Введение к работе
Актуальность темы. В диссертации исследуются свойства операторов Теплица на модельных пространствах.
Рассмотрим классическое пространство Харди Я2 в единичном круге комплексной плоскости. Пусть Р+ обозначает проектор Рисса в пространстве L2 на единичной окружности, то есть ортогональный проектор в L2 на Н2. Оператором Теплица с символом <р є L называется отображение
T^.f^P+^f), feH2. (1)
Теория операторов Теплица в пространстве Харди хорошо развита и имеет множество приложений. Операторы Теплица рассматриваются и в других пространствах аналитических функций, например, в пространствах Бергмана, Пэли-Винера, Баргмана-Фока, Дирихле и др. В настоящей диссертации исследуются свойства операторов Теплица, действующих в так называемых модельных пространствах. Такие операторы называются усеченными операторами Теплица.
Модельные пространства суть инвариантные подпространства оператора обратного сдвига S* : / н> LzILJ.^ действующего в пространстве Харди Н2. Из теоремы А. Берлинга следует, что замкнутое подпространство Е С Н2 инвариантно относительно оператора S* тогда и только тогда, когда Е = К$ для некоторой внутренней функции в, где
К2 = Я2 0 вН2 = {/ Є Я2 : (/, вд) = 0 для всех д Є Я2}.
Функция в є Я2 называется внутренней, если \0(z)\ = 1 почти всюду по мере Лебега на окружности Т. Пусть Ре обозначает ортогональный проектор на Kg в пространстве L2. Усеченным оператором Теплица с символом <р є L2 называется плотно заданный оператор
Ау-./^РоЫ), /ЄЯ2ПЬ, (2)
действующий в пространстве Kg. В случае, когда оператор Av ограничен на своей области задания, будем считать его продолженным по непрерывности на все пространство Kg.
Операторы (2) естественно рассматривать как усечения "больших" операторов Теплица (1) на меньшее подпространство. Например, матрица Теплица размера п х п, получающаяся из бесконечной матрицы {(Tvzk,z1)} оператора Tv выбором первых п строк и п столбцов, порождает усеченный оператор Теплица Av (с тем же символом ф) в конечномерном пространстве Kjj, где в = zn. Другой пример: известно,
что операторы Винера-Хопфа свертки на полупрямой [0, +оо) унитарно эквивалентны операторам Теплица (1). Их усечения, т.е. операторы Винера-Хопфа на отрезке [0, а],
^:/и> Г f(t)k(s-t)dt, fEL2[0,a],
унитарно эквивалентны усеченным операторам Теплица в пространстве Kga, где Sa(z) = emz — внутренняя функция в верхней полуплоскости.
Усеченные операторы Теплица с ограниченными аналитическими символами естественным образом возникают в скалярном случае модели Б.Секефальви-Надя-Ч.Фойаша для сжатий в гильбертовом пространстве при построении і7-исчисления модели исследуемого сжатия. Этим объясняется интерес к таким операторам и тот факт, что они хорошо изучены (см., например, книгу Н.К.Никольского "Лекции об операторе сдвига"). С другой стороны, до недавнего времени имелось сравнительно мало информации об усеченных операторах Теплица с Ь2-символами общего вида. В статье "Algebraic properties of truncated Toeplitz operators", опубликованной в 2007 году, Д.Сарасон исследовал общие свойства таких операторов и поставил ряд вопросов, определивших дальнейшее развитие этой области. Оказалось, что усеченные операторы Теплица тесно связаны с мерами Карлесона для модельных пространств, возможностью слабой факторизации псевдопродолжимых функций, условиями П.Ахерна и Д.Кларка существования угловых производных внутренних функций, свойствами модельных пространств, отвечающих однокомпонетным внутренним функциям. Основное содержание настоящей диссертации связано с ответами на три вопроса из вышеупомянутой статьи (см. задачи 1, 2, 4 в пункте "Цели и задачи диссертации"). Полученные результаты применяются к исследованию свойства гиперрефлексивности оператора усеченного сдвига (т.е. усеченного оператора Теплица с символом
Цели и задачи диссертации заключаются в следующем:
-
Дать критерий существования ограниченных символов у всех ограниченных усеченных операторов Теплица, действующих в пространстве К$ в терминах внутренней функции в;
-
Доказать, что все ограниченные усеченные операторы Теплица порождаются мерами Карлесона для модельных пространств или построить контрпример к этому утверждению;
-
Описать те модельные пространства К^2, в которых возможна слабая факторизация функций / є К^2 в сумму произведений / = J2xkVk, xk,yk Є К% с оценкой норм;
-
Полностью описать усеченные операторы Теплица конечного ранга в терминах воспроизводящих ядер модельных пространств;
-
Выяснить, при каких условиях на внутреннюю функцию в оператор усеченного сдвига в пространстве Kg обладает свойством гиперрефлексивности или свойством относительной гиперрефлексивности;
-
Исследовать вопрос о существовании усредненных волновых операторов для унитарных операторов U\, U2 и ограниченного оператора отождествления Д в случае, когда гапк(А[Д — U2A) ^ 2 и спектральные меры операторов [Д, [Д не являются абсолютно-непрерывными.
Все необходимые определения и формальные постановки задач приводятся в параграфе "Содержание работы".
Методы исследования. Доказательство большинства результатов использует методы комплексного анализа, относящиеся к теории модельных пространств. Для исследования задач 5 и 6 (см. список выше) привлекаются сведения из теории операторных алгебр и спектральной теории унитарных операторов.
Научная новизна. Все результаты, выносимые на защиту, являются новыми. Основными результатами диссертации служат теоремы 1, 2, 3, 5, 8, формулируемые в параграфе "Содержание работы".
Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации носят теоретический характер. Они могут найти применения в различных областях математического анализа и теории операторов, таких как теория модельных пространств, теплицевы матрицы конечного порядка, интегральные операторы Винера-Хопфа, операторные алгебры, математическая теория рассеяния. Результаты диссертации могут быть использованы специалистами, работающими в Математическом институте им. В.А.Стеклова РАН, Институте математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН, Московском государственном университете, Санкт-Петербургском государственном университете, Сибирском федеральном университете, а также в других ведущих российских и зарубежных научных центрах.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на нескольких международных школах и конференциях: Seventh Advanced Course in Operator Theory and Complex Analysis (University of Seville, Испания, 2010), Recent Trends in Analysis (University Bordeaux 1, Франция, 2011), Operator Theory and Integrable Systems (Institute Mittag-Lefler, Швеция, 2011), Summer St.Petersburg Meeting in Mathematical Analysis (Институт им. Л.Эйлера, Санкт-Петербург, 2010, 2011 и 2012гг.). Также результаты диссертации докладывались на семинаре по теории операторов и теории функций Санкт-Петербургского отделения института им. В.А.Стеклова и на семинаре по анализу университетов США California Institute of Technology, Texas A&M University.
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в четырех работах, список которых приводится в конце автореферата. Из двух совместных работ [1], [2] на защиту выносятся только те результаты, основная идея доказательства которых принадлежит диссертанту.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из 10 глав, включая главу "Введение". Объем диссертации составляет 95 страниц. Библиография - 65 наименований.
