Введение к работе
Актуальность темы. Обратимые сохраняющие меру ц преобразования (автоморфизмы) пространства Лебега (X, В, ц) являются основным объектом исследования в эргодической теории. Динамическая система (Тд, X, В, ц) - это групповое действие, где время д является элементом некоторой группы и для любых автоморфизмов Tgi,Tgj выполнено Т}1Тдг — Tgigj. Особое место среди динамических систем занимают каскады (действия группы Z) и потоки (непрерывные действия группы R).
Асимптотические свойства динамических систем отражают поведение систем для больших значений времени. В диссертации рассматриваются такие свойства как кратная возвращаемость, слабое и строгое перемешивание, наличие полиномов в замыкании степеней автоморфизмов, частичное кратное перемешивание на последовательностях. Основным асимптотическим свойством, которое изучается в работе, является кратное перемешивание. Следуя Рохлину1, говорим, что автоморфизм Т перемешивает с кратностью к, если для любых множеств Aq,..., Аь Є В имеет место предел
ц{Ай П Г"'Лі... П Г"+ +ПМП) -> /і(Л0)/і(Л1)... fi(Ak) при п\,...,піс —* оо. Вопрос об эквивалентности свойств перемешивания, разных кратностей известен как проблема Рохлина о кратном перемешивании. Недавний прогресс в исследовании этой проблемы связан с использованием понятия джойнинга.
Пусть Ті,Ті, ...,Т„ : X —> X - набор автоморфизмов вероятностного пространства (X, В, ц), ц(Х) = 1. Мера v, инвариантная относительно преобразования Ті х ... х Тп, действующего в кубе Х(і) X ... х Х(п), называется джойнингом этого набора, если выполнено условие: проекция меры v на каждый сомножитель Хщ совпадает с мерой /і. В случае, когда Ті являются копиями одного автоморфизма Т, мера v называется самоприсоединением (self-joining) порядка п.
При и > 2 особо интересны самоприсоединения со свойством парной независимости: проекции на двумерные грани в декартовом кубе Xi\\ х ... X Х(„) совпадают с мерой ft X р. Тривиальными самоприсоединениями являются произведения мер. Если автоморфизм допускает только тривиальные самоприсоединения с парной независимостью, он является тензорно простым (см. ниже). Перемешивающий тензорно простой автоморфизм Т обладает свойством кратного перемешивания.
'Рохлин ВА Эндоморфизмы компактных коммутативных групп. Изв. АН СССР. сер. матем. 13(1949).
329-340.
Вопрос «является ли заданный автоморфизм тензорно простым?» представляет не только интерес для теории джоинингов, но также связан с упомянутой проблемой Рохлина и с проблемой Колмогорова о групповом свойстве спектров динамических систем. Если спектральная мера автоморфизма взаимно сингулярна с ее сверточным квадратом, то автоморфизм является тензорно простым 2. Свойство взаимной сингулярности спектральной меры и ее сверточного квадрата было обнаружено А.М.Степиным 3 при решении проблемы Колмогорова, которой посвящены также работы В.И.Оселедца 4, 5 и А.М.Степина 6, 7.
Связь между бистохастическими мерами (полиморфизмами) и марковскими операторами использовалась А.М.Вершиком 8 для изучения многозначных отображений. Операторный подход к изучению джоинингов, предложенный автором в работах [1],[5],[14], приводит к понятию марковского оператора, сплетающего динамические системы. Это дает новые возможности в исследовании самих джоинингов.
С целью построения различных примеров сохраняющих меру преобразований Д.Рудольф9 рассмотрел преобразование со свойством минимальных самоприсоединений, обозначаемым MSJ как аббревиатура от «minimal self-joinings». Неформально говоря, свойство MSJ означает, что автоморфизм допукает только те самоприсоединения, которые «заведомо существуют». Такой автоморфизм служит элементом различных интересных конструкций в эргодической теории. Как показали М.Леманчик и А. дель Юнко 10, аналогичную роль играют преобразования со свойством взаимной сингулярности сверточных степеней спектральной меры, существование которых установил А.М.Степин ".
Джойнинги сохраняющих меру преобразований - одно из современных
'Host В. Mixing of all orders and pairwise independent joinings of systems with singular spectrum. Israel J. Math. 76 (1991). 289-298.
'Stepin AJM Les spectres des systemes dynamique. Actes, Congres Intern. Math. 2(1970), 941-946.
4ОселедецВ.И.Оспекгреэргодическихавтоморфизмов. ДАН СССР. 168(1966) No 5.1009-1011.
5Оселедец В.И. Автоморфизмы с простым непрерывным спектрам без группового свойства. Магем. заметки. 1969. 5(1969). No 3. 323-326.
'Степин AJM. О свойствах спектров эргодических динамических систем с локально компактным временем. ДАН СССР. 169 (1966). No 4. 773-776.
(тении AM. Применения метода аппроксимаций метрических автоморфизмов периодическими в спектральной теории. Диссертация ... канд. фиэ.-мат. наук. МГУ. 1968.
*Вершик AJM. Многозначные отображения с инвариашной мерой (полиморфизмы) и марковские процессы Зап. науч. сем. ЛОМИ. 72(1977). 26-62.
'Rudolph D. An example of a measure-preserving map with minimal self-joinings, and applications. J.dAnalyse Math. 35 (1979). 97-122.
mdel Junco A, Lemaifizyk M Generic spectral properties of measure-preserving maps and applications. Proc Amer. Math. Soc. 115 (1992). 725-736.
"Степии AJM. Спектральные свойства типичных динамических систем. Изв. АН СССР. сер. магем. 50(1986). 801-834.
направлений в эргодической теории, раззитие которого стимулируется как сложившейся внутренней проблематикой так и приложениями (некоторым из них посвящен обзор Ж.-П.Тувено 12). Джойнинги применяются для исследования унипотентных потоков (М.Ратнер 13, А.Н.Старков 14), гауссов-ских автоморфизмов (М.Леманчик, Ф.Парро, Ж.-П.Тувено15), преобразований положительного локального ранга (Дж.Кинг 16, А.А.Приходько ", автор 18). Джойнинги оказались также удобным инструментом в энтропийной теории.
В теории джойнингов заметную роль играют так называемые простые системы. Их определение следующее. Действие называется п-простым (или простым порядка п > 2) если любое его эргодическое самоприсоединение v ф цп обладает свойством: проекция v на одну из двумерных граней в X х ... х X (п сомножителей) является сдвигом Д$ = (Id X S)A диагональной меры Д для некоторого автоморфизма 5, коммутирующего с действием. Действие, обладающее n-простотой всех порядков, называется простым. Свойство минимальных самоприсоединений эквивалентно свойству простоты при выполнении условия тривиальности централизатора автоморфизма.
Тензорная простота определяется следующим образом. Положим L = L,2(X,fi), а Н — Ц(Х,ц) - пространство функций с нулевым средним. Пусть марковский оператор Р : L — Ln сплетает Т и Т"8" ( здесь Т -обозначает унитарный оператор, отвечающий автоморфизму Т):
Условие марковости (или бистохастичности) состоит в том, что Р и Р' переводят константы в константы и сохраняют неотрицательность функций. Свойство тензорной простоты порядка и + 1 означает, что условие РН С Нп для сплетающего марковского оператора влечет за собой РН = 0. Если сказанное выполнено для любого и > 1, автоморфизм называется тензорно простым.
"Tboibmat J.-P. Sane properties and applications ofjoiriings in eradic theory. Bgodie Theory and Its СоппесйогБ with Harmonc Analysis: Proceedings of the Alexandria 195B Confaence, KE Petersen and LA Sakna,eds.,I]VB Lecture Note Series 205. 1995207-235.
1T118 (1983). 277-313.
"Старков A.H. Динамические системы на однородных пространствах. М.: ФАЗИС. 1999.
"Lemanczyk М., Раггеаи F., Thouvenot J.-P. Gaussian automorphisms whose ergodic self-joinings are Gaussian. Fundamenta Math. 164(2000). 253-293.
leKing J.L. Joining-rank and the structure of finite-rank mixing transformation. J. Analyse Math.. 51. 182-227 (1988).
17Приходько AA Стохастические конструкции перемешивающих систем положительного локального ранга. Матем. заметки. 69(2000). No 2. 316-319.
"Рыжиков В.В. Перемешивание, ранг и минимальное самоприсоединение действий с инвариантной мерой. Матем. сборник. 183(1992). No 3. 133-160.
В терминах джойнингов свойство, эквивалентное свойству тензорной простоты, ввели в рассмотрение Рудольф и дель Юнко 19: всякий джой-нинг набора п > 3 копий динамической системы при условии их попарной независимости является произведением мер. Задача о тензорной простоте - одна из центральных в теории джойнингов. Она связана со следующими задачами. Может ли тензорная степень динамической системы с нулевой энтропией обладать фактором, независимым с координатными? Влечет ли свойство минимальных самоприсоединений порядка 2 свойство минимальных самоприсоединений всех порядков? Влечет ли простота порядка 2 простоту всех порядков?
Задачи о факторах, об изоморфизме преобразований, о кратном перемешивании непосредственно связаны с джойнингами. В диссертации показано, что джойнинги могут быть полезными в решении некоторых других задач, когда такой связи не видно. Вычисление или оценка локального ранга декартовых произведений автоморфизмов извлекается из структуры их самоприсоединений. Вопрос о тензорной простоте слабо перемешивающих автоморфизмов с нулевой энтропией остается открытым. В главах 2-4 мы даем положительный ответ для классов динамических систем, общим свойством которых является достаточно простая структура их марковского централизатора (иначе говоря, простая структура самоприсоединений второго порядка).
Цель работы. Целью настоящей работы является развитие методов марковских сплетений в теории джойнингов и их применение для исследования свойств динамических систем. Основная цель диссертации - установить свойство кратного перемешивания как следствие свойства тензорной простоты для динамических систем с минимальным, простым и квазипростым марковским централизатором, для перемешивающих систем конечного и положительного локального ранга. В работе также изучаются новые взаимосвязи алгебраических и асимптотических свойств систем, исследуются спектральные свойства декартовых квадратов автоморфизмов и вычисляется их ранг методами, разработанными в диссертации.
Научная новизна. Свойство тензорной простоты устанавливается для систем с минимальным марковским централизатором в классе двукратно перемешивающих систем. В случае потоков доказано совпадение свойств простоты порядка 2 и простоты всех порядков, что дает положительный ответ на вопрос Рудольфа и дель Юнко. Для некоторых некоммутативных действий обнаружено различие четной и нечетной тензорной простоты и
"delJurmA, Ku±4iiD. On qpfc action wfcEsdf-jcrt^aiegapbs. Egxl Th. D^ran Sys. 7
показано, что MSJ{2) ф MSJ(Z) ф MSJ(A) (классы систем с минимальными самоприсоединениями порядка 2,3,4 различны). Решена проблема Рохлина для потоков положительного локального ранга, для систем конечного ранга, что обобщает теорему С.Каликова о кратном перемешивании автоморфизмов ранга 1.
Тензорная простота установлена для перемешивающих автоморфизмов конечного ранга, гп-действий локального ранга /3 > 2-п, а при условии двукратного перемешивания для Z"-действий положительного локального ранга.
Установлена бесконечность ранга эргодического автоморфизма Т х Т. Получена точная оценка локального ранга Т х Т. В случае, когда локальный ранг /3(Т х Г) принимает максимальное значенифоказано, что Т обладает свойством ае-перемешивания.
Дано положительное решение задачи Рохлина об однородном спектре конечной кратности для неперемешивающих и перемешивающих автоморфизмов. Предложен асимптотический инвариант (частичное кратное возвращение), который может различать некоторые автоморфизмы с их обратными. Изучен новый класс расширений типа (Г, Г-1)-расширений, сохраняющих свойства тензорной простоты и кратного перемешивания.
Методы исследования. В диссертации используются методы функционального анализа, теории меры, эргодической теории.
Теоретическая и практическая ценность. Предлагаемая работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут найти применение в эргодической теории и спектральной теории динамических систем. Разделы диссертации могут составить содержание специальных курсов для студентов и аспирантов, обучающихся по специальности математика.
Апробация работы. Результаты диссертации многократно докладывались (1991-2003гг.) на семинарах механико-математического факультета МГУ под руководством академика Д.В.Аносова, профессора Р.И.Григор-чука, профессора АМ.Степина, а также под руководством профессора Б.М.Гуревича и профессора В.И.Оселедца. Результаты докладывались на Лузинском семинаре кафедры теории функций и функционального анализа, на семинарах под руководством профессора М.ИДьяченко, члена-корреспондента РАН профессора Б.С.Кашина, профессора М.К.Потапова, члена-корреспондента РАН профессора П.Л.Ульянова, на семинарах под руководством профессора Р.С.Исмагилова и профессора Ю.Н.Неретина, под руководством профессора О.Г.Смолянова и профессора Е.Т.Шавгулидзе. под руководством профессора АЯ.Хелемского.
Результаты диссертации докладывались на Ломоносовских чтениях в
МГУ (1998, 2003гг.), на семинарах МИРАН и на международной конференции в МИРАН (2002г.), посвященной памяти В.М.Алексеева, в Техническом университете Эйндховена (Голландия, 2002г.), неоднократно докладывались в VI Парижском университете им. Пьера и Марии Кюри (1996, 1999, 2000, 2002гг.), XIII Парижском университете (1999, 2000гг.), университете Марн-ля-Вале (1999г.) и Математической Лаборатории им. Р.Салема университета Руана (2000, 2002гг.).
Ряд результатов диссертации лег в основу спецкурсов по эргодической теории, которые автор прочитал на механико-математическом факультете МГУ (1994 - 2003гг.) и лекций, прочитанных им в Лаборатории Вероятностей VI Парижского университета (2002г.) и Математической Лаборатории им. Р.Салема (2002г.).
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 19 работах автора, список которых приведен в конце автореферата. Эти работы выполнены без соавторов.
Структура и объем диссертации. Текст диссертации состоит из введения и пяти глав, разбитых в общей сложности на 26 параграфов, списка цитированной литературы. Общий объем диссертации 166 страниц. Библиография содержит 108 наименований.
