Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Регулярные и порядково-непрерывные операторы в пространствах 11
1.1. Компонента положительного оператора . 12
1.2. Метод соответствий 23
1.3. Тензорное произведение пространств 46
Глава 2. Решеточно-нормированные пространства и мажорированные операторы 54
2.1. Полнота и пополнение 57
2.2. О пространстве мажорированных операторов 69
2.3. Продолжение мажорированных операторов . 75
2.4. Пространства непрерывных вектор-функций . 79
Литература 90
- Компонента положительного оператора
- Тензорное произведение пространств
- О пространстве мажорированных операторов
- Пространства непрерывных вектор-функций
Введение к работе
Наличие естественных порядков во многих объектах классического анализа привело к интенсивному развитию теории упорядоченных векторных пространств, основы которой были заложены в работах Д.В.Канторовича и его школы [18-20, 64] . Значение теории упорядоченных векторных пространств определяется тем, что, с одной стороны, она служит мощным средством исследования конкретных пространств, и, с другой стороны, существуют тесные связи между этой теорией и такими разделами математики, как общая теория банаховых пространств, теория меры и интеграла, теория функций, выпуклый анализ, общая топология. Особенно усилились эти связи за последние годы. Обзоры по этой тематике имеются в работах [10-12, 18, 29, 34, 39, 50 ] .
Одним из важнейших результатов теории упорядоченных векторных пространств является спектральная теорема Фрей-денталя (см., например, [20, 15, 70 J ). По существу эта теорема показывает, что если -К , являются элементами -пространства и & і -и ^ Є , то <с может быть аппроксимирован линейными комбинациями "осколков" е , т.е. таких элементов р ( О ^р < е ), что р л (Q.-fi-fB, Этот результат, имеющий многочисленные интересные приложения [15, 66 J , подчеркивает важность изучения структуры полной булевой алгебры "осколков" t - базы главной компоненты (в у . Информация о базе ^-{-пространства (eS в свою очередь, приводит к выяснению устройства самой ком-поненты l е] . Особенно важной и трудной эта проблема является для пространства регулярных и, в частности, по-рядково-непрерывных операторов. Она связана с вопросами аналитического описания операторов, действующих в 7{-пространствах, такими, как например, интегральные и факториза-ционные представления ^5,6,9,10,15,16,29,55,58,63,67-72, 77-80J .
Одним из основных инструментов исследования базы пространства регулярных операторов является дизъюнктность. Первые результаты в этом направлении были получены А.Г.Пин-екером и, частично, Б.З.Вулихом (см. [15, 20j ) и относятся к пространству порядково-непрерывных функционалов. Ими получен следующий признак. Для дизъюнктности положительных порядково-непрерывных функционалов необходимо и достаточно, чтобы были дизъюнктны компоненты их существенной положительности l5, 20 J . Хотя этот признак в части достаточности остается справедливым и для произвольных положительных операторов, он не переносится в полном объеме на операторный случай. Объясняется это тем, что компонента существенной положительности порядково-непрерывного положительного оператора недостаточно информативна и, в частности, не отражает структуры его образа. Заметим, что этот признак не переносится даже на случай произвольных положительных функционалов. Признак дизъюнктности порядково-непрерывных функционалов привел сразу же к аналитическому описанию базы пространства порядково-непрерывных функционалов. Вслед за этим были получены общие представления порядково-непрерывных функционалов /~15, 20, 16 ] и реализационные теоремы для пространства регулярных функционалов [16, 28, 35 ] . А.Г.Пинскером было доказано, что компоненты порядково-непрерывных и сингулярных функционалов образуют разложение пространства регулярных функционалов [^20 J .
Дальнейшее продвижение в этой области связано с введенным Г.Я.Лозановским классом операторов близких к функционалам: классом почти интегральных операторов [41] . Г.Я.Лозанов-ский в [41J , а, затем, Ю.Сынначке в [50J показали, что в непрерывном ^-пространстве тождественный оператор дизъюнктен компоненте почти интегральных операторов. Почти интегральные операторы были позднее подробно изучены А.В.Бухваловым в [iOJ . Этой же тематике посвящены работы [78-80 J . А.Г.Кусраевым было получено описание базы компоненты почти интегральных операторов и, как следствие этого, соответствующее аналитическое представление.
С.С.Кутателадзе [33, 34, 30 J , В.Люксембургом и А.Шепом [69] изучены главные компоненты, порождаемые соответственно порядково-непрерывными решеточными гомоморфизмами и порядково-непрерывными положительными операторами, переводящими порядковые отрезки в порядковые отрезки (так называемыми операторами Магарам). В [69] дано аналитическое описание упомянутых компонент. Такое описание было получено с помощью следующего факта. Компонента, порожденная образом положительного оператора Магарам, имеет базу изоморфную правильной подалгебре базы компоненты существенной положительности. Ранее такого сорта результат был установлен в [28J для одного важного случая оператора Магарам, а именно, для оператора ограничения. При этом была установлена возможность одновременного продолжения регулярных операторов с мажорирующей подрешетки. В работе А.Г.Кусраева [29] установлена булевозначная реализация операторов Магарам, из которой легко выводятся известные результаты, а также некоторые новые факты. Основной момент при этом заключается в том, что произвольный оператор Ма-гарам является интерпретацией в подходящей булевозначной модели порядково-непрерывного положительного функционала.
Более общие классы операторов начали изучаться в последнее время. В работах [_57, 75 J получен критерий дизъюнктности операторов, действующих из произвольного ^-пространства в Д^-пространство с достаточным числом порядково-непрерывных функционалов. В работе L57J , в тех же предположениях, получена формула проектирования на главные компоненты в j^-пространстве регулярных операторов. Эти результаты, несомненно, означают большой прогресс в теории регулярных операторов, хотя они и получены при существенных ограничениях. Стоит также отметить работу [56 ] , где изучается оператор проектирования на компоненту порядково-непрерывных операторов.
Другой подход к исследованию структурных свойств пространства операторов поставляет аппарат тензорных произведений. Тензорное произведение позволяет рассматривать пространство билинейных отображений как пространство линейных отображений и, тем самым, пространство линейных операторов как пространство линейных функционалов. Последнее же, зачастую, поддается детальному исследованию (как, например, пространство порядково-непрерывных функционалов). Тензорное произведение упорядоченных пространств рассматривалось многими авторами 9,39,55,61,74^ . Обычно оно снабжалось некоторой нормой и исследовалось методом теории банаховых пространств. Тензорное произведение банаховых решеток исследовалось в [^9,34,51,54,74 1 , где оно, наделенное естественным порядком, превращалось в банахову решетку.
В [_6lj строится тензорное произведение архимедовых векторных решеток относительно класса положительных билинейных операторов. Однако такое тензорное произведение не может быть использовано для описания порядково-непрерывных билинейных операторов.
Еще одна развивающаяся область функционального анализа связана с введенными Л.В.Канторовичем пространствами с обобщенной (решеточной) нормой [19, 20, 653. Она позволяет в абстрактной форме охватить некоторые аспекты, являющиеся существенными для исследования конкретных функциональных уравнений, которые не могли найти отражения в банаховой теории. Это, во-первых, идея мажорации одного уравнения другим, играющая большую роль при исследовании уравнений; во-вторых, возможность использования в качестве значений нормы вместо вещественных чисел элементов ^f-npo-странства, что приводит к существенному уточнению оценок.
Пространства с обобщенной нормой являются естественными объектами векторной двойственности (см. [26,27,29,Зі]\ идея построения которой была высказана Г.П.Акиловым. Математические объекты с обобщенной нормой рассматривались многими авторами [5-9, 18-25, 42-46, 52, 53, 65] . Наиболее близкими по тематике к данной работе являются статьи [21-24, 45] , где исследуются в довольно частном случае вопросы полноты и пополнения пространств с обобщенной нормой. В [45] показано, что пространство с обобщенной нормой, принимающей значения в регулярном ^-пространстве, допускает секвенциальное пополнение. В [21, 22] изучается полнота относительно г-сходимости пространства операторов с абстрактной нормой и пространства непрерывных вектор-функций. Общий критерий полноты пространств с обобщенной нормой недавно получен А.Г.Кусраевым (см., например, [Зі] ). Следует также отметить работы А.В.Бухвалова f6,9J, в которых исследуются важные конкретные пространства с обобщенной нормой: пространства вектор-функций, мажорированных операторов и операторов с абстрактной нормой.
Суммируя изложенное, можно сказать, что в последние годы в теории упорядоченных пространств произошли существенные сдвиги. С одной стороны, интенсивно развивается изучение пространства регулярных операторов, а с другой -появились новые глубокие результаты о структуре пространств с обобщенной нормой и операторов, действующих в них.
Настоящая работа посвящена исследованиям в этих двух направлениях. В первой главе диссертации изучается структура пространства регулярных операторов, действующих в ^-пространствах, а во второй - структурные свойства пространств с обобщенной нормой.
В параграфе I.I изучается структура главных компонент пространства регулярных операторов. Описывается база произвольной главной компоненты этого пространства и доказывается признак принадлежности положительного оператора компоненте, порожденной другим положительным оператором. Выводится формула проектирования на главные компоненты пространства регулярных операторов. Эти результаты являются усилением соответствующих результатов Б.Пагте, С.Алипран-тиса, О.Буркиншоу [75, 57J .
В параграфе 1.2 предлагается новый подход к понятию носителя порядково-непрерывного оператора, на основании которого дается явное описание классов порядково-непрерыв- ных решеточных гомоморфизмов и операторов Магарам. Используя такое описание, доказываются признаки дизъюнктности операторов из указанных классов. Показывается, что, в случае непрерывных ^-пространств, решеточные гомоморфизмы и операторы Магарам дизъюнктны компоненте почти интегральных операторов. Этот факт обобщает результаты Г.Я.Лозанов-ского [413 и Ю.Сынначке [50 ] .
Параграф 1.3 посвящен построению тензорного произведения в классе рефлексивных по Накано ^-пространств относительно регулярных порядково-непрерывных по каждой из переменных билинейных операторов.
Во второй главе изучается структура пространств с обобщенной нормой (в диссертации они называются решеточно-нормированными пространствами). При этом существенно используются результаты первой главы.
В параграфе 2.1 исследуются вопросы полноты и пополнения решеточно-нормированных пространств. Доказываются один критерий полноты и существование единственного (с точностью до алгебраического изоморфизма и линейной изометрии) пополнения.
В параграфе 2.2 рассматривается пространство мажорированных операторов и дается положительный ответ на вопрос из монографии [20] о разложимости обобщенной нормы в этом пространстве.
В параграфе 2.3 рассматривается пространство мажорированных операторов, имеющих порядково-непрерывные мажоранты, и показывается их однозначная распространимость на пополнение.
Последний параграф второй главы носит иллюстративный характер. В нем изучаются структура и полнота пространств непрерывных вектор-функций. Для этих пространств доказывается» в частности, аналог теоремы Петтиса об измеримых вектор-функциях.
Результаты диссертации докладывались в Новосибирском и Ленинградском государственных университетах, в Институте математики СО АН СССР, на IX школе по теории операторов в функциональных пространствах (Тернополь, 1984 г.).
Основные результаты работы опубликованы в [31, 32, 47-49] .
Компонента положительного оператора
Еще одна развивающаяся область функционального анализа связана с введенными Л.В.Канторовичем пространствами с обобщенной (решеточной) нормой [19, 20, 653. Она позволяет в абстрактной форме охватить некоторые аспекты, являющиеся существенными для исследования конкретных функциональных уравнений, которые не могли найти отражения в банаховой теории. Это, во-первых, идея мажорации одного уравнения другим, играющая большую роль при исследовании уравнений; во-вторых, возможность использования в качестве значений нормы вместо вещественных чисел элементов f-npo-странства, что приводит к существенному уточнению оценок.
Пространства с обобщенной нормой являются естественными объектами векторной двойственности (см. [26,27,29,Зі]\ идея построения которой была высказана Г.П.Акиловым. Математические объекты с обобщенной нормой рассматривались многими авторами [5-9, 18-25, 42-46, 52, 53, 65] . Наиболее близкими по тематике к данной работе являются статьи [21-24, 45] , где исследуются в довольно частном случае вопросы полноты и пополнения пространств с обобщенной нормой. В [45] показано, что пространство с обобщенной нормой, принимающей значения в регулярном -пространстве, допускает секвенциальное пополнение. В [21, 22] изучается полнота относительно сходимости пространства операторов с абстрактной нормой и пространства непрерывных вектор-функций. Общий критерий полноты пространств с обобщенной нормой недавно получен А.Г.Кусраевым (см., например, [Зі] ). Следует также отметить работы А.В.Бухвалова f6,9J, в которых исследуются важные конкретные пространства с обобщенной нормой: пространства вектор-функций, мажорированных операторов и операторов с абстрактной нормой.
Суммируя изложенное, можно сказать, что в последние годы в теории упорядоченных пространств произошли существенные сдвиги. С одной стороны, интенсивно развивается изучение пространства регулярных операторов, а с другой -появились новые глубокие результаты о структуре пространств с обобщенной нормой и операторов, действующих в них.
Настоящая работа посвящена исследованиям в этих двух направлениях. В первой главе диссертации изучается структура пространства регулярных операторов, действующих в -пространствах, а во второй - структурные свойства пространств с обобщенной нормой.
В параграфе I.I изучается структура главных компонент пространства регулярных операторов. Описывается база произвольной главной компоненты этого пространства и доказывается признак принадлежности положительного оператора компоненте, порожденной другим положительным оператором. Выводится формула проектирования на главные компоненты пространства регулярных операторов. Эти результаты являются усилением соответствующих результатов Б.Пагте, С.Алипран-тиса, О.Буркиншоу [75, 57J .
В параграфе 1.2 предлагается новый подход к понятию носителя порядково-непрерывного оператора, на основании которого дается явное описание классов порядково-непрерывных решеточных гомоморфизмов и операторов Магарам. Используя такое описание, доказываются признаки дизъюнктности операторов из указанных классов. Показывается, что, в случае непрерывных -пространств, решеточные гомоморфизмы и операторы Магарам дизъюнктны компоненте почти интегральных операторов. Этот факт обобщает результаты Г.Я.Лозанов-ского [413 и Ю.Сынначке [50 ] .
Параграф 1.3 посвящен построению тензорного произведения в классе рефлексивных по Накано -пространств относительно регулярных порядково-непрерывных по каждой из переменных билинейных операторов.
Во второй главе изучается структура пространств с обобщенной нормой (в диссертации они называются решеточно-нормированными пространствами). При этом существенно используются результаты первой главы.
В параграфе 2.1 исследуются вопросы полноты и пополнения решеточно-нормированных пространств. Доказываются один критерий полноты и существование единственного (с точностью до алгебраического изоморфизма и линейной изометрии) пополнения. В параграфе 2.2 рассматривается пространство мажорированных операторов и дается положительный ответ на вопрос из монографии [20] о разложимости обобщенной нормы в этом пространстве. В параграфе 2.3 рассматривается пространство мажорированных операторов, имеющих порядково-непрерывные мажоранты, и показывается их однозначная распространимость на пополнение. Последний параграф второй главы носит иллюстративный характер. В нем изучаются структура и полнота пространств непрерывных вектор-функций. Для этих пространств доказывается» в частности, аналог теоремы Петтиса об измеримых вектор-функциях.
Результаты диссертации докладывались в Новосибирском и Ленинградском государственных университетах, в Институте математики СО АН СССР, на IX школе по теории операторов в функциональных пространствах (Тернополь, 1984 г.).
Тензорное произведение пространств
Из этой теоремы следует, что для любого Ж-пространства к сопряженное J!-пространство с является рефлексивным (см. [I5J ).
Пусть Е » F и G являются произвольными рефлексивными [/{ -пространствами, и B(EJEy(j-) обозначает пространство всех билинейных отображений (операторов) частичный порядок, считая, что 4 О , )"?${ &0е эО положительный билинейный оператор) ( 40) ) Є B(,Fl G))t если а соотношение означает 0., )Ъ л {(х,у) О для некоторых Х и Ч . Билинейный оператор 4 О /) = В (F,F;G) называется регулярным, если он представляется в виде разности двух положительных билинейных операторов: -v С - у ) - (- , )-? ( г) (% ( )? , Ч . Линейное подпространство пространства 3CF, F; Сг) » состоящее из всех регулярных билинейных операторов, обозначим через обозначим линейное подпространство пространства Ог (F, Fj &) , состоящее из всех билинейных порядково-непрерывных (по каждой из переменных при фиксированной другой) операторов.
Рассмотрим упорядоченное векторное пространство и( FjFj ) всех регулярных порядково-непрерывных по каж дой из переменных билинейных функционалов где В » F - произвольные рефлексивные -простран ства и R - ЯГ -пространство действительных чисел. По очевидным соображениям Bh (F, F;R) алгебраически и струк турно изоморфно 7{ -пространству регулярных порядково-непрерывных операторов, действующих из F ъ F ( F - % -пространство всех порядково-непрерывных функ ционалов над F ). Как известно (см., например, f50j ), 71 -пространство всех регулярных операторов, действующих из произвольного % -пространства в рефлексивное, само является рефлексивным -пространством. Поэтому nfFjF 9 а, стало быть, и E (Fj Р; R) является рефлексивным У-пространством. ОГІРЕДОІЕНИЕ. Тензорным произведением рефлексивных А -пространств , F называется рефлексивное W-пространство ип (F, Fj R) всех порядково-непрерывных функционалов над Bh (F} F; Ю . Тензорное произведение рефлексивных Л -пространств Е , F будем обозначать через b F . Таким образом, E F = B,(E,F;R). Через % обозначим вложение произведения с F в tF , сопоставляющее каждой паре (х,у) bxг поряд-ково-непрерывный функционал у) над B„ff,F;fi) по правилу По очевидным соображениям билинейный оператор % F F -— 6 (E,F; Ю является порядково-непрерывным по каждой из переменных. Функционал Ы ) иногда будем обозначать через x s?y Следующее утверждение показывает существование тензорного произведения в категории рефлексивных Л -пространств, морфизмами в которой являются регулярные порядково-непрерывные операторы. ТЕОРЕМА 1.3,3. Для произвольных рефлексивных X пространств Е і F % Gr отображение уста навливает алгебраический и структурный изоморфизм У/ пространства bf„ (9F, Cr) на упорядоченное векторное пространство В (Р Q-) (и, тем самым, явля ется рефлексивным %-пространством) у Отображение Т7 —Р-\Х пространства в пространство В„ (F? F; ьу является линейным. Покажем его инъективноеть. Цусть Те Xh (EF G-). Если билиней ный оператор является нулевым, то для произвольного функционала 9 є Q суперпозиция /77 Q1A определяет нулевой билинейный функционал В F —т R , являющийся элементом пространства В» (В , F; R) , т.е. для произвольных х F и /1 Покажем, что функционал a oJ:t&r л (элемент У/-пространства Bh (E-)F;R )00 ) является нулевым. Через -6 обозначим вложение рефлексивного # -пространства ft? (F,F;R) во второе сопряженное Bh(F F;R)o0 (&р). Тогда для каждого функционала У ВИ (S}F;R) Fe F выполнено соотношение Билинейный функционал i ff J является элементом пространства „ (E,F ; R) . Поэтому для произвольных о: є с ъ я є F , положив У = ас , получаем Значит, билинейный функционал і Q I) является нулевым элементом д-пространства Bh(F)Fj Ю . Стало быть, и Q V І щ) (как элемент пространства Bh(E,F;R)-=. -(FF)C ), Произвольность 9 б G показывает, что /-v. Инъективность отображения У — ГГ% доказана. Покажем теперь сюръективность этого отображения. Пусть ? = R и 4бВ„(Е, F; й) . Тогда для каждого Ч В (E,F; R) - Е & F. Положив для произвольных хьЬ к у є F 4-х yf получаем т.е. 4 -с(4)Зґ . Сюръективность отображения 7 - І Ж при Q- R показана. Пусть теперь Q- - произвольное рефлексивное J{ -пространство.
О пространстве мажорированных операторов
Ясно, что пространство (Х} J3/ , где Р X. Ь , является ъо-полным и -А изометрично вкладывается в -X . Построенное выше пространство (Х7р) называется 4о -пополнением решеточно-нормированного пространства (X j р/ , ЗАМЕЧАНИЕ 2.1.5. Как видно из конструкции -пополнения, существенную роль играет разложимость. Если отказаться от разложимости нормы, то для существования даже секвенциального -пополнения приходится вводить довольно жесткие ограничительные условия (см.,например, /45J ). ЗАМЕЧАНИЕ 2.1.6. А.Г.Кусраевым был предложен другой подход к построению - -пополнения, основанный на вложении пространства [X JBO второе операторно сопряженное пространство. Пусть (Х,р) является произвольным решеточно-нормиро-ванным пространством с -значной нормой, и (X f) - его ifo-пополнение. Ясно, что X изометрично вкладывается в X Будем считать изометрическое вложение , X — X тождественным. Иными словами, полагаем х х . Нашей целью является показать "плотность" (относительно решеточной нормы) вложения X в X . Зафиксируем единицу - описанные выше пространства. Тогда Для данной единицы / существуют полное семейство fek п попарно дизъюнктных положительных элементов и семейство )ъ6гг положительных чисел такие, что где через IK. обозначен оператор проектирования в на компоненту І& І . Такую пару семейств ) мы будем называть разбиением единицы а . Далее, через ъ. обозначим каноническое отображение булевой алгебры на базу пространства (хл). Возьмем произвольный ос еХсХ. . Тогда является -пределом с регулятором и последовательности Сэс ) элементов X .Но р (х)в Ь . Поэтому элемент &(Ц)х: является г-пределом с регулятором Д е последовательности СЧІСїїЛх ) 2 X. и» ПРИ этом, моишо считать, что р( (Щ)х ) б для всех h є А/ . Вспоминая, что каждый элемент пространства X имеет вид п/« J x2f для некоторого ограниченного семейства (sCy.J lf.A. и» замечая, что можно выбрать одно семейство С \, ) п9 являющееся разбиением двух единиц -уупЕ и if є & , получаем следующий результат. ТЕОРЕМА 2.1.7. Для произвольного решеточно-нормированного пространства (Х?Р) существуют единственное с точностью до линейной изометрии - 7-полное решеточно-нормиро ванное пространство (XsJ и изометрическое вложение С X — Х , для которых выполнено следующее условие: для произвольного разбиения единицы (% е%)ъеп и любых 5с А , 0 найдутся полное семейство (JVJVV/T попарно дизъюнктных порядковых проекторов в В и ограниченное семейство (эст) cz і 1X1 такие, что для каждого 6 2 . Мажорированные операторы впервые были введены Л.В.Канторовичем в б5, 20j (регулярные операторы). Там же отмечено, что наименьшая мажоранта оператора является решеточной нормой, а само пространство мажорированных операторов секвенциально полно относительно ьо-сходимости. Однако остался открытым вопрос о разложимости указанной решеточной нормы, на который и дается положительный ответ в текущем параграфе.
Рассмотрим произвольные решеточно-нормированные пространства (JCjpj и (і , в,} с - и Г-значными решеточными нормами. Через Л/(лД/ обозначим векторное пространство всех линейных операторов из А В І , имеющих положительные мажоранты [20J .
Пространства непрерывных вектор-функций
Таким образом показано, что класс эквивалентности Н , порождаемый функцией 2 , входит в В (X) . Ясно, что рГзи-2г) ». Q) # Остается показать дизъюнктную полно ту (Е(Х)3р) . Пусть f Jtc полное множество попарно дизъюнктных проекторов в Б и / : Р(2 ) ЄєБР$є3 =(ХХ Выберем по представителю 2 6 2 ( 2 Х.Ш — Х ) и определим функцию zг (/(ZSl.Olfg)— Х (мы мыслим и как проектор в Е , и как открыто-замкнутое множество в Q ) по правилу: zft)= ъ Ш для & Ші О . Нетрудно ви деть, что множество и(Ш П ) является котощим и 2 где г - класс эквивалентности, порождаемыйБулева алгебра В называется регулярной, если она счетного типа и для всякой двойной последовательности (Хи,рі)п »,// ЭЛемеНТОВ В ИЗ ТОГО, ЧТО Cxfitt»)M6A/ убывает и о-сходится к нулю для каждого ь є л/ , следует существование диагональной последовательности (Xn ryt(yi-))h // порядково сходящейся к нулю. Регулярность булевой алгебры б равносильна следующему условию (в терминах ее стоуновского компакта О ) /JL4, 15] : всякое счетное множество замкнутых нигде не плотных подмножеств компакта 0 погружается в одно замкнутое нигде не плотное множество типа. Рассмотрим алгебраическое тензорное произведение ГХ » наделенное решеточной нормой Р it Х Е ; для каждого 2 6 J( положим рс te) = "flcHfX{f/f где инфимум берется по всевозможным конечным представлениям 2 = 2"е,;х . Эта норма вполне аналогична кросс-норме, введенной в 39] (см. также /9] ). Рассмотрим отображение 1:ЬХ — "Е(Х) , сопоставляющее каждому 2-] "? в -Г класс эквивалентности непрерывной функции ПРЕДЛОЖЕНИЕ; 2.4.5. (а) Вложение I: (Е9А,рв)- (рС } есть векторная изометрия; (б) (/Г(Х) Р) является пополнением по векторной норме пространства fX,p0) » ] (а) Действительно, для 2 = Е и,следовательно, р(2)& рс (J . Далее, можно считать, что для каждой точки ЇЇ2ґїг существует функция У5 6 } В такая, что У5 (t)-i . Положим где инфимум берется по всем представлениям 2 в виде конечных сумм lELijxjefX . Значит, д/2) 6 pC?P . (б) Без ограничения общности предполагаем наличие в Е слабой порядковой единицы vW= і (і. Q)л Возьмем Ъ ЕСХ) . Функция 2:Ш— Л непрерывна и задана на котощем множестве ТІЇІ . Зафиксируем 0 . Для каждой точки і 75ЇЇЬ существует открытое в !$1 множество Л такое, что для любых і Vt . Каждое Vj. является следом на 7ІЇІ некоторого открытого в W множества . Множество Q=,U U открыто и плотно в Q . Через Г L обозначим разбиение , на открыто-замкнутые попарно непересекающиеся множества. Разбиение ( СЛ6с7 можно выбрать таким, что каждое множество 1лС лежит в некотором открытом множестве L . Для каждого \$ определим элемент 2 бЕ Х по правилу Через обозначим проектор в Г на "компоненту" У , Тогда Остается применить теоремы 2 0.1, 2.1.7 и 2.4.4. р ЗАМЕЧАНИЕ) 2.4.6. Утверждение об измеримых функциях со значениями в банаховом пространстве X , аналогичное предложению 2.4.5(6), можно найти в /boj (см. также [б] ). Следующие утверждения уточняют соотношение между ВСЮ . Из них можно получить теорему Петтиса об измеримых вектор-функциях [l7] . ЇЇР1ДОЖЕНИЕ 2.4.7. Если база %(Е) J{-пространства Е является регулярной булевой алгеброй и банахово пространство А - сепарабельное, то пространства Е1Х)и Eg (X, Г) совпадают. Так как в предположении реіулярности булевой алгебры &(/ каждое котощее множество имеет плотную в Q внутренность, то для произвольного элемента 2 пространства cgiXjJ существует функция 1 е ъ такая, что область ее определения W. открыта и плотна в Q , и ЦъЦШ Цъа)!! (± Ш). Без ограничения общности будем предполагать, что в F есть порядковая единица м и она совпадает с функцией, тождественно равной единице на Q . Зафиксируем х Л .
