Введение к работе
Актуальность работы. Впервые явление хаоса стало рассматриваться в задачах гидрометеорологии. Впоследствии хаос обнаружен в задачах физики, химии, биологии, социологии, медицины, клиодинамики и других научных дисциплин. В большинстве работ, посвященных исследованию хаотических колебаний, математическая модель основана на обыкновенных дифференциальных уравнениях или системе уравнений. Чаще всего рассматриваются системы с одной степенью свободы. Вместе с тем многие механические системы, в частности системы из пластин и балок, имеют распределенные структуры с возможностью контактов, соответствующие множеству степеней свободы. В результате мы приходим к математическим моделям, описываемым существенно нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных.
Решению задач нелинейной динамики пластин и оболочек посвящены работы U. Nackenhorst, J. Awrejcewicz, S. Smale, A. F. Vakakis, В.В. Болотина, А.С. Вольмира, Э.И. Григолюка, Б.Я. Кантора, В.Ф. Кириченко, Ю.Г. Коноплева, А.Н. Куцемако, В.А. Крысько, А.В. Крысько, И.Ф. Образцова, Н.М. Якупова, В.Л. Агамирова, В.Г. Баженова, Т.В. Вахлаевой, П.С. Ланда, И.В. Папковой и других авторов. В работах В.С. Анищенко, В.В. Астахова, И.И. Блехмана уделено внимание вопросу синхронизации. Исследованием сложных колебаний балок с применением вейвлет-анализа занимались О.А. Салтыкова, М.В. Жигалов, В.В. Солдатов. Однако в них вопрос о контактном взаимодействии в многослойных конструкциях, состоящих из пластины и балок, не рассматривался.
Возникает необходимость изучения малоисследованного в случае контактных механических распределенных структур явления фазовой хаотической синхронизации колебаний. Исследование этого явления позволяет найти способы управления колебаниями и устранить нежелательные последствия для реальных конструкций, работающих в сложных динамических режимах.
Таким образом, актуальной является задача построения и исследования детерминированных математических моделей сложных колебаний балочно-пластинчато-оболочечных распределенных структур с учетом контактного взаимодействия как систем со многими степенями свободы. Анализ изучения их фазовой хаотической синхронизации и пространственно-временного хаоса.
Цель и задачи работы. Целью диссертационной работы является построение математических моделей пространственно-временного хаоса распределенных структур в виде одно- и многослойных балок, пластинок, балочно-пластинчатых конструкций, гибких прямоугольных оболочек, а также создание для их исследования эффективных математических методов, алгоритмов и программных комплексов.
Для достижения этой цели были решены следующие задачи:
разработка математических моделей и создание численного метода изучения пространственно-временного хаоса балочно-пластинчато-оболочечных структур и явления фазовой хаотической синхронизации;
разработка комплексов программ для исследования пространственно-временного хаоса конкретных распределенных механических систем в виде конструктивно нелинейных балок, пластинок и их сочетаний при произвольных режимах динамического нагружения.
Методы исследования. В диссертационной работе использованы методы нелинейной динамики, вычислительной математики, вейвлет-анализ.
Достоверность и обоснованность полученных результатов обеспечиваются корректной физической и математической постановкой задачи, а также сравнением результатов, полученных разными методами: методом конечных разностей, методом конечных элементов, методом Бубнова-Галеркина и методом Рунге-Кутты, в совокупности с применением методов качественной теории дифференциальных уравнений и нелинейной динамики.
Научная новизна работы заключается в следующих новых результатах:
-
Разработан комплексный численно-аналитический метод моделирования для решения контактных задач, основанный на последовательном применении метода Бубнова-Галеркина в высших приближениях и метода Рунге-Кутты, отличающийся от известных возможностью учета геометрической, физической, конструктивной нелинейности и любого количества слоев в системе.
-
На основе развитых методов разработаны рабочие алгоритмы и программные комплексы для расчета сложных колебаний конструктивно нелинейных балок и пластинок, а также различных сочетаний этих элементов. Установлена достаточная сходимость разработанных методов (метода конечных разностей и метода Бубнова-Галеркина) в зависимости от исследуемых параметров для многослойного пакета пластин.
-
Для консольных балок Бернулли-Эйлера с учетом геометрической и физической нелинейности выявлено критическое значение коэффициента диссипации среды с помощью вейвлет-анализа. Показано, что тип нелинейности существенно влияет на сценарий перехода от гармонических колебаний к хаотическим.
-
Впервые проведено изучение фазовой хаотической синхронизации для многослойных механических систем, состоящих из пластинки и одной или двух балок, при помощи вейвлет-анализа, а также исследование управления их колебаниями. Получены сценарии перехода колебаний указанных систем от гармонических к хаотическим в зависимости от параметров и типа внешнего воздействия, величины зазора, параметра диссипации среды.
Практическая ценность и реализация результатов. Предложенная математическая модель позволяет решать широкий класс задач нелинейной динамики для контактного взаимодействия балочно-пластинчато-оболочечных структур. Разработанный алгоритм позволяет исследовать колебания конструктивно нелинейных механических систем в зависимости от управляющих параметров и изучать их фазовую синхронизацию.
Результаты диссертации использовались при выполнении грантов: Президента РФ для государственной поддержки молодых российских ученых МК-3877.2009.8, «Математическое моделирование в развитии цивилизаций» по госконтракту П-321 Министерства образования и науки РФ 2009 год, ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы, проект 2012-1.4-12-000-1004-006, а также в учебном процессе при выполнении лабораторных работ студентами специальности «Прикладная математика и информатика». Получены 4 свидетельства о государственной регистрации программы для ЭВМ.
Основные результаты и положения, выносимые на защиту:
-
Предложенный метод математического моделирования и построенные конкретные математические модели обеспечивают анализ гармонических и хаотических колебательных режимов для балочно-пластинчато-оболочечных структур с учетом их контактного взаимодействия.
-
Разработаны алгоритмы и программное обеспечение для исследования пространственно-временного хаоса распределенных механических систем в виде балочно-пластинчато-оболочечных структур с учетом геометрической, физической и конструктивной нелинейности.
-
Получены новые явления фазовой хаотической синхронизации колебаний в многослойных системах, состоящих из балок и пластинок. На базе вейвлет-анализа найдены диапазоны частот, на которых происходит фазовая синхронизация.
-
Найден новый сценарий перехода от гармонических колебаний к хаотическим для гипара под знакопеременным распределенным внешним нагружением, согласно которому после серии зависимых частот и бифуркаций Хопфа система переходит в хаос с удвоением периода. Учет физической нелинейности существенно влияет на сценарий перехода колебаний балок от гармонических к хаотическим.
Апробация работы.
Основные положения и результаты диссертации представлялись на: XVII, XVIII и XIX Международных научных конференциях студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» (Москва, МГУ, 2010, 2011, 2012) (грамота за лучший доклад); XI Международной конференции «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (Москва, Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, 2010); 82nd Annual Meeting of the International Association of Applied Mathematics and Mechanics at Graz University of Technology (Австрия, 2011); 11th CONFERENCE on «Dynamical Systems-Theory and Applications» (d, POLAND, 2011); XV Международной конференции «Моделирование и исследование устойчивости динамических систем» (Киев, Украина, 2011); X Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Нижний Новгород, 2011); Международной выставке молодежных работ в области информационно-коммуникационных технологий, научно-исследовательских и инвестиционных проектов (Саратов, 2012) (диплом 2 степени); Международных научно-практических конференциях «Инженерные системы – 2010, 2011» (Москва, РУДН, 2010, 2011); VII и VIII Всероссийских научных конференциях с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2010, 2011); IX Всероссийской научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых с международным участием «Молодежь и современные информационные технологии» (Томск, ТПУ, 2011); Молодежном научно-инновационном конкурсе «У.М.Н.И.К.» (Саратов, 2011); VIII международной конференции «Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте» (Санкт-Петербург, 2011).
В законченном виде диссертация докладывалась на научных семинарах кафедры «Математика и моделирование» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А. под руководством заслуженного деятеля науки и техники РФ, д.т.н., профессора В.А.Крысько (Саратов, 2012); на межкафедральном семинаре «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А. под руководством заслуженного деятеля науки РФ, д.ф.-м.н., профессора В.Б. Байбурина (Саратов, 2012).
Публикации. Основное содержание и результаты диссертации опубликованы в 25 работах, в том числе 5 статей в рецензируемых журналах из перечня ВАК РФ. Список основных работ автора, отражающих существо диссертационной работы, приведен в конце автореферата.
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения и списка использованной литературы. Работа содержит …. страниц, …. рисунков, …. таблиц. Список использованной литературы включает ….. наименования.
