Вещественный метод интерполяции на парах банаховых решеток Узбеков Роман Фатихович

Монотонные пары конечномерных пространств

В этом параграфе изучается интерполяция для одного класса конечномерных пространств с: точки зрения важного свойства К,— монотонности. Предварительно была найдена явная формула для К,— функционала Петре данной пары и доказано достаточное условие их точной немонотонности. Изучение этого свойства было стимулировано развитием теории интерполяции линейных операторов, в частности, попытками обобщения на как можно более широкий класс пространств знаменитой теоремы А. П. Кальдерона- Б. С. Митягина [29,30]. Для формулировки рассматриваемой здесь задачи приведем необходимые определения. Определение 1.2.1 Банахова пара {Х$,Х\) называется К—монотонной с константой К 0 (парой Кальдерона - Митягина), если из того, что X—точное интерполяционное пространство между Х0 и Хі, следует выполнение условия: если для у Є XQ + Xi и х Є X то у Є X и Ці/Ух - ІІ Цх- Если К" = 1, то пара называется точной /С—монотонной. Если пара К—монотонна, то все пространства, являющиеся интерполяционными относительно данной пары, можно описать как пространства вещественного /С-метода [28]. Иногда, для установления свойства /С-монотонности банаховой пары применяют следующую теорему, доказательство которой приведем для полноты изложения. Теорема 1.2.2 Банахова пара {Ха,Х\) К—монотонна с константой С 0 тогда и только тогда, когда выполнено условие: если х, у Є XQ+XI и выполнено (1.1), то для любого є 0 существует линейный оператор Т, ограниченный в XQ и Хг, такой, что Пусть X—точное интерполяционное пространство относительно пары (Ло,Лі}, х Є X, у Є XQ + Xi и выполнено (1.1).

Тогда по условию существует линейный оператор Т со свойствами (1.2). По определению Т ограничен вХи Следовательно, справедливо неравенство Отсюда у X и yU (С + г) жх, то есть пара (J\"o)- i) -— монотонна. Обратно, пусть (XQ,X() К—монотонна с константой С 0. Предположим, что для некоторых х, у Є XQ + Х\ выполнено (1.1). Без ограничения общности считаем, что х ф 0 (если х = 0, то все тривиально). Рассмотрим "орбитуивектора ж, то есть пространство, состоящее из всех z = Тх, где Т— произвольный ограниченный оператор с X, (i = 0,1) с нормой где точная нижняя грань берется по всем линейным операторам Т : Х{ — ХІ (і = 0,1) таким, что z = Тх. Тогда Z—точное интерполяционное пространство относительно (XQ, Х\). ДсЙСТВИТСЛЬНО, ССЛИ X — XQ -f Х\,Хі Є ХІ (г — 0, І), то Можно заключить, что z Є XQ + Х\, то есть Z С XQ -4- Х\. Если z Є XQ n X\, то по теореме Хана-Банаха найдется линейный функционал / є {XQ + Хі) такой, что f{x) = 1. Определим линейный оператор соотношением Оператор Т определен на XQ + Х\ и для і = 0,1 справедливо \\T u\\Xi = \\f{u)z\\Xi = \f(u)\\\z\\Xi Wfkxo+xo MxiMxo то есть Т : ХІ — ХІ (і — 0,1) с нормой, не превосходящей H/H +xo lNUr И, наконец, Т х = z.

В результате получаем, что z Є Z, то есть XQ ПХІ С Z. Пусть А : ХІ —» ХІ (і — 0,1), тогда для любого z Є Z и любого его представления z = Тх (Т : ХІ — ХІ) имеем где Ti AT : ХІ — ХІ. Кроме того, Отсюда, согласно определению (1.3) Переходя к точной нижней грани по Т, получим: откуда в итоге Поэтому, по определению Z является точным интерполяционным пространством относительно пары (XQ,ХІ). В силу условия (1.1) и того факта, что х Є Z (х = їх, где /--тождественный оператор), имеем; Покажем, что \\x\\z = 1. С одной стороны, х = їх и поэтому то есть \\x\\z 1. С другой стороны, возьмем произвольный линейный оператор Т : ХІ — ХІ такой, что Тх = х. Тогда можно заключить, что то есть определению нормы в Z находим, что \\х\\% 1-Таким образом, \\x\\z — 1. С помощью (1.4) получаем: \\y\\z С, откуда ввиду определения нормы (1.3) для любого є 0 существует линейный оператор Т : ХІ — ХІ {і 0,1), удовлетворяющий условию (1.2). Теорема 1.2.2, следовательно, доказана. Следствие 1.2.3 Если Х0 = (Rn, 0), Хі = (Шп, \\-\\і), то в теореме

Односторонняя теорема Бойда

В данном параграфе рассматриваются вопросы, связанные с теорией интерполяции операторов слабого типа, а именно найдены условия, при которых симметричное пространство Лоренца А(ф) на [0,1] обладает следующим свойством: если Х симметричное пространство на [0,1], которое является интерполяционным относительно пары (А(ф),Ьо0) и а(Х) (1 р об), где а(Х)—нижний индекс Бойда пространства X, то X является интерполяционным пространством между Л( ) и Lp. Показано так же, что этим свойством обладают пространства Lr? и, 1 и г р со. Пусть Е) F—симметричные пространства на [0; 1] с фундаментальными функциями fEt 4 F соответственно. Определение 1.3.1 Линейный оператор А, определенный на всех ко нечнозпачных функциях, называется оператором слабого типа {E,F}, если выполнено неравенство

Далее, предположим, что Е$, Е\ FQ, і7!—симметричные пространства и для любого х Є Е выполняется Тогда пара (Е, F) называется слабой интерполяционной относительно сегмента a = [(EQ,FQ), (EI,F\)], если любой линейный оператор, имеющий одновременно слабый тип (0, 0) и {Ei,Fi), является ограниченным из Е в F. Пусть теперь даны две пары фундаментальных функций фЕп, PF0 И РЕ)Л VFI- Рассмотрим оператор Кальдерона 5(сг), определяемый следующим равенством: Теорема 1.3.2 [18] Пара (E,F) является слабой интерполяционной относительно а, тогда и только тогда, когда оператор S{u) ограничен из Е и F. Таким образом, задача интерполяции операторов слабого типа связана с ограниченностью оператора Кальдерона, рассматриваемого на соответствующих парах симметричных пространств. Для формулировки следующей важной теоремы напомним, что нижний и верхний индексы

Бойда пространства X задаются соответственно равенствами В 1967 году D.W.Boyd установил, что интерполяционность симметричного пространства X относительно пары (Lp, Lq), 1 р q оо зависит от выполнения некоторых неравенств для индексов Бойда данного пространства. Теорема 1.3.3 [19, р.215-219] Пусть Т— линейный оператор, действующий в пространствах Lv и Lq (1 р q С оо), и симметричное пространство X такое, что Тогда, если пространство X обладает свойством Фату, то Т ; X — X ограничен. Из теоремы 1.3.3 следует, что пространство X является интерполяционным относительно пары (Lp,Lq). В случае, если q = со, то есть одно из пространств совпадает с L оператор Кальдероиа S(a), о — [(iPil,LPp00), (Loo, Loo)] будет состоять из одного аіагаемого (так как фундаментальная функция /?м() = t 0) и иметь следующий вид t S{a)[x](t) = t p / sHo;(s)cfe, 0 f 1. о Поэтому, для произвольного симметричного пространства со свойством Фату X и условием нетрудно доказать в предположениях теоремы 1.3.3, что Х- интерполяционное пространство между Lp и L [23].

Таким образом, для справедливости теоремы 1.3.3 в случае q = оо, достаточно убедиться в выполнении одностороннего неравенства для индексов Бойда симметричного пространства. Е.М Семенов поставил вопрос относительно экстремальности пространства L\ в теореме Бойда. А именно: если симметричное пространство X на [0; 1] является сепарабельным или обладает свойством Фату и а(Х) , будет ли оно интерполяционным относительно пары (Li,Lq), 1 ? оо? В более общих условиях на пространство X(предполагалось, что СП X интерполяционно относительно пары (Li, Ьж)) положительный ответ па этот вопрос получили С.В.Асташкин и L.Maligranda [24, с.782-785]. Теорема 1.3.4 Пусть 1 г р со. Если симметричное пространство X на [0,1] с условием а(Х) і является интерполяционным между Lr и Leo, то X—интерполяционное пространство относительно пары (L,., Lp). Мы докажем справедливость аналогичного утверждения в случае, если в теореме 1.3.4 пространство Lr заменить: 1) на симметричное пространство Лоренца А(ф) со следующими свойством: производная фундаментальной функции этого пространства иолу мультипликативна на [0,1]; 2) на пространство Lr,q, l r p q x . Для доказательства теоремы нам понадобится следующая лемма, в которой найдена эквивалентная формула для /С—функционала на паре (X, Lpo), где Х произвольное симметричное пространство на [0; 1]. Лемма 1.3.5 Если Х симметричное пространство на [0,1] с фундаментальной функцией ф(і), то любого / Є X и і [0,1]. Доказательство. Без ограничения общности можно предполагать, что функция ф(і) является монотонно возрастающей. Покажем справедливость следующих неравенств тогда u/(s0 + si) n/o(s0) + n/,(si). Поэтому, / (s) /0 () + /f(). Из условия леммы получаем Переходя в неравенстве к ипфимуму по всевозможным разложениям / = /о + /і, где /о Є X, /і Є А„, имеем 2) Положим Теперь перейдем к формулировке главного результата этого параграфа. Теорема 1.3.7 Пусть 1 р со, Х симметричное пространство на [0,1], Л{ф)—пространство Лоренца с фундаментальной функцией / (), кроме того, Ф (і) является полумультипликативной на [0,1] . Если X— интерполяционное пространство между А.(ф) и L , для которого выполняется условие а(Х) , тогда X является интерполяционным относительно пары (А(ф),Ьр).

Функционал на парах пересечений

В этом параграфе, на основе результатов, полученных в статье [11], найдены эквивалентные формулы, связывающие К.—функционалы, вычисленные на парах пересечений конкретных пространств с ядром интегрального функционала с К—функционалами исходной пары и тем самым обобщены теоремы, доказанные в [10[. Найдено решение задачи интерполяции пересечений в конкретных случаях. Пусть Л = (XQ,XI)—банахова пара, Хо С є, Х\ С є, где є- некоторое линейное топологическое пространство. Предположим, что на линейном подпространстве М С є определен линейный функционал р (вообще говоря, не непрерывный). Обозначим Тогда Y = (YQ,Y{)—нормированная пара (вообще говоря, не банахова), где норма Yi является сужением нормы Х{ (г = 0,1).

Задача интерполяции пересечений для данной тройки пространств (Хо,Х\) N) заключается в нахождении условий на параметры в Є [0,1], 1 Q оо, при которых верно равенство (по составу элементов с экви V валентностью норм) где (Хо,Л"і)е -пространство вещественного метода интерполяции. Один из естественных подходов к решению проблемы интерполяции пересечений связан с вычислением /С-функционалов на парах подпространств. Определение 2.2.1 Пусть 1 р оо, w(s) 0. Под пространством Чсзаро Cp(w) будем понимать совокупность измеримых на (0, оо) функций f(s) с нормой foo х і / - / f(s)ds\pw(x)dx В частности, если w(s) = sa, р — 1, тогда пространство Cp(w) будем обозначать С[ , в случае же, если w(s) — 1, р=\ данное пространство обозначим через 0\. Один из частных случаев проблемы интерполяции подпространств был рассмотрен в работе [10], а именно были получены следующие результаты. Теорема 2.2.2 Для всех х Є (Li(s)nN) + (Li(\)nN) и любого t

О справедливо соотношение: Цt,x,L (s)nN,L1{-)nN)ж \x(s)\min{S }ds + Vt\ x(s)ds\. s Jo s Jo Кроме того, (а) если 1 9 1 и 9 ф І, то где JV-линсйиос пространство всех измеримых функций / : (0; оо) — R, таких, что / f(x)dx = 0. о А также, в статье [10] при определенных условиях на "весовые"функции гуо( ), wi(x) было доказано следующее равенство с эквивалентностью норм. 7G Теорема 2.2.3 {N П Lp{w0), N П Lp(Wl))e,p = N П (7,( -) П Lp(wJ-ewf). (2.5) При этом справедливость равенства (2.5) была установлена с помощью "интерполяции"некоторых интегральных неравенств типа Харди. В следующей теореме, сформулированной в [11], была найдена эквивалентная формула для JC(t,x;Xa П N,Xi П TV), полученная при следующих предположениях, где, как и прежде, под М будем понимать линейное подпространство некоторого линейного топологического пространства є на котором определен линейный функционал ір: Предположим, что множество {y0{t):y EY0 + Yu І 0}СМ, то есть на векторах вида yo(t) определен функционал р. Теорема 2.2.4 Пусть XQ П XI всюду плотно в XQ И Х\. Тогда для любого у Є YQ + YI: /С( ,у;У0,Уі) /C(t,y; 0, і) + г, ШуУ y.v где XQ, Х%—пространства, сопряженные к Ха и Ху. Рассмотрим теперь более конкретную ситуацию, а именно задачу об интерполяции пар пересечений, порожденных интегральным функционалом на весовых Lv пространствах.

Определение 2.2.5 Под пространством Lp{vj), w(s) 0, 1 р со будем понимать множество измеримых на (0, со) функций /(s) со следующей v. Принимая во внимание предыдущие обозначения, положим XQ = Li(s), Xi = Li( ). Предположим, что д = ( -измеримая функция на (0,оо) такая, чго д (min s"1)). Последнее условие эквивалентно тому, что \g{s)\ Cmox(s,s-1) (2.6), где С не зависит от s 0. Заметим, что L\{s) Г) L\{s l) = Li(max(s, s"1)). Действительно, max ЛОО рОО -І \ /-со і / x(s)sds, / a;(s)-rfs ) і \x(s)\ max(s, -)ds = /1 1 roo / лоо /1 1 Л = / a;(s)-cts+ / a;(s)s is 2max I / a;(s)sds, / :r(s)-cfs ). oo Определим функционал ip(x) = j x(s)g(s)ds. a Через M обозначим линейное пространство всех функций x(s) измеримых на (0, оо), удовлетворяющих двум условиям: Г) функция x{s)g(s) интегрируема на любом отрезке [a,b], 0 a b со; Доказательство. Проверим выполнение в этой ситуации условий 1) и 2) сформулированных ранее. Так как 1 (ХоПХгУ ІЬМГіЩ-)) ( (тах я-1))) = Мтіф, "1)), то ( Є (Хо П Х\) . Следовательно условие 1) выполнено. Для того, чтобы убедиться в справедливости условия 2) применим следующую лемму [12, с.71, 142].

Интерполяция пересечений пространств

Возникновение теории интерполяции линейных операторов связано, прежде всего, с теоремами М. Рисса (1926г.) и Ж. Марцинкевича (1939г.). Однако, эти результаты относились к пространствам Лебега Lp и близким к ним. Проблема интерполяции линейных операторов тесно связана с задачей построения "промежуточных"пространств в которых линейный оператор будет непрерывным на основании информации о его поведении в "крайних"парах пространств. Общие интерполяционные теоремы для семейств абстрактных гильбертовых и банаховых пространств были получены в работах Ж.-Л. Лионса, Э. Гальярдо, А.П. Кальдеро-на, Я. Петре, С.Г. Крсйна. В последующие годы эта теория интенсивно развивалась и нашла глубокие, важные применения в теории функциональных пространств, уравнениях с частными производными, теории рядов Фурье, теории приближений.

Основные результаты теории ин-терполяции были систематичеки изложены в книгах С.Г. Крейна, Ю.И. Пстунииа, Е.М. Семенова [14], Й. Берга, Й. Лефстрсма [12], X. Трибсля [39], К. Беннета, Р. Шарпли [22]. Среди разделов математики, испытывающих наиболее сильное влияние интерполяционных методов, с полным правом можно назвать теорию симметричных пространств (сокращенно СП). Эти пространства с предположением о полупепрерывности нормы, известные как "переста з повочпо инвариантные пространства"(сокращенно ПИП) были введены Г. Лоренцем в 1953 году. Первые публикации, связанные с представлением СП без указанного предположения, принадлежат Е.М. Семенову [36]. В последнее время был достигнут значительный прогресс в изучении вещественного К метода интерполяции операторов, важного по общности и приложениям способа построения интерполяционных пространств. Определенные итоги этого были недавно подведены в вышедшей монографии Ю.А. Брудного, Н.Я, Кругляка [28]. Диссертационная работа продолжает ряд исследований по теории интерполяции линейных операторов, относящихся к вещественному методу. Первая часть работы посвящена описанию одного класса точных /С-монотонных пар конечномерных пространств и вопросам, связанным с теорией интерполяции операторов слабого типа. Во второй части диссертации изучаются частные аспекты проблемы характеризации К,- подпар, то есть подпар банаховой пары, на которых вещественный метод интерполяции порождает нормы, эквивалентные тем, что он дает на самой паре, а также вопросы, касающиеся интерполяции пересечений "весовых "пространств Лебега Lp(w) с ядром интегрального функционала. Основное содержание диссертации изложено в первой главе (второй и третий параграфы) и во второй главе. Им предпослан 1 главы первой, в котором собраны основные обозначения и предварительные сведения, применяемые в работе.

Во втором параграфе первой главы изучаются вопросы интерполяции для одного класса конечномерных пространств Лоренца с точки зрения свойства 1С—монотонности. Изучение этого свойства было стимулировано попытками обобщить теорему А.П. Кальдерона- B.C. Митягина [29, 30]. Поскольку любая пара конечномерных пространств /С— монотонна, то представляет интерес лишь вопрос о точной /С— монотонности таких пар. В работе А.А. Седаева, Е.М. Семенова [31] был приведен пример пары пространств (А3(ш), / ), которая не является точной немонотонной. Здесь А3 (к;)— трехмерное пространство Лоренца с нормой \\х\\ = a Wi + X\li)2 + 3 3, W = (wi,W2,W3)t Щ W-2 W3 0, x — перестановка модулей координат вектора х К3 в убывающем порядке. Идея этого примера была использована при нахождении необходимого условия точной /С— монотонности пар вида (Xn(w), 1 ), п є N. Теорема 1.2.6 Если то для любых w\ W2 ... wn 0 и вектора ІЄІ" tej, 0 i ; Теорема 1.2,7 Если пара (А"(го), 1 ) является точной К.—монотонной, то В следующем параграфе первой главы рассматриваются вопросы, касающиеся теории интерполяции операторов слабого типа. В 1967 году Д. Бойд установил, что СП X интерполяционно относительно пары (Lp,Lq)i 1 р q со, если для индексов Бойда этого пространства выполняются следующие неравенства где а{Х) = limb№= р(Х) = lim lngJ - - нижний и верхний индексы Бойда (а5х-.л— это норма оператора растяжения rs(x(t)) = a;()x[o;i(f)) t Є [0; 1] в пространстве X). Нетрудно показать, что в случае q — оо для справедливости данного утверждения достаточно убедиться в выполнении одностороннего неравенства для индексов Бойда В связи с этим, Е.М. Семенов поставил вопрос о том, что будет в случае если р — 1, а СП X является сепарабельным или обладает свойством Фату, Иначе говоря, следует ли из выполнения неравенства интерполяционносгь пространства X относительно пары (Li,Ly),l q со? В более общих условиях на пространство X положительный ответ на этот вопрос получили СВ. Асташкин и Л. Малигранда [24]. В диссертации было доказано аналогичное утверждение для более общей ситуации: для пары (Л.( р), Ьр), где А((р) пространство Лоренца. Теорема 1.3.7 Пусть 1 р со, X—симметричное пространство па [0,1], А(ф)—пространство Лоренца с фундаментальной функцией (), кроме того, ф {Ь) является полумультипликативной на [0,1] . Если X— интерполяционное пространство между Л( ) и Lo0) для которого выполняется условие а(Х) , тогда X является интерполяционным относительно пары (А(ф),Ьр). Как следствие из предыдущей теоремы доказано, что утверждение остается верным, если вместо пространства Лоренца А{ р) взять СП Ьт,и, 1 и г р со. Теорема 1.3.8 Пусть 1 г р д оо, 1 и г, 1 v со, для симметричного пространства X выполнено условие ос{Х) -.

Если X является интерполяционным пространством относительно пары (Lr}U,Lq v), то оно будет интерполяционным между Lr%u и Lp. Важной задачей теории интерполяции линейных операторов является проблема интерполяции подпространств, которая состоит в выяснении ответа на вопрос: когда интерполяционное пространство, построенное вещественным методом по паре подпространств исходной банаховой пары будет замкнутым подпространством интерполяционного пространства вещественного метода, построенного по данной паре? Оказывается это не всегда верно, известны многочисленные примеры невыполнения этого условия, приведенные в работах X. Трибеля [42], Р. Валлстена [1], Й. Лефстрема [2], Ж. Бозами [4]. Если же пара подпространств (YQ, YJ) является К,— замкнутой подпарой банаховой нары {Х- Х\), то задача интерполяции подпространств имеет положительное решение, то есть нормы - 11( , ,)(,, и UtYo.y,) эквивалентны, где (X0iXi)o,q- пространство вещественного /С- метода интерполяции. В первом параграфе второй главы рассматриваются подпары пары (J\!"o,Xi) вида (XQ,YI), где Х\ С XQ, XI всюду плотно в XQ и Yi— подпространство пространства Xi коразмерности 1. Задача о К,— замкнутости подпар такого вида сводится к вопросу об относительных пополнениях и это отражено в критерии, полученном СВ. Асташкипым в работе [9]. Далее введено понятие (К) свойства: если банахово пространство X обладает (К) — свойством, то для него можно найти большее банахово пространство Y, зависящее от выбора непрерывного функционала / 6 X , такое, что (Y,Kerf)otq будет замкнутым подпространством пространства (Y,X)ot(j. В диссертации сформулирована и докачана теорема 2.1.6 о том, что этим свойством обладают "весовые"пространства Лебега L]_{v). В последних двух параграфах диссертационной работы рассматривается задача интерполяции пересечений, которая для данной тройки пространств (XQ, XI, N) (где (XQ, Х{)— банахова пара, N— это ядро линейного функционала tp, а У; ХІ П N, і = 0,1), заключается в нахождении условий па параметры в Є [0;1], q Є [1;оо], при которых верно равенство с эквивалентностью норм В статье Н. Я. Кругляка, Л. Малигранды, Л.-Е. Перссона [10] была найдена связь между /С—функционалами K{ty х\ L\(s) ПN, Li( ) ПN) и JC(t,x] Li(s), 1(7)), где в качестве N рассматривалось ядро интегрального функционала

Похожие диссертации на Вещественный метод интерполяции на парах банаховых решеток

К-монотонные весовые пары банаховых решетокТихомиров, Константин Евгеньевич

Инфинитезимальные методы в теории векторных решеток и решеточно нормированных пространствЕмельянов, Эдуард Юрьевич

Вещественный метод интерполяции для конечных наборов банаховых пространств Асекритова Ирина Устиновна

Исследования по теории вещественного метода интерполяции операторовКругляк, Натан Яковлевич

Матричные преобразования и вещественный метод интерполяции для операторных пространствБеломытцева, Елена Геннадьевна

Интерполяция некоторых пар аппроксимационных пространствШамма, Мухаммад Нур

Исследование бозе-конденсации куперовских пар в решетках металлоксидов меди методом эмиссионной мессбауэровской спектроскопии Хазем Махмуд Али Дарвиш

Исследование фотофизических свойств триплетного состояния молекул методом динамических голографических решетокЛантух, Юрий Дмитриевич

Исследование динамики решетки молекулярных кристаллов методом рассеяния нейтронов Белушкин Александр Владиславович

Микрополосковые излучатели и решетки - математическое моделирование, методы анализа и проектированиеЧебышев, Вадим Васильевич