Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Абстрактная теория рассеяния в терминах билинейных функционалов 34
I.I. Определение волновых операторов в терминах билинейных функционалов 34
1.2. Переход от обычной постановки задачи рассеяния к ее постановке в терминах
билинейных функционалов 46
1.3. Обобщенные шредингеровьт переходные функции 54
1.4. Структура возмущенного функционала .68
1.5. Обобщенные операторнозначные спектральные меры 75
' 1.6. Волновые операторы для полугрупп 91
1.7. Построение волновых операторов по возмущенной эвклидовой переходной функции 99 Глава II. Сингулярные возмущения самосопряженных операторов III
2.1. Предварительные сведения о билинейных формах III
2.2. Отношения регулярности и сингулярности между билинейными формами 117
2.3. Классификация сингулярных возмущений 128
2.4. Сингулярные билинейные формы как возмущения граничных условий 134
2.5. Метод ортогонального расширения 147
Глава III. Приложения в квантовой теории поля 169
3.1. Теория рассеяния Хаага - Рюэля как теория рассеяния в терминах билинейных функционалов 169
3.2. Теория рассеяния в терминах функций Швингера 181
3.3. Задача рассеяния в моделях квантовой теории поля 192
Литература 217
- Определение волновых операторов в терминах билинейных функционалов
- Предварительные сведения о билинейных формах
- Теория рассеяния Хаага - Рюэля как теория рассеяния в терминах билинейных функционалов
Введение к работе
Основной предмет диссертации - задача рассеяния с сингулярным возмущением. Точнее, в работе исследуется вопрос о постановке задачи рассеяния в случае, когда возмущение самосопряженного оператора задано сингулярным выражением, которое не имеет операторного представления, но допускает интерпретацию как билинейная форма. Такая ситуация типична для квантовой теории. Она возникает, например, при изучении потенциалов, заданных обобщенными функциями. Необходимость рассмотрения сингулярных возмущений имеет физические основания. К их числу относится требование релятивистской инвариантности теории. Основным источником сингулярностей является бесконечное число степеней свободы изучаемых физических систем. Так, в квантовой теории поля практически все возмущения, имеющие физический интерес, являются высокосингулярными.
Сложность постановки задачи рассеяния при изучении сингулярных возмущений связана с невозможностью определить в общем случае возмущенный оператор как самосопряженный оператор в том же гильбертовом пространстве, в котором действует невозмущенный оператор. Отсюда следует неприменимость обычной постановки задачи рассеяния в указанной ситуации и возникает необходимость поиска новых методов в теории рассеяния. К настоящему времени уже известен ряд приемов решения задачи рассеяния с сингулярным возмущением. Однако они применимы лишь в отдельных случаях. Таким образом, построение общей теории рассеяния, охватывающей достаточно широкий класс сингулярных возмущений и согласованной с уже имеющимися результатами, представляет собой актуальную проблему. - б -
Решение указанной проблемы требует принципиального расширения понятия волнового оператора. Напомним, что в развитой к настоящему времени абстрактной теории рассеяния волновые операторы возникаю на следующем пути. Пусть в гильбертовом пространстве ^ задана пара самосопряженных операторов иА и n^ , отвечающих гамильтонианам свободной и возмущенной физическим системам Наблюдаемый в опыте эффект рассеяния в результате возмущения свободной системы описывается оператором рассеяния -6лУ~*Л*" W~) где w ± - волновые операторы, определяемые в нестационарном подходе как где П ас - ортопроектор в ^у на подпространство абсолютной непрерывности оператора "\ f \ — ^fl-* Существование волновых операторов и их полнота ( T_(w—^ = Pz ск<Ь%-) ~ основные вопросы абстрактной теории рассеяния. Отметим, что существование операторов w - влечет,по крайней мере,частичное подобие операторов \\л и Ц 2. : K^w-^w-k^. Это вместе с полнотой w - означает устойчивость абсолютно непрерывного спектра относительно рассматриваемых возмущений. Тем самым абстрактная теория рассеяния включается в теорию возмущений непрерывного спектра. Классический, в определенном смысле, период в развитии теории рассеяния можно считать завершенным. Наиболее важные результаты в этой теории получены методом Кука, ядерными методами либо с помощью принципа инвариантности и связаны в первую очередь с именами Т.Като и М.Ш.Бирмана. Значительный вклад в развитие теории рассеяния внесли Дж.Яух, К.Фридрихе, П.Лаке, Р.Филлипс, СТ. Курода, Л.Д.Фаддеев и ряд других математиков.
Переход к рассмотрению сингулярных возмущений приводит, как уже отмечено, к дополнительному вопросу в теории рассеяния - проблеме построения возмущенного оператора. Сложность этой проблемы заключается в невозможности в общем случае определить возмущенный оператор Vi^ в исходном пространстве ^ . Привлечение теории рассеяния с парой пространств в данном случае также наталкивается на ряд трудностей, в частности на появление неограниченных и незамыкаемых операторов отождествления. Отметим, что систематическое развитие теории рассеяния с парой пространств по существу началось с работы Т.Като fsoj . Первые признаки существования волновых операторов в такой теории получены в работе А.Л.Белопольско-ко и М.Ш.Бирмана Г9І , см. также работы М.Ш.Бирмана ГіЗІ и 114 I .
В полной мере трудности проблемы построения возмущенного оператора энергии проявились в квантовой теории поля, где рассматриваемые возмущения задаются, как правило, формальными выражениями, которые лишены операторного смысла в исходном пространстве. Традиционный подход к задаче рассеяния в квантовой теории поля основан на теории возмущений с использованием различных регуляризации, в частности, так называемых пространственных и ультрафиолетовых обрезаний заданных сингулярных выражений. Снятие регуляризацией, например, в формальном ряду для $ -оператора ведет к появлению различного сорта расходимостей. Их устранение (вычитание), проводимое согласно теории перенормировок, в ряде случаев, относящихся к так называемым перенормируемым теориям, приводит к совершенно удовлетворительным с физической точки зрения результатам уже в первых членах ряда теории возмущений. Отметим, что строгий вариант процедуры бесконечных перенормировок дает X. -операция Боголюбова - Парасюка. Успешность программы теории перенорми- ровок, усовершенствованной применением так называемых одевающих канонических преобразований Л.Д.Фадаеева [бв] для отделения эффек-тов рассеяния от эффектов поляризации вакуума, в конкретных моделях была продемонстрирована И.Я.Арефьевой | 1,2 I . Однако из-за сложности математического аппарата, отсутствия сходимости всего ряда теории возмущений, наличия неперенормируемых теорий и ряда других причин построить последовательную квантовую теорию на основе теории перенормировок до сих пор не удавалось. Это привело к появлению аксиоматического подхода в квантовой теории поля (см., например, Гі7, 67j ). Цель этого подхода - доказать существование квантовой теории поля в рамках самых общих физических принципов. Эта цель была достигнута в трех и двухмерном пространстве -времени методами конструктивной теории поля (см. [_23, 65 I ).
В плане задачи рассеяния аксиоматический подход привел к созданию новой, необычной по постановке теории рассеяния Хаага -Рюэля. Она удовлетворяет всем принципам теории поля, но не касается проблемы построения возмущенного оператора, а предполагает уже заданным интерполирующее (возмущенное) поле, в терминах которого и строится оператор рассеяния. В результате проведенного автором в работах Г 30 - 32, 39 анализа оригинальной схемы теории рассеяния Хаага - Рюэля оказалось, что она представляет собой своеобразный вариант теории рассеяния в паре пространств состояний . При этом из-за обобщенности по времени интерполирующего поля в теории Хаага - Рюэля лишены, вообще говоря, смысла пространство состояний и оператор энергии в фиксированный момент времени, что принципиально отличает эту теорию от обычной теории рассеяния. Этот факт, с другой стороны, отражает присущую квантовой теории поля сингулярность возмущений (выражений, отвечающих взаимодействиям). Выяснение абстрактного содержания указанных свойств теории Хаага - Рюэля и привело, по существу, к построению общей теории рассеяния в терминах билинейных функционалов. Здесь уместно отметить также следующий ряд работ ҐІ4, 18, 56, 72, 87, 89, 91, 98J , которые оказали влияние на формирование идеи построения теории рассеяния на языке билинейных функционалов.
Математические трудности задачи рассеяния с сингулярным воз мущением в достаточной степени проявляются и на уровне квантовой механики. Так характерные черты проблемы построения возмущенного оператора можно обнаружить в хорошо известном примере, когда опе ратор Лапласа -Д, в пространстве возмущается точечным потенциалом е е>о , se(R. . Корректный метод реше ния этой задачи был предложен в известной заметке Ф.А.Березина и Л.Д.Фадцеева [V] . Дальнейшее изучение задачи рассеяния для воз мущений с малым носителем в математическом плане проводили Р.А.Минлос и Л.Д. Фаддеев бт] , Ф.А.Березин [8~] , К.Н.Фридман [86J, С.Альбеверио и Р.Хёэг-Крон[79, 8l| , Э.Х.Эйвазов [76J , А.Фраге- ла [73] , И.Д.Чуешов [74J , Д.Р.Яфаев [78] , Б.С.Павлов и М.Д.Фа ддеев [pl\ и ряд других математиков. Результаты отмеченных ра бот показывают, что методы фиксированного гильбертова простран ства в теории сингулярных возмущений не всегда эффективны и часто возникает потребность введения дополнительного пространства.
Развиваемый в диссертации способ постановки задачи рассеяния всегда ставит в соответствие возмущенной системе свое пространство состояний. Введение нового пространства состояний осуществляется таким образом, что трудность^связанная с возможным отсутствием у возмущенной системы оператора энергии в каждый фиксированный момент времени, вообще говорящие возникает. Поясним кратко суть этого способа.
Пусть в гильбертовом пространстве ^, заданы самосопряженный оператор \\л и его возмущение в виде билинейной эрмитовой формы Y , которая не имеет операторного представления. В общем случае такой ситуации возмущенная билинейная форма Уа= - X 4 -*" U (с Х4 ассоциирован оператор Ц л ) также не имеет операторного представления в ^- и, следовательно, паре л л , У невозможно обычным образом сопоставить возмущенный самосопряженный оператор 1^2. в ^- . Поэтому естественно попытаться заменить в определении волновых операторов группу е.~* г ,как непрерывную по ~Ь ограниченную операторную функцию в *-, обобщенной операторнозначной функцией. Понятно, что ей в ЧР, вместо инфинитезимального оператора її 2. будет соответствовать билинейная форма о^ . Далее, поскольку аддекватным языком для обобщенных операторнозначных функций является язык билинейных функционалов, то и в развиваемой постановке задачи рассеяния исходным языком служат билинейные функционалы. Способ введения необходимых билинейных функционалов и выделение нужных их свойств можно пояснить на следующем пути.
Рассмотрим в гильбертовом пространстве Ч, величину где и - самосопряженный оператор в ^-, . В приложениях, когда
1^1 является оператором энергии некоторой физической системы, функция J>C^a ~ "^2. )^ч-) задает амплитуду вероятности перехода из состояния у в состояние Ч- за время ~Ь ~ <^л~ ~t~z . Усреднение этой функции по переменным -Ьл и "г сопоставляет оператору 1л некоторый билинейный функционал J8^ ^)^) над множеством линейных комбинаций элементов вида ц-^4') V — ^-<8^tf/ где Z а, - сглнживающие функции из некоторого основного простран- - II - ства. Используя два свойства функционала J>\^ , а именно, его положительную определенность и инвариантность относительно одновременных сдвигов по ~ЬЛ и ~іг нетрудно восстановить исходный оператор \а . Более того, если для пары /i; ^=^2, существуют волновые операторы w— С ^2_, 1л n ^ » то их также можно построить исходя из функционалов >L- Переход ОТ И у К B/j. и составляет отправной момент развиваемого в диссертации метода постановки задачи рассеяния. Этот метод оказывается применимым и в случае замены функционала В>^ произвольным билинейным функционалом J>z , обладающим лишь указанными выше двумя свойствами и не связанным» вообще говоря, с каким-либо оператором її г. в
Дадим теперь краткое описание основного содержания диссертации. Оно разбито на три главы.
Первая глава посвящена систематическому изложению абстрактной теории рассеяния на языке билинейных функционалов. Так, в 1.1 дано определение волновых операторов в терминах билинейных функционалов, установлены их основные свойства и получены простейшие признаки существования. В 1.2 показано, как обычное определение волновых операторов вкладывается в их определение на языке билинейных функционалов. Непосредственное обобщение этих построений проведено в 1.3 на языке так называемых обобщенных шредингеровых переходных функций. Приведен ряд иллюстративных примеров. В 1.4 изучена структура функционала J>z с точки зрения обратной задачи рассеяния. Дальнейшее изучение структуры функционалов р>; проведено в 1.5. Здесь введено понятие обобщенного спектрального разложения - аналога спектрального разложения для самосопряженного оператора. Построения I.I - 1.5 находят при- ложения в 1.6 - 1.7, где развита постановка задачи рассеяния на языке операторных полугрупп и эвклидовых переходных функций.
В главе П изучаются сингулярные возмущения самосопряженных операторов с целью нахождения способа построения функционала j*>z , отвечающего сингулярно возмущенной системе. В 2.1 приведены основные сведения о билинейных формах. Определение понятия сингулярной билинейной формы дано в 2.2. Здесь же достаточно подробно изучены свойства таких форм. В 2.3 установлена классификация сингулярных билинейных форм в 1т^ - шкале гильбертовых пространств. В 2.4 имеем дело с методом построения возмущенного оператора в исходном пространстве в том случае, когда сингулярная билинейная форма допускает истолкование как возмущение абстрактных граничных условий свободного оператора. Наконец, в 2.5 развит метод построения возмущенного оператора в расширенном (ортогональным образом) пространстве. Именно этот метод дает способ определения функционала Вг , отвечающего сингулярно возмущенной системе и необходимого для постановки задачи рассеяния. В заключение главы П рассмотрены примеры.
Определение волновых операторов в терминах билинейных функционалов
Подчеркнем, что для построения оператора рассеяния р наличие функционала 1 не обязательно. Однако в приложениях функционал t (он соответствует невозмущенной системе) как правило задан с самого начала, а функционал Ji нужно построить по заданному возмущению. Отметим, что в дальнейшем группа lA C) всегда взаимно однозначно связана с JM , a U - стандартна. Таким образом, вопрос о существовании волновых операторов W , для которых оператор рассеяния унитарен, приводит к следующей абстрактной задаче.
Предварительные сведения о билинейных формах
Пусть Я Ч - линейные множества над полем комплексных чисел (С . Отображение У : ф х р- С называется билинейной формой (или иначе - полуторалинейной формой), если функция -У(ч%чЛ линейно зависит от Ч5 6 cfc и антилинейно от ч єЧ , Обычно ф — Ч . Множество ср называется областью определения формы V и обозначается Q(2f) .
Пусть ф - плотное линейное подмножество гильбертова пространства . Форма V на ф называется ограниченной снизу в - , если для некоторого Н є IRю
В этом случае пишем У Ъ М . Наибольшее число из (1.3) называется нижней гранью формы Y ; ее обозначаем М у . Говорим, что форма положительна, строго положительна, сильно положительна (обозначаем: У о , )ґ )$ Ъ- d о ), если, соответственно, МуЪ о } Иу о и УМ = о лишь для р=о; /VJ d( - из Отметим, что каждая ограниченная снизу форма с необходимостью является эрмитовой. Строго положительная на ф функция является квадратичной формой и, следовательно, определяет тождеством (I.I) (если положить V Лч Л =J (V) ) некоторую билинейную форму V о на р в том и только в том случае, когда функция j - Се) задает яа ф некоторую норму, удовлетворяющую тождеству параллелограммаю
В дальнейшем рассматриваются в основном только плотно определенные ограниченные снизу билинейные формы, что не каждый раз оговаривается.
Ниже систематически используются следующие обозначения. Г -множество всех фундаментальных в -. последовательностей, состоящих из элементов множества ф . О - подмножество 2Г состоящее из последовательностей, сходящихся к нулю. Если последовательность \ч ъ\ , и = і,г,...} ч и є cf такова, ч-іо U Г ч — f l o , ,VM - , то пишем M 2Гу Если при этом Y L іД- » то пишем Ч и % 0V Форма tf с Обг Ф с . называется замкнутой в (что обозначаем равенством Y & ), если для каждой последовательности fn% Х П їх вектор f = s- cV « Ч ц принадлежит сф и, кроме того, Vl fn — f — о . Форма V замыкаема, если у нее существует замкнутое расширение: Y Й .
Теория рассеяния Хаага - Рюэля как теория рассеяния в терминах билинейных функционалов
Цель этого параграфа - включить теорию рассеяния Хаага - Рюэля, известную в аксиоматической квантовой терии поля, в общую схему теории рассеяния, развитую в I.I. Возможность такого включения означает, что абстрактная теория рассеяния в терминах билинейных функционалов имеет приложения в квантовой теории поля. Кроме того, здесь показано, что после проведения указанного включения теория Хаага - Рюэля допускает различные упрощенные модификации. Именно, показано, что построение состояний рассеяния, а, следовательно, волновых операторов и оператора рассеяния, возможно и по функционалам не обязательно удовлетворяющим всем аксиоматическим требованиям квантовой теории поля, в частности, не обязательно даже существование полевого оператора.
Подчеркнем, что сведение теории рассеяния Хаага - Рюэля к более простому варианту абстрактной теории в общем случае невозможно. Другими словами, она представляет собой по существу теорию рассеяния в терминах билинейных функционалов. Процедура естественного введения оператора отождествления между пространствами состояний свободного и интерполирующего поля оказывается некорректной. Отметим, что построение волновых операторов в теории Хаага-Рюэля, проведенное в 64 I по схеме теории рассеяния с парой пространств состояний, использует несколько искусственное введение аналога оператора отождествления, который не замыкаем и имеет неплотную область значений.
Отметим еще некоторые технические отличия данной ниже формулировки теории Хаага - Рюэля. В построениях мы не используем і символ Ъ0 L.27J и не вводим понятие почти локального поля.
Полевой оператор мы вводим лишь для более удобного определения некоторых величин. Все изложение полностью осуществимо на языке функционалов Вайтмана без использования полевого оператора. Перейдем к систематическому изложению.
