Весовые пространства бесконечно дифференцируемых функций Мусин Ильдар Хамитович

• Пространство Gv
• Вспомогательные утверждения
• Описание ядер дифференциальных операторов, действующихв -Gv-
• О возмущении операторов свертки в пространствах бесконечно дифференцируемых функций в выпуклых областях из Еп .

Введение к работе

В диссертации рассматриваются задачи, относящиеся к теории функций, комплексному анализу и теории дифференциальных уравнений. Определены новые классы весовых пространств бесконечно дифференцируемых функций в Шп. В этих пространствах изучаются следующие вопросы:

1. проблема описания сильного сопряженного пространства в терминах преобразования Фурье-Лапласа;

2. полиномиальная аппроксимация;

3. интегральные представления решений однородных линейных дифференциальных уравнений; в частных производных конечного порядка с постоянными коэффициентами;

4. разрешимость обыкновенных линейных дифференциальных уравнений бесконечного порядка с постоянными коэффициентами;

5. представление функций рядами экспонент. В диссертации. также изучаются:

проблема интегральных представлений с экспоненциальным ядром для функций, аналитических в трубчатых областях;

сюръективность линейных операторов, являющихся возмущениями операторов свертки, в пространствах бесконечно дифференцируемых функций в выпуклых областях из Rn;

преобразование Фурье-Лапласа обобщенных функций медленного роста с носителями в замкнутых неограниченных множествах, содержащихся в выпуклых открытых острых конусах в-К.".

Большую часть работы занимает описание сопряженных пространств для введенных весовых пространств бесконечно дифференцируемых функций в терминах преобразования Фурье-Лапласа. Полученное описание оказалось полезным при изучении третьего, четвертого и пятого вопросов в этих весовых пространствах функций.

Как известно, описание сопряженных пространств в терминах преоб разований Лапласа или Фурье-Лапласа является одной из важных задач теории функций и функционального анализа. Этой проблеме посвящены работы многих российских, и зарубежных математиков - Г. Полна, Н. Винера, Р. Пэли, Л. Шварца, B.C. Владимирова, Л. Эренпрайса, Ш Хёр-мандера; А. Мартино, В.В: Напалкова, Б.А. Тейлора, Р.С. Юлмухаметова, В.В. Жаринова, Г. И- Эскина, Роевера (J:W. de Roever), Ю;И. Любарского, В.А. Ткаченко, СВ. Попенова, В.И. Луценко, Р. Майзе, Ф. Хаслингера, Б. Берндтссона; М: Лангенбруха, Н. Линдхольма и др. Такое описание-позволяет интерпретировать сопряженное пространство к изучаемому пространству как некоторый класс:целых или аналитических функций с определенными мажорантами роста: Тем самым многие проблемы теории операторов свертки, теории дифференциальных уравнений, теории аппроксимации функций, вопросы представления функций рядами экспонент и др. методами функционального анализа могут быть сведены к задачам из теории целых или аналитических функций. В теории операторов свертки, теории аппроксимации функций, вопросах представления функций рядами..экспонент такой подход систематически использовался в работах Б. Мальгранжа, Л. Эренпрайса, Л. Шварца, Л. Хёр-мандера, А.Ф: Леонтьева, В.В. Напалкова, И.Ф. Красичкова-Терновского, Ю.Ф. Коробейника, Б.А. Тейлора, Р.С. Юлмухаметова А.С. Кривошее-ва, С.Г. Мерзлякова, Б.Н.Хабибуллина, A.M. Седлецкого, О.В.Епифанова, В.В; Моржакова, А.В: Абанина,, К. Беренстейна, Д. Струппы и: др., в теории дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами— в работах Б. Мальгранжа, Л. Эренпрайса, Л. Хермандера, В.П. Паламодова, А. Мартино, В.В; Напалкова; Роевера, К. Беренстейна и др.

Структура работы такова. Первая и вторая главы диссертации посвящены описанию сопряженных пространств к: еще мало изученным весовым пространствам бесконечно дифференцируемых функций/в Rn в терминах преобразования Фурье-Лапласа и аппроксимации полинома ми в весовых пространствах бесконечно дифференцируемых функций в Rn. В третьей главе изучается задача об описании ядер дифференциальных операторов в частных производных с постоянными коэффициентами (фундаментальный принцип), действующих в этих весовых пространс-тах. В ходе рассмотрения этой задачи были исследованы смежные вопросы теории аналитических функций многих комплексных переменных. В четвертой главе изучается сюръективность линейного дифференциального оператора бесконечного порядка с постоянными коэффициентами в весовом пространстве бесконечно дифференцируемых функций на числовой оси, а также рассматривается вопрос о сюръективности линейных операторов, являющихся возмущениями операторов свертки в пространствах бесконечно дифференцируемых функций в выпуклых областях Еп. В пятой главе рассматривается задача о представлении аналитических функций (функций, аналитических в трубчатых областях, целых функций экспоненциального роста) с определенными свойствами интегралами Фурье-Лапласа. Там же дополняются результаты B.C. Владимирова и Ро-евера по преобразованию Фурье-Лапласа обобщенных функций медленного роста. В шестой главе изучается задача о представлении бесконечно дифференцируемых функций на числовой оси, принадлежащих одному из введенных весовых пространств, в виде рядов экспонент.

Весовые пространства бесконечно дифференцируемых функций в R", о которых дальше пойдет речь, были введены под влиянием работы Б.А. Тейлора (Taylor В.А. Analytically uniform spaces of infinitely differentiable functions // Communications on pure and applied mathematics. 1971.. V. 24. №1. P. 39-51).

Пусть % - совокупность вещественнозначных функций\ р в W1 таких,

что

і- 4 {х)

lim -Г7—Г7- = +оо. x-voo # Через Ф обозначим подмножество 7, состоящее из выпуклых функций; Пусть (р - преобразование Юнга функции у? Є 72. (также называемое

преобразованием Юнга-Фенхеля, реже — преобразованием Лежандра):

р {х)= sup({x,y)- p{y)), х ЕГ.

Положим р(х) = р {—х), х Є Rn. Отметим, что р } ер ЄФ.

Пусть Ф - семейство выпуклых функций ср в Rn, для которого выполнены следующие условия:

Ф1. Для любых pi, f2 Є Ф найдется функция (р$-Є Ф такая, что

тіп( рі(х), р2(х)) з(#)) х GW1. Ф2. Для любого р Є.Ф

hm гтг = +°° х- оо \\х\\

ФЗ. Для любого (рі Є Ф найдутся число г] 0 и 2 € Ф такие, что

sup ср2(х + у) + г]\\х\\ р\{х), х Є Ж1.

llvl i

По семейству Ф Б.А. Тейлором [94] было определено линейное пространство ((Ф) бесконечно дифференцируемых функций / в-R" таких, что для любых тп Є Z+,.y Є.Ф

tmAf) — SUP \Daf(x)\BXp(p(x)) °° a:€Rn,a Tn

Семейство норм іт, р задает на Є(Ф) локально выпуклую топологию.

Условие Ф2 гарантирует, что экспоненты е10 , где Є С1, принадлежат (Ф). Поэтому для любого функционала Т Є (Ф) корректно определена функция Т():= Т(ег ж,с ), С Є Сп, называемая преобразова-нием Фурье-Лапласа функционала Т. Отображение Т Є Е (Ф) —» Т также называем преобразованием Фурье-Лапласа.

Б.А. Тейлор [94] отметил, что пространство линейных непрерывных функционалов над (Ф) при помощи преобразования Фурье-Лапласа может быть отождествлено с пространством целых функций FBC", удовлетворяющих следующему условию роста: существуют ср Є Ф, числа

A 0, m Є Z+ такие, что

\F{z) A(l + z)mexp((Jm z))y z Є Cn.

Заметим, что на практике удобнее считать, что функции из семейства Ф вместо условий Ф1 и ФЗ удовлетворяют менее ограничительным условиям ФҐ и ФЗ :

ФҐ. Для любых і) 2 Є Ф найдутся р3 Є Ф и а Є R такие, что

ФЗ7. Для любого ері Є Ф найдутся положительные числа 77, 2 и 2Є Ф

такие, что

sup р2{х + у) + 7]\\х\\ (pi{x) + d, х Є Rn. 1Ы 1

Это никак не отражается на описании сопряженного пространства.

Отметим, что пространство (Ф) инвариантно относительно дифференцирования. Кроме того, оно инвариантно относительно сдвигов. Это важное свойство пространства () следует из условия ФЗ и существенно используется при описании сопряженного пространства к Є(Ф).

До Б.А. Тейлора специальные случаи пространств ((Ф) рассматривались Л. Эренпрайсом [75] и Л. Хёрмандером [82] в связи с различными вопросами анализа. В частности, в [75, Глава 5] отмечено, что в случае, когда Ф = {(р(єх)}є о, гделр - положительная выпуклая функция в Rn, удовлетворяющая условию Ф2, пространство преобразований Фурье-Лапласа функционалов из Є (Ф) состоит из целых функций F\ для которых существуют числа й, с, N. такие, что

\F(z) 6(1 + \\z\\)N ехр((р(с Im z))} z Є Сп.

Полученное описание сопряженного пространства для пространства (Ф) и использованный при этом подход оказались полезными при изучении самых разных задач. Например, они были использованы Л. Эренп-райсом [75, Глава 9] при изучении единственности задачи Коши для?

дифференциальных операторов, К. Беренстейном и Дж. Лесмесом [71], В.В; Напалковым [41], [42] при изучении единственности задачи Коши для операторов свертки, Б.А, Тейлором в связи с описанием сопряженных пространств для введенных им на базе пространств (Ф) более общих "пространств, определяемых операторами свертки" [94], Д. Струппой при изучении проблемы квазианалитичности в весовых пространствах бесконечно дифференцируемых функций в.Жп [93].

Перейдем к обзору результатов работы. Диссертация состоит из введения, шести глав-и списка литературы. Нумерация приведенных во введении теорем, лемм та: же, что ив соответствующих разделах.

Главы Г, 2. В первых двух главах работы изучаются пространства, построенные по типу пространства (Е(Ф) и "пространств, определяемых операторами свертки" [94],.но имеющие более жесткую структуру. В первой главе описание сопряженных пространств к этим пространствам приводится для случая одного переменного. Отдельное рассмотрение этого случая связано с применением специальных методов теории целых; функций одного переменного (в частности; представлением целых функций рядом Лагранжа). Это позволяет либо добиться нужного результата (как, например, Теорема 1.3.1), либо - в ряде ситуаций - добиться лучших результатов, чем в случае многих переменных. Вторая глава ориентирована на случай многих переменных. Введем теперь эти пространства и рассмотрим: каждое из них в отдельности.

Пусть р : Rn -»-R - функция из класса---72-. Введем пространство ( р) - проективный предел банаховых пространств

%п{4 ) = if Є C"W : qm{f) = sup lDaf[ \XlU -00 m Є N. Для каждого ra Є N пространство M+i(tp) вложено в т((р) вполне; непрерывно [13, §5, п. 5.4], поэтому, в соответствии с определением из [55], { р) - пространство (М ). В частности, (ц ) - пространство (М) [55, предложение 7]. То есть, ((р) - пространство Фреше, в; ко \т

тором ограниченные множества являются относительно компактными. Как известно, всякое пространство (М) рефлексивно.

По терминологии из книги [10] {ф) - счетно-нормированное пространство с топологией, определяемой счетной системой норм qm. И поскольку ограниченные множества в {ф) относительно компактны, то по терминологии из [10, глава 1, §6] счетно-нормированное пространство (ср) является совершенным.

Топология (« ) может быть также задана с помощью семейства норм

qp,m(f) = sup 1да/(д)1(ЖИ./ fee ),peZ+,m € N...

xVLn,\a\ p ЄХр[ р(Х))

Очевидно, {ф) инвариантно относительно дифференцирования.

Пусть tp еФ; Отметим, что для,функций из семейства = {(р(х) — т1п(Г-Ья)}тЄ , участвующего в определении пространства {}р) не выполняется условие вида ФЗ (или ФЗГ). Поэтому нельзя гарантировать инвариантность пространства \{ р) относительно сдвигов. Например, для случая п = 1 и (р(х) = хА функция f{x) = ех "х принадлежит классу (p)i а функция д(х) = f(x + 1) не лежит в (ср). Указанная проблема, а также малый зазор между функциями; семейства Ф являют собой определенные трудности:при описания сопряженного пространства для (ср) в случае произвольного ср. Поэтому приходится накладывать дополнительные условия іна лр. То, что функции семейства. Фг могут быть невыпуклыми на ограниченных подмножествах Rn, несущественно.

Для ф Є 7 введем линейное пространство Q{ip) — J Ят(Ф), где

і/сої

со

I zCn

{l+\\z\\)mexpty(Imz))

Снабдим Q(jl ) естественной топологией индуктивного предела. Поскольку для каждого т Є N пространство Ят{ф) вложено в Qm+\{ip) вполне непрерывно, то Q{$) - пространство (LiV ) (согласно определению из [55]). Отметим, что и {ф) - пространство (LN ) (по теореме 5 из [55]).

Заметим, что уже из принадлежности лр классу 71 следует, что для линейных непрерывных функционалов Т над (у?), а также и над другими, далее определяемыми, весовыми пространствами бесконечно дифференцируемых функций, будут корректно определены функции T(z) — Т(е1 ) nT{z)=T{e i z ), zeCn.

Для /х. -0 через 1Z обозначаем класс функций р : W1 —ї Е, для которых существуют положительные числа C p,D p такие, что

р(х) С Ы» -D хвЖп. Имеет место

Лемма 2.1.1. Пусть /х 1, (р Є % . Тогда:

1. найдется число М 0 такое, что \ср (у) — ( ) Л у» если у-а: (1+И) ;.

2. для любого т Є N найдется постоянная Ат 0 такая, что для любого х Є Кп

77?

sup«,х) - Ш - гоЦ1.+ U\\))) -г Р {х) Ат + т ln(l + \\х\\).

Основным результатом первого раздела первой главы (напомним, что в ней рассматривается случай только одного переменного) является

Теорема 1.1.4. Пусть fi 1, (р € ФП 7м. Тогда отображение I : Т Є { р) — Т устанавливает топологический изоморфизм между пространствами ( р) и Q(tp ) Биективность отображения I следует из следующего утверждения.

Теорема 1.1.3. Пусть (р Є Ф. Пусть функция U Є Н(С) удовлетворяет при некоторых С 0,N Є N неравенству

\U(z)\ C(l + )" exp( /? (/m г)), г Є С

ТЪгда существует единственный функционал Т Є ( ) такой, что T(exp(—iz)) = U(z), zSC. Причем,

Г(/) dCW)2(/) , / Є ( ), где Сі 0 ке зависит от U.

Доказательство единственности в теореме 1.1.3. основано на полноте полиномов в ( р). Справедлива

Теорема 1.1.1. Пусть р Є Ф. Тогда многочлены плотны в {ф).

Отметим, что в некоторых случаях полиномы будут плотны в ( р) без предположения о выпуклости функции р є И. Справедлива

Теорема 1.1.2. Пусть рь 1, ер Є Пр.. Тогда многочлены плотны в (ф).

Рассмотрим случай нескольких переменных. Для р -1 ,/хЄ (1,р] через Фр обозначим множество функций ір из Ф, для которых существуют числа:Аф. 0, Др,С 0,Др такие, что всюду вЖп

Cvxf - Dp . р(х) Ау\\х\\р + By. (0.1)

Основным результатом первого раздела второй главы является

Теорема 2.1.1. Пусть р 1,// Є (1,р], р Є Фр,/ - Тогда отображение А : Т Є {ф) —У Т устанавливает топологический изоморфизм между пространствами ( р) и Q((p).

Сюръективность отображения Л следует из результатов F.И. Эски-на [65] (см. также работы B.C. Владимирова; [6], [7]) в случае ср(х) = \\х\\р (р 1) и СВ. Попенова [51]. Согласно им для каждого у Є Rn произвольная функция U(x + гу) Є 5( ), рассматриваемая как элемент из S"(Rn), есть преобразование Фурье обобщенной функции медленного роста ду{) = g()e (y t\ где для обобщенной функции д() Є Т (Жп) имеет место представление в виде суммы конечного числа дифференциальных операторов конечного порядка от непрерывных функций да(0 9І.0 = " (О? е ", пРичем Функции «() удовлетворяют при

а некоторых la. e N,Ca ООЦЄНКЄ #а() Са{1 + Ш\У°Є- Ю, Є RU. УСЛО вие, фигурирующее в правой части неравенства (0.1), связано как раз с этим результатом. Инъективность Д устанавливается на основе теоремы 2.1.2, утверждающей, что многочлены плотны в ( р) при условии, что ір Є 7м, где рь 1. Отметим здесь же, что в случае, когда функция ір из Ф - радиальная, справедливо

Предложение 2.1.1. Пусть ср(х) — t/(a;), где v - функция одной переменной из класса Ф. Тогда многочлены плотны в (ф).

На базе пространства ( р) построим новые весовые пространства бесконечно дифференцируемых функций.

Пусть возрастающая последовательность М положительных чисел Мо = 1, Mi, М2,..., удовлетворяет условиям:

ix). Ml Mk_xMk+u VfcGN;

22)- существуют числа Н\ 1, Н2 1 такие, что для любого к Є Z+

МА+і #i#2fcMfc; г з). найдутся числа Qi 0, Q-i О такие, что для любого к Є Z+

С последовательностью (М ) 0 ассоциируется функция w на [0, оо), определяемая следующим образом:

.А:

7 л

€Z+ Affc

w(r) = sup ln T" , для г 0; w(0) = 0.

Она непрерывна на [0,оо) [27]. Из того, что w(r) — 0 для г Є [0,Мі], и из условия гз) следует, что найдется число Aw 0 такое, что w(r) Awr , г 0. Ясно, что (11 11) - плюрисубгармоническая функция вСп. Пусть (р7ф Є 71. По є 0;m 6 N определим нормированные пространства

G e:m) = {feC (Rn):p m(f)= sup }f оо},

P (e) = (/ Є Я (Є) : A (/) = sup l/(f _ оо) .

І єС" ехр(ф(Іт z) + го (є 1 )) J

Каждое из них является банаховым пространством. Пусть Gv = 00 П П G,(e,m),P = (J Р-ф{є). Наделим Gv топологией проективного

т=1є 0 є предела пространств Gv(er, m), а Р топологией rind индуктивного предела пространств Рф(е) При описании сопряженного пространства для G случаи одного и многих переменных рассматриваются отдельно.

В случае п = 1 накладывается по одному дополнительному условию и на р, и на последовательность М. В предположении, что последовательность (Mfc)jL0 удовлетворяет более ограничительному условию, чем условие 2 2):

г 2). существуют числа Hi 0,Н2 1 такие, что Vi,me Z+

получена1

Теорема 1.2.1. Пусть а 1, р Є Фу функция ф = (р удовлетворяет условию: существует постоянная A$ 0 такая, что

\ф{хі) - ф(х2)\ Лф{1 + \хг\ + кзІГ"1! -я?2І,- Я?І,ЯЇ2-ЄЕ;. (0.2)

Тогда отображение Z : Т G G . — Т устанавливает топологический изоморфизм между пространствами G и Рф.

Это - основной результат второго раздела первой главы.

Таким образом, отображение Z :Т Є G — Т устанавливает топологический изоморфизм между пространствами G и P$.

Сюръективность преобразования Фурье-Лапласа в теореме 1.2.1. устанавливается с помощью представления целых функций из Рф в виде ряда Лагранжа. Идея воспользоваться таким приемом взята из работы Р.С. Юлмухаметова [66]. .Для реализации этой идеи строится специальная целая функция. При этом используются результаты Р.С. Юлмухаметова [67] и М.И. Соломеща [56], [48], [57]. Из них здесь отметим лишь один, менее упоминаемый в литературе. Он получен М.И. Соломещом [56, глава 2, §3, Предложение 7, Предложение 9], [48].

Пусть f - произвольная целая функция с нулями {Aj} с С соответствующих кратностей {mj}JLv Будем предполагать, что все Xj отличны от нуля. Разложение Вейерштрасса функции / имеет вид [25, глава 1, §3]

ДА) = 7(А) П (і - \У ехр [Рі ( ),АЄС,

где д - целая функция, не имеющая нулей, Pj - специальным образом подобранные полиномы, j Є N. Пусть последовательность t = (i/)j i комплексных чисел такова, что для любого j Є N Xj +tj ф 0. Функции /сопоставляется произведение

В этих предположениях результат М.И. Соломеща формулируется следующим образом.

Теорема S. Пусть Xj + tj лежат в непересекающихся кружках D(Xj,rj),rj 0jGN) и f ! lM oo.

СО

Тогда ft - целая функция, причем для X вне [J D(Xj,rj)

\ln\ft(X)\-ln\f(X)\\ C,

где С 0 - некоторая постоянная.

Для случая многих переменных при условии, что возрастающая последовательность М положительных чисел М0 = l,Mi,M2,..., удовлетворяет условиям гі) — г з) получена

Теорема 2.2.1. Пусть кр € ФР)/г, где р 1,// Є (1,/?]. Тогда отображение В : Т Є G — Т устанавливает топологический изоморфизм между пространствами G иР$.

Это - основной результат второго раздела второй главы.

В [94] Б.А. Тейлором на базе пространств ((Ф) были введены "пространства, определяемые операторами свертки", и на основе результата об описании сопряженного для (Ф) было изучено преобразование Фурье-Лапласа линейных непрерывных функционалов над этими пространствами. Определение этих пространств в общем случае довольно громоздко, В качестве модельного для такого типа пространств может выступать пространство 0(Ф) бесконечно дифференцируемых функций / вЖп таких, что для,любых є 0, р Є Ф

ГиєіЛ = SUP -ГТТ7 ; / чч оо,

где возрастающая последовательность М положительных чисел Мб, Afi,M2,..., удовлетворяет условиям г і)- — г3). Семейство норм г є задает на 3(Ф) локально выпуклую топологию.

Несмотря на то, что пространство G не входит в класс "пространств, определяемых операторами свертки", идеи работы [94] оказались полезными при описании пространства G . Этому способствовал следующий результат Р.С. Юлмухаметова [69] (см. ниже Теорема В), обобщающий результат Л. Хермандера [61, теорема 4.4.3.] о продолжении аналитических функций заданного роста с комплексного подпространства на все пространство.

Теорема В. Пусть ф - плюрисубгармоническая функция в Сп, удовлетворяющая условию

\ф{г) - ф(ю)\ М, если \\z- w\\ (1 + \\z\\y,

где 7 0 - некоторое число. Пусть Е - комплексная плоскость в Сп. Для всякой аналитической функции f наТ, такой, что \n\f(z)\ ф(г), существует целая функция U в С1 такая, что U = f на Е и

In \U(z)\ ф{г) + Np ln(z + e + ds), z Є C\

где d% - расстояние от Е до начала координат и постоянная Np зависит лишь от М,7 и не зависит от функций ф и отТ,.

Рассмотрим еще одно пространство бесконечно дифференцируемых функций на числовой оси, для которого в первой главе было получено описание сопряженного пространства.

Пусть возрастающая последовательность М положительных чисел MQ = 1, Mi, М2,..., помимо условий г і), г3), удовлетворяет условию

г/ k-ЇОО \ Мк )

Пусть (ет) =1 - строго убывающая к нулю последовательность положительных чисел, а сг - положительное число. Пусть р Є 1Z. Для краткости полагаем 9т{х) = ex.p(p(x) — mln(l + я)), х Є R, т Є N.

Введем нормированные пространства

\f(kHx)\ GVTOW = {/Є (R) : /wm = sup 7 ДД M oc},mGN

GR,fcGZ+ ( T + mjKМ От[х)

oo

Пусть G a) = f] G p)m(a). С обычными операциями сложения и ум лг=1

ножения на комплексные числа G o) является линейным пространством. Наделим пространство G p(о) топологией проективного предела пространств G ,m(cr).

Положим г т(г) = w((o + Sm)"1 ]), z Є С, т Є N.

Для Є 7?. и каждого га Є N определим нормированные пространства

Р т(ст) = If Є Я(С) : щ%а%М) = sup /( ТПУГ °°}

І єс exp( (/rnz)+w;m( )) J

00 Пусть Рф{о-) — U Р )Ш( х). Наделим пространство Рф(сг) топологией ин 771=1

дуктивного предела пространств Рф,т(о) В указанных предположениях относительно последовательности М справедлива

Теорема 1.3.1. Пусть а 1, р Є Ф, функция ф = ер удовлетворяет условию: существует постоянная Аф 0 такая, что

\ФЫ - ф(х2)\ Лф{1 + \хг\ + \х2\)а 1\хх х2, хъх2е R.

Тогда отображение Т : Т Є (7( т) — Т устанавливает топологический изоморфизм между пространствами G (a) и Рф(а).

Для установления этого результата необходимо было пересмотреть ряд вспомогательных утверждений. Само доказательство проводится по схеме доказательстве теоремы 1.2.1. Необходимо лишь следить за техническими деталями.

Некоторые приложения результатов, полученных в первых двух главах, рассмотрены в главах 3, 4иб.

Глава 3.

В этой главе изучается проблема интегральных представлений решений однородных, линейных дифференциальное уравнений конечного порядка в частных производных, принадлежащих пространствам {ф) и G p. В указанной проблематике важным является понятие аналитически равномерного пространства (AU-пространства).

Напомним, что рефлексивное локально выпуклое топологическое векторное пространство W, содержащее экспоненциальные функции Є Rn(Cn) -» ехр(г г, ), z Є.С, является AU-пространством, если:

(b) линейная оболочка этих экспоненциальных функций плотна в W; для каждого линейного непрерывного функционала Т Є Wf функция f{z) = T{ei z ) - целая.

(c) существует семейство Я непрерывных положительных функций к в Сп таких, что для любого к Є Ли любого F из пространства Wr= {Т : Т Є И7" }, снабженного топологией, при которой отображение Т Є Wf — Т осуществляет топологический изоморфизм между Wf wW\ имеем

Щ& - 0 при-И- -оо, и множества Uk = {F ЄW : \F(z)\ k(z) Vz Є Cn} образуют фундаментальную-систему окрестностей нуля в W.

Из теорем 2:1,Ги 2.2.1 и результатов работы [44] следует, что {ц ) и; Gp являются AU-пространствами.

Л. Эренпрайсом [75] и, независимо, В.П. Паламодовым [49] было показано, что элементы ядер линейных дифференциальных операторов в частных производных с постоянными коэффициентами, действующих в определенных аналитически равномерных пространствах [75, С. 96], допускают естественное интегральное представление. Для примера рассмотрим пространство С°°(Rn) бесконечно дифференцируемых функций в Еп с обычной топологией. Пусть V - полином в G[zi,... , zn], V{D) - линейный дифференциальный оператор в частных производных с постоянными коэффициентами (где D = ). Тогда / Є C°°(Rn) удовлетворяет уравнению V(D)f = 0 тогда и только тогда, когда справедливо представление

Я ) = Е f dj(dc)e d/iyCC), є к?.

Здесь J Є N,rfj(5f) - дифференциальные операторы в частных производных на С" с постоянными коэффициентами, Qj - алгебраические многообразия, содержащиеся в нулевом множестве полинома Р, меры Радона dfij имеют носители, содержащиеся в Qj, и удовлетворяют условию роста, обеспечивающему сходимость интегралов в указанном представлении -для -всех х Є Еп. Аналогичные интегральные представления были получены Л.. Эренпрайсом для решений из определенных локализуемых аналитически равномерных пространств (LAU-пространств) [75, С. 96] и В.П. Паламодовым [49] для решений, принадлежащих специальным классам функций и распределений. Ими же подобные представления получены и для решений однородных систем линейных дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами [75], [49] (в корректной форме в-[49]). Такие интегральные представления

принято называть фундаментальным принципом.

С. Хансен в [80] ввел более широкий, чем в [75], класс пространств (названный также LAU-пространствами), для которых справедлив фун-даментальный принцип. LAU-пространство может быть нестрого определено как локально выпуклое пространство X, сильное сопряженное X которого изоморфно пространству X целых функций, рост которых на бесконечности контролируется семейством весов, удовлетворяющих некоторым техническим условиям. В случаеЬАи-пространств в смысле Хансена эти условия позволяют применять 9-технику Хермандера. Известно,, что, если X - LAU-пространство, то X замкнуто относительно сдвигов, дифференцирования и умножения на полиномы [80,\ Предложение 1].

Проблема описания ядра оператора свертки, действующего в LAU-пространстве H(D) [80] функций, голоморфных в произвольной выпуклой области D из С", изучалась А.С. Кривошеевым [21], [22].

В главе 3 проблема фундаментального принципа рассматривается в скалярном случае (одно уравнение и одна неизвестная функция) для пространств (ср) иС , когда (р принадлежит классу ФР)Д (р 1,// є (1, р]).

Справедлива.

Теорема 3.1.1. Пустьлр принадлежит классу Фр/І (р 1, \і Є (1,р]). Тогда ((р) не является ЬАЬ пространством,

Отметим, что для некоторых р Є Фр,р {р 1,/л Є"(1,р]) и последовательностей (Mfc) 0 пространство G p такжеможет не принадлежать классу локализуемых аналитически равномерных пространств, для которых справедлив "фундаментальный принципа" Эйлера. Например, если tp(x) = \\х\\2, Mk = ((k+1)1)1, к Z+,7 1, то пространство Р$ не инвариантно относительно сдвигов и поэтому Ср не является локализуемым аналитически равномерным пространством. Таким образом, и в случае пространств Gy возможны ситуации, при которых "фундаментальный принципа" Эйлера нельзя получить из результатов работы [80].

В то же время пространства €((р) и G p не подпадают под класс пространств, для которых фундаментальный принцип был получен В.П. Па-ламодовым. В этот класс пространств включаются пространства гладких функций в Rn, для которых сопряженное пространство посредством преобразования Фурье-Лапласа может быть реализовано как пространство целых функций в Сп, удовлетворяющих весовым оценкам, определяемым с помощью возрастающей последовательности мажорант Кш вида Km(z) = -Rm( s)exp(Jm(y)) (z = x + iy), где Rm - вещественнозначньіе положительные функции в Сп, 1т - выпуклые функции в Мп, обладающие свойствами: для каждого т € N

(1.+ \\z\\)Rrn{z) СпДп+1 W, Є Сп;

(l.+ y)exp(/m(y) cmexp(/m+1(y)), 1/-ЄГ;-sup Rm{w) CmRfn+ite), z Є Cn;

wD{ztSm)

sup exp(ITO(t)) cmexp(/m+1(y)), ye Rn,

\\t-y\\ Sm

где Jm 0,cm 0 - некоторые числа. Последнее неравенство в вышеуказанной цепочке неравенств в обоих наших случаях не выполняется.

Таким образом, изучение проблемы фундаментального принципа для линейных дифференциальных операторов в частных производных конечного порядка, действующих в пространствах {ф) и G9 является содержательной задачей.

Перейдем к формулировке результатов. Пусть P(z) = 5Zia m aa a полином от п переменных степени т 1, P{D) = \a\ mctaDa. Пусть N Є Cn - нехарактеристический вектор для Р, то есть Pm(N) ф 0. Считаем, что iV = 1. Пусть д -оператор, действующий на функции /, голоморфные на произвольном открытом множестве ЙсС1, по правилу:

(dNf){z) = - f(z + AiV),A=0 , z є a

Пусть P(z) = P[l{z) • • • Plr{z), где Pu ... , Pr - неприводимые полиномы, h,- • - Jr Є N. Для г = 1,.. • , г пусть

Vi = {zeCl: P{{z) = О, {dNP {z) ф О, Pj{z) ф 0 при j ф i}.

Следующие результаты дают общий вид решений однородных линейных дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами конечного порядка, принадлежащих пространствам ((р) и G .

Теорема 3.2.1. Пусть р 1,/л Є (1,/?] и р Є Фр, - Функция и Є ( р) является решением уравнения P(D)u = 0 тогда и только тогда, когда справедливо представление

г г —і г

и(х) = ЕЕ г МУ / е(х ° ;(0, є Ж",

где меры Радона dfiij имеют носители, содержащиеся в V{, и таковы, что найдется положительная непрерывная функция h в Сп, удовлетворяющая при любом т Є N условию

(1 + 2Гехр( (Де г)) = о(Л( )), И - оо,

такая, что для всех г = 1,... , r;j = О,... , U — 1 JVr h(z)\dp,ij\(z) оо.

Теорема 3.2.2. Пусть ср € Фр, , г ер 1,д Є (1,р]. Функция и из G p является решением уравнения P(D)u = 0 тогда и только тогда, когда справедливо представление

«( )=E J У е(а; с -(с), ієн",

где жеры Радона dfaj имеют носители, содержащиеся в V{, и таковы, что найдется положительная непрерывная функция h в Сп, удовлетворяющая при любом т Є N условию

exp{ p (Re z)+wm(\\z\\))= o(h(z))f \\z\\ - оо,

такая, что для всех і = 1,... , г; j = 0,... , h — 1 fv. h(z)\dfiij\(z) оо.

Доказательство теорем 3.2.1 и 3.2.2 проводится по известной схеме (см., напр., [80]). При этом существенную роль играет нижеформули-руемая теорема 3.2.3, которая имеет самостоятельное значение и может применяться и в других ситуациях. Дело в том, что центральный результат работы [80] - Division and Extension Theorem - в нашей ситуации не пригоден. Указанный результат из [80] является ключевым в решении проблемы фундаментального принципа для LAU-пространств и в скалярном случае формулируется следующим образом [80, С. 240], [4, С. 38].

Теорема F. Существуют дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами и алгебраические многообразия Qj,j = 1,.., , J, и существует постоянная М 0 такая, что утверждения (Div) и (Ext) справедливы для произвольной плюрисубгармонической функциилр в Сп; (Div) Для любой целой функции v : Сп — С

dj(dz)(P(z)v(z))ln. =.0, j = 1,..., J.

Обратно, если целая функция g : Сп — С удовлетворяет

dj{dz){g{z)){aj =0, j = 1,... , J,

то существует целая функция v такая, что g(z) = P(z)v(z)) в Сп и

sup/(z)e- W(l + \\z\\) M sup \g(z)\e-rtz\

z€P zeC"

где PM(Z) = sup p(z + zf), z Є Cn..

\\z \\ M

(Ext) Для любой целой функции g \ €11 -ь С существует другая целая функция f : Сп — С такая, что

dj(dz)(f(z)-9(z))ln.= 0, j = 1,...,J

и

sup \f(z)\e- MW(l + \\z\\yM max sup \g{z)\ z).

Отметим еще, что ранее С. Хансеном был получен такой результат о продолжении голоморфных функции с оценками [79, Теорема 2.3.]..

Теорема Н. Пусть (р - плюрисубгармоническая функция в Сп такая, что

\(p{z2) - p(zi)\ С, если \\z2 - zx\\ 1.

Пусть функция f Є #(С") удовлетворяет условию

sup \(d3Nf)(z)\e W 1, 1 і г, 0 j k - 1.

Тогда найдутся функция g Є Н(Сп), число М 0, не зависящее от f, такие, что

5лг(/ р)(г) = 0 = 1,-.. ,r-;j = 0,... , -1,

sup )e- )(2 + H)- l.

При изучении проблемы фундаментального принципа в случае пространства S((p) нельзя пользоваться ни теоремой Н, ни теоремой F, а в случае пространства G можно пользоваться теоремой F лишь в отдельных случаях.

Наш результат формулируется следующим образом.

Теорема 3.2.3. Пусть и - плюрисубгармоническая функция в Сп такая, что при некоторых М О, d О

\u(z2) - и&)\ М, если 11 2- Ц (1 + 11 11)- .

Пусть функция f Є #(01) удовлетворяет условию

sup \(djNf){z)\e-u 1, 1 і г, 0 j U - 1.

Тогда найдутся функция g Є Н(Сп), число а О, не зависящее от f, и число b 0, не зависящее от f и от и, такие, что

&NU - 9){z)\Vi =0) = 1,-.. ,r;j = 0 / — 1,

и

\g{z)\ a{l + \\z\\fe \ г Є С".

Эта теорема доказана в п. 3.2.4. Доказательство этой теоремы основано на лемме 3.2.1, которая является усилиением леммы 3.1 работы [79] и представляет собой локальную версию теоремы 3.2.3.

Для С Є С", d О пусть UCid = D(C (1 + C)"m(tf+2)).

Лемма 3.2.1. Пусть f Є #(СП), Є Cn,d 0. Пусть пересечение шара

г

U d с множеством М V{ не пусто. Тогда найдется функция g Є 11(11( )

такая, что

г=1

dN(f-9){z)\VinuCtd = 0 « = 1,-.. ,r;j-:=0,-...,fc-l, w Агя любого z Є / ) С(1 + гГ max sup 1 /(01,

где постоянные С 0иу 0не зависят от f и С,.

В ходе доказательства теоремы 3.2.3 используется специальное покрытие пространства С" кубами, диаметры которых полиномиально убывают, когда центры этих кубов стремятся к бесконечности. Построение этого покрытия приведено в п. 3.2.3.

Глава 4. В разделе 4.1 данной главы получено достаточное условие сюръективности линейного дифференциального оператора бесконечного порядка с постоянными коэффициентами в весовом пространстве.( (а) при дополнительных предположениях на последовательность М = (Mk)%L0. При этом изначально предполагается, что (р Є Ф, функция ф.= ф удовлетворяет условию (0.2), а возрастающая последовательность М положительных чисел Мо = 1, Мі, М2) ..., - условиям г і), г ), з) Дополнительных условий на последовательность (Mfc)l0 два:

г4). Vs 1 limn +00 (-ш\ 1; гБ). \/ 5 0 3 ps 0 3 ts I :V п Є Z+

sup "Г p, J?Mn.

Из условия г5), в частности, следует, что lim I ——:— =1.

п-+оо \ Mk )

В ряде случае условие %$) легко проверить (с помощью леммы 4.1.1). В частности, последовательности ((гг + 1) ) 0) ((п + 1) ) =0» ((n + lyn+iJarctsCn+i oo _В03расТающие и удовлетворяют условиям її) - І5).

ОО Пусть L(z) = 2 C Z - целая функция, удовлетворяющая условиям:

LI. Ve 0 3C 0:V zEC L(z) Ceexp(ra;(z)); L2; для 2 Є С вне некоторого множества 5 непересекающихся кружков D(\j,rj) = {z Є С : \z — Aj г },у.= 1,2,... , таких, что: Si. lim Xj = 00;

S2. iim od+ 1 1 + 1 = 0;

при любом 0 имеет место неравенство

\L(z)\ cexp( sw(\z\)),

где сє 0 - некоторая постоянная.

В этих предположениях относительно (р, последовательности М и целой функции L справедлива

Теорема 4.1.1. Для любого д Є 0 р{а) уравнение

оо

разрешимо в Gyicr).

Как известно (см., например, [45], [20] и библиографию там), сюръек-тивность линейных дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами, операторов свертки в различных классах бесконечно дифференцируемых функций или аналитических функций часто благодаря использованию преобразования Фурье-Лапласа и методов функционального анализами] эквивалентна проблеме деления [76] в подходящих пространствах целых функций. При доказательстве теоремы 4.1.1. мы также

пользуемся этим приемом. Он стал известен благодаря работам Маль-гранжа [84] и Эренпрайса [76] и затем использовался во многих работах (см. обзор в [20]), Например, в работах [85], [86], [74] результаты Эренпрайса были распространены на операторы свертки на пространствах ультрадифференцируемых функций [72], [73]. В этих и ряде других работ сопряженные пространства описывались как некоторые подпространства целых функций экспоненциального типа, что несколько облегчало получение необходимых условий сюръективности операторов свертки или линейных дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами в связи с применением принципа Фрагмена-Линделефа. Из результатов по сюръективности линейных дифференциальных операторов бесконечного порядка с постоянными коэффициентами в классах бесконечно дифференцируемых функций на вещественной прямой с весовыми оценками на производные любого порядка можно отметить только работу Ю. Ф. Коробейника [16]. Однако в работе [16] изучалось пространство, существенно отличающееся по своей природе от пространства G .

В разделе 4.2 изучается вопрос о сюръективности линейных операторов, действующих в пространствах бесконечно дифференцируемых функций в выпуклых областях из Rn и являющихся возмущениями опе-раторов свертки.

Для открытого множества О, С Кп через (Q) обозначаем пространство бесконечно дифференцируемых функций f(x) в Q с топологией, определяемой системой норм

\\f\\K N= sup \D f(x)\,

xeKt\a\ N

где К пробегает совокупность всевозможных компактных подмножеств из fi, а N - множество Z+ всех неотрицательных целых чисел.

Определение [62, глава 16]. Пара (Xi,X2) непустых открытых в R" множеств Xi,X2 таких, что Х2 + supp \х С -Xi, называется /х-выпуклой

для носителей, если для любого v Є (Х2)

dist{suppv,W\ Х2) = dist{supp [і u,Rn \ Хг).

Преобразование Фурье-Лапласа й функционала и Є (Шп) определяется по формуле u(z) = (е 0 ), z 6 Сп.

Определение [62, глава 16]. Распределение и Є (R") называется обратимым, а функция и называется медленно убывающей, если для каждого а 0 существует такая постоянная А 0, что для любого

sup й(Є + 77) (Л+Ш-А.

M aln(2+if)

Пусть // / - свертка распределения ji Є (R™) и функции f Є (Хі).

Согласно [62, теорема 16.5.7] уравнение // /"= д имеет решение / Є {Х\) для каждой функции д Є () тогда и только тогда, когда распределение \х Є (Rn) обратимо, а пара(Xi,X2) является /х-выпуклой для носителей.

В разделе 4.2 рассматривается следующая ситуация. Пусть /х Є (Rn) - обратимое распределение, носитель которого supp /л - выпуклое множество с непустой внутренностью. Пусть Х2 - открытое выпуклое множество. Положим Х\ = X2+supp //. Отметим, что пара (Xi,X2) является -выпуклой для носителей. Распределение їх порождает оператор свертки А : (Xi) - (Х2), действующий по правилу

Ш)(х) = (/ /)(X), ХЄ.Г.

Пусть оператор В : (ХХ) -»(Х2) линеен и для любого выпуклого компакта - в Х2 существуют выпуклый компакт Т С int(supp fi) и.число Nr Є Z+ такие, что для любого в 0 такого, что -окрестность Щ компакта К2 предкомпактна в Х2, и для любого N2 Є Z+ найдется число с= c(e,N2) 0 такое, что

В этих предположениях относительно Л и В, Xi и Х2 справедлива

Теорема 4.2.1. Оператор А + В : S{X{) — (-) сюръективен.

Отметим, что Мерзляковым С.Г. в [29] изучалась задача о замкнутости образа возмущений операторов свертки в пространствах голоморфных функций многих переменных.

Глава 5; Генчевым в [77] был рассмотрен весовой вариант теорем Пэли-Винера для случая функций, аналитических в октанте Т : Imz О, к = 1,2,... , п. Затем в работе Генчева и Хейнига.[78] результаты работы [77], касающиеся интегральных представлений функций, аналитических в октанте, и целых функций экспоненциального типа, были развиты на случай более общих весов. Также в этих работах на основе полученного представления Фурье-Лапласа функций экспоненциального типа в октанте из Сп, граничные значения которых удовлетворяют определенным условиям, получены весовые версии теоремы об острие клина. В разделе 5.1 эти результаты распространяются на случай голоморфных функций в трубчатых областях над острыми выпуклыми конусами в1п и целых функций экспоненциального типа более общего роста, чем в указанных работах. Также получена весовая версия теоремы об острие клина в более общей ситуации, чем в [77],,[78]. Перейдем к точным формулировкам. При этом ограничимся рассмотрением лишь некоторых характерных результатов раздела 5.1.

Введем обозначения. Г = { Є Rn : ,t/ 0Уу Є Г}:- конус, сопряженный к конусу Г в Rn. Если Г - открытый выпуклый конус в Rn, 6 - выпуклая в Г однородная степени 1 функция, то77(6, Г) =-{.Є Mn : У НУ) УУ Є F}- ШР -О замкнутое выпуклое множество в!п. Через Тр обозначается трубчатая область над конусом Г: Тг = Rn + іГ. Числа p,q 1 связаны равенством -+- = 1. Преобразование Фурье функции / Є L1(Rn) определяется по формуле

=wrLs(x)ei x i dx Далее в формулировках утверждений С - открытый выпуклый ост рый [8, С. 73] конус вЕпс вершиной в нуле, a(z) - неотрицательная выпуклая непрерывная BTQ однородная степени 1 функция. Через Va(Tc) обозначим пространство функций, голоморфных в Т и удовлетворяющих при любом є 0 оценке

\f(z)\ cexp{a{z)+s\\z\\), сє 0,z € Tc.

Положим b(y) = а(іу), у Є рг С.

Теорема 5.1.3. Пусть функция f Є Va(Tc) имеет граничные значения f0(x) = lira f(x + iy) почти всюду в W1. Предположим, что при р 2

УЄС

f\h{x)\p\\x\fp-2Ux oo.

Rn

Тогда справедливо представление

f(z) = І ехр(-г z,t )g{t) dt, z Є Та,

-U(b,C)

где g Є LP(Rn), supp g С -/(Ь, С).

Теорема 5.1.4. Пусть функция f Є Va{Tc) имеет граничные значения f0(x) = lim f(x + iy) почти всюду в Rn, причем /0-Є І (МП), 1 р 2.

J/-+0, у€С

Тогда справедливо представление

f(z) = J ехр(-г z, і )g{t) dt, z Є ТСї

-ЩЪ,С)

где при р = 1 g Є С(Жп) и supp g С — U(b, С)} а в случае р 1 g Є ЩЖп),$ирр g с -U{b,C) и f \g(t)\p\\t\\n{p-2) dt оо.

При доказательстве теоремы 5.1.3 используется неравенство Харди-Литтлвуда [77], [59]. При р 2 для измеримой в Шп функции и, удовле-творяющей неравенству f Ы )П Г™ «. оно имеет вид

J \u(t)\p dt ср jW)I1C(P"2) dt,

Rn где вр 0 - некоторая постоянная. При доказательстве теоремы 5.1.4 используется неравенство Хаусдорфа-Юнга [58, С, 201] и еще одно неравенство Харди-Литтлвуда [77], [59]

f аді1 ІГ(Р 2) dt cp f \u(t)\p dt, и Є Lp(Rn), К p 2, где cp 0 - некоторая постоянная. Помимо них важную роль играет

Теорема 5.1.1. Пусть д Є Ра(Тс) и для любого Є Ж" lim g(z) М.

zeTc

Тогда \g(x + iy)\ Мєхр(а(гу))7 х.+ гу Є TQ.

Имеет место весовая версия теоремы об острие клина.

Теорема 5.1.5. Пусть a\{z) и a 2(z) - неотрицательные выпуклые непрерывные в TQ и T_QJ соответственно, однородные степени 1 функции. Пусть fi Є Таі(Т-с),І2 Є гРа2 с) и для почти всех х ЄІП существуют граничные значения f\(x) = lim U(x + iy), f2(x)= lim fa(x + iy)i Пусть

V-+0, y 0,

УЄС уЄ-C

fi(x) = /i(#) почти всюду eln, Д u /2 удовлетворяют либо условиям теоремы 5.1.3, либо условиям теоремы 5.1. .

Тогда fi(z) и /2(2) продолжаются аналитически до одной и той же, целой функции f{z)} причем справедливо представление

f(z) = I ехр(-г г, t )g(t) dt, z Є C\ к

где К = (-U(bXlC)) П (-1/(62,-(7)), Ьі(у)- = аг(гу) для у ЄС, Ь2(у) = а2(іу) для у Є — Су g удовлетворяет утверждениям теорем 5.1.3 или 5.1.4, соответственно и supp g С К.

В случае С = Ш1 теоремы 5.1.3 — 5.1.5 были получены Генчевым [77].

Следствие. Пусть a(z) - неотрицательная выпуклая однородная степени 1 функция в Сп, f(z) - целая функция в Сп, удовлетворяющая при любом є 0 оценке

\f{z)\ cexv{a{z)+s\\z\\)} с 0,

и такая, что либо

f\f(x)\p\\x\\n{p-2)dx oo,p 2,

либо f elfiW1), 1 р 2. Тогда

f(z) = / ехр(-г z, і )g(t) dt, z Є С1, к где К = {t Є Шп : - t,y a{iy) Vy Є Rn}, g Є C(Rn) при p = 1; ge Lq(Rn) прире {1,2); g Є 1/(1171) npup 2, и supp g С К V p 1.

При p = 2 преобразование Фурье-Лапласа функций из класса L2(—U(b,C)) фактически описано в [8, С. 157].

В разделе 5.2 изучается преобразования Фурье-Лапласа обобщенных функций, носитель которых лежит в замкнутом выпуклом неограниченном множестве, содержащемся в остром выпуклом открытом конусе С в Жп. Преобразование Фурье-Лапласа обобщенных функций медленного роста, носители которых ограничены со стороны конуса, изучено B.C. Владимировым [7], [8]. В [14] дано описание преобразования Фурье-Лапласа более узких классов обобщенных функций, а именно, обобщенных функций, носитель которых лежит в двумерном гиперболоиде Vfi = {x = (хъх2) ЄЖ2 :хх y/x% + p,2}lfi 0.

Введем ряд определений. Для произвольного открытого множества Q в Шп пусть Ck(Q){0 к со) совокупность всех функций f(x) из Cfc(2), для которых все частные производные Daf(x), \а\ к} допускают непрерывное и ограниченное продолжение на 2.

Пусть F - замыкание открытого выпуклого неограниченного множества из Rn. Пусть SF - пространство быстро убывающих на F С°°-функций /, для которых конечны нормы

vPAf)= sup \D«f(x)\(l + \\x\\y oo, р = 0,1,....

xF,\a\ p

В Sj? введем топологию проективного предела убывающей последовательности банаховых пространств SPjp, где SPtp - пополнение Sp по р-ой норме. Известно (см., напр. [9, глава 1, §1]), что пространство Sp топологически изоморфно пространству S (F) обобщенных функций медленного роста с носителем в F.

Пусть Ь(х) - непрерывная вогнутая позитивно однородная функция в С такая, что Ь(х) 0 для х Є С, Ъ(х) = О для ж, лежащих на границе конуса С Для фиксированного /х 0 пусть D = {х Є С : Ь(х) //}.

Пусть Г = int С . Для у Є Г Аг(у) - расстояние до границы конуса Г.

х Положим Ь () = inf I — , Є Г. Для произвольных а 0,/? 0

хС Ъ\Х)

обозначим через H f(r) пространство функций, голоморфных в Тр, с конечной нормой

afi _ Ч11П /(г)ехр(р6 (У)) SzJr{l+\\z\\Y{l+ {y)) Пусть Н ъ(Г) = j J H f(F). Наделим Н ъ{Г) топологией ИНДУКТИВНОГО

ного предела пространств Л"(Г). Справедлива

Теорема.5.2.2.. Преобразование Фурье-Лапласа устанавливает топологический изоморфизм между пространствами S (D ) и Н ъ(Г).

В [34] рассмотрен случай, когда D = {х = г(,г 0, Є 571"1 : rpcos(p arccos ,г] ) //}, где р 1, TJ Є S "1 = {а; Є Rn : ж = 1}.

Отметим, что Роевер в [91] привел описание преобразования Фурье-Лапласа обобщенных функций медленного роста, носитель которых лежит в произвольном замкнутом выпуклом неограниченном множестве U с непустой внутренностью в Е", не содержащем прямую. По множеству U можно единственным образом определить открытый выпуклый конус Г в Rn и выпуклую позитивно однородную степени 1 в Г функцию 6 так, что U = { Є Rn :.— f,y Ь(у) Vt/ Є Г}. Пусть открытые выпуклые конусы Д.,в Rn исчерпывают конус Г изнутри, к = 1,2,... . Пусть

Уъ,т{Г) -проективный предел пространств функций, голоморфных в-Тгк, с конечной нормой

m = \ш VbMJ) (1 + г)»(1Ч- МГ) ехр(ЬЫ) •

Через УЬ{Г) - обозначим индуктивный предел пространств У т(Г). Теорема 5.6 из [91] утверждает, что преобразование Фурье-Лапласа устанавливает топологический изоморфизм между пространствами S (U) и пространством Ц,(Г). Таким образом, в случае, когда U — D теорема 5.2.2 несет больше информации о росте преобразований Фурье-Лапласа вблизи границы конуса-А

Глава 6. Здесь рассматривается вопрос о представлении бесконечно дифференцируемых функций на числовой прямой из класса G o) рядами экспонент. Предполагаем, что р Є Фи функция ф = tp удовлетворяет условию (0.2). Указанное представление получено при дополнительных предположениях о последовательности М = (Mfc)jl0.

Пусть возрастающая последовательность М положительных чисел Mo = l,Afi,M2,... удовлетворяет помимо условий гх), г ), г"з) ч) еще одному:

i\\ v s і ішіп- +оо (j Y і;

Поскольку субгармоническая функция ф(1гп z)+w(a 1\z\) удовлетворяет (Лемма 1.2.9) условиям аппроксимационной теоремы RC. Юлмуха-метова [67, Теорема 6], то существует такая целая функция TV, что:

1). Все нули {Aj} ! (расположенные в порядке неубывания их модулей) функции N - простые и круги Dj = {z Є С : \z — Xj\ А 1""}, где d - некоторое положительное число, попарно не пересекаются.

оо

2). Вне множества (J Dj при некоторых положительных АУС$ выпол i=i няется неравенство

\ф{1т z) +w{a l\z\) - \n\M{z)\\ Aln(l + \z\) + C0.

При указанных предположениях относительно последовательности М справедлива следующая теорема.

Теорема 6.1.1. Любая функция f Є G p((r) представляется в виде ряда

оо

f(x) = J2c3e = iXjX

абсолютно сходящегося в топологии пространства G (а). Здесь

це С V j Є N.

Данный результат получен на основе изучения свойств последовательности М, теоремы 1.3.1, изучения слабо достаточных множеств для Рф( г) и результата работы [44].

Рассмотрим функцию (она введена в главе 4)

1 / Мі \&

l(s) = Шп +оо— Л/Г , 5 0.

sk \M[sk]+1J

В главе 4 доказана

Лемма 4.1.4. Для любых s 0,8 Є (0,1) существует постоянная Q(s $) 0 такая, что для всех г 0

Мг) ™ [l{s)([ _s)) +Q(s,s).

Пользуясь этой леммой и свойствами функции l(s) (глава 6), можно показать, что в рассматриваемом случае пространство Рф(с) представляет собой индуктивный предел нормированных пространств

zetexp(j/j(Im z) + 7т™( ))

где 0 7т 1 и где 7т - 1 при 777--)-00. Это означает, что в рассматриваемом случае пространство Рф{&) относится к классу пространств, в которых слабодостаточные множества (минимального типа) изучались А.В. Абаниным [1].

Рф(о-,7т) = У Є Я (С) : пф т(/) = sup /I/T и\ Л оо \,

В диссертации приведено независимое доказательство слабой достаточности множества S = {Xj}fjLl нулей функции Л/" для пространства Рф(а) (см. [88]).

Результаты диссертации докладывались на Международной конференции по комплексному анализу и смежным вопросам, посвященной памяти чл.-корр. АН СССР А.Ф. Леонтьева, в Нижнем Новгороде (1997), Международной конференции по теории аппроксимации и ее применениям, посвященной памяти В.К. Дзядыка в Киеве (1999), на Международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова в Абрау-Дюрсо (2000, 2002), на Международной конференции "Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы55 в Уфе (2000), на 11-ой летней Санкт-Петербургской международной конференции по математическому анализу в Международном Институте имени Л. Эйлера (2002), неоднократно - на научных семинарах под руководством В.В. Напалкова в Институте математики с ВЦ УНЦ РАН и на городском семинаре по ТФКП под руководством В.В. Напалкова и И.Ф. Красичкова-Терновского в Башкирском государственном университете.

Основные результаты диссертации опубликованы в [30] - [40], [87] -[89].

Автор искренне признателен члену-корреспонденту РАН, профессору В.В. Напалкову за поддержку, полезные обсуждения и замечания. 

Пространство Gv

Предварительные сведения. Зафиксируем возрастающую последовательность М положительных чисел MQ = l,Mi,M2,..., удовлетворяющих условиям: %т). Ml Mfc-iMfc+x, Vk Є N; і 2). существуют числа Ні 0, Н2 1 такие, что найдутся числа Qi 0, Q2 0 такие, что Полагая Mk .— ((& + l)\)s или Мк — (& + 1)ь, fceN, получим при s 1 важные примеры таких последовательностей. С последовательностью (Mfc)L0 ассоциируется функция w на [0, со), определяемая следующим образом: Она непрерывна на [0, со) [27, глава 1, п. 8]. Справедливо следующее равенство [27, глава 1] Из того, что w{r) = 0 для г Є [0, Мі] и из условия г з) следует, что найдется число Aw 0 такое, что Очевидно, w(\z\),z Є С, - субгармоническая функция в комплексной плоскости. Пусть (р Є 71. Напомним, что для каждогот Є N fm{%) — (ж) — mln(l + \х\)),9т(х) = ехр( ш(ж)), жбЕ. По є 0,т Є N определим нормированные пространства Нетрудно показать, что пространства Gip(e,7n) являются банаховыми. сю Пусть G p = П П Gv(e,m). С обычными операциями сложения и ум т=1е 0 ножения на комплексные числа Gv является линейным пространством. Наделим пространство G топологией проективного предела пространств G(p(e,m). Для функционала Т Є G полагаем f(z) = Т(ег ), f(z) = Т(е г&), z Є С. Функцию Т называем преобразованием Фурье-Лапласа функционала Т. Основная цель этого раздела - описать сопряженное пространство к весовому пространству G в терминах преобразования Фурье-Лапласа функционалов из G . Эта задача решается в пункте 1.2.3. для случая, когда функция (р удовлетворяет дополнительным предположениям. Перейдем к формулировке результата. Пусть ф - произвольная функция из 11. По є 0 определим банаховы пространства Пусть P = \J Рф(е). Наделим пространство Рф топологией T{nd индук є 0 тивного предела пространств Рф{е). Основным результатом раздела 1.2 является следующая теорема. Теорема 1.2.1. Пусть а 1, р Є Ф, функция ф = tp удовлетворяет условию: существует постоянная Аф 0 такая, что Тогда отображение : Т Є Or — Т устанавливает топологический изоморфизм между пространствами G и Рф. Доказательство теоремы 1.2.1 дано в пункте 1.2.3. В пункте 1.2.2 доказываются вспомогательные утверждения, некоторые из которых будут использоваться и в дальнейшем. Отметим, что пространство Gv несколько отличается от пространств типа S и W, изученных в [10] (например, в Gv не для всех элементов определено преобразование Фурье). Приведем пример пространства наиболее близкого к G p. Оно содержится в классе введенных Б.А. Тейлором [94, пункт 4] "пространств, определяемых оператором свертки", и определяется следующим образом (мы ограничиваемся случаем одной переменной). Пусть Ф - семейство выпуклых функций р в R, для которого выполнены следующие условия: Ф1.

Для любых рі,у?2 Є Ф найдется функция рз Є Ф такая, что Для любого р Є Ф ФЗ. Для любого (рі Є Ф найдутся число т] 0 и р2 Є Ф такие, что sup Пусть %= П П ір,є ГДЄ где у? Є Ф,є 0. С обычными операциями сложения и умножения на комплексные числа (5 является линейным пространством. Наделим его топологией проективного предела пространств 5 ,. В [94, пункт 4] было получено описание сопряженного для всех "пространств, определяемых оператором свертки". Однако, для применения метода, использованного там, условие ФЗ существенно. В нашей задаче условие типа ФЗ не выполняется. Поэтому для ее решения используется другой способ. Замечание 1.2.1. Очевидно, для произвольной строго убывающей к нулю числовой последовательности (em)! G p = lim proj Gip(em,m)1 Замечание 1.2.2. Всюду далее в этом параграфе полагаем єт = Н2 Замечание 1.2.3. Для краткости в этом разделе используем более компактные обозначения: wm(r) = w{e .r)y г 0;iV )m(F) = %mWi F Є Рф Замечание 1.2.4. Сюръективность преобразования Z устанавливается с помощью представления целых функций из пространства Р рядом Лагранжа. Идея воспользоваться таким приемом взята из работы [66]. Для реализации этой идеи строится специальная целая функция. При этом используются результаты Р.С. Юлмухаметова [67] и М.И. Со-ломеща [56], [48], [57]. Далее кратко опишем один частный случай из результатов, полученных М.И. Соломещем [56, глава 2, 3, Предложение 7, Предложение 9], [48]. Пусть / - произвольная целая функция с нулями {Xj} jt1 С С соответствующих кратностей {rrij} . Будем предполагать, что все Xj отличны от нуля. Разложение Вейерштрасса функции / имеет вид [25, глава 1, 3] где д - целая функция, не имеющая нулей, Pj - специальным образом подобранные полиномы, j Є N. Пусть последовательность t = (tj)(jLl комплексных чисел такова, что для любого і Є N Xj -f- tj Ф 0. Функции / сопоставляется произведение В этих предположениях результат М.И. Соломеща формулируется следующим образом. Теорема S. Пусть Xj + tj лежат в непересекающихся кружках D(Xj,TJITJ 0 - некоторая постоянная. любых zi,z2 Є С справедливо неравенство Доказательство. Пусть N(r) = min lkeZ+: w(r) = In —— , r 0. Пользуясь равенством (см. [27, глава 1, пункт 8], [66, Лемма 1.2]) оценкой (1.2.2) и учитывая, что N(r) = 0 для 0 г Мг, получаем Из равенства (1.2.5) и оценки (1.2.6) выводим: w(r2) - w(ri) = w(r2) Awe(r2 - 1) Awe(r2 - rx), r2 1, n Є [0,1]. Из того, что w(r) = 0 для г Є [0, МІ], и из двух последних неравенств имеем Отсюда следует утверждение леммы. Замечание 1.2.5. Для случая, когда последовательность (Mfc)i0 -неквазианалитическая, неравенство 1.2.4 получено Р.С. Юлмухаметовым [66,

Лемма 1.2, пункт 2 6]. Замечание 1.2.6. В ходе доказательства леммы 1.2.1 использовались лишь условия г і) и г з). Лемма 1.2.2. Для любых А 0,т Є N существует положительная постоянная Q такая, что Доказательство. Пусть N = [А] + 1. Пользуясь условием i 2), имеем при г sup In - sup In \ + ІП ЯІМАГ). В силу специального выбора последовательности {ет)=1 (см. Замечание 1.2.2.), имеем при г 1 Отсюда утверждение леммы легко следует. Итак, для любых га Є Ми А О найдется постоянная Q 0 такая, что Следующие две леммы показывают, что пространства Gv и Рф принадлежат специальным классам локально-выпуклых пространств, изученным в [55]. Лемма 1.2.3. Пространство G - пространство (М ). Доказательство. По определению пространства (М ) надо показать, что вложения гт+1)ТО : G p m+i — G ptTn вполне непрерывны для каждого т Є N, то есть, образ шара Вг = {/ Є G m+i ІІ/Цт+і r},r 0, в G p,m+i при отображении im+ijTn относительно компактен в G m. Легко видеть, что множество Вг относительно компактно в (М), то есть можно найти последовательность (/„)i х элементов /п из Вг, сходящуюся в (R) к некоторому /0 Є (Ш) при п -» со. Отметим, что Покажем, что последовательность (/n)Li сходится в G m к /о при п — оо. Пусть є 0 произвольно. Выберем а 0 и натуральное р так, Так как (/n)Li сходится в (Ж) к /0 при п - оо, то найдется натуральное N(s), что для всех п N(s) Из оценок (1.2.9) - (1.2.11) следует, что для n N{e) /п — /0 m є. Таким образом, из шара Вг в G m+i удалось выделить последовательность, СХОДЯЩУЮСЯ В GVtm. Лемма 1.2.3 доказана. Из леммы 1.2.3 и [55, теорема 5] получаем Следствие. Пространство G - пространство (LN ). Лемма 1.2.4. Пространство Рф - пространство (LN ). Доказательство. Надо показать, что вложения ym,m+i Рф,т — Рф,т+і вполне непрерывны при любом натуральном т, то есть образ шара Uг = {f Є Рф,т : Щ,т(/) г], Г 0, В-Рф,т При ОТОбражеНИИ 7m,m+l относительно компактен в P m+i По теореме Монтеля выделим последовательность (/n)Li элементов /п из Ur, сходящуюся в Н(С) к некоторому /о Є #(С) при п - со. Отметим, что Щ т(/о) г. Покажем, что последовательность (/n) L1 сходится в Рф,т+1 к /о при п — со. Пусть є 0 произвольно. Для любого а О Учитывая неравенство (1.2.8), выберем a настолько большим, что правая часть последнего неравенства станет меньше є. Далее, в силу равномерной сходимости на компактах последовательности (/n)Li к /о при п — со, существует натуральное N(s), что для всех п N(e) Из (1.2.12).и (1.2.13) следует, что для всех п N(e) i\ ,m+i(/n -/о) є-Таким образом, из шара Ur в Р )ГП удалось выделить последовательность, сходящуюся в РфзТП+і. Это означает, что множество jmym+i(Ur) относительно компактно в P ,m+i Лемма 1.2.4 доказана. Пусть по прежнему р ElZ. Введем пространства снабженные нормами По стандартной схеме [94, Предложение 2.10, Предложение 2.11, Следствие 2.12] устанавливается Лемма 1.2.5. Пусть числа т Є N, с 0 таковы, что для Т Є G

Вспомогательные утверждения

Основным результатом данного раздела является Теорема 2.1.1. Пусть р Є Фр,м, где р 1, / Є (1, р]. Тогда отображение А : Т Є { р) — T(el z ), z Є Сп, устанавливает топологический изоморфизм между пространствами ( р) и Q(jp). Отметим сразу, что в теореме 2.1.1 сюръективность отображения Л следует из результатов Г.И. Эскина [65] (см. также [6], [7] в случае р(х) = жр (р 1) и СВ. Попенова [51] (см. ниже Теорема А) о представлении спектральной функции [6], [7] целой функции специальногофоста. Оставалось лишь показать инъективность отображения А. Для этого в п. 2.1.3. изучается вопрос о полноте системы экспонент в ( р). 2.1.2. Вспомогательные утверждения . Напомним, что для /х 1 через 71 обозначается множество функций tp : Шп — К, для которых существуют положительные числа Cp D такие, что (р{х) С р\\х\\Й - D , х Є Rn. Лемма 2.1.1. Пусть р 1, (р Є 7м. Тогда: 1. найдется число М 0 такое, что \ср (у) — 4 )1 М р, если у-я: (1 + Ы)А; . для любого т Є N найдется постоянная Ат 0 такая, что для любого х Є Еп Доказательство. Так как p Є 7 , то, каковы бы ни были х Є Rn,m Є Z+l точная верхняя грань функции (, ж) — ( () — raln(l +)) переменного Є Rn на 1" достигается в некоторой точке т{х), для которой ГПОЕ) А шЦхЦ + Кт: где постоянная Кт 0 не зависит от ж. Для произвольных точек х,у вШп таких, что \\у — х\\ (1 + ЦжЦ)1 , имеем Отсюда получаем первое утверждение леммы с Mv = 2К0. Далее, для любых т 1, х Є Кп sup((, х) - (у, - mln(l + Цен)) - р (х): mln(l + W) Отсюда получаем второе утверждение леммы. Итак, если fi 1,ір Є 7м, то найдется постоянная М О такая, что Легко показать, что справедлива следующая Лемма 2.1.2. Пусть fi 1, р Є Кц. Тогда найдется постоянная С О такая, что для любого т Є N Теорема 2.1.2. Пусть /z 1, р Є 7м. Тогда многочлены плотны в ( р). Доказательство. Пусть / Є {ф), то есть, / Є C(Rn) и для любого т Є N существует постоянная ст 0 такая, что Приблизим / полиномами в (ф). Это будет проделано в три этапа. 1. Для г 0 пусть Пг = {х Є Шп : \XJ\ r,j = 1,... , п}. Выберем функцию х Є C(R) так, что supp х [—2,2],x0&) = 1 Для х Є [—1,1], О хМ 1 Vx Є R. Положим 7/(ягі,Ж2,... ,ж„) = x(«i)xW-xW. Пусть /,/( ) = f(x)r](j;), v Є N,я Є Мп. Очевидно, /v Є ( ») Покажем, что fv -» / в ((р) при г/ —У со. Для каждого m Є N Следовательно, при v —v сю Далее , Отсюда и из (2.1.4) следует, что qm{fv — /) - 0 при — оо. В силу произвольности m Є N это означает, что последовательность (/j,) сходится к / в ( /?) при - оо. sm2f 2. Зафиксируем v Є N. Пусть h - не равная тождественно нулю целая функция экспоненциального типа не выше 1, принадлежащая классу Li(R) и неотрицательная на вещественной прямой. Можно взять, например, h(z) = — » z Є С. Положим H(zi,z2,... ,zn) = h{z\)h{z2) - -h{zn). Воспользовавшись теоремой Пэли-Винера [18, гл. 6], найдем постоянную Сн 0 такую, что для любого а 6 Z+n Обозначим слагаемые в правой части последнего равенства через ha{x) и /2 а (я), соответственно.

Пусть Kvm = max \(рР fv\{x)\. xRn,/3 m+l В результате элементарных оценок получим хЄЖп,\а\ т О при Л —у +оо. Следовательно, qm(fu,\ — fu) - 0 при Л — +оо. Отсюда, в силу произвольности m Є N, имеем: fVj\ - / в ( ) при Л —» +оо. 3. Зафиксируем Л 0, и Є N. Приблизим fVi\ многочленами в (ф). Я(ж) = UH{X) + . — , где - некоторая точка из (0,1), зависящая от х Є Rn, то, пользуясь неравенством (2.1.5), получаем Пусть Я О таково, что suppfv С Пд. Положим Удг(ж) = ше N. Покажем, что последовательность (V/v) =i сходится к Дд в (ф) при iV —у сю. Пусть m Є N произвольно. Для любых а Є Z",aj Є En Отсюда, пользуясь неравенством (2.1.6), в результате элементарных оценок найдем положительные постоянные Сі и Сг такие, что при любых Таким образом, для любого iV N Воспользовавшись теперь леммой 2.1.2, найдем положительные постоянные Сз, С4 такие, что для любого Ne N Правая часть последнего неравенства стремится к 0 при Л — со. Следовательно, /„,А — K/vm - 0 при N — со. Это означает, что функцию fv,\ удалось приблизить многочленами в [ф), поскольку т Є N было произвольно. Из 1) - 3) следует полнота многочленов в Е((р). Нетрудно убедиться (достаточно обратиться к доказательству теоремы 1.1.1), что в случае, когда функция (р из Ф - радиальная, то справедлива Предложение 2.1.1. Пусть ср(х) = v(\\x\\), где v - функция от одной переменной из класса Ф. Тогда многочлены плотны в {ф). 2.1.4. Описание (ф). Для обозначения преобразования Фурье обобщенной функции / Є 5 (Rn) используем символ J [/], понимая под этим функционал из 5 (Rn), определяемый формулой ( lf], F[g]) = (27r)n(f,g), g Є 5(Rn), где F[g] - преобразование Фурье функции g Є S(W): F\g](x) = fRng(OeiM «. Спектральной функцией функции / Є Н(Сп) называется обобщенная функция g Є V(Rn), обладающая свойствами: і). #(f)e M є s (Rn) ПРИ всех У е м"; 2). f(z) = Р[д()е (у ](х) при всех z = x + iy еСп. При доказательстве теоремы 2.1.1 нам понадобится следующий результат из работы [51]. Теорема А. Пусть ф - некоторая положительная выпуклая в Шп функция такая, что для любого х Є Rn существует у = у{х) Є Шп такое, чтоф (у) = (у, х) — ф(х), и, кроме того, для некоторых постоянных А 0,В 0,(3 0, \\у(х)\\ A\\x\f+B, х Є Rn. Пусть f(z) - некоторая целая в Сп функция, удовлетворяющая-оценке \f(z)\ С(1 + 2) ё , где z = х+ iy,х,у Є Rn,C 0. Тогда ее спектральная функция g() представляется в виде суммы конечного числа обобщенных производных от непрерывных функций да(): д() = У/Рада(), Є Rn, удовле творяющих при всех Є R" и некоторых la G N оценке: \да{)\ Са(1+) е- ).

Теорема А является обобщением теоремы Г.И. Эскина [65], в которой ф{х) — \\х\\р, р 1. Доказательство теоремы А проводится по той же схеме, что и в [65] (см. также [6], [7]), при этом используется следующее свойство преобразования Юнга: для ір Є Ф ( ) = Ц [53]. Для произвольного ер Є Ф через Mtp обозначим множество всех положительных непрерывных функций K(Z) В СП таких, что На множестве Q((p) можно также рассмотреть топологию трг, определяемую с помощью семейства норм вида Согласно [44] топологии aind и орг совпадают. Доказательство теоремы 2.1.1. Если Т Є ( р), то найдутся числа с\ 0, m Є N такие, что t Нетрудно показать (рассуждая также, как и при доказательстве леммы 1.1.4), что для произвольного функционала Т Є {ф) функция T{z) целая функция в Сп, причем для любого aGZ" Воспользовавшись неравенством (2.1.7) и леммой 2.1.1, получим при некотором С2 О Таким образом, линейное отображение Л, сопоставляющее всякому функционалу Т Є ( ) целую функцию Т, действует из { р) в Q( ). Отображение Л непрерывно. Действительно, пусть к - произвольная функция из Мір, О = {/ Є Q{ p) : \f(z)\ K(z)} окрестность нуля в Q((p). Тогда для всякого Т Є { ), принадлежащего поляре в {ф) С ei t,z V ограниченного в {ф) множества —г—г- , имеем Л{Т) Є О. Пользуясь полнотой многочленов в ( ) и равенством (2.1.8), заключаем, что система экспонент {ег )}гЄс" полна в ( р). Следовательно, отображение Л инъективно. Отображение Л сюръективно. Действительно, пусть целая функция U Є Q( p) при некоторых m Є N, с 0 удовлетворяет в Сп неравенству По теореме А для каждого у єШп функция U(x + iy), рассматриваемая как элемент из 5 (Rn), есть преобразование Фурье обобщенной функции медленного роста ду() = #()e_(y , Є Шп, где для обобщенной функции д() Є X (Rn) имеет место представление в виде суммы конечного числа дифференциальных операторов конечного порядка от непрерывных функций да() : д() = а#а(), Є Мп, причем функции #а() удов летворяют при некоторых la G N,CQJ 0 оценке Заметим, что для любого / Є 5(Rn) функционал T на ( р) по формуле Очевидно, T Є {ф)- Из равенства 2.1.9 вытекает, что Т(х) = С/(ж), а; Є Rn. Отсюда по теореме единственности T(z) = U(z), z Є С".

Описание ядер дифференциальных операторов, действующихв -Gv-

Снабдим Xv топологией индуктивного предела пространств Xv ,r Для непустого множества W С С ,т. Є N введем нормированные пространства Пусть K(W) = (J Km(W). Наделим пространство K(W) топологией m—\ Лі индуктивного предела пространств Km(W). Обозначим через 7 , множество функций к Є С(С") таких, что V m N —) со при \\z\\ — со. По схеме из [79, Предложение 2.1.] с использованием леммы 2.2.1 доказывается Лемма 3.2.4. Пространство K{W) состоит из функций f Є C(W), для которых при любом h Є % ,, - 0, когда \\z\\ —со. Топология h{z) Лі совпадает с локально выпуклой топологией на JC(W), определяемой системой норм Ph(f) = sup . . , h Є %,. Рассмотрим топологическое произведение /С := ТТ/С (К)- Обозна г =1 чим через Л/" отображение, сопоставляющее каждой функции F Є Х последовательность M{F) {{d3NF)\y i=l r.-_0- l._1- Так как операция дифференцирования непрерывна в Xv (ввиду неравенств (2.1.2) и (1.2.4)), то линейное отображение Л/" действует из X-v вX непрерывно. Линейное пространство J\f(X ) снабжаем топологией, индуцированной из К. Отметим, что введенная топология совпадает с топологией индуктивного предела пространств I TTX (Vi) 1 f]Af(Xv ), наделенных топологиями, индуцированными из ТТА Ш( І), m Є N. Лемма 3.2.5. Пусть для F Є Х J\f(F) = 0. Тогда существует функция g Є Ху такая, что F(z) = P(z)g{z), zEO1. Доказательство.. Пусть F Є Хр . Тогда F Є "Xv т для некоторого F(z) т Є N. Рассмотрим голоморфную.вне V функцию g(z) = у . Точно так же, как и в [79, Лемма 2.2.] на основе теорем Римана о продолжении [63, глава III, 11, п. 32] доказывается, что g единственным образом продолжается до целой функции. Полагая в лемме Эренпрайса-Мальгранжа г = (1 + ІИІ)1 и пользуясь леммой 3.2.2 и неравенствами (211.2) и (Г.2.4), имеем где С 0 - некоторая постоянная, р = [-М +1- Следовательно, g Є -Xv . Доказательство теоремы 3.2.2. Ограничимся доказательством необходимости. Пусть для и Є G p P(D)u = 0. Пусть I".= {P(z)g(z),g Є Xp }. Очевидно, І С kerj\f. Отсюда, ввиду непрерывности Л/", следует, что / С kerTV. Из леммы 3.2.5 следует, что kerN С /. Таким образом, kerJ\f = I и I замкнуто в Х . Покажем, что отображение N является открытым отображением из Х на М{Х1р ). Пусть U - окрестность нуля в Ху . Покажем, что M(U) - окрестность нуля в N{X ). Положим для краткости фк{г) = ip (Re z) + wk(\\z\\). Для 6 0,к Є N; пусть Uk,s = {f Є Х к :\f{z)\ fe «, z Є Є}, 0M- = {/ Є Х : (0Jr/)( )l Уе «, і. =-1,... ,г;і = 0,... , - 1,2: Є Щ. По теореме 3.2.3 для любых к Є N и / Є Ok,s найдем функцию д Є #(СП), числа ак 0, не зависящее от /, и р є N, не зависящее от / и і, что W-9)\Vi = 0, t = l,... ,г;і = 0, Л -1,иф) W(l+INI)pe « z Є Сп. По лемме 2.2.1 для каждого & Є N-найдется постоянная ск 0 такая, что (l + N)pe сЛе +Л \ z Є Сп. Подберем числа 4 0, & = оо оо 1,2,... так, чтобы [JI/fc+pA С U. Пусть О = [jOkSkC-ia-i. Положим fc=i fc=i = ((/1 ,---,( /)1 ,...,/1 . , ( -V)vr) : /Є }.?г - окрест ность нуля в М(Х р ). Проверка показывает, что, 7 С N(U). Значит, Af(U) - окрестность нуля в М Хф ). Следовательно, Л/" - открытое отображение из Хф uaAf(X(p ).

Таким образом, отображение Л/, действующее из Ху/Г.вЩХу) по правилу: AT(F)=Af(f), где F Є Х /І, / Є F, осуществляет топологический изоморфизм между Х р /1 И Л/"(Ху, ). Из теоремы 2.2.1 следует, что отображение L : Т Є G — T(e z ), 2; Є Сп, устанавливает топологический изоморфизм между пространствами G и J5 .. По к Є ( определим линейный непрерывный функционал Фи на Х р по правилу:.Ф„ (/) = L 1(f)(u), f Є Х . Так как P{D)u = 0, то для любого / Є / Ф«(/) = 0. Это позволяет определить линейный непрерывный функционал Фи на Х р /Г, действующий по правилу &U(F) = Фы(/), F Є Xv /I,f Є F. Отметим, что IU(F) = (ФиоЛ:-1) ,... ,( /) ,...,/1 ,... ,( _1/Ы, FeX /IJeF. Продолжим по теореме Хана-Банаха линейный непрерывный функционал ФиоЛ/"-1 cJ\f(X p ) на /С. Пользуясь леммой 3.2.4, теоремой Рисса об общем виде функционала, получим где меры Радона d имеют носители, содержащиеся в V{, и таковы, что для некоторой положительной непрерывной функции h Є Tip fv МОМАЧЖС) Для всех г = 1,... , r; j = 0,... , Zf — 1. Если в качестве F Є Х р /1 взять класс эквивалентности для /() = е ж , С Є С", ж Є Rn, то получим искомое представление. В данной главе приводится достаточное условие сюръективности линейного дифференциального оператора бесконечного порядка с постоянными коэффициентами в весовом пространстве G,p(a) бесконечно дифференцируемых функций на вещественной прямой. 4.1.1. Введение. Обозначим через V класс неотрицательных выпуклых возрастающих функций г на [0, со), v(0) — 0, удовлетворяющих условиям: По функции v Є V построим пространство G p(cr) следующим образом. Пусть ip Є 7. Как и ранее, будет использовано обозначение: вт(х) = ехр((р(х) - mln(l + \х\)), х Є R,ra Є N. Пусть всюду далее (єт)=1 -строго убывающая к нулю последовательность положительных чисел, а а - положительное число. Длят Є N введем нормированные пространства Через (сг) обозначим проективный предел пространств GVttTtm относительно вложений imn : Gp m -» GViatnim п. В случае выполнения условия функции из G,p(a) будут вещественно аналитичны. В нашем случае функция w определяется так: Очевидно, Inr = o(w(r)), r — +00. Отметим, что из того, что w(r) = 0 для г Є [0,ехр(г;(1))], и из второго условия на v следует, что найдется постоянная Cv 0 такая, что w(r) Cvr , г 0. Зафиксируем число а 1. Далее будем предполагать, что функция у? берется из Ф и удовлетворяет дополнительному ограничению, а именно, функция ф = ip удовлетворяет условию: существует постоянная Аф 0 такая, что для любых Хі,х2 Є К.

О возмущении операторов свертки в пространствах бесконечно дифференцируемых функций в выпуклых областях из Еп .

Напомним, что для открытого множества О, С Шп через (Q) обозначаем пространство бесконечно дифференцируемых функций f{x) в1"с топологией, определяемой системой норм где К пробегает совокупность всевозможных компактных подмножеств из Q, а N - множество Z+ всех неотрицательных целых чисел. Пусть (і Є (Rn), и пусть Х\,Х2 - такие два непустых открытых множества в Еп, что Тогда корректно определена свертка \i / распределения ц и функции / Є (Х1): При этом /z / Є (Х2). Для произвольного v Є pG) пусть /І v - свертка функционалов //иг/- линейный непрерывный функционал на (Xi), действующий по правилу Определение [62, глава 16]. Пара (Хі,Х2) открытых в Rn множеств Хг,Х2, удовлетворяющих условию (4.2.1), называется //-выпуклой для носителей, если для любого V Є (Х2) В [62, глава 16, С. 397] отмечено, что, если Х\ - открытое выпуклое множество в Rn, Х2 = {х Є Rn : {х} + supp її С Xi}, то пара (Xi,X2) является //-выпуклой. Преобразование Фурье-Лапласа и функционала и Є (Rn) определяется по формуле Определение [62, глава 16]. Распределение и Є (Rn) называется обратимым, а функция и называется медленно убывающей, если для каждого а 0 существует такая постоянная А 0, что для любого eRn В [62, глава 16] приведены равносильные условия обратимости /л. Согласно [62, глава 16, Теорема 16.5.7] уравнение // / — д имеет решение / Є {Х\) для каждой функции д Є (Х2) тогда и только тогда, когда распределение // Є (Rn) обратимо, а пара (Xi,X2) является //-выпуклой для носителей. Всюду далее /J, Є (Шп) - распределение, носитель которого supp \i-выпуклое множество с непустой внутренностью. Пусть Х2 - открытое выпуклое множество. Положим Х\ = Х2 + supp а. Отметим, что пара (Хі,Х2) является -выпуклой для носителей. Это следует из теоремы о носителях [62, теорема 4.3.3], [45, теорема 15.19] и из того, что для произвольной выпуклой области Q с!"и для любого компакта Л" С Q имеет место равенство Здесь и далее chK - выпуклая оболочка компакта К. Распределение и порождает оператор свертки А : (Х\) — (Х2), действующий по правилу

Пусть оператор В. : {Х\) - (Х2) линеен и для любого выпуклого компакта К2 в Х2 существуют выпуклый компакт Т С int(supp fi) и число Ni Є Ъ+ такие, что для любого є 0 такого, что -окрестность Щ (то есть, К2 = К2 + D(0, є)) компакта К2 предкомпактна в Х2, и для любого N2 Є Z+ найдется число с = с(є, N2) 0 такое, что Из (4.2.2) следует, что В - непрерывный оператор. Пусть От С Х2 - выпуклые области такие, что: От С Om+i и Х2 = и Ощ. Положим Dm = От + supp ц,Кт = Dm. Тогда Xi = U Km, Кш С intKm+i. Для каждого т Є N пусть Ст(Кт) -пространство функций f(x) из Cm(Dm) таких, что все частные производные Daf(x) до порядка т допускают непрерывное продолжение на Кт, рассматриваемое с нормой Отметим, что Е(Х\) - проективный предел пространств Ст(Кт), причем {Х\) плотно в каждом Ст(Кт), и каждое пространство Cm+1(Km+i) вложено в Ст(Кт) вполне непрерывно. Отметим, что (Х\) - пространство (LN ) и (Х\) - индуктивный предел пространств (Ст(Кт)) [55], [13]. Далее будет использоваться Предложение 4.2.2. Пусть a(z) - неотрицательная выпуклая в Сп однородная степени 1функция. Пусть функция g Є Н(Сп) удовлетворяет оценке: для любого є 0 существует постоянная с О такая, что Предположим, что при некоторых М 0 и N Z+ для любого G 1" Ш М(1+К11)"- To2d Утверждение данного Предложения будет получено как следствие более общего результата в главе 5 (см. Теорема 5.1.2). Теорема 4.2.1. Оператор А + В : {Х{) -» {Х2) сюръективен. Доказательство. Если покажем, что образ оператора АЦ-В замкнут и плотен в {Х2), то теорема будет доказана. Покажем вначале, что образ оператора А + В замкнут в (Х2). Поскольку {Х\) и {Х2) - пространства Фреше, то замкнутость образа оператора -А+ В равносильна замкнутости образа сопряженного оператора (А+ В) [64, С. 712-713]. Пусть функционалы Sk Є {Х2) таковы, что последовательность ((A+B) Sk)kLi сходится в (Хг) кТ Є {Х\).

Сходимость в (Хі) означает, что при. некотором р Є N все функционалы Tk = (A + B) Sk принадлежат (СР(КР)) (и значит, носители функционалов Tk лежат в Кр) и порядок обобщенных функций Тк не превосходит р) и последовательность ( сходится в (Ср(Кр)у. Значит, Т Є (СР(КР)) (и значит, носитель Т лежат в Кр, и порядок обобщенной функции Тк не превосходит р). Это означает, что последовательность (7)j сходится к Т, например, в {Dp+i). Для удобства обозначим Dp+i через Xi, а Ор+\ - через Х2. Заметим, что Х\\\Х2- ограниченные открытые выпуклые множества в Rn, а пара (Xi, Х2) являетсяju-выпуклой для носителей. Продолжим операторы А и В по непрерывности до линейных непрерывных, операторов А и В, действующих из (Х\) в (Х2). По теореме 16.3.10 из [62] А((Х\)) = (Х2). Далее, для любого выпуклого компакта К2 С Х2 существуют выпуклый компакт Г С int(supp у) и число Ni Є-. Z+ такие, что для любого є 0 такого, что -окрестность Щ компакта К2 предкомпактна в Х2, и для любого І\Г2 Є Z+ найдется число с = c(e,N2) 0 такое, что Полагая в (4.2.3) К2 = {х Є Х2 : dist(x,dX2) о} где є0 - достаточно малое положительное число, убеждаемся, что В является компактным оператором из (Х\) в (Х2). По теореме 9.6.7 из [64] образ оператора А+В замкнут в (Х2). Тогда образ оператора (А+В) замкнут в (Хі). Пусть Х2,т Х2у (тп :=- 1,2,...) - открытые выпуклые множества такие,_что Х2,т (Ё Х2, Х2,т С X2,m+i, Х2 ==- и =1Х"2,то. Тогда Xi = и =1(Х2,т 4- suppц). При некотором т Є N носители функционалов Т,. Тк = (Л + B) 5fc (А; = 1,2;...) лежат в X2,m + supp ц. Для произвольного к Є N рассмотрим функционал Sk и покажем, что выпуклая оболочка wk носителя этого функционала содержится в Х2 т+2. Допустим противное. Тогда найдется точка Є wk, не лежащая в Х2,т+2. Найдется гиперплоскость в Ж1, разделяющая Х2іТП+2 и . Но тогда найдется и точка /о Є R" такая, что Далее, обозначая через N2tk порядок распределения Ski для произвольного (достаточно малого) 5 0 найдем постоянную С$ 0 такую, что для

Похожие диссертации на Весовые пространства бесконечно дифференцируемых функций

Классификация пространств бэровских функций, пространств непрерывных конечнозначных функций и свободных периодических топологических группГензе, Леонид Владимирович

Характеристические свойства некоторых операторов гармонического анализа в весовых пространствах функций ограниченной средней осцилляции и пространствах ХардиФам Тиен Зунг

Вложение пространств функцийАльперин, Михаил Исаакович

Интегральные операторы в пространствах функций на однородных группах и на областях RnГулиев, Вариф Сабирович

Меры на пространствах функций и начально-краевые задачиТарасенко Павел Юрьевич

Базисы в банаховых пространствах функций одной переменной, удовлетворяющих обобщенному усиленному условию ГельдераБычков, Андрей Борисович

Теоремы об интерполяции функциональных пространств функций, определенных в многомерной областиЯхья Халиль Хассан

Дифференциальные операторы в пространствах функций бесконечномерного аргументаФролов, Николай Николаевич

Теоремы продолжения для пространств функций, определяемых локальными приближениями Шварцман Павел Анатольевич

Нелинейные непрерывные функционалы на топологических пространствах функцийЛазарев, Вадим Ремирович