Содержание к диссертации
Введение
Глава 2. Общий вид конформных отображений 14
Глава 3. Оценки 26
Глава 4. Спектральная задача 44
Литература 58
Введение к работе
В диссертационной работе изучается класс функций, дающих конформное отображение верхней комплексной полуплоскости на некоторую область К+ (Л) определенного вида, принадлежащую верхней полуплоскости. Определим область K+(h). Пусть область K(h) = C\{jTh (1.1) i=i где п- фикцированное положительное целое число и Г,-, j = 1,..., п — 1 - гиперболические разрезы, заданы соотношениями и = sin Sj cosh т? v = cos Sj sinh 77,
7/ = і/", с фокусами k = ±1, где k = и + iv E K(h) и s7-h = {hj}]ll, 0 В диссертационной работе изучается класс функций, дающих конформное отображение верхней комплексной полуплоскости на некоторую область К+ (Л) определенного вида, принадлежащую верхней полуплоскости. Определим область K+(h). Пусть область В диссертации также рассматривается, в связи с конформным отображением С+ на область К+(К), спектральная задача дискретного периодического оператора, порожденного периодической якобивой матрицей ( J- матрицей). Диссертационная работа разделена на четыре главы. Первая глава-это введение. Во второй главе дается обзор результатов о конформных отображениях в общем виде на некоторую область, которая представляет собой коплексную плоскость с разрезами произвольного вида. Когда разрезы вертикальны, такую область иногда называют "гребенкой". Область К+ (h), которую мы рассматриваем в диссертации, представляет собой вид гребенки. Материал, который представляется без доказательств в этой главе, был получен Б. Я. Л евином и изложен подробно в его работе [4]. Во третьей главе представляются оценки, касающиеся некоторых "геометрических"характеристик области K+{h), на которую аналитическая функция k(z) отображает конформно верхнюю комплексную полуплоскость С+. Четвертая глава посвящена спектральной задаче. Здесь рассмотривается самосопряженный ограниченный оператор в гильбертовом пространстве Н, порожденный бесконечной периодической матрицей Якоби. Изучение приводится в связи с конформным отобра-женем С+ на область K+(h). Задачи такого рода со своей спецификой изучаются, в частности, в работах В. А. Марченко [6], В.А. Марченко и И. В. Островского [7], П. П. Каргаева и Е. Л. Коротяева [1, 2, 3], Е. Л. Коротяева и И. В. Красовского [4] и Л. В. Перколаба [8]. Рассмотрим совокупность всех функций z(k), дающих конформные отображения области K+(h) на С+. При этом считаем z{k) = к + Qo/к + о(1/к), к — оо. Заметим, что функции z(k) аналитичны в K+(h) и непрерывны при K+(h). Учытывая, что z(k) = х(к)+гу(к), введем нужную для далнейшего рассуждения функцию ф{к) = v — у(к), к = u + iv Є K+(h), заметим, что эта функция , гармоническая в области K+(h), является ограниченным решением проблемы Дирихле со следующим граничным условием ф(к) = и, когда к = и + iv Є dK+(h). Пусть k(z)- обратная функция к z(k). k(z) имеет асимптотику k(z) = z + 0(1/2), z —V со. Заметим, что функция k(z) аналитична при С+ и непрерывеая при С+. Продолжим функцию k(z) по принципу симметрии Римана-Шварца в С_, по формуле k[z) = А;(г), z Є С. Для дальнейших рассуждений нам понадобится следующая теорема Гильберта [1] о конформных отображениях многосвязной области на область с параллельными разрезами. Пусть 51, 2,...,5 континуумы, непересекающиеся в плоскости С и D = С \ U =.1Sn Введем класс Е (?) комфорнмых отображений w области D на С, имеющих асимптотику Теорема (Гильберт). Пусть Si, S2, -. , Sjv- континуумы в плоскости С и D = С\и _15 п. Тогда Лгл каждого t 6 [0,7г] существует единственная функция wt Є S (Z)), отображающая D на область с параллельными разрезами, имеющими угол t с вещественной осью. Кроме того, для каждой f Є S (D), f ф Wo справедлива оценка Re Qo(f) Re Qo(wo). Ha основе этой теоремы, можно утверждать, что существует единственная функция z(k), конформно отображающая область K+{h) в С+, имеющая асимптотику в бесконечности Кроме того, z(k) обладает экстремальным свойством. Введем некоторые обозначения. Пусть функция к (z) конформно отображает С+ на область К+{К), такая, что k(z) = z + o(l/z), z - 00. Обозначим через 7i = (zJ zf) С R-прообразы при отображении k(z) гиперболических разрезов, заданы соотношениями с фокусами к — ±1, где к = u + iv Є K+(h) и Sj = тг, т? = t/n, О t Aj-, 0 /ij 00, j = 1,..., n — 1. Через lj обозначим длину jj. Итак, функцию z(k), которая отображает конформно область K+(h) на С+, так что z{k) = k + Qo/z + o(l/z), к —» со, можно выразить как ко-позицию конформных отображений. Для этого надо сначала описать специальный класс функций и класс конформных отображений комплексной полуплоскости С+ на вертикальную полуполость с вертикальными разрезами. Введем формально эти понятия. В.А. Марченко и И. В. Островский в [7] и В. А. Марченко в [б] описали общий вид вещественных целых функций u(z), обладающих следующим свойством: все корни уравнения u2{z) — 1 = 0 вещественны. Общий вид функции u(z), обладающей указаным свойством дается формулой u(z) = cos в(г), где 9{z)- функция, дающая конформное отображение полуплоскости С+ на область вида P k q гдер и q- целые числа (возможно, что р = —оо, q = +оо), 0 hk оо; при этом 0(оо) = оо. Функция 9(z) аналитична в С+ и непрерывна в С+, ее можно продолжить по принципу симметрии Римана-Шварца в С_. Применим этот результат к частному случаю, когда р = 0, q = п, количество разрезов конечное, равен п — 1 и u(z) это многочлен n-й степени Pn(z), п- фикцированное положительное целое число. Таким образом, можно утверждать, что, для того, чтобы все корни уравнения і (г) = 1 были вещественны необходимо и достаточно, чтобы многочлен n-й степени Для того, чтобы получить первую оценку нам понадобится следующая теорема Гамбургера - Неванлинны [10]. Напомним, что класс функций N есть совокупность всех аналитических функций w = /(г), отображающих Im z 0 на Im го 0. Теорема (Гамбургер-Неванлинна). Если неубывающая функция о{и) (—оо и со) обладает конечным моментами то в классе N существует функция f(z), а именно, для которой при сколь угодно малом фиксированном S 0( тг/2) равномерно в угле имеет место соотношение Обратно, если для некоторой функции f(z) Є N соотношение (3.3), где числа s вещественны, имеет место хотя бы при z = іу (у — оо), то функция /(г) допускает представление (3.2), где о (и)- неубывающая функция с моментами (3.1). Справедлива следующая теорема. Теорема 3.1. Пусть z(k) конформно отображает область (1.2) К+{К) в С+, такое что имеет асимптотику в бесконечности z(k) = k+Qofk+ o(l/k). Тогда справидливо следующее соотношение для интеграла Дирихле ID для отображений z(k) —к и k(z) — z Доказательство. Докажем теорему используясь приемами [2], в частности, теоремой 1.5. Возьмем функцию k(z) — z в виде k{z) — z = R+iJ, где R(x) = и(х) — х, J(x) = v(x),x ЄЖ. Таким образом, имеем k(x) — х — R(x) + ij(x), где R(x) = и(х) — х и J(x) = v(x), х Є R и u(z) = Re k(z) и v(z) = Im k(z). Теперь рассмотрим область Разобьем границу дВ области В на три части: вещественная часть границы Гі х г2, полуокружности Ст2 = {z : \z\ = г2, у 0} и сГ1 = {г : г = п, у 0}, тогда имеем Полагая x = cos p, у = і sin 93, rx r2, 0 у? 7Г и учитывая, что сделаем замену переменных во втором и в треьтем интегралах выражения Напомним, что аналитическая функция k(z) отображает конформно С+ на область K+(h) = C+f\ K(h), K(h) = C\ UJ=J Г. ,-, где n- фикциро-ванное положительное целое число и Tj, j = 1,..., n — 1 - гиперболические разрезы, заданы соотношениями и = sin Sj cosh г], v = cos5jsmh7/, с фокусами к = ±1, где к = и + iv Є K(h) и Sj = ЇГ71"» 7 = /п h = {ftj}"=i,0 hj оо, \t\ hj, j = 1,...,n — 1, при этом k(z) = г: + o(l/z), z — оо. Таким образом, второй интеграл стоящий справа равенства (3.7) равен нулю при Т\ —» 0, гг — оо. Действительно, когда г пробегает в положительном направлении вещественную ось, функция k(z) = u(z) + iv(z) пробегает границу K+(h), взаимно-однозначно отображая ось х z- плоскости на границу области K+(h) и сохраняя направление обхода. На участах границы области K+(h), лежающих на вещественной оси, функция v(z) = 0, поэтому второй интеграл правой части (3.7) равен нулю. На дригих участах гриницы, также равен нулю, так как интеграл берется дважды в противоположнах направлениях. Теперь рассмотрим второе слагаемое правой части (З.б). Оценим 6 (t), когда t - оо. Мы имеем Последнее неравенство справедливо из-за того, что k(z) — z = R(z) + iJ(z), z Є C+ и \J{z)\ \k(z) — z\. Так как, в бесконечность k(z) — z — Qo/z + o(l/z), и поэтому и таким образом, получаем утверждене теоремы: Справидлив следующий вариант принципа Фрагмена-Линделёфа Лемма 3.1. Пусть Zi(fc), 22( )- конформные отображения областей W\ и W2, соотвественно, на С+. U(A)f]{k Є С : fc R} С W2 С W\, где U(A) = {k — u + iv : v A\u\} и zm(k) = k + o(k), k - oo, k Є U(A), m = 1,2. ТЪгда lmz2(k) Imz k), k Є W2. Доказательство. Пусть gi и g2 обратные функции к функциям z\ и z2, соотвественно. Построим функцию F(z) как композицию этих функций: F(z) = 21( 2(2))5z Є С+. Так как Im F(z)- неотрицательная гармоническая функция в С+, непрерывная в С+, то справедливо представлені ниє (2.3) где с = const 0. Тогда He уменьшая общеность, можем считать, с = 1, тогда Окончательно, получаем утверждение леммы: Глава 3. ОЦЕНКИ Пусть Н+ = max{ffj} j = 1,...,п — 1,тогда справедлива следу—ющая Теорема 3.2. Пусть z(k) конформно отображает область (1.2) —K+(h) на О}., такое что имеет асимптотику в бесконечности z{k) = к + ?о/& + о(1/к). A k(z)- обратная функция к z(k). Пусть {i/j}"=1, Hj = cos 2 71-s nb )0 i 7 тогда Я+ Trv/eg . // Прежде чем перейти к доказательству теоремы, проверим, что интеграл Дирихле ID z(k) = x(k) + iy(k)- аналитическая функция, дающая конформно-е отображение области (1.2) K+(h) на С+, и z(k) = k + Qo/k + o(l/k), k — оо, где ф(к) = v — y(k),lm z(k) =_у(к), к = и + iv Є K+(h)- гармоні чна в области K+(h). На самом деле, по определению имеем Поставляя в последнее выражение функцию ф = v — у{к) и учьистивая конформность отображения z(k), получаем Так как при этом Tn{z) монотонно убывает от +1 до —1, то 0(cti) = тг. При дальнейшем изменении г от at до /?ь, (к = 1,2,... ,п — 1) функция у/1 — T(z) примимает чисто мнимые значения, при этом arg у/1 — T(z) j — к-к, a sign у/1 — T(z) = (—1) . Так как многочлен T n{z) имеет только простые корни 7fc Є (afc,/?jt), то sign T n{z) = І возрастает от а до /? , Re 0(z) остается равной arccos(—1)к = кж, a Im 0(z) сначалавозрастает от 0 до Л = 7( (7 ) " ктт), а затем убывает от /і до 0, и так как T„(/3jt) = Tn(ajt) = (—1)к, то 0(/3 ) тоже равно ктт. Когда z меняется от /3 до a +i, „(z) изменя ется от (—1)к до (—l)fc+1 монотонно, - /1 — T%(z) вещественен и 0{z) = arccos T„(z) возрастает от ктг до 0(ajt+i), где 6(ak+i) = (к + 1)7г. Следовательно, когда z пробегает в положительном направлении отрезки [ак,@к] [/3jt,ajt+i] (к = 1,2,...,п — 1), функция в{г) пробегает в положительном направлении часть границы /?„(Л), состаящую из разреза Re 9{z) = ктг, 0 Im 6(z) Л и отрезка [кп, (к + 1)п]. И, наконец, когда z становится больше /Зп, T n{z) 0, arg \/l — Т%(z) = — птг, и d(z) = П7г + tlm 0(z), где Im 6(2) 0 и возрастает. Таким образом, когда z пробегает в положительном направлении вещественную ось, функция в(г) пробегает границу области Dn(h), взаимнооднозначно отображая ось хна границу Dn(K) и сохраняя направление обхода. По теореме о соответствии границ, функция в(г) конформно отображает верхнюю полуплоскость на Dn(h). Формула (4.8) дает также представление 6(z) = arccos Tn(z), откуда следует, что Tn(z) = cos0(z). Необходимость доказана. Замечание. Конформное отображение 6(z) = верхней полуплоскости на Dn(h), сохраняющее бесконечно удаленную точку, однозначно, если оно Достаточность. Как известно, функция, осуществляющая конформное отображение верней полуплоскости на область Dn(h), переводящее бесконечно удаленную точку г-плоскости в бесконечно удаленную точку полуполосы 0-плоскости, а точки а0 и /Зп в 0 и пж соответственно, задается интегралом Кристоффеля-Шварца где ajt, fa являются прообразами точек кж, 7 _точек 7fc + ihk {к = 1,2,..., n — 1) область Dn(h). Функция u(z) = cos6(z) в верхней полуплоскости аналитична каїк суперпозиции аналитических функций. Когда z пробегает вещественную ось, 6(z) пробегает границу области Dn(h), притом вещественной части границы Dn(h) отвечают вещественные значения cos0(z). Когда 0(z) = кк + itk, cos 6(z) = (—l) cosh/fc (к = 0,1,...,п) тоже вещественен, т. е. функция и(г) веществена на границе верхней полуплоскости. Продолжим ее на нижнюю плоуплоскость по формуле u(z) = u{z). Новая функция, которую назовем тоже cos#(z), будет аналитической во всей z-плоскости, а значит, целой. Далее, где Я]ь(г)-многочлен степени к. степенная функция. Отсюда и из того, что м(г)-целая функция, заключаем, что она является многочлен степени с, где с-целое число. Покажем теперь, что с = п, пересчитав корни многочлена u(z). Функция в(г) приводит (п +1) точку ajt (fc = 0,1,..., n — 1), /?„ вещественной оси в точку А:7г (к = 0,1,..., п) соответственно, следовательно, cos e(atk) = (—1) (к = 0,1,...,п— 1), cos0(/Зп) = —1, причем если соз0(а ) = +1, то cos(ajt+i) = —1, а так как между ктт и (к + 1)тг находится только одна точка ктг + (fc = 0,1,..., п — 1), то функция u(z) на вещественной оси п раз обращается в ноль. Значит, степень многочлена u(z) не меньше п. Но комплексных корней у многочлена u(z) нет. Действительно, если бы точка z была комплексным корнем функции cos#(z), то из того, что cos#(z) = 0, следовало бы, что 6{z) = + far. Значит, точка z должна была бы быть комплексным прообразом вещественной точки, а это противоречит тому факту, что вещественным: в отвечают вещественные z. Тот факт, что уравнение u2(z) = 1 имеет 2п вещественных корня, следует из равенств cos 9(atk) = (—1) (к = 0,l,...,n-l), cos0(#t) = (-l) (fc = 0,1,...,п).П Это теорема означает, что Fn(n), представлается в виде Fn(fi) = cos 0(/u), где 0(/і)-конформное отображение С+ на полуполосу верхней полуплоскости с вертикальными разрезами. Учитывая, что края зон af,(i = 0,1,п) являются корнями уравнения F (/i) = 1 и имея в виду теорему Лагерра [9], которую можно принимать к функцям Fn(fi) — 1 и Fn(/x) + l , корни Fjftfi) = 1 и Р п(ц) = 0 можно занумеровать следующим образом Функция, осуществляющая конформное отображение верхней полуплоскости на Dn(h), переводящее бесконечно уделенную точку z-плоскости їв бесконечно удаленную точку полуполосы -плоскости, а точки СцИа в 0 и П7Г соответственно, задается интегралом Кристоффеля-Шварца где а, cifr являются прообразами точек кіт, 7 -точек А;7Г + »Л {к = С дрогой стороны, имеем 6{z) = arccos Fn{z) = 4 log(Fn(z) + y/F (z) - 1). . Выбираем ветвь радикала д/F z) - 1 так, чтобы Ітау/F z) - 1 О При г XQ . Функция, которое осуществляет композицию отображений ш0 — в(г), и х = в(г)/п, 072 = u i — 7г/2, ш = smu 2 отображает область С+ на K+(h) с гиперболическими разрезами вида осуществляет конформное отображение верхней полуплоскости + на K+(h). Отметим, что k(z) продолжают в С по правилу k(z) = k(z), z Є С. Имеет место следующая Теорема 4.1. Пусть k(z) - конформное отображение С+ на область K+(h). Тогда имеют место разложение k(z)} при z — оо Многочлены Pjt(z) удовлетворяют системе уравнений Функция Ляпунова для уравнения (4.1) определяется через многочлены Рп И Qn_X Таким образом Fn(z) представлает собой многочлен n-й степени: Поэтому, собирая коэффициенты многочленов Pk(z) и Qk(z) при оди наковых степенях z. имеем j XX V1 A 1V1 J n """ о Сп,Сп-2, — ; Сп_2 - - коэффициенты многочленов Pn(z) и Qn-i(z) со-отвественно. Из того, что где а = —(1 + п)/2пЛ„ , Л1/" = 1/2Сп. Сп- старший коэффициент многочлена Рп. При разложении слагаемых выражения для k(z), получим Тогда, асимптотика &(z), при г — со, после разделения на —1/2( ) Ап имеет вид Таким образом, подставляя выражения для Лп и Лп-г и с учетом периодичности матрицы, которая дает Ь_і = Ь„_і, получаем QQ в терминах элементов матрицы Якоби [1] Kargaev P., Korotyaev E., Inverse problems generated by conformal mappings on complex plane with parallel slits.-Sfb 288 Preprint No. 458. Berlin, Marz 2000. [2] Kargaev P., Korotyaev E., Effective masses and conformal mappings.-Commum. Math. Phys., 1995. 169, p. 597-626. . [3] Каргаев П. П., Коротяев Е. Л. Эффективные массы для оператора Хилла и конформные отображения.-Докл. Академии Наук, 1994. Т. 336, 3, с. 312-315. [4] Korotyaev Е., Krasovsky I., Spectral estimates for periodic Jacobi matrices.- Commum. Math. Phys., 2003. 234, p. 517-532. [5] Левин Б. Я. Мажоранты в классах субгармонических функций.-Теория ф-ций, функ. анализ и их прил. 1989. 51, с. 3-17. 52, с. 3-33. [6] Марченко В. А. Спектральная теория операторов Штурма-Лиувилля. Киев. Наукова думка, 1972. [7] Марченко В. А., Островский И. В. Характеристика спектра оператора Хилла.-Мат. сб. 1985. Т. 97, 139, 4, с. 540-606.Общий вид конформных отображений
Оценки
Спектральная задача
Похожие диссертации на Спектральные свойства дискретного периодического оператора
