности и применимости тех или иных теорий динамо. И действительно, вопрос о том, как именно происходит переполюсовка в минимуме 11 -летнего цикла активности, и сосуществуют поля циклов разных полярностей, остается до сих пор открытым, так как ни схема Бебкока - Лейтона, ни развитый аппарат турбулентности средних полей на него не отвечают.
Ряд солнечной активности по Шоуву. Вековой (80-90 лет) цикл активности, имеет, по-видимому, собственную природу. Выяснение его физического механизма, возможно, решит вопрос о происхождении затравочного поля в теории динамо, так как магнитная асимметрия полушарий Солнца (индекс асимметрии площади пятен), согласно Вальдмайеру, испытывает колебания в вековом цикле (Витинский, 1973). Существование векового цикла (в отличие от более длиннопериодных, скажем 600 - летнего) не вызывает сомнений), но его детальный анализ упирается, фактически, в сравнительно короткий ряд достоверных данных, так как ретродукции по косвенным данным, естественно, не точны. Наиболее достоверными (сравнительно с анализом толщины древесных колец (Currie, 1993 , Murphy, Veblen, 1992), данным анализа радиоизотопов (Эдди 1978) скоростям накопления осадков (Anderson, 1992) и т.д.) являются данные Шоува о максимумах активности, полученные по данным о наблюдениях полярных сияний и ранним записям визуальных наблюдений (обзор Витинского, 1973). Существует также попытка восстановить полный ряд среднегодовых значений по этим данным (Наговицин, 1997). Этот ряд был любезно предоставлен нам автором, и мы будем анализировать его в данной работе в числе прочих.
Наиболее полное рассмотрение экспериментального материала по вопросу о влиянии планет на солнечную активность, и ее предсказания исходя из движения планет, видимо, заключается в вычислении характеристик траектории движения Солнца относительно центра масс солнечной системы (Jose, 1965). Мы будем рассматривать традиционные ряды dL/dt - скорости изменения величины углового момента Солнца относительно центра масс, и dP/dt - скорости изменения углового момента Солнца относительно мгновенного центра кривизны солнечной траектории. Оба ряда вычислены по данным о положении пяти планет, и были нам любезно предоставлены авторами работы (Пудовкин и др., 1999). 1.2.5. Ряды индексов геомагнитной активности: АА, Кр. Для количественного описания состояния геомагнитной активности (см. напр. Авакян, 1994) применяется несколько способов. Наиболее распространенным из них является использование так называемого К - индекса, определяемого как наибольшее отклонение магнитного поля от нормального уровня по всем мировым геомагнитным станциям 8 раз в сутки за трехчасовые интервалы. При этом если в средних широтах наиболее сильным геомагнитным возмущениям соответствуют амплитуды 500 гамм и более, то в полярных зонах этому значению индекса соответствуют 2000 гамм и более. На основе осреднения 3-х часовых К - индексов по 12 среднеширотным станциям, определяются планетарные 3-х часовые Кр - индексы, имеющие 28-балльную шкалу. Величина LKp представляет собой сумму восьми трехчасовых индексов за сутки по времени UT. Хотя Кр-индекс широко используется, его физический смысл до конца не ясен. Майо (Mayaud, 1972) предложил антиподальный индекс аа, определяемый как среднее из трехчасовых К-индексов, преобразованных в амплитуду поля для двух антиподальных обсерваторий. Обсерватории Гринвич и Мельбурн являются примерно антиподальными и располагают данными с 1867 г, что сразу делает этот индекс старейшим из всех геомагнитных индексов. Суточный Аа получается осреднением восьми индексов аа. Индекс Аа подобен Ар - индексу. В наших исследованиях длиннопериодных вариаций мы будем опираться на ряд Аа -индекса как на наиболее длинный. Этот индекс, как и все геомагнитные индексы характеризует возмущение земной магнитосферы под воздействием солнечного ветра.
Числа Вольфа, реконструированные по ряду Шоува (наблюдения полярных сияний с 11 века)
Пуанкаре называют обычно сечение D - мерного пространства, в которое вложен фазовый портрет, многообразием размерности D-1. Анализ объекта меньшей размерности за счет его простоты и наглядности часто оказывается более информативным, чем прямой анализ фазового портрета, и является одним из традиционных методов нелинейной динамики. В случае анализа трехмерного фазового портрета, который проводится в данной работе, сечение Пуанкаре представляет собой плоскость, например z=0, на которой отображаются точки фазовой траектории, пересекающие эту плоскость через псевдопериод. При рассмотрении плоскости у=0, где у- первая производная по времени, получаем последовательность максимумов Xn+i(Xn) (здесь п - номер максимума). Принцип выбора точек для последовательности максимумов, использованный в настоящей работе, показан на (рис. 2.2. В.Г.). Траектория (линия) в дифференциальном вложении интерполируется сплайнами (пунктир) для более точного определения максимума. Максимумы (звёздочки) находятся из условия равенства нулю первой производной по времени. Такую последовательность (рис.2.7), наряду с последовательностью точек, выбранных через фиксированный промежуток времени называют последовательностью Пуанкаре. Эта последовательность может быть представлена в аналитическом виде, допускающем хаотическое поведение подобно известному логистическому отображению или отображению Хеннона. Найти явный вид такого отображения (если оно существует для природного ряда) не менее важно для предсказания ряда, чем построить дифференциальное уравнение, описывающее полную траекторию. Если существуют точки, такие что ХП+І=ХП, то они называются неподвижными точками такого отображения. Сечение Пуанкаре может производиться любой плоскостью, желательно ортогональной пучку траекторий. При рассмотрении «звёздочек» (рис. 2.2. В.Г.) получившихся при сечении трехмерной траектории плоскостью dW/dt=0 в координатах (d2W/dt2,W) получим сечение Пуанкаре плоскостью dW/dt=0. В настоящей работе мы построили сечение Пуанкаре плоскостью d W/dt =0, соответственно, оно видно в координатах (W,dW/dt) (рис.2.6).
J Отображение Пуанкаре для наблюденных и реконструированных чисел Вольфа. На рис.2.4 представлено сечение Пуанкаре для чисел Вольфа. Сечение трехмерной траектории в дифференциальном вложении производится плоскостью W"=0 (здесь W" - вторая производная по времени). Рассматривались фазовые портреты для среднегодовых чисел Вольфа, где производные брались по центральной разностной схеме. Для более точного определения точек пересечения траектории с плоскостью производилась интерполяция траектории сплайнами как показано на рис.2.2. На плоскости отчетливо выражена параболическая структура, которая показывает, что между величиной числа Вольфа в области точки перегиба ветви роста и скоростью его изменения в этой точке существует нелинейная связь. Наиболее четко параболическая структура отображения Пуанкаре видна в сечении, построенном по «удлиненному» ряду чисел Вольфа 1100-1999гг (рис. 2.6Б). При этом на (рис.2.6. А) качественно видна аналогичная структура как для реальных (наблюденных) индексов Вольфа, так и для искусственно восстановленного отрезка ряда (рис.2.6. В), несмотря на значительно меньшее количество точек сечения. В Аа - индексе (рис. 2.6. В) такой структуры выделить невозможно, по-видимому, из-за малой длины ряда (количества наблюденных циклов). В ряде dL/dt имеется своя структура отображения (рис. 2.6 Д). Сечение плоскостью, на которой вторая производная равна нулю, определяет точку максимальной крутизны ветви роста. При этом структурированность отображения к приблизительно параболическому виду позволяет надеяться на возможность аппроксимации этой последовательности сравнительно простым алгебраическим оператором типа отображения Хеннона.(рис.2.6.Е). 2.3.2 Определение неподвижных точек отображения по экспериментальным данным. Для чисел Вольфа неподвижные точки выявлял Кремлевский с соавторами (Кремлевский, 1994). Необходимо заметить, что определение неподвижных точек отображения Пуанкаре для такого ряда как индекс пятнообразования сталкивается с очевидными трудностями интерпретации. Проведя диагональ на плоскости Xn+i(Xn), получаем сразу несколько точек, весьма близких к неподвижным (в пределах ошибки экспериментального ряда), при этом механизмы сходимости решения к неподвижной точке и выхода из нее остаются неизвестными. Авторы работы (Кремлевский, 1994) сводили последовательность Пуанкаре для чисел Вольфа к одному или трем логистическим отображениям. Из рис.2.7. видно, однако, что присутствует выраженная симметрия относительно диагонали, и, упорядоченность для неисправленных чисел Вольфа нетривиальна. Гораздо более очевидна структурированность отображения Пуанкаре в дифференциальном вложении (рис.2.6). Неподвижные точки последовательности, видимо, располагаются вдоль всей диагонали, что говорит об относительной устойчивости последовательности близких по амплитуде циклов. В отличие от Кремлевского и Блинова, результаты, полученные нами при анализе последовательности максимумов относятся к природному, неисправленному ряду чисел Вольфа.
Возможность предсказания «фазовых катастроф» для чисел Вольфа
Физический смысл полученных особенностей. При рассмотрении контурных графиков мы выделили протяженный максимум в поверхности Ляпунова, построенной над фазовой плоскостью. Математически это означает, что в этой области фазового пространства происходит основная потеря памяти динамической системы и развивается неустойчивость, приводящая к значительной неопределенности в дальнейшем поведении системы. Физически в этот момент происходит перекрывание старого и нового циклов. Как видно из рис.2.15, неустойчивость начинает развиваться задолго до окончания старого цикла. Удивительно то, что эта нетривиальная информация, отображаемая в двумерном ряде «бабочек Маундера», содержится и в одномерном индексе Вольфа, при этом продолжительность аномалии, видная в индексе Вольфа, оказывается длиннее, чем в «бабочках Маундера». Кроме того, она смещена таким образом, что ее начало приходится приблизительно на третий год до минимума. При получении ряда площадей пятен (прямом суммировании «бабочек») эта информация пропадает (рис. 2.16). Возникают две возможности интерпретации этого факта. Первая - это может быть артефакт, получившийся в результате того, что определение индекса было введено Вольфом математически некорректно.
Вторая - флуктуации в числе групп пятен, увеличение скорости их образования к концу цикла несут физическую информацию о зарождении нового цикла.
Сама по себе математическая некорректность не могла бы привести к такой асимметричной особенности - во всяком случае, должна была бы быть симметрия относительно точки минимума. Видимо, выявленная особенность является не менее физичной, чем взрывной характер ветви роста и релаксационный - ветви спада активности. В то же время наблюдения движения пятен в околополярных областях, по которым определяется время диффузии поля в моделях типа Лейтона (Leighton,1969), показывает, что фактически поле противоположного знака начинает генерироваться задолго до конца текущего цикла.
По времени (3 года до конца цикла) выделенная нами область неустойчивости коррелирует с особенностями движения в цикле активности «корональных лучей», которые выделил Трелли (Витинский, 1973) как места максимальной интенсивности свечения зеленой корональнои линии. Особенности солнечной активности, выраженной в изменении интенсивности зеленой корональнои линии, изучал также Гневышев (Gnevyshev, 1967). Суть явления заключается в том, что в то время, как основная (низкоширотная) область свечения движется аналогично зонам пятнообразования, свечение, появившееся в приполярных областях, имеет тенденцию смещаться также к экватору, т.е. в направлении, противоположном направлению движения пятен. Физика явления осталась не ясной до сих пор, но можно предположить, что это движение связано с движением зарождающегося подфотосферного поля следующего цикла. По этому же времени относительно фазы цикла Оль (ОЫД979) определял рекуррентные потоки М-областей и индекс рекуррентности, по которому предсказывал максимум следующего цикла.
Оценки по времени показывают, что для достижения критической величины магнитного поля Вс 250 Гс_ необходимой для всплывания силовой трубки и образования первых пятен последующего цикла (около 1.5 года до минимума по «бабочкам Маундера») согласно расчетам Бэбкока (Babcock, 1961) должно пройти около 3-х лет. Таким образом, существует достаточно продолжительный период времени, в который поля предыдущего и последующего циклов активности сосуществуют в подфотосферных слоях Солнца. Эти глобальные магнитные поля (уровни генерации), хотя и разделенные по широте, и, видимо, по глубине, в силу своей масштабности необходимо взаимодействуют друг с другом. Формальный учет этого взаимодействия весьма сложен, и общепринятая схема динамо неявно предполагает уровни генерации независимыми. Наблюдаемая аномалия в числах Вольфа означает, по-видимому, что уровни генерации взаимодействуют - во всяком случае, на протяжении указанных 3-4 лет до конца цикла.
Действительно, рассмотрим две протяженные магнитные силовые трубки в процессе генерации поля. Одна из них, «сильная», уже не может стабильно удерживаться в подфотосферных слоях, из-за величины поля, близкой к величине Вс -величина магнитной плавучести здесь близка к критической, и в ходе генерации трубка кусочно всплывает, выбрасывая активную область. Вторая трубка «слабая» - еще прочно удерживается в подфотосферных слоях. Существует, очевидно, период времени, когда поле в ней еще слишком слабо, чтобы выбросить собственную активную область, но уже достаточно велико, чтобы воздействовать на поле всплывающей трубки противоположного знака. Для всплывающей трубки это выразится в появлении дополнительной силы, удерживающей её под фотосферой, и, соответственно, в увеличении величины Вс. Результирующий эффект аналогичен эффекту, который может возникнуть при подкручивании водопроводного крана. Авторы работы (Martien, 1985) наблюдали его при помощи лазерной установки, но каждый качественно мог наблюдать его у себя дома. Равномерная капель превращается в хаотическую последовательность импульсных испусканий групп капель. Аналогично этому активные области на Солнце начинают испускаться сериями, и массовая доля участия групп пятен в индексе Вольфа сильно возрастает.
Тестирование алгоритма реконструкции уравнений на данных записи геомагнитных пульсаций
Задача сверхдолгосрочного прогноза Солнечной активности будоражит умы исследователей уже на протяжении почти двух веков. Наличие закономерности (периодичности) порядка одиннадцати лет не вызывало никаких сомнений уже во времена Вольфа. Однако обеспечить устойчивое количественное предсказание следующего цикла фактически не удается сделать до сих пор. Это наглядно иллюстрирует рис.(2.17) в Гл. II, согласно которому в минимуме активности происходит значительная потеря информации о предыдущем цикле. Еще более наглядно степень непредсказуемости цикла показана на рис.3.6а. Здесь по осям отложены амплитуды предыдущего и последующего максимумов. Этот график показывает, что в случае, если мы предположим (для 9-22 циклов), что последующий максимум будет точно таким же как предыдущий, то получим коэффициент корреляции 0.3, - это уровень практически полного незнания, от которого можно отталкиваться при проверке предсказательных способностей различных моделей этого ряда. До недавнего времени поиск велся в трех основных направлениях.
Предвычисления активности исходя из корреляции с различными параметрами положения планет. Линейные регрессионные модели и корреляционные связи в цикле. Модели, основанные на анализе гармоник Фурье. Поскольку физическая динамо-модель не разработана до уровня прогностической до сих пор, единственное направление, основанное на физической гипотезе, это первое.
Вопрос о возможном влиянии планет на изменения солнечной активности обсуждается в научной литературе очень давно, и сейчас еще появляются новые исследования, анализирующие существующие корреляционные связи, и различные гипотезы, их интерпретирующие. Уже начиная с 40-х годов XIX века, когда Швабе обнаружил приблизительно 11-летнюю цикличность в пятнообразовательной деятельности Солнца, многие исследователи, среди которых такие известные, как Кэррингтон (1863), Шпёрер (1867), Вольф (1877), обращали внимание на близость среднего периода солнечного цикла (11,1 года) к периоду обращения Юпитера вокруг Солнца (11,9 лет) и соответствие между измерениями расстояния от Юпитера до Солнца и изменениями относительного числа солнечных пятен.
В начале 20-го века Браун (Brown, 1900) предложил приливную гипотезу о происхождении цикличности солнечной активности, согласно которой квазипериодические изменения в уровне активности являются следствием вихревых движений, порождаемых в атмосфере Солнца планетными приливными силами. Однако, как показывает расчет, отношение величины суммарной приливной силы к силе солнечного притяжения крайне мало - порядка 10" (Андерсон, 1954), поэтому мала и высота прилива на Солнце. По расчетам Трелли (Trellis, 1966) она имеет порядок 1 мм. Предлагалось множество вариантов гипотез о реализации «триггерного» механизма планетного влияния: нелинейные приливные волны, приливный резонанс, электрическое воздействие со стороны планетных магнитосфер и другие. Наиболее полное рассмотрение экспериментального материала, видимо, заключается в вычислении характеристик траектории движения Солнца относительно центра масс солнечной системы (Jose, 1965). При детальном рассмотрении рядов наряду с периодами положительной корреляции, обнаруживаются сбои корреляции, и периоды довольно высокой корреляции (рис.2.9). Хороший коэффициент корреляции можно получить, если допустить нарушение закона Хейла в нескольких циклах. Однако оснований к такому допущению пока нет, т.к. по наблюдениям магнитных полей Солнца, ведущимся с 1908 г., закон смены полярности не нарушался ни разу (Пудовкин, 1977). Некоторые авторы (Пудовкин, 1999) предполагают, что наличие хорошей корреляции в отдельные отрезки времени и близость средних периодов носят рудиментарный характер, оставшийся от времени формирования Солнечной системы. Некоторые исследователи предлагают методики сверхдолгосрочных прогнозов солнечной активности, основываясь на данных о положениях планет, в частности, квадратурах. Так Романчук (Романчук, Редюк, 1974) предложил прогнозы вплоть до 26 цикла, которые, конечно, не могли оправдаться.
Из проведенного нами исследования отображений Пуанкаре рядов dL/dt и W (рис.2.8) совершенно четко видно, что случайность в этих рядах имеет различную природу и закономерности отображения максимума в максим для обоих рядов совершенно различны, так что точный прогноз на базе приливной гипотезы, видимо, невозможен. Методики, основанные на анализе периодичностей, внутренних корреляционных связей в циклах, и линейных регрессионных моделях (Sneyers, 1986) находятся примерно на том же отдалении от физической природы процесса, как и появившиеся в последнее время нелинейные модели и модели, использующие пространства вложения (Jinno, 1995), но уступают им в гибкости и точности. Методика, используемая нами для моделирования, отличается еще и тем достоинством, что используемое пространство дифференциального вложения даже в случае 3-х независимых переменных, можно рассматривать как обобщенное фазовое пространство моделируемой динамической системы, в том случае, когда одна из переменных вырождена (является циклической). Систематическая проверка качества прогноза, аналогичная производимой нами, была сделана в работе (Jinno, 1995) для сильно сглаженных среднемесячных чисел Вольфа. При этом предсказание уже на 1 год вперед часто давало ошибку более чем на 100%. 3.4.2 Числа Вольфа и Л-летний цикл Солнечной активности (расчет).
С целью проверки возможности использования модели для сверхдолгосрочного прогноза чисел Вольфа. Мы сделали попытку, восстанавливая каждый раз фазовое пространство по укороченному отрезку ряда, прогнозировать вперед 2-3 цикла и сравнить прогноз с реальными значениями. Начальная точка для прогноза (точка обрезания ряда) выбиралась на ветвях роста одиннадцатилетних циклов, - там, где показатель Ляпунова становится относительно небольшим (см. Гл.П, рис.2.12). Рисунки амплитудных прогнозов представлены на рис. 3.7. и рис.3.8. Вверху каждого рисунка указывается временной интервал (в годах) отрезка ряда, выбранного для моделирования. На верхнем подграфике показано амплитудное сравнение спрогнозированного (пунктир) и реально наблюдавшегося (линия) отрезка ряда. На нижнем - разница между этими рядами, сверху подписано среднеквадратичное отклонение и коэффициент корреляции.
