Введение к работе
Актуальность темы. /С-монотонные банаховы пары являются важным объектом изучения в теории интерполяции линейных операторов. Первый пример такой пары был найден независимо Б. С. Митягиным1 и А. П. Каль-дероном2 в середине 60-х годов; впоследствии было опубликовано множество работ по этой тематике. В начале 80-х годов прошлого века Ю. А. Бру-дным и Н. Я. Кругляком была доказана теорема о /С-делимости3, из которой, в частности, следует, что все интерполяционные пространства для /С-монотонных пар можно описать /С-методом. /С-монотонность, таким образом, позволяет более глубоко изучить интерполяционные свойства соответствующих пар.
Доказательство /С-монотонности данной банаховой пары, либо, напротив, построение интерполяционного пространства, не описываемого /С-методом, представляет собой нетривиальную задачу. Многими исследователями (Г. Спарром, М. Цвикелем, П. Нильсоном, Н. Калтоном и др.) рассматривался вопрос о /С-монотонности конкретных семейств банаховых пар: пар Lp-пространств, пространств Лоренца, Орлича и др. Пожалуй, наиболее изученными в этом направлении, кроме пар Lp-пространств, являются весовые пары вида (X (wo), X (wi)): где X — банахова решетка измеримых функций.
М. Цвикель и П. Нильсон в серии работ установили ряд замечательных свойств весовых банаховых пар. Вероятно, наиболее важным являет-
1Митягин, Б. С. Интерполяционная теорема для модулярных пространств / Митя-гин Б. С. // Мат. сб. - 1965. - Т. 66, N. 4. - С. 473-482.
2Calderon, А. P. Spaces between Ll and L and the theorems of Marcinkiewicz / Calderon A. P. // Stud. Math. - 1966. - V. 26, N. 3. - P. 273-299.
3Brudnyi, Yu. A. Interpolation functors and interpolation spaces. / Brudnyi Yu. A., Krugljak N. Ya. - Amsterdam: North-Holland, 1991.
ся следующее утверждение: если пары (X(wo),X(wi)) /С-монотонны для любых весов if о, «л, и банахова решетка X удовлетворяет некоторым дополнительным условиям, то X с необходимостью совпадает с весовым Lp-пространством4. Однако, результаты М. Цвикеля и П. Нильсона не дают решения вопроса о /С-монотонности весовой пары для конкретных (фиксированных) весов. С другой стороны, Н. Калтоном5 получены необходимые и достаточные условия /С-монотонности пар пространств последовательностей вида [Е] Е(2~к)), но Калтон не рассматривает произвольные весовые пары.
Таким образом, до последнего времени критерий /С-монотонности пары вида (X(wo),X(wi)) не был найден. Эта проблема существует, по крайней мере, 20 лет6. Ее решение позволило бы более глубоко понять интерполяционные свойства весовых пар и, по мнению автора, могло бы оказаться весьма полезным при рассмотрении других проблем теории интерполяции, таких как характеризация интерполяционных пространств для произвольных весовых пар (не только /С-монотонных) и пар симметричных функциональных пространств.
Вопросы интерполяции операторов тесно связаны с изучением геометрии банаховых пространств. В случае симметричных пространств, в частности, большое значение имеет изучение сумм независимых функций, сравнение их норм с нормами сумм их дизъюнктных копий. Этой тематике посвящено немало работ; исследования в этом направлении ведутся как отечественными, так и зарубежными специалистами.
4Cwikel, М. Interpolation of weighted Banach lattices / Cwikel M., Nilsson P. // Mem. Amer. Math. Soc. - 2003. - V. 165, N. 787. - P. 1-105.
5Kalton, N. J. Calderon couples of rearrangement invariant spaces / Kalton N. J. // Stud. Math. - 1993. - V. 106, N. 3. - P. 233-277.
6Brudnyi, Yu. A. Interpolation functors and interpolation spaces. / Brudnyi Yu. A., Krugljak N. Ya. - Amsterdam: North-Holland, 1991. - P. 686.
Все сказанное и определяет актуальность темы диссертации.
Цель работы — описание необходимых и достаточных условий /С-мо-нотонности весовых пар банаховых решеток; изучение /С-монотонных весовых пар симметричных функциональных пространств; распространение неравенств для суммы независимых функций в симметричных пространствах на квазинормированный случай.
Для достижения поставленной цели в диссертационной работе выполнена следующая программа исследований.
Построение инвариантного относительно сдвига пространства последовательностей, не совпадающего с 1р и со, такого, что соответствующая весовая пара (с экспоненциальным весом) /С-монотонна.
Распространение результатов Н. Калтона о /С-монотонности весовых пар пространств последовательностей на случай произвольных банаховых решеток со свойством Фату.
Получение необходимых и достаточных условий на фундаментальные функции симметричных пространств, при которых соответствующая весовая пара /С-монотонна.
Доказательство неравенств для бистохастических матриц, которые позволяют обобщить оценки для суммы независимых функций в симметричных пространствах на квазинормированный случай.
Методика исследований. В диссертации используются методы теории интерполяции, теории банаховых пространств, теории функций.
Научная новизна. В диссертационной работе получены следующие новые результаты.
Построен первый пример /С-монотонной пары вида (Е; Е(2~к)), где Е — инвариантное относительно сдвига пространство последовательностей, не изоморфное /р И Со-
Доказан критерий /С-монотонности произвольных весовых пар банаховых решеток (X,X(w)).
В случае симметричных функциональных пространств Лоренца и Мар-цинкевича выявлена связь /С-монотонности соответствующей весовой пары со свойствами их фундаментальных функций.
Доказана теорема о распределении векторнозначных случайных величин специального вида, позволяющая оценить норму суммы независимых функций в симметричных квазинормированных пространствах.
Практическая и теоретическая значимость. Работа имеет теоретический характер. Полученные в диссертационной работе результаты могут найти применение в теории интерполяции линейных операторов, а также могут быть полезны при исследовании геометрии симметричных функциональных пространств.
Апробация работы. Основные результаты по теме диссертационного исследования докладывались на семинарах Самарского государственного университета, семинаре Технологического университета г. Лулео (Швеция), на зимних математических школах (г. Воронеж, 2009, 2011 гг.).
Публикации. Автором (лично и в соавторстве) опубликовано 6 печатных трудов по теме диссертации. Работы [2]-[4] и [6] опубликованы в изданиях, соответствующих списку ВАК РФ. Из совместных работ [2,3] в диссертацию включены только результаты, полученные автором.
Структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введе-
ния, четырех глав и списка литературы, содержащего 51 источник. Общий объем диссертации — 115 страниц.
