Введение к работе
Актуальность темы. Работа посвящена изучению некоторых разновидностей жадных аппроксимаций, а также их применению к решению задач теории приближений.
Жадные аппроксимации - это способ нелинейного приближения функций с помощью некоторой фиксированной полной системы функций (в частности, переполненной системы), при котором выбирается конечное число элементов приближения с наибольшими, в том или ином смысле, коэффициентами. Жадные аппроксимации активно изучались с середины 80-х годов XX века. Основную роль в становлении теории жадных аппроксимаций сыграли Дж. Фридман, В. Стузл, С. Маллат, Ж. Жанг, П. Хьюбер, Л. Джоунс, А. Бэррон, Р. ДеВор, В.Н. Темляков, Д. Донохо и др. Свое применение жадные аппроксимации нашли в теории обработки сигналов, передачи и хранения информации.
В настоящей диссертации изучены различные виды жадных аппроксимаций. Для жадной аппроксимации с параметром получена наилучшая на данный момент оценка сверху скорости сходимости аппроксимации. Введено понятие порядкосохраняющей слабой жадной аппроксимации (далее ПСЖА). Для ПСЖА найден критерий сходимости в квазинормированных пространствах. Необходимость данных исследований обусловлена следующими причинами.
Во-первых, наличие хороших оценок на скорость сходимости жадных аппроксимаций позволяет применять их для практических задач аппроксимации при обработке сигналов.
Во-вторых, использование ПСЖА позволяет решить большое количество теоретических задач о системах представления. Для банаховых пространств работы в этом направлении были начаты В.И. Филипповым и П. Освальдом. Применение нового метода позволяет обобщить, а в некоторых случаях и улучшить, их результаты.
Цель работы - получение оценок скорости сходимости жадных аппроксимаций и демонстрация возможности их использования для решения теоретических задач о системах представления. Для порядкосохраняющих слабых жадных аппроксимаций найти критерии сходимости для наиболее общих пространств. С помощью жадных аппроксимаций решить несколько задач о системах представления.
Методы исследований. В работе используются методы современного функ-
ционального анализа - общая теория нормированных и квазинормированных пространств, теория гильбертовых пространств, теория разностных функциональных уравнений и неравенств. В работе широко используются аналитические методы исследования.
Научная новизна. Все результаты, представленные в диссертации, являются новыми, строго доказанными. Из основных результатов работы выделим следующие.
1) В работе приведена лучшая на сегодняшний момент оценка скорости сходимости жадной аппроксимации с параметром.
2)Введен новый вид жадной аппроксимации - ПСЖА, для него получены критерии сходимости в различных пространствах.
3) С помощью ПСЖА получены новые результатов в теории систем представления в пространствах Lp.
Теоретическая значимость. Предложенная в диссертации ПСЖА позволяет решать задачи о системах представления, причем сразу же строится метод приближения по рассматриваемой системе представления. Используемые методы являются достаточно универсальными и могут быть применены для исследования других (не описанных в диссертации) задач теории систем представления.
Практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Улучшение оценок скорости сходимости популярных жадных аппроксимаций позволяет расширить область их применения для решения практических задач. Результаты, полученные для систем представления, позволяют строить простые системы представления и находить методы приближения, удобные в той или иной реальной ситуации.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на научном семинаре кафедры нелинейного анализа и оптимизации РУДН в 2010 г., г. Москва (руководитель - д.ф.-м.н., профессор А.В. Арутюнов); на научном семинаре "Ортоподобные системы"в 2006 г., г. Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова, мех.-мат. фак-т (руководители - д.ф.-м.н., профессор Т.П. Лукашенко, к.ф.-м.н. Т.В. Родионов, к.ф.-м.н. В.В. Галатенко); на научном семинаре "Ортогональные и тригонометрические ряды"в 2009 г., г. Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова, (руководители - д.ф.-м.н., профессор B.C. Кашин, д.ф.-м.н., профессор СВ. Конягин); на Миас-ской летней математической школе им. СБ. Стечкина в 2004 г., 2005 г., 2006 г.,
2010 г.; на Воронежской зимней математической школе в 2009 г.; на Саратовской зимней математической школе в 2006 г.; на конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова в 2004 г., 2005 г., 2006 г.
Публикации.
Основные результаты опубликованы в трех статьях и двух тезисах научных конференций.
Работы [1] и [2] соответствуют перечню ведущих журналов и изданий ВАК РФ.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, и библиографического списка, содержащего 19 наименований. Объем работы составляет 67 страницы.
