Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Информационная энтропия релятивистского атома водорода 13
1 Введение 13
2 Волновые функции связных состояний в координатном и импульсном представлении 14
3 Асимптотическое поведение энтропии 29
4 Принцип неопределенности 40
Глава 2. Информационная энтропия релятивистского гармонического осциллятора 42
1 Решение уравнения 42
2 Вычисление энтропии в координатном представлении 45
3 Соотношение неопределенности 48
Список литературы 50
- Волновые функции связных состояний в координатном и импульсном представлении
- Асимптотическое поведение энтропии
- Вычисление энтропии в координатном представлении
- Соотношение неопределенности
Введение к работе
Актуальность темы. Диссертация относится к классическому разделу математического анализа — она посвящена изучению асимптотического поведения ортогональных систем, связанных с классическими ортогональными многочленами и другими классами специальных функций.
Дано приложение полученных асимптотических формул к задачам теоретической физики, а именно к теории водородоподобного атома и гармонического осциллятора в модели Козлова-Никишина.
В начале введения мы даем краткое описание этой модели, которая порождает ряд интересных ортогональных систем, изучению которых посвящена диссертация.
Затем формулируются основные результаты диссертации.
Предшествующие работы в этом направлении (см. ссылки ниже) были посвящены решению аналогичных задач, но в классических нерелятивистских моделях.
Исследование энтропии и энтропийного соотношения неопределенности различных систем привлекает все большее внимание.
Существует множество работ, написанных на эту тему1 2 3 4, однако все они ограничиваются нерелятивистским случаем. Один из способов исследования релятивистского случая предложили В. В. Козлов и Е. М. Никишин5 для пространства Минковского с тремя пространственными и одной временной координатами.
В 1986 г. В. В. Козлов и Е. М. Никишин предложили модель взаимодействия релятивистских частиц, отличающуюся от общепринятых подходов Клейна-Гордона и Дирака. В частности, в рамках этой модели была получена формула Бора для энергетических уровней атома, а также волновая функция для координатного представления.
Дальнейшее исследование модели не проводилось.
Цель работы.
1. Исследовать асимптотическое поведение информационной энтропии ато-
1J.S. Dehesa, R.J. Yanez, A.I. Aptekarev and V. Buyarov. Strong asymptotics of Laguerre polynomials and information entropies of two-dimensional harmonic oscillator and one-dimensional Coulomb potentials. J. Math. Phys. Volume 39, Number 6. June 1998. P. 3050-3060.
2Yanez R. J., Van Assche W., Dehesa J. S. Position and momentum information entropies of the D-dimensional harmonic oscillator and hydrogen atom. Phys. Rev. 1994. A 50. P. 3065-3079.
3Dehesa J.S., Martinez-Finkelshtein A., Sorokin V.N. Quantum-information entropies for highly-excited states of single-particle systems with power-type potentials. Phys. Rev. 2002. A 66. P. 1-7.
4Dehesa J. S., Martinez-Finkelshtein A., Sorokin V. N. Asymptotics of information entropies of some Toda-like potentials. J. Math. Phys. 2003. V. 44. N 1. P. 36-47.
5Козлов В. В., Никишин Е. М. Релятивистский вариант гамильтонова формализма и волновые функции водородоподобного атома. Вестник Московского Университета. Серия 1. Математика. Механика. №5. М., 1986. С. 11-20.
ма водорода и гармонического осциллятора в модели Козлова-Никишина при различных предельных переходах.
Исследовать соотношения неопределенности для этих переходов.
Получить общий вид волновой функции в импульсном представлении.
Методы исследования. В диссертации применяются асимптотические методы анализа, методы теории аналитических функций, методы теории специальных функций и дифференциальных уравнений.
Научная новизна. Основные результаты работы следующие.
Описано асимптотическое поведение волновых функций атома водорода и гармонического осциллятора в модели Козлова-Никишина как в координатном, так и импульсном представлениях при различных предельных переходах.
Получены волновые функции в импульсном представлении для произвольного центральносимметричного поля.
Все перечисленные результаты являются новыми.
Практическая и теоретическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты могут найти применение в теории функций, функциональном анализе и квантовой механике. В дальнейшем они могут быть использованы специалистами, работающими в МГУ им. М. В. Ломоносова, МИАН им. В. А. Стеклова, ИПМ им. М. В. Келдыша, ИТЭФ им. А. И. Алиханова, Нижегородском филиале ВШЭ.
Апробация. Результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры теории функций и функционального анализа в МГУ им. М. В. Ломоносова под руководством проф. А. И. Аптекарева, проф. В. Н. Сорокина и доц. B.C. Буярова, в отделе комплексного анализа МИАН им. В. А. Стеклова под руководством ак. РАН А. А. Гоначара, чл.-к. РАН Е. М. Чирки и проф. А. И. Аптекарева.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 2 работах автора, список которых приводится в конце автореферата.
Структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав и списка литературы, содержащего 13 наименований. Общий объем работы 51 страница.
Волновые функции связных состояний в координатном и импульсном представлении
Конфигурационное пространство системы — это четырехмерное пространство Минковского {s = (ct,x,y,z)} с иденфинитной метрикой Здесь с — скорость света; х,у, z — пространственные координаты электрона ошосительно ядра атома, t — рассогласование собственных времен электрона и ядра Для того, чтобы электрон мог взаимодействовать с ядром, рассогласование времен должно быть "достаточно мало". Формально, это условие сводится к тому, что точка 5 принадлежит пространственно-подобному конусу
Таким образом, состояние атома описывает волновая функция удовлетворяющая лоренц-инвариантному уравнению Шредин — оператор Даламбера, т е. кинетическая энергия частицы, U — потенциальная энергия, Е — полная энергия (не включающая в себя внутреннюю энергию Шос2) Здесь h — постоянная Планка, то — масса электрона. Для водородоподобного атома полагают — постоянная взаимодействия, где Z — ядерный заряд, ео — заряд электрона. В дальнейшем пользуемся атомной (кулоновской) системой единиц- Н = ео = mo = 1, также полагаем Z = l, с=1
Ищутся связные состояния атома, т.е. решения уравнения (9), интегрируемые с квадратом Ф Є L2(JC) Для волновых функций, нормированных величина Ф будет плотностью распределения вероятности обнаружения электрона в данной точке пространственноподобного конуса В [4] были вычислены энергетические уровни Еп всех связных состояний и найдены соответствующие им собственные подпространства волновых функций 2. Информационной характеристикой вероятностной меры \ f \2d/j, служит энтропия Больцмана-Шеннона Информационная энтропия различных физических систем изучалась в работах [9], [11], [7], [8]. В частности, достаточно полно исследован нерелятивистский атом водорода. Для релятивистского атома энтропия не вычислялась. В настоящей работе мы решим эту задачу для модели Козлова-Никишина При изучении физических систем энтропия волновых функций вычисляется как в координатном, так и в импульсном представлении. Переход к сопряженному пространству импульсов осуществляет преобразование Фурье Важной характеристикой является суммарная энтропия, для которой справедлив принцип неопределенности [6]: В дополнение к работе [4] мы вычислим волновые функции связных состояний релятивистского атома в импульсном представлении. Цель нашей работы состоит в изучении асимптотического поведения суммарной энтропии в модели Козлова-Никишина при различных предельных переходах 2 Волновые функции связных состояний в координатном и импульсном представлении 1 В [4] было показано, что уровни энергии связных состояний вычисля Ті1 Соответствующие волновые функции были найдены методом разделения переменных в псевдосферических координатах В уравнении (9) произведем замену переменных, переходя к псевдосферическим координатам:
Асимптотическое поведение энтропии
В гамильтониан входят следующие физические постоянные: е0 = 4.80294 Ю-10 ед. СГСЭ - заряд электрона, ту = 9.1086 Ю-28 г — масса электрона, с — 2.997928 1010 см/сек — скорость света в вакууме, h = 1.054 10 27 эрг сек — постоянная Планка (введенная Максом Планком в 1900 г.). Фактически в уравнении Шредингера вместо то должна СТОЯТЬ приведенная масса электрона, получающаяся после перехода к системе центра масс Но поскольку масса протона примерно равна 1840то, то столь малой погрешностью принебрегают. Подчеркнем, что время t не является собственным временем электрона, это — рассогласование времени электрона и времени ядра. Этим объясняется выбор просгранственноподобного конуса в конфигурационном пространстве — для того, чтобы электрон мог взаимодействовать с ядром, рассогласование времен должно быть "достаточно мало". В дальнейшем пользуемся атомной (кулоновской) системой единиц: h = ео = то = 1, также полагаем Z = 1, с = 1. Перейдем к атомной системе единиц, в нашем случае совпадающей с кулоновской единица массы — то, единица длины — ац = -—. — 0.529 10 8 см — боровский радиус, т. е радиус первой боровской орбиты атома водорода (полученный Нильсом Бором в 1913 г), единица времени — - - = 0.24 Ю-16 сек — характерное время атомных процессов, единица энергии — Ії г- = 27.21 эл.-вольт, единица заряда — ео Тогда рассматриваемое уравнение примет вид (-Я + П + ї/(р))Ф = 0, (3) Это уравнение инвариантно относительно группы Лоренца, т. е группы линейных преобразований конфигурационного пространства, сохраняющих квадратичную форму (1). Наряду с конфигурационным пространством Q рассмотрим сопряженное пространство импульсов Р = Q = R4 с декартовыми координатами s = (ct ,x ,y ,z ), которые имеют смысл энергии и трех импульсов соответственно, и с иденфинитной метрикой, аналогичной (1). Обозначим JC пространственноподобный конус в сопряженном пространстве. Переход от координатного представления к импульсному осуществляет преобразование Фурье, которое в безразмерных единицах имеет вид Ф иденфинитное скалярное произведение, a dji(s) = с dt dx dy dz — элемент объема. Тогда Ф будет волновой функцией в импульсном представлении. Напомним, что мы рассматриваем волновые функции Ф, определенные в конусе /С, тем самым в (4) полагаем Ф = 0 вне /С. Определим гильбертово пространство Н — подпространство в L?{K,dji), состоящее из функций, носители преобразований Фурье которых принадлежат №. Аналогичным образом определим сопряженное пространство Л . Тогда преобразование Фурье будет унитарным оператором В модели Козлова-Никишина ищутся решения стационарного уравнения Шредингера (3) с потенциалом U(p) = —-, принадлежащие гильбертову пространству Н. Ищутся связные состояния системы, т е. решения уравнения (3), интегрируемые с квадратом: Ф Є L2{K) Для волновых функций, нормированных условием dji = 1, d/i = dxdydzdt, величина Ф2 будет плотностью распределения вероятности обнаружения частицы в данной точке пространственноподобного конуса. В работе [4] было показано, что дискретный спектр уравнения (3) состоит из энергитических уровней, определенных формулой Бора En = - v п = 1,2,3,... Соответствующие собственные функции ФП)1/)/)тнумерую гея четырьмя квантовыми числами, а именно: п = 1,2,3,... — главное квантовое число, / = ,,...,п — — квантовое число, не имеющее аналога в классическом случае и связанное с временной координатой, 1 = и,и + 1,и-\-2,...— орбитальное квантовое число, т = —I, -1 + 1,...,1- магнитное квантовое число. Выбор связных состояний с фиксированными квантовыми числами обусловлен законами сохранения соответствующих физических величин. Мы видим, что энергитические уровни Еп имеют бесконечное вырождение. Для квантовых чисел п, I, т мы используем стандартную терминологию Квантовое число v не имеет аналога в нерелятивистской теории, оно появляется из-за временной координаты. Но фактически, число v также, как числа / и т, связано с законами сохранения вращательного момента и его проекций Волновые функции Фп,і/,/,т были получены в работе [4] методом разделения переменных в псевдосферических координатах А именно, в простран-ственноподобном конусе К вводятся следующие криволинейные координаты.
Вычисление энтропии в координатном представлении
Конфигурационное пространство системы — это четырехмерное пространство Минковского {s = (ct,x,y,z)} с иденфинитной метрикой
Здесь с — скорость света; х,у, z — пространственные координаты электрона ошосительно ядра атома, t — рассогласование собственных времен электрона и ядра Для того, чтобы электрон мог взаимодействовать с ядром, рассогласование времен должно быть "достаточно мало". Формально, это условие сводится к тому, что точка 5 принадлежит пространственно-подобному конусу
Таким образом, состояние атома описывает волновая функция Ф . /С — С, удовлетворяющая лоренц-инвариантному уравнению Шредин гера где — оператор Даламбера, т е. кинетическая энергия частицы, U — потенциальная энергия, Е — полная энергия (не включающая в себя внутреннюю энергию Шос2) Здесь h — постоянная Планка, то — масса электрона. Для водородоподобного атома полагают где р2 = —s2 = x2+y2-\-z2—c2i2 О, а х = Ze — постоянная взаимодействия, где Z — ядерный заряд, ео — заряд электрона. В дальнейшем пользуемся атомной (кулоновской) системой единиц- Н = ео = mo = 1, также полагаем Z = l, с=1 Ищутся связные состояния атома, т.е. решения уравнения (9), интегрируемые с квадратом Ф Є L2(JC) Для волновых функций, нормированных величина Ф будет плотностью распределения вероятности обнаружения электрона в данной точке пространственноподобного конуса В [4] были вычислены энергетические уровни Еп всех связных состояний и найдены соответствующие им собственные подпространства волновых функций 2. Информационной характеристикой вероятностной меры \ f \2d/j, служит энтропия Больцмана-Шеннона Информационная энтропия различных физических систем изучалась в работах [9], [11], [7], [8]. В частности, достаточно полно исследован нерелятивистский атом водорода. Для релятивистского атома энтропия не вычислялась. В настоящей работе мы решим эту задачу для модели Козлова-Никишина При изучении физических систем энтропия волновых функций вычисляется как в координатном, так и в импульсном представлении. Переход к сопряженному пространству импульсов осуществляет преобразование Фурье Важной характеристикой является суммарная энтропия, для которой справедлив принцип неопределенности [6]: В дополнение к работе [4] мы вычислим волновые функции связных состояний релятивистского атома в импульсном представлении. Цель нашей работы состоит в изучении асимптотического поведения суммарной энтропии в модели Козлова-Никишина при различных предельных переходах 2 Волновые функции связных состояний в координатном и импульсном представлении 1 В [4] было показано, что уровни энергии связных состояний вычисля 14 Соответствующие волновые функции были найдены методом разделения переменных в псевдосферических координатах В уравнении (9) произведем замену переменных, переходя к псевдосферическим координатам: Волновые функции зависят от набора четырех квантовых чисел где п — главное квантовое число, квантовое число, связанное с временной координатой, орбитальное квантовое число, магнитное квантовое число.
Соотношение неопределенности
Аналогично работам, в которых изучался нерелятивистский атом, нас прежде всего будут интересовать следующие предельные переходы:
Квантовые числа т, /, и фиксированы, а п — со, что соответствует ультракоротковолновой асимптотике сильно возбужденного аюма. В этом случае задача сводится к изучению только радиальных волновых фукций. 2) Фиксировано m, a I — со, т е. растет глубина потенциальной ямы Пешля-Теллера. В эгой ситуации наиболее интересными являются следующие два крайних случая 2а) Пусть v = , что соответствует максимальной осцилляции временных волновых функций. Тогда нет необходимости рассматривать радиальные волновые функции, а нужно вычислить суммарную энтропию временной и угловых составляющих.
Пусть v = I, что соответствует основному состоянию потенциала Пешля-Теллера. В этом случае радиальные волновые функции своеобразно зависят от большого параметра и. Асимптотическое поведение этих функций мы исследуем при п = v +1, т. е. для наименьшего возможного уровня энергии
В обоих случаях мы без ограничения общности считаем, что т фиксировано, поскольку т входит только в сферические функции, а их поведение в различных предельных переходах хорошо изучено.
Для вычисления интеграла воспользуемся асимптотическим выражением многочлена Лагерра Нам понадобится равномерная асимптотика типа Планшереля-Рогаха на интервале осцилляции. Вкратце напомним вывод этой формулы Для этого представим многочлен Лагера
