Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Марковские сплетающие операторы и тензорная простота динамических систем
1.1. Несколько методологических принципов теории сплетений 37
1.2. Дополнительная симметрия 45
1.3. Индуцированные джоининги 51
1.4. Примеры тензорно простых систем 54
1.5. Связь типов тензорной простоты 62
Глава 2. Системы с минимальным, простым и квазипростым централизатором
2.1. Простые системы с несчетным централизатором 9
2.2. Наследственная независимость и квазипростота действий 72
2.3. Минимальные самоприсоединения и кратная возвращаемость 78
2.4. Четная и нечетная тензорная простота 87
Глава 3. Джоининги и тензорная простота некоторых потоков .
3.1. Гладкие джоининги и тензорная простота потоков.91
3.2. Тензорная простота простых потоков 93
3.3. Перемешивающие потоки положительного локального ранга 100
Глава 4. Джоининги действий конечного и положительного локального ранга
4.1. D-свойство перемешивающих автоморфизмов конечного ранга 107
4.2. D-свойство перемешивающих Ъп-действий и локальный ранг 111
4.3. Тензорная простота перемешивающих систем с D-свойством 115
4.4. Кратное перемешивание и локальный ранг 120
4.5. Ранги и джойнинги автоморфизма Т х Т 122
Глава 5. Некоторые спектральные, алгебраические и асимптотические свойства динамических систем
5.1. Проблема Рохлина об однородном спектре 128
5.2. Перемешивающие автоморфизмы с однородным непростым спектром 135
5.3. Изоморфизм декартовых степеней преобразований и ае-перемешивание 140
5.4. Асимметрия прошлого и будущего системы и кратная возвращаемость 144
5.5. Расширения, сохраняющие кратное перемешивание и тензорную простоту 149
Литература 156
- Индуцированные джоининги
- Минимальные самоприсоединения и кратная возвращаемость
- Тензорная простота простых потоков
- Тензорная простота перемешивающих систем с D-свойством
Введение к работе
§0.1. Проблема Рохлина о кратном перемешивании
Основным объектом исследования в диссертации является обратимое сохраняющее меру fi преобразование Т пространства Лебега (X, В, ), которое называют автоморфизмом. Динамической системой называется четверка (Т, X, В, /і) ИЛИ, в более общей ситуации, сохраняющее меру действие некоторой группы. Среди свойств Т, которые представляют интерес для эргодической теории, особую роль играют асимптотические свойства (свойства систем для больших значений времени). Рассмотрим пример такого свойства, который является ключевым для нашей работы.
Кратное перемешивание. Говорят, что автоморфизм Т перемешивает с кратностью к, если для любых множеств Д, ..., Д Є В и любых последовательностей ni,..., п& — со выполнено:
/І(Д П Г"1 Д... П Tn +-+B А») - /i(Ao)MAi) • • • »(Ак).
В.А. Рохлин в работе [21] ввел понятие кратного перемешивания и доказал, что эргодический эндоморфизм компактной коммутативной группы обладает кратным преме-шиванием всех порядков. Проблема эквивалентности свойств перемешивания разных порядков, получившая название проблемы Рохлина о кратном перемешивании, стала популярна после выхода книги Халмоша [58]. Напомним историю результатов.
В.П. Леонов [13] показал, что перемешивающие гауссов-ские системы обладают перемешиванием всех кратностей. Ф. Ледраппье [71] обнаружил контрпример к проблеме о
кратном перемешивании для действий группы Z . Он построил перемешивающее действие группы Z2, которое не обладает перемешиванием кратности 4. Это действие образовано коммутирующими сдвигами (автоморфизмами) подгруппы Н группы 2Z , где Н состоит из всех последовательностей {h(z)}, z Є Z2, h(z) Є 7 2, таких, что условие
h(z\ +1, z2) + h(z\, z2 +1) + h(zi -1,) + M i 22 -1) = Л( і, «г)
выполнено для всех z = (21,2:2). Идея Ледраппье позволяет варьировать результаты: для каждого к найдется коммутативное действие, обладающее перемешиванием кратности к, но не обладающее перемешиванием кратности {к + 1). Однако проблема Рохлина о кратном премешивании, поставленная для Z-действий, остается открытой более полувека.
Упомянем результаты, дающие положительный ответ для некоторых классов динамических систем. Я.Г. Синай высказал гипотезу о том, что орициклический поток является перемешивающим всех степеней, которую подтвердил Б. Маркус, доказавший более общее утверждение: свойством кратного перемешивания обладают унипотентные потоки. Ряд обобщений теоремы Маркуса был получен позднее в [23], где автор применил метод джойнингов, а также Ш. Мозесом [74] и А.Н. Старковым [29],[30]. Так, например, в [29] доказано свойство кратного перемешивания для однородных перемешивающих потоков. Ряд общих результатов и наблюдений о кратном перемешивании получены авторами [22], [48], [81], [84]. Проблема Рохлина о кратном перемешивании допускает модификации. Например, влечет ли слабое перемешивание за собой слабое перемешивание всех порядков? [22].
Один из наиболее общих результатов принадлежит Б. Осту [59]: перемешивающие автоморфизмы с сингулярным спектром не допускают нетривиальных самоприсоединений с парной независимостью и по этой причине обладают переме шиванием бесконечной кратности. Вывод из теоремы Оста: контрпримеры к проблеме Рохлина следует искать в классе систем с быстрым перемешиванием кратности 1.
В [67] С. Каликов установил свойство перемешивания кратности 2 для перемешивающих автоморфизмов ранга 1. Результат Каликова был несколько неожиданным, так как здесь свойство кратного перемешивания получено для систем со слабыми статистическими свойствами. Автор в [24] привел обобщение теоремы Каликова для всех кратностей, основанное на технике джойнингов, показав, что перемешивающие автоморфизмы ранга 1 не допускают самоприсоединения с парной независимостью. В диссертации эквивалентное свойство, сформулированное в терминах сплетающих операторов, называется тензорной простотой (определение приводится ниже). Но интерес к этому свойству связан не только с тем, что тензорная простота перемешивающей системы влечет за собой кратное перемешивание.
Тензорную простоту можно рассматривать как аналог свойства взаимной сингулярности спектральной меры автоморфизма и ее сверточного квадрата (первое указание на это появилось в работе Оста [59]). Упомянутое спектральное свойство в относительном варианте было обнаружено A.M. Степиным [31] для групповых действий при решениии проблемы Колмогорова о групповом свойстве спектров динамических систем (этой проблеме посвящены также работы В.И.Оселедца [15] и А.М.Степина [34]). Таким образом, свойство тензорной простоты, появившееся внутри теории джойнингов [64], оказалось замечательным образом связанным с проблемами Колмогорова и Рохлина.
Предположим, что контрпример к проблеме Рохлина найден. Тогда можно задать меру v на кубе Xn+l, определяя значения V{AQ Х А\... х Ап) как предел выражений вида /І(А0ПТПІАІ .. .ПТПі+-+ПкАп). Такая мера является самопри соединением: она инвариантна относительно прямого произведения Т(о) х Т(!)... х Т(п), а ее проекции на двумерные грани куба Xn+l стандартны, т.е. совпадают с мерой ц® ц. Говорим, что такие самоприсоединения обладают попарной независимостью. Причем мера v нетривиальна, т.е. v ф іл g ... ® ц.
Хотя наш пример для действий группы Z является гипотетическим, для упомянутого действия Z2 из работы Ледр-аппье мы получим нетривиальное самоприсоединение.
Если же будет доказано, что рассматриваемая система не допускает таких нетривиальных джойнингов, мы установим кратное перемешивание (или слабое кратное перемешивание, когда система обладала только слабым перемешиванием). В этом и состоит подход в изучении проблемы Рохлина, использующий джойнинги. 1 Последние, как мы увидим позже, тесно связаны с понятием марковского сплетающего оператора.
§0.2. Теория джойнингов и ее приложения
Понятие джойнинга возникло в работе Фюрстенберга [49], где он ввел понятие дизъюнктности двух систем (Т и S дизъюнктны, если ц g fi - их единственный джойнинг) и доказал дизъюнктность К-автоморфизма с автоморфизмом нулевой энтропии. Впрочем, этот факт вытекает из теоремы Пин-скера [18]: К-фактор и фактор с нулевой энтропией независимы.
Толчком к развитию теории джойнингов и их приложений послужила статья Д. Рудольфа [82], в которой построен автоморфизм со свойством минимальных самоприсоединений. Приведем определение этого свойства.
Пусть Т : X — X - сохраняющий меру автоморфизм вероятностного пространства (X,B,fi), у(Х) = 1. Мера v, инвариантная относительно преобразования Тщ х ... х Т(„), действующего в кубе X(i) х ... х Х(п), называется самоприсоединением порядка п, если в дополнение к сказанному выполнено условие: проекции меры v на сомножитель Х совпадают с мерой /І.
Так, например, мера /І 8 /І И образы Дт« меры \х при отображениях рп : X — X х X, где (рп{х) = (x,T"(x)), являются очевидными самоприсоединениями второго порядка.
Мера A = Aid называется диагональной. Ее можно задать по-другому: А(А х В) = fi(A П В) для всех А, В Є В.
Автоморфизм Т пространства (X, В, у) называется автоморфизмом с минимальными самоприсоединениями порядка п (пишем Т Є MSJ(n)), если любой эргодический джойнинг п копий Т, исключая меру ц®п = /іщ (8) ... (8) /i(n), обладает следующим свойством: одна из его проекций на двумерную грань в X х ... х X является мерой А .. (Неформально говоря, такой автоморфизм Т имеет только очевидные джой-нинги.)
Используя автоморфизм Т Є MS J как элемент конструкций, можно построить разнообразные контрпримеры (примеры действий с необычными свойствами). Так, например, в [82] приведены примеры неизоморфных автоморфизмов U, V таких, что автоморфизм Un изоморфен автоморфизму Vn для всех п 1, даны примеры автоморфизмов с несчетным семейством неизоморфных квадратных корней, построен автоморфизм U без корней такой, что U2 имеет корни всех степеней.
В работе Рудольфа имеется ряд других примеров, из которых мы приведем следующий пример неизоморфных автоморфизмов U, V", которые слабо изоморфны. Согласно определению Синая [28], две системы U, V слабо изоморфны,
если U содержит У-фактор, а система V имеет fZ-фактор, т.е. факторсистему, изоморфную системе V. Пусть Т обладает свойством минимальных самоприсоединений всех порядков (свойством MSJ). Рассмотрим U=TxTxTx — Так как автоморфизм U коммутирует с инволюцией S:
S{xu х2, я3, х4...) = (ж2, хг,х3, а?4 —),
подалгебра измеримых множеств, инвариантных относительно 5, будет инвариантна относительно автоморфизма U. Пусть V - факторсистема, соответствующая инвариантной подалгебре. Имеем представление V = Т°2 хТхТхТх..., где Т02 - действие Т х Т на подалгебре множеств, инвариантных относительно отображения (rci, ) — (х2,х{). Из теории минимальных самоприсоединений вытекает, что автоморфизмы U и V не изоморфны. Слабый изоморфизм U и V очевиден.
Отметим, что автоморфизм Т Є MSJ(2) является слабо перемешивающим, имеет тривиальный централизатор (коммутирует только с Тр) и не имеет собственных факторов. Если некоторый эргодический автоморфизм обладает набором различных факторов, каждый из которых изоморфен некоторому действию класса MSJ(2), то все эти факторы попарно независимы.
Другие примеры автоморфизмов и потоков с аналогичными свойствами появились в работах дель Юнко, Парк, Рае, Ратнер, Свансон [60],[65],[63],[80]. Этими авторами установлено, что некоторые перекладывания отрезков, автоморфизм Чакона, специальные потоки над автоморфизмом Чакона, некоторые орициклические потоки обладают свойством минимальных самоприсоединений. Упомянутые примеры автоморфизмов со свойством MSJ принадлежат классу автоморфизмов ранга 1 (в терминологии Катка и Степина [9] - допускают циклическую аппроксимацию). А.А. При ходько расширил множество примеров автоморфизмов с минимальными самоприсоединениями: вероятностными методами строятся автоморфизмы бесконечного ранга со свойством MS J (см. [19]).
Понятие простой системы обобщает свойство минимальных самоприсоединений (MSJ). Примеры простых систем и фрагменты теории имеются в статьях Вича [89], Вейса, Глазнера [53], Глазнера, Оста, Рудольфа [52], Рудольфа, дель Юнко [64], Тувено [87] и статьях других авторов.
Отметим, что 2-простая система является групповым расширением каждого из ее факторов при условии нетривиальности фактора [89]. Недавно А. дель Юнко построил пример простой системы, не имеющей минимального нетривиального фактора (это контрастирует с отсутствием нетривиальных факторов у автоморфизма класса MSJ). Из результата Глазнера, Оста и Рудольфа [52] следует, что 2-простой слабо перемешивающий автоморфизм, не являющийся простым порядка 3, должен обладать перемешиванием. Эти авторы доказали, что 3-простота влечет n-простоту для Z-действий. Однако для действий некоммутативных групп имеются контрпримеры: 2-простота не совпадает с 3-простотой, а последняя, вообще говоря, не влечет за собой простоту всех порядков [100]. Ситуация меняется при рассмотрении свойства простоты порядка 4. Это свойство влечет за собой простоту всех порядков для любого группового действия (см. работу Кинга [69]).
Понятие свойства минимальных самоприсоединений и простоты обобщаются в разных направлениях (см. [66], [70], [87]), одним из обобщений является понятие квазипростоты. Отметим, что слабо перемешивающий автоморфизм, входящий в поток со свойством Ратнер (например, в орицикли-ческий поток), является квазипростым [80],[87]. К.Парк [76] показала, что стандартное 5L(2, -действие автоморфиз мов двумерного тора Т2 является квазипростым действием порядка 2. Эргодический джойнинг этого действия сосредоточен на подмножестве тора Т2 х Т2, которое задается уравнением тпх = пу mod(l), где х,у Є Т2, т,п - фиксированные натуральные числа. Рассмотренное действие не является квазипростым порядка 3, так как равномерно распределенная мера на многообразии {(х, у, z) : х-f у + z — 0} является нетривиальным джойнингом порядка 3. Из результатов цитированной работы Кинга следует, что квазипростота порядка 4 влечет за собой квазипростоту всех порядков.
Результаты Парк обобщены в статье Приходько [77], где дано полное описание джоинингов группы автоморфизмов n-мерного тора. Эти работы вместе с [78],[20] и [100] относятся к теории джоинингов некоммутативных действий, которая контрастирует с теорией коммутативных действий.
Джойнинги и спектр. В работе [62] М. Леманчик и А. дель Юнко предложили новый метод построения контрпримеров, использующий вместо свойства минимальных самоприсоединений свойство взаимной сингулярности сверточных степеней спектральной меры. Типичность последнего свойства, доказанная A.M. Степиным [34],[85], дает дополнительные возможности (счетное пересечение типичных множеств непусто). С позиций теории марковских сплетающих операторов эти подходы при всей их оригинальности выглядят родственными: если спектральные эффекты можно сформулировать в терминах сплетающих операторов, то свойства джоинингов - в терминах марковских сплетений. Любопытно, что автоморфизм Чакона одновременно обслуживает оба подхода: он обладает свойством минимальных самоприсоединений (как мы упомянули выше) и свойством взаимной сингулярности сверточных степеней спектра, что недавно показали А.А.Приходько и автор [78].
Связь между джойнингами и спектром тем сильнее, чем «сингулярней» спектр. А системы с лебеговским спектром могут быть (стохастически) дизъюнктными, т.е. не иметь марковских сплетений, за исключением единственного тривиального сплетения, которое функциям с нулевым средним сопостовляет нулевую функцию. Классический пример: спектрально изоморфные геодезический и орициклический потоки дизъюнктны, так как геодезический поток является К-системой (см. [1]), орициклический является системой с нулевой энтропией ([6]), а таковые дизъюнктны ([18],[49]). То, что спектр этих потоков счетнократный лебеговский, было установлено в [7] и [17]. Другой пример: спектрально изоморфные автоморфизмы Т и Т 1 из [82] (стохастически) дизъюнктны, т.е. не имеют марковских сплетений за- исключением тривиального сплетения.
§0.3. Теория марковских сплетающих операторов
Систематическое использование языка марковских сплетений было предпринято автором, начиная с работы [90], §6. Изложение метода сплетений также имеется в работах Дж. Гудзона [54] и М. Леманчика, Ф. Парро, Ж.-П. Ту-вено [72]. Связь между марковскими операторами и полиморфизмами на декартовых произведениях пространств с мерой описана в работе A.M. Вершика [4]. В его работе изучаются свойства самих полиморфизмов, а в теории джой-нингов - свойства полиморфизмов, коммутирующих с динамической системой, или в более общей ситуации - полиморфизмов, сплетающих системы. Полиморфизмом называется мера на [X, Б) х (У, ІЗ), где X = У, проекции которой на сомножители совпадают с /л. Полиморфизму v соответствует
оператор Р, который задается формулой:
Pf(y) = [ f{x)dvy(x), Jx
где {уу : у Є Y} - разложение меры v в систему условных мер vy.
Говорят, что мера ц есть джойнинг автоморфизмов Т и 5, если г) инвариантна относительно Т х S, а проекции этой меры на сомножители в произведении (X, В) х (X, В) совпадают с мерой її. Отвечающий джойнингу ц бистохастиче-ский оператор Р сплетает Т и S: РТ = SP.
Пусть (Г, X, В, (і) - динамическая система, где Т обозначает обратимое, сохраняющее меру /І преобразование множества X (фазового пространства), В - алгебра //-измеримых множеств. Преобразование Т называют автоморфизмом. Будем обозначать тем же символом Т и называть автоморфизмом унитарный оператор в 1/2(/л), отвечающий преобразованию Т: (Tf)(x) = f{Tx) для / Є 2(АО- Поскольку такие операторы сохраняют неотрицательность функций, образованная ими группа Л вложена в полугруппу V ограниченных операторов в L i{\i), которые переводят неотрицательные функции в неотрицательные. Оператору Р Е V соответствует мера і/, называемая квазиполиморфизмом ([4]). Связь задается формулой:
/ (f 8 g)dv = (Pf,g),
JXxX
где (•,•)- скалярное произведение в L2(fi) (иногда (•, •) также обозначает скалярное произведение в Ьч{\і 0 ... g) /і)).
Сплетающие операторы, джойнинги и кратное перемешивание. Особый интерес представляет случай, когда автоморфизм S в формуле сплетения РТ = SP изоморфен тензорной степени автоморфизма Т. Теория таких
сплетений ( и теория джойнингов, отвечающая этим операторам) имеет приложение к проблеме В.А.Рохлина о кратном перемешивании. Рассмотрим частный случай этой проблемы. Пусть автоморфизм Т пространства Лебега перемешивает с кратностью 1, т.е. для любых множеств А, В Є В при п — со выполнено
/і(ГМПЛ) -+ц(А)ц(В).
Будет ли автоморфизм перемешивать с кратностью 2? Последнее означает, что для любых измеримых множеств А, В, С при любых последовательностях ш, п — со имеет место сходимость
li{TmA П Тт+пВ П С) -+ fi{A)fi{B)fx(C).
Пусть Т перемешивает, но мы не знаем, является ли он перемешивающим с кратностью 2. Предположим, что для некоторых последовательностей га(г ), п(г ) — со для любых А, В, С выполнено
Tm(i)A n Tm(i)+n(i)B п С) - г/(А X Б X С),
где v - мера (полиморфизм) на X х X х X. Пусть А, В, С также обозначают индикаторы соответствующих множеств. С мерой v связан бистохастический оператор Р, действующий из Ьг(// ® /І) в L2(fj) i связь задается равенством:
и{Ах В х С) = {Р{ХА®ХВ),ХС).
Проверяется, что для меры v выполнены следующие свойства:
и(ТА хТВх ТС) = и{АхВ х С)
(мера инвариантна относительно Т ®Т g) Т) и
и(Х х А х В) = и(А х X х В) = ІУ(А х В х X) = fi(A)fi(B)
(проекции меры v на грани декартова куба стандартны). Для оператора Р точными аналогами этих свойств являются:
ГР = Р(Т®Т), (0.1)
Р(/ (8 1) = Р(1 (8) /) = Cons = 10 0/, (0.2)
где 0 обозначает оператор ортопроекции на пространство констант в 1/2(/І). В дальнейшем тривиальным называется оператор Р такой, что Im(P) = {Const} (образ есть одномерное пространство постоянных функций).
Итак возникают два объекта: мера v и оператор Р. Если автоморфизм Т не обладает свойством перемешивания порядка 2, то для некоторых последовательностей т(г), п(г ) -» оо получим:
Гт(0 А n Tm(i)+n(i)B П С) - 1/(Л X Р X С) fx(A)[l(B)ll{C)
для некоторых А, В, С. Следовательно, мера и оператор Р нетривиальны. Это означает, что
v -ф- ц 8 /і 8 /г, Іт(Р) ф {Const}.
Если существует единственный (тривиальный) оператор Р, удовлетворяющий условиям (0.1),(0.2), будем говорить, что Т обладает свойством 5(2,3). Если перемешивающий автоморфизм Т удовлетворяет свойству 5(2,3), то Т будет обладать кратным перемешиванием порядка 2. Действительно, оператор, отвечающий мере /І (8) (/л8 ц), удовлетворяет (0.1),(0.2). Из единственности такого оператора вытекает свойство кратного перемешивания:
Тт АПТт +п ВПС) - (Р(ХА®ХВ),ХС) = /i{A)»{B)ti{C).
Тензорная простота динамической системы. По аналогии со свойством 5(2,3) определим свойства S(n,n + 1):
существует единственный оператор Q, удовлетворяющий условиям
TQ = Q(T(1)®T(2)®...®T(n)), (п 2)
и
Q(fi g ... g /n_i) = Cons =//1//2.../ /n-1,
если одна из функций /ь/г, • • • ,/n-i является постоянной. Для групповых действий определения свойств 5(п, п + 1) аналогичны. Если (п — 1)-кратно перемешивающий автоморфизм Т удовлетворяет свойству S(n,n -f 1), то Т будет обладать кратным перемешиванием порядка п.
Тензорно простым называется действие класса fln 2»S(n —
Как будет показано, свойство 5(3,4) влечет за собой каждое из свойств S(n, п + 1) и, следовательно, свойство перемешивания всех порядков для произвольного перемешивающего коммутативного действия. Поэтому в диссертации тензорно простым также называется действие класса 5(3,4). Отметим, что оно эквивалентно следующему свойству: множество самосопряженных бистохастических операторов J, коммутирующих с Т g) Т и удовлетворяющих условию
J(/®0) = J(0®I) = 6(2)6,
одноэлементно, т.е. является множеством {6 (g) 6}.
В терминах джойнингов свойство тензорной простоты ввели в рассмотрение Д.Рудольф и А. дель Юнко [64]. Говорим, что мера и, заданная на Хп, принадлежит классу М(тп,п), п m 1, если проекции и на m-мерные грани декартова n-куба совпадают с мерой /i®m. Если для действия {Тд} мера fi®n является единственной мерой класса М(гп, п), инвариантной относительно Тд ® ... ® Т5, говорим, что действие принадлежит классу ID(m,n). Авторы [64] ввели в рассмотрение класс PID = Dn 2lD(2,n) (их результат: класс PID замкнут относительно декартовых произведений).
В [68] доказано, что свойство /.0(2,4) влечет //)(2, п) для всех п 4. Этот результат стимулировал некоторые обобщения. Как будет видно, ID{2p — 1,2р) = //)(2,4) для всех р 1, а класс тензорно простых действий совпадает с классом PID. Открыты вопросы о совпадении классов //)(2,3) и //)(3,4) и о существовании слабо перемешивающего Z-действия с нулевой энтропией, не принадлежащего классу / (2,3).
Обозначение PID использовано Рудольфом и дель Юнко [64] как аббревиатура от pairwise independently determined action. В диссертации отдается предпочтение операторной терминологии, в которой словосочетание "тензорная простота" подчеркивает, что система и ее тензорная степень не имеют нетривиальных марковских сплетений. Придадим этому высказыванию формальный смысл.
Внутренние операторы. Пусть марковский оператор Р (здесь его уместнее назвать бистохастическим) действует из пространства L®m в L®", где L = L2(X, ц), т + п 2.
Пусть
ImP С Н®п 0 {Const}, ImP С Н®т 0 {Const},
где Н - пространство функций из L с нулевым средним. Такой бистохастический оператор назовем внутренним.
Система (Т, X, /і) называется тензорно простой, если для всех т,п, т + п 2, степени Т®т и Т®п имеют единственное (тривиальное) внутреннее сплетение: PL®m = {Const} (что равносильно PH®m = 0). Оказывается, чтобы установить свойство тензорной простоты, достаточно проверить случай т = п = 2 (т.е. свойство S(3,4)). Доказательство этого факта см. в главе 1. Джойнинги и сплетения. В тексте диссертации сочетается язык и методология сплетений и джойнингов. В ряде случаев применение операторов весьма удобно. В качестве подтверждающего примера мы обсудим новое доказательство теоремы Леманчика и дель Юнко [62]: 2-простал система Т дизъюнктна с гауссовской системой (см. также статью Тувено [88], где этот результат обобщается). Мы получим даже более общий факт, но доказательство того, что он является более общим, мы опустим.
Система (Т, X, ц) является 2-простой, если любой эргоди-ческий джойнинг v ф /І ® \х двух копий Т лежит на графике автоморфизма S, коммутирующего с Т. Говорим, что Т дизъюнктен с G, если их единственным марковским сплетением является G - ортопроекция на пространство констант.
Пусть система (G,X) представлена YYi=i{Gi,Xi)i будем обозначать Pk ортопроекцию на пространство (lL /t -v-Говорим, что система (G,X) является равномерно делимой, если для любого є О можно найти представление
(G,X) = Y[(Gi,Xi)
такое, что для всех к = 1,2,...,п операторы Pk -близки тождественному оператору /. (Считаем, что фиксирована метрика на марковском централизаторе автоморфизма G.)
Пусть А сплетает такой автоморфизм G с простым Т. Мы докажем, что А = 6, следовательно, G и Т дизъюнктны. (Этот результат верен и для квазипростых Т.)
Известно (см. [98]), что для неразложимых сплетений А и В 2-простой системы Т и эргодической системы G выполнено В А = 0 или BS = А для некоторого автоморфизма 5, коммутирующего с Т.
Пусть А ф 0, тогда А А ф 0. Из равномерной делимости G получим для некоторого п такую факторизацию G, что
для всех к = 1,2,...п выполнено (РьА) А = А РкА ф 0, так как Pk близки к /. Положим В = Рк А. Поскольку В неразложим, получим Д A Sf- = Л, (к = 1, 2, ...п). Тогда
A = Pn...P1ASi...Sn = eASi ...Sn = G.
Таким образом, 0 - единственное сплетение Т и G. Хорошо известно, что гауссовская система является делимой (см. [62]), можно показать чуть больше: она является равномерно делимой.
§0.4. Структура и основные результаты диссертации
Краткий обзор полученных результатов. Значительная часть диссертации посвящена следующей общей задаче: пусть джойнинг набора п 3 копий динамической системы обладает свойством попарной независимости, верно ли, что этот джойнинг лвллется произведением мер? В нашей терминологии этот вопрос переформулируется так: является ли система тензорно простой?
Исторически этот вопрос возник для систем с минимальным (в более общем случае - простым) централизатором. Как отмечалось, положительный ответ был получен для перемешивающих систем ранга 1 ( Каликов, Кинг, Рыжиков) и систем с сингулярным спектром (Ост).
В главе 1 излагаются методы теории марковских сплетений и показано как они применяются для установления тензорной простоты и других свойств систем.
В главах 2,3 тензорная простота устанавливается для систем с минимальным или простым марковским централизатором при некоторых дополнительных условиях. Показано, что для Z-действий вопрос MSJ(2) = M5J(3)? равносилен проблеме Рохлина в классе MSJ(2) (классе систем с минимальными самоприсоединениями порядка 2). Для потоков доказано совпадение свойства простоты порядка 2 и свойства простоты всех порядков (в частности, этим доказано для потоков совпадение классов MSJ(2) и M»SJ(3)), что дает положительный ответ для потоков на вопрос Рудольфа и дель Юнко. Получены обощения этих результатов. Для некоторых некоммутативных действий обнаружено различие четной и нечетной тензорной простоты и показано, что MSJ{2) ф MSJ(3) ф MSJ(4). Решена проблема Рохлина для потоков положительного локального ранга.
В главе 4 тензорная простота установлена для перемешивающих действий конечного ранга и Zn-действий положительного локального ранга /3 2 ", тем самым установлено и свойство кратного перемешивания. Как следствие получено равенство классов MS J (2) и MSJ(3) для действий конечного ранга. Установлена бесконечность ранга эргодиче-ского автоморфизма Т х Т и точная оценка локального ранга Т х Т. В случае, когда он равен максимальному значению , показано, что Т обладает свойством ае-перемешивания. Так как известны перекладывания Т такие, что локальный ранг Т х Т равен \ (примеры А. Катка), подтверждена гипотеза Оселедца [15] о существовании перекладываний со свойством ае-перемешивания ( аз = ).
Глава 5 содержит следующие результаты. Дано положительное решение проблемы Рохлина о непростом однородном спектре для непервмешивающих и перемешивающих автоморфизмов. Для ае-перемешивающих автоморфизмов Г доказано, что изоморфизм Т х Т и S х S влечет за собой изоморфизм Т и S. Рассмотрен асимптотический инвариант (частичное кратное возвращение), который может различать некоторые автоморфизмы с их обратными. Изучен новый класс расширений типа (Г, Т-1)-расширений, сохраняющих свойства тензорной простоты и кратного перемешивания.
Индуцированные джоининги
Пусть бистохастический оператор J : L2(X, fi) S L2(X, fi) —» L2(X,fi) удовлетворяет условиям: где R,S,T- некоторые автоморфизмы L2(X, /і). Оператору J сопоставим измеримую функцию J : X — Ad, (где Ad -полугруппа бистохастических операторов, действующих из L2(/i) в L2(/x)) Получим Запись ... = ... означает в дальнейшем равенство для почти всех х Є X. Если для перемешивающих автоморфизмов Я, S, Т выполнено тождество ( ), то измеримому семейству операторов J : X — Ad отвечает джойнинг v — (R х S х T)i/. Связь задается формулой Теперь рассмотрим семейство операторов T-Lm : X — Ad: Выполняется тождество Функции Tim сопоставим меру 7]т: Таким образом мы определили новые джойнинги 7]т, которые будем называть индуцированными. Отметим, что для них выполнено r)m = (R х S х S)f]m (rjm является джойнин-гом набора (і?, S, S)). Одно из применений индуцированных джойнингов состоит в следующем: если длл почти всех іІ выполнено Ит{х) — 0, то J{x) = О. Основные приложения индуцированных джойнингов изложены в главах 2, 4. Напомним, что действие {Tg : g Є G} на (X, /І) называется простым, если коммутирующий с ним оператор Р Є М. имеет где C({Tg}) обозначает групповой централизатор действия; 0 - оператор ортопроекции на пространство констант. Напомним, что действие называется слабо перемешивающим, если мера [і (Е ц эргодична относительно Т S Т (ее нельзя представить в виде суммы различных Т Т-инвариантных мер). Доказательство следующего утверждения покажет причины, по которым "тривиализуются" некоторые сплетения для 2-простых систем. УТВЕРЖДЕНИЕ. Пусть {Vj} - некоторая последовательность слабо перемешивающих автоморфизмов, коммутирующих с 2-простым слабо перемешивающим действием {Тд} группы G, причем Vj — Id. Пусть J{x) Є А для всех х, и для всех g Є G выполнено Тогда найдется автоморфизм S, коммутирующий с действием {Т9} такой, что Доказательство. Рассмотрим операторнозначную функцию С функцией 1 Lj можно связать динамическую систему {Тд & Тд О Тд,Х х X х X", rjj}, где мера rjj определена формулой Полученная динамическая система изоморфна системе {Тд Тд,Х х Xі,/і ig fi}. Изоморфизм осуществляет отображение F : X х X - X х X х X", определенное формулой где 7ij(x) сейчас рассматривается как преобразование, действующее на точку х .
Следовательно, эта система эргодична вместе с (ее факторсистемой) {Тд Тд, Xі х X", nrjj}, где мера nrjj есть проекция меры Tjj на Xі х X". Эргодиче-ской мере TTT]J отвечает бистохастический оператор, коммутирующий с действием {Тд}. Так как этот оператор имеет представление (1.1), а отвечающая ему мера эргодична, имеем два случая: или где S - автоморфизм, коммутирующий с нашим действием. Так как при j — со (I - тождественный оператор), при достаточно больших j первый случай исключается. Из второго случая вытекает, что так как оператор S есть крайняя точка в М.. Из Hj(x) = S получим что эквивалентно условию для оператора J, связанного с функцией J формулой ( ). Так как Vj слабо перемешивает, из принципа дополнительной симметрии (теорема 1.2.1) получим, что оператор J тривиален. Тогда из тривиальности J вытекает, что J(x) = 0, что противоречит J(x) Є Л. Оператор S называется ае-перемешивающим, ээ Є (0,1), если для некоторой последовательности п(г ) — со выполняется где І" обозначает тождественный оператор, 0 - оператор ортопроекции на одномерное пространство {Const} постоянных функций. Докажем, что аз-первмешивающее действие при 0 аз 1 принадлежит классам S{n — 1,п). Рассмотрим случай п = 3 (при п 3 рассуждения аналогичны). Пусть для некоторой последовательности {Tg{j}} выполнено Г5(1) Рае = (1-аэ)/ + аз0. Обозначим через J : L -» L2 внутренний оператор, сплетающий действие с ее тензорным квадратом: Имеем Отсюда для / Є Я получим следовательно, 7Я = {0}. Таким образом, J = J6, значит наше действие обладает свойством 5(2,3). Как следствие получаем следующее утверждение: -перемешивающий автоморфизм Т обладает свойством слабого премешивания кратности 2: еслиТт, ТПі, Tm,-n — О, mo выполняется для любых измеримых множеств А, В, С. Другой пример Z-действия класса 5(3,4). Используя метод аппроксимаций [9], несложно построить эргодический автоморфизм Т, удовлетворяющий условию: для некоторой последовательности к (і) — со что эквивалентно слабой сходимости Тк — Q = \1 + Т. Отметим также, что этим свойством обладает популярный в теории джойнингов автоморфизм Чакона. (Из эргодичности такого автоморфизма Т следует, что он обладает свойством слабого перемешивания.) Докажем, что автоморфизм Г является тензорно простым. Пусть v - его некоторое эргодическое самоприсоединение
Минимальные самоприсоединения и кратная возвращаемость
Минимальные самоприсоединения. Автоморфизм Т пространства (X, Б, /І) обладает свойством минимальных самоприсоединений порядка п (Т Є MSJ(n)), если любой эр ... /І(П), обладает следующим свойством: одна из его проекций на двумерную грань в X х ... х X являєся мерой А р (сдвиг диагональной меры). Неформально говоря, такой автоморфизм Т имеет только очевидные джойнинги. Для Z-действий мы покажем, что в классе MSJ(2) проблема Рохлина эквивалентна открытому вопросу терии джой-нингов: совпадает ли класс MSJ{2) с классом MSJ(3) Хотя имеются некоммутативные контрпримеры, т.е. для групповых действий возможно, как мы показали в главе 1, несовпадение классов MSJ{2) и MSJ(3) (и даже MS J(3) ф M5J(4)), случай Z-действий остается нерешенным. ТЕОРЕМА 2.3.1. ЕслиТ Є MSJ(2) иТ перемешивает с кратностью 2, то автоморфизм Т обладает минимальными самоприсоединениями всех порядков и кратным перемешиванием всех порядков. Этам теорема является непосредственным следствием более общего утверждения. ТЕОРЕМА 2.3.2. Пусть перемешивающий автоморфизм Т Є MSJ(2) обладает свойством кратного возвращения: для любого множества А положительной меры и любой последовательности к(т) — со, \к(т) — т\ — со для всех больших т выполнено условие Тогда Т Є MSJ(3) и, следовательно, обладает свойством кратного перемешивания всех порядков. ЗАМЕЧАНИЕ. Сформулированная теорема, в частности, утверждает следующее: для перемешивающего автоморфизма Г Є MSJ{2) свойство для любого А, /л(Л) 0 влечет за собой Сейчас мы сформулируем техническое утверждение, играющее ключевую роль в доказательстве. УТВЕРЖДЕНИЕ 2.3.3. Пусть автоморфизм Т принадлежит классу MSJ{2) \ MSJ(3), тогда найдется число а 0, множество М С N положительной плотности, семейство марковских операторов {Jx}, Jx 2(/ ) — L p), отвечающих некоторому нетривиальному эргодиче-скому джойнингу со свойством парной независимости, и последовательность к(т) такая, что к(т) — со, \к(т) — т\ — со и для любых множеств Л , В положительной меры для некоторого А С А , ц{А) 0 неравенство выполнено для всех х Є А П Т тА при т Є М. Утверждение будет доказано позже, а сейчас мы выведем из него теорему 2.3.2. Доказательство теоремы 2.3.2. Пусть Т Є MSJ(3) не выполняется. Ввиду утверждения 2.3.3 имеем: для любого фиксированного є 0 и множества В Є В пространство X представляется как объединение некоторых дизъюнктных множеств А\, А%,..., таких, что выполнено причем для всех точек х Е AjC\T mAj имеет место неравенство Кратное возвращение обеспечивает следующее: найдется х Є Aj П T mAj такая, что TkW(x) eAj. Поэтому выполнено Таким образом, при - ц(В) є 0 и /л(-В) мы получаем противоречие: следовательно, предположение Т Є MSJ{2) \ MSJ(3) не верно. Теперь приступим к доказательству утверждения 2.3.3. Основная идея состоит в следующем.
Индуцированный джойнинг rjm (индуцированный некоторым эргодическим джой-нингом v с попарной независимостью) имеет следующее представление: где vnmj) - эргодические джойнинги класса М(2,3) (конечно, при т О). Можно доказать, что одна из компонент, скажем, i (m)i), стремится к 0. Это влечет за собой тривиальность исходного джойнинга v. ЛЕММА 2.3.4. Пусть v - эргодический джойнинг набора (Т,Т,Т) и выполнены условия: v Є М(2, 3), v ф цСЗц/! и Т Є MSJ(2). Пусть {Vx} - марковский оператор, отвечающий мере vx, где \ух\ (х Є Хщ) - семейство условных мер на Х(2) х -Х"(з) отвечающих джойнингу v. Тогда найдутся целые числа р, q 1 такие, что (і) для почти всех х выполнено (iii) Пусть В - множество положительной меры. Для любого множества А!, ц{А ) О найдется множество А С А положительной меры такое, что для всех х Є АПТ тА выполнено (iv) для любого т найдется число г(т), 1 г (га) р, такое, что для всех х Є А П Т тА (v) для некоторого множества М С N положительной плотности для эквивариантного семейства {Jx} соответствующего некоторому джойнингу класса М(2,3), выполнено Доказательство пункта (і). Равенство влечет за собой Так как Г Є M5J(2), то оператор J V Vxdfi(x) является выпуклой суммой оператора 0 и степеней Тг. Так как v ф ц (g) /х 8 /і, для некоторого целого га и числа а 0 имеем Заметим, что случай і ф 0 невозможен. Действительно, из f V Vxdn(x) аТг вытекает, что для почти всех х операторы Vx и VxTl имеют "общую часть", т.е. мера v и мера [Id х Id х Tl)v имеют общую компоненту. Но эти меры эргодичны относительно Т х Т х Т, следовательно, они совпадают. Таким образом, мы получили равенство Пусть і ф 0. Так как v принадлежит М(2,3), аТ - эргоди-ческий лштоморфизм (автоморфизм класса MSJ(2) обязан быть слабо перемешивающим), мы получаем v = /І /і Э ji (см. принцип дополнительно симметрии). Таким образом, возможен только случай і — 0. Доказательство пункта (іі). Имеем Теперь для фиксированного т рассмотрим систему (Т X Т х Т, 7/т), где r)m - джойнинг, отвечающий семейству {7ix}. Эта система для некоторого s qr является Zs-расширением системы (Г х Т, // /Л). Так как последняя эргодична, число эргодических компонент системы (Г х Т х Г, /т) не превосходит числа #г. Все компоненты являются джойнингами класса М(2,3). Иначе мы получим но это влечет за собой равенство v = /2 g // g)/z, так как джойнинг і/ принадлежит классу М(2,3), а автоморфизм Tm х Тг эргодичен при і ф 0. Доказательство пункта (ш). Зафиксируем некоторые множества А и В положительной меры, для которых выполнено условие РхХв ф const при х А . Обозначим В = Хв &Хв- Рассмотрим множество А положительной меры такое, что для некоторого с, 0 с неравенство Ці -ВЦ с выполнено для всех х Є А . Для є 0 выберем / Є 2(А0 И множество Л С А положительной меры такое, что \\РХВ — / 0.1С/І(Б) для всех х Є А. Существование такой функции / следует из сепарабельности пространства Li(//). Получаем при с і мы получаем V х Є А П Т тА Доказательство пункта (iv). Из пункта (ii) вытекает представление С точностью до перестановки членов в приведенной выше сумме для всех х Є АПT mA выполнено неравенство Доказательство пункта (v). Теперь рассмотрим оператор определенный формулой Для различных m,k выполнено: или пространства 3mL\, JjtLg совпадают, или эти пространства ортогональны (см. доказательство теоремы 2.1.2). Наша задача - доказать, что множество попарно ортогональных пространств, взятых из набора {JmLg}, должно быть конечным. Положим
Тензорная простота простых потоков
Будем писать Р Q, если для операторов Р, Q для всех неотрицательных функций /, д выполненено Р/ Qf. определение. Действие {Тд}, д Є G называется о;-простым, если выполнено следующее условие: бистохастический централизатор действия содержит счетный набор операторов {Pi} и счетный набор положительных чисел а (г) 0, для которых имеет место причем каждый неразложимый оператор J ф 0 из стохастического централизатора действия {Тд} имеет вид J = SP{ для некоторого автоморфизма S, коммутирующего с действием. Свойство (3.1) эквивалентно конечнозначности полиморфизма, отвечающего оператору РІ. Мера #, отвечающая такому оператору, является относительно дискретной. При разложении меры в в систему условных мер получим, что почти все условные меры 9Х являются дискретными мерами. Более того, где Sy(iiX) - нормированная точечная мера с носителем в точке y(i,x). Из эргодичности потока вытекает, что почти все меры vx устроены одинаково в следующем смысле: они имеют одно и то же число точечных компонент (га не зависит от х). Действительно, пусть Хп обозначает множество {х Є X : т{х) = гс}, тогда получим fi(Xn) = 0 или /i(X„) = 1, так как Хп инвариантно относительно эргодического действия {Тд}. Пример w-простого некоммутативного действия. Рассмотрим двумерный тор X как группу с мерой Хаара ц. Автоморфизмы двумерного тора образуют о;-простое действие Ф группы GL(2,Z). Это непосредственно вытекает из результатов [76] о джойнингах второго порядка действия Ф. Типичным примером неразложимого оператора служит оператор Р, заданный условием (Pf)(2x) = f(5x) (для всех функций / на X). Однако, действие Ф не является тензорно простым. Действительно, оператор J : L i g Li — Li, которому отвечает мера, распределенная равномерно на множестве {(a?,?/,z) : у — х = z — х}, является нетривиальным внутренним оператором, сплетающим Ф и Ф Ф. Та кие операторы можно задавать явно. Например, оператор J : Li (g Li — Li, заданный равенством {f функция из LiLi), при подходящем выборе m, n,p,q Є Z является внутренним. Отметим, что рассмотренное действие Ф является дискретным и некоммутативным.
Коммутативный непрерывный случай (потоки). Следующая теорема дополняет теорему 2.1.2 о том, что простота порядка 2 для потоков влечет за собой простоту всех порядков. Напомним, что потоком называется действие группы R", являющееся непрерывным: операторы Тг слабо стремятся к тождественному оператору I, если г — 0. теорема 3.2.1. слабо перемешивающий си-простой поток является тензорно простым. следствие. перемешивающий со-простой поток является перемешивающим всех порядков. лемма 3.2.2. Пусть J и Js, s Є (0,є), суть неразложимые операторы, сплетающие ю-простой поток Tt с некоторым потоком St. Если выполнено J ф- О и Js — J при s — 0, то для некоторых различных s, s Є (0, є) найдется такой автоморфизм R, коммутирующий с Tt, что выполнено равенство Js = JSR. Доказательство леммы. Пусть X = X, поток {Tt} действует на пространстве (X, /І), а поток {St} - на (У, Л). Рассмотрим меру 77s на X g) Xі (g) У, определенную следующим образом: где операторы J, Js действуют из пространства 1/2(/-0 В ПР0"" странство 1/2(Л). Операторам Js соответствуют меры vs на X х Y, связь между ними задается формулой Наша цель - доказать, что для некоторых различных s , s и некоторого автоморфизма R, коммутирующего с потоком, выполнено откуда непосредственно вытекает утверждение леммы. Проекции 7гг]3 и 7т т]8 меры T]s соответственно на X X Y и X х У суть меры v и z/5, отвечающие сплетениям J и Js. Так как эти операторы неразложимы, меры і/иі/{ эргодичны относительно TtSt. Следовательно, почти все эргодические компоненты меры us обладают такими же проекциями (те меры, которые не попали в "почти все", мы не рассматриваем). Так как бистохастический оператор J J коммутирует с потоком, из определения а -простоты потока получим где 0-( ,) - некоторые положительные, не обязательно нормированные меры на стохастическом централизаторе SC нашего потока.
Для всех достаточно малых s выполнено as ф О, так как J J — J J ф Э. Напомним, что неразложимому оператору 0 отвечает мера /і /І. Заметим, что проекция Kurjs меры 7S на X х Xі отвечает оператору J J, следовательно, irurjs имеет вид где в І - полиморфизмы, отвечающие операторам Р,, которые участвуют в определении си-простоты потока. Таким образом, для достаточно малых s инвариантные относительно {Т xTt} меры 7Ti2i]s содержат эргодические компоненты вида Считаем, что сказанное выше выполнено при всех 5 Є (0, є) (если нет, то желаемое достигается при уменьшении є). Сопоставим каждому s эргодическую компоненту (3S меры 77s, потребовав, чтобы /3S имела вид (3.3). Так как неэквивалентных полиморфизмов в І только счетное число, найдется несчетное множество W С (0, є) такое, что для всех w Є W для некоторого фиксированного п выполнено i(s) = п. Тогда для всех w Є W имеем Из относительной дискретности меры в$ вытекает относительная дискретность меры (3S, т.е. мера fis имеет следующее представление. Пусть Z = X х У, тогда
Тензорная простота перемешивающих систем с D-свойством
Перемешивающее Zn-действие, обладающее D-свойством, является тензорно простым и, следовательно, обладает перемешиванием всех порядков. Для доказательства теоремы достаточно показать, что мера v Є М(2,3), инвариантная относительно Tz х Tz х Тг, есть /і g fi & /л. Предположим, что найдется эргодический джойнинг v Є М(2,3), сингулярный относительно меры jl g /2(g) //. Мере г/ отвечает семейство операторов {Рх}5 которое определяется формулой где ( , ) - скалярное произведение в 1У2(Х,/И). Определим индуцированные джойнинги r\z\ Лемма 4.3.2. а) Если для некоторого z Є Zn \ {0} мера r\z имеет в качестве компоненты меру fi ц ц, то v — \х [І g) fi. Ь) Пусть последовательность множеств Vj удовлетворяет условию /i(V/) а 0. Пусть v(j) - некоторая последовательность, v(j) Є Z". Тогда для некоторого z ф 0 для бесконечного числа индексов j имеет место неравенство причем мера r\z принадлежит классу М(2,3). Доказательство, а) Если эргодический джойнинг v сингулярен относительно меры // 0 /І g) /І, то условные меры г/х, возникающие при разложении сосредоточены на графиках конечнозначных отображений. (Это равносильно выполнению для некоторого а 0 и почти всех х неравенств РХРХ CLI.) Действительно, проекция 7Г77о меры щ на X х X" не равна \х g ц (иначе, как известно, и = ц /і fi). В силу леммы 3.3.2 и неравенства Т](Х х Uj х Uj) fi(Uj)2, получим, что мера ттщ имеет компоненту вида (I х TV)A. Для нетривиального джойнинга v это возможно только в случае v = 0. Таким образом, выполнено Jx РХРХ dp, al, что влечет (ввиду эргодичности нашего действия) неравенство РХРХ al для почти всех х Є X. Таким образом, носитель условной меры (r]z)x лежит на графике композиции конечнозначных отображений, отвечающих операторам Р х и Рх. Отсюда вытекает, что мера {j]z)x сингулярна относительно /z/i (для почти всех х). Это влечет за собой сингулярность меры rjz относительно /А Ь) Следуя 2.3, для всех z Є Zn получим представление где семейство операторов J1}z отвечает некоторому эрго-дическому джойнингу. Несложно доказать (см. доказательство п. б) теоремы 3.3.3), что для некоторой последовательности z(k) — со выполнено Из (4.2) видно, что для больших к правая часть последнего равенства есть в.
Это равносильно условию т/ф) Є М(2,3). Наша дальнейшая цель - доказать, что некоторый индуцированный джойнинг rjz имеет компоненту /І /х /І. Пусть т] Є М(2,3) является джойнингом трех копий действия {Tz}. В зависимости от последовательности /3-башен Рохлина-Халмоша _&eQ- TzBj, определим число Di(rj): (Неформально говоря, Di(rj) при бесконечно большому есть сумма таких чисел n(Tw\Bj Х TW2BJ Х TW BJ), которые бесконечно малы по сравнению с величиной /i(Bj)2.) ЛЕММА 4.3.3. Пусть перемешивающее действие {Tz} обладает D-свойством. Для самоприсоединения и Є М(2,3) найдется индуцированный мерой и джойнинг rjz такой, что Di(r]z) 0. Мы установим неравенство Di(rjz) 0 для некоторого 2 0, воспользовавшись D-свойством. Пусть мера ц = r\z удовлетворяет свойствам пункта Ь) леммы 4.3.2, в частности, выполнено условие Предположим, что Di(rj) = 0. Тогда большинство (относительно меры rf) значений r](TwBj х Tw Bj х Tw»Bj) сравнимо с величиной ii(Bj)2. Это влечет за собой, что для некоторого натурального N большинство (относительно ту) блоков вида Tw\+v(j)Bj х TwiBj х Tw3Bj имеют 77-меру большую, чем jjfi(Bj)2, где wl,w2,w3 Є SQj (обозначения из предыдущего параграфа). Рассмотрим образ множества Tw\+v Bj х TW2Bj х Tw Bj под действием преобразования Tv х Tv х Tv(j). Учитывая (i),(ii),(iii) из определения D-свойства, получим В силу свойства (iv) получим, что числа fi(TuBj \ Tw\+2v{j)Bj) бесконечно малы (но их сумма по всем и Е Qj равна 1). Отсюда вытекает, что под действием Tv xTv xTv почти вся 77-мера блока TwiBj xTW2Bj xTw Bj распределилась среди блоков TuBj х TU2Bj х Tu Bj, имеющих 77-меру, бесконечно малую по сравнению с fi(Bj)2. Действительно, так как мера г) принадлежит классу М(2,3), то при фиксированных u2,w3 не более, чем N таких блоков удовлетворяют неравенству
