Содержание к диссертации
Введение
1 Обзор литературы, выбор направлений исследования и основные результаты 10
1.1. Обзор литературы 10
1.2. Выбор направлений исследования и основные результаты 14
2 Функции плотности 17
2.1. Полуаддитивные функции 17
2.2. Теорема о равномерности 22
2.3. Свойства полуаддитивных функций 26
2.4. Свойства функций плотности 40
2.5. Примеры функций f(r) и их функций плотности . 50
2.6. Оценки интегралов Стилтьеса специального вида . 52
2.7. Заключение к разделу 2 61
3 Интегралы и индикаторы субгармонических функций 64
3.1. Общая теория субгармонических функций. Функции, локально удовлетворяющие условию Левина 64
3.2. Интегральная оценка разности субгармонических функций со смещёнными риссовскими мерами 75
3.3. Исключительное множество в окрестности луча, на котором конечен нижний индикатор 80
3.4. Формулы для индикатора и нижнего индикатора . 86
3.5. Пример 101
3.6. Заключение к разделу 3 108
4 Некоторые оценки специального класса интегралов 110
4.1. Об одном аналоге леммы Римана-Лебега 110
4.2. Асимптотические формулы для интегралов 112
4.3. Вычисление предельного множества Азарина для некоторых функций 119
4.4. Асимптотические формулы для нерегулярно растущих целых функций 131
4.5. Заключение к разделу 4 132
Выводы 135
Список литературы 138
- Выбор направлений исследования и основные результаты
- Оценки интегралов Стилтьеса специального вида
- Исключительное множество в окрестности луча, на котором конечен нижний индикатор
- Вычисление предельного множества Азарина для некоторых функций
Введение к работе
Актуальность темы. «Одной из самых красивых глав классического анализа является теория суб- и супергармонических функций». Это слова из предисловия Е. Б. Дынкина к переводу книги Дж. А. Ханта. Субгармонические функции были введены в анализ Ф. Гартогсом [31] и Ф. Риссом [36], [37]. В одной из первых монографий по теории субгармонических функций И. И. Привалов [18] писал следующее: «После того, как теория субгармонических функций достаточно развилась, естественно возникает вопрос о приложении их как общего класса фукций к теории функций одного комплексного переменного. Этот новый методологический подход к проблемам теории функций комплексного переменного, с одной стороны дает упрощение доказательств и объясняет ряд положений, на первый взгляд не связанных друг с другом; с другой стороны позволяет сформулировать ряд принципов в наиболее общем виде для широкого класса субгармонических функций».
Теория субгармонических функций является активно развивающейся областью современной математики. Исследованиям в этой области посвящены многочисленные работы. Она находит свои приложения в теории функций комплексного переменного, в теории по- тенциала, в теории случайных процессов, в геометрии. Поэтому получение любого нового результата в этой области является актуальной задачей как для самой математики, так и для её приложений.
Связь работы с научными программами, планами, темами. Направления исследований, выбранные в диссертации, предусмотрены планами научной работы Украинской академии банковского дела и Харьковского государственного университета. Большая часть результатов получена в процессе выполнения темы "Некоторые вопросы математического анализа", номер государственной регистрации №0197U015783.
Цель и задачи исследования.
Изучение свойств р-полуаддитивных функций и их применение к теории роста субгармонических функций.
Изучение специальных интегралов от субгармонических функций, их связи с индикаторами.
Получение асимптотических формул для некоторых интегралов. Построение нерегулярно растущих субгармонических функций с известной асимптотикой.
Научная новизна полученных результатов. Все результаты диссертации являются новыми. В диссертации получен ответ на ряд актуальных вопросов теории роста целых и субгармонических функций.
8 Основные результаты диссертации, выносимые на защи-
Теорема о свойствах р-полуаддитивных функций (теорема 2.6 диссертации).
Исследование порядка убывания функции . (1+а)г w(a) = lim —— [ \v(teie)-HV(t)\dt, г—>оо TV (Г) J (утверждение 3 теоремы 3.7 и подраздел 3.5 диссертации).
3) Исследование асимптотического поведения интегралов б J f(t)exp{i\lnrt\a) dt. (раздел 4 диссертации).
Методы исследования. В диссертации используются методы теории целых и субгармонических функций, теории полуаддитивных функций, теории меры и измеримости.
Практическое значение полученных результатов. Результаты диссертации носят теоретический характер. Они могут быть использованы для дальнейшего развития теории целых и субгармонических функций, а также могут быть включены в специальные курсы по теории целых и субгармонических функций.
Личный вклад соискателя. Результаты раздела 4 получены автором лично. Результаты разделов 2, 3 получены в соавторстве с
А. Ф. Гришиным. В совместных работах вклад каждого из соавторов одинаков. А. Ф. Гришин не возражает против внесения общих результатов в диссертацию. Раздел 1 не содержит новых результатов.
Апробация результатов диссертации. По теме диссертации делались доклады на международной конференции "Целые функции в современном анализе" (Тель - Авив, 1997), на международном коллоквиуме памяти В. И. Белого (Донецк, 1998), на международной конференции по теории аппроксимации и ее приложениям, посвященной памяти В. К. Дзядыка (Киев, 1999), на международном симпозиуме "Ряды Фурье и их приложения" в рамках VII международной конференции "Математика. Экономика. Экология. Образование" (Новороссийск, 1999), на международной конференции "Математический анализ и экономика" (Сумы, 1999). Все результаты диссертации докладывались на городском семинаре по теории функций в г. Харькове.
Публикации. По результатам диссертации опубликованы 7 работ (6 без соавторов), из которых 5 — в журналах из перечня, утвержденного ВАК Украины.
Выбор направлений исследования и основные результаты
Субгармонические функции естественным образом появляются в теории винеровских процессов. Связь теории потенциала и теории случайных процессов изложена в книгах Е. Б. Дынкина [12], Дж. А. Ханта [24], Дж. Л. Дуба [28]. Теория субгармонических функций тесно связана и с другими разделами математики. Например, известны приложения теории субгармонических функций к геометрии [33].
В диссертации теория субгармонических функций развивается в направлении, о котором писал И. И. Привалов, то есть в тесной связи с теорией аналитических функций.
Изучение свойств специальных классов целых и субгармонических функций — другой важный аспект современных исследований. Большое применение находит класс целых функций вполне регулярного роста в смысле Левина-Пфлюгера. Теория функций вполне регулярного роста создана в работах этих математиков. Ее изложение приведено в книге [17]. Новый подход к этой теории получается в рамках , созданной В. С. Азариным [1] теории динамических систем субгармонических функций. Н. В. Говоров [2] построил теорию функций вполне регулярного роста в полуплоскости. После введения А. Ф. Гришиным [8] понятия полной меры стало яснее сходство и различие между теорией аналитических и субгармонических функций для плоскости и для полуплоскости. Исползование аналогии между такими теориями позволило [29] получить вариант второй основной теоремы Р. Неванлинны для полуплоскости. Если голоморфная функция f(z) на луче arg z = в является функцией порядка р и вполне регулярного роста, то это означает, что величина r p\ln\f(reie)\ — h(6)rp\ (h(0) - индикатор функции /) стремится к нулю при г — оо вне множества значений г нулевой линейной плотности. Еще до введения в работах Б. Я. Левина и А. Пфлюгера понятия функций вполне регулярного роста В. Бернштейн [26] оценивал для произвольной функции порядка р размеры множества, где написанная выше величина мала. Один из наших результатов можно рассматривать как далеко идущее усиление указанного результата В. Бернштейна. После введения Борелем понятия порядка и типа целой функциии стало ясно, что шкала функций гр, р Є [0, со), является недостаточной для теории роста целых и субгармонических функций конечного порядка. Валирон ввел понятие уточненного порядка. Оказывается, что шкала функций V(r) = гр \ где р(г) - уточненный порядок в смысле Валирона уже является достаточной для теории роста функций конечного порядка. В работе [10] показано, что можно выбирать уточненные порядки из специального класса. Эти результаты не вошли в диссертацию, но понятие уточненного порядка широко используется в диссертации. Близким к понятию уточненного порядка оказалось введенное Караматой понятие медленно меняющейся функции. Класс медленно меняющихся функций и различные его обобщения нашли многочисленные применения, в частности, в теории вероятностей. Теория таких классов изложена в монографиях де Хаан [30], Е. Сенеты [22], Бингхема и соавторов [27]. Функции плотности часто используются в теории роста целых и субгармонических функций и в других разделах математики. Важной и часто цитируемой является теорема Полна о существовании максимальной и минимальной плотности, полученная им в работе [35]. Функции плотности обладают некоторыми свойствами полуаддитивности . Теория полуаддитивных функций достаточно широко изложена в книге Хилле и Филлипс "Функциональный анализ и полугруппы" [25]. Некоторые вопросы теории функций плотности и /?-полуаддитивных функций изложены во втором разделе диссертации.
Асимптотические методы в анализе постоянно привлекают внимание широкого круга математиков. Имеются многочисленные монографии по асимптотическим методам. Мы сошлемся лишь на трехтомник Э. Риекстынына [19], [20], [21], где эти методы изложены достаточно подробно, и книгу М. А. Евграфова [13], где асимптотические методы излагаются в связи с теорией целых функций. Интересно отметить такую подробность. Для функций вполне регулярного роста получается асимптотическая формула 1п/(гег(?) :% к{в)гр г\ справедливая вне множества кругов линейной плотности ноль. Целые функции вполне регулярного роста - это достаточно широкий класс функций, охватывающий почти все целые функции, появляющиеся в приложениях. Асимптотические формулы, получающиеся методом стационарной фазы, методом перевала или их обобщениями дают значительно более точную асимптотику, поскольку наиболее часто эти формулы справедливы для самой функции f(z), а не для lnf(z). Однако, эти формулы получаются для значительно более узкого класса функций, имеющих специальное интегральное представление и на более узких множествах. Получению различных асимптотических формул посвящен четвертый раздел диссертации.
Оценки интегралов Стилтьеса специального вида
Пусть теперь р = 0. Имеем ip(u + v) = р{и) + ip(v), причем ер конечная на полуоси функция. Если (р - измеримая функция и JJn = {и Є [1,2] : (u) п}, то Un - возрастающая последовательность измеримых множеств, причем U Un = [1,2]. Тогда для некоторого п mesUn 0. Таким образом, из условия теоремы следует в случае р = 0, что существует множество В положительной меры, на котором функция \ср\ ограничена, скажем константой Ь. Тогда на множестве В -\- В она ограничена константой 26. По теореме 2.3 множество В + В содержит в себе сегмент [а, /3] С (0,со). Пусть р(1) = N. Тогда из равенства ср(и + v) = (р(и) + ip(v) следует, что для положительных рациональных и выполняется равенство р(и) = Nu. Рассмотрим функцию (pi(u) = р(и) — Nu. Эта функция удовлетворяет уравнению pi(u + v) = р\(и) + i( ), и, v 0, ограничена на сегменте [а, /3], равна нулю в положительных рациональных точках. Пусть теперь х произвольное число на полуоси (0, со). Всегда существует рациональное число г такое, что х + т — у, где у Є [cv, /3]. Тогда, используя равенство х-\-г = у, если г О, равенство х = у — г, если г О, функциональное уравнение для ср\ и то, что ері обращается в ноль в положительных рациональных точках, получим pi(x) — фі(у). Из этого следует, что функция рі ограничена на всей полуоси (0, оо). Если теперь для некоторого XQ 0 (fi(xo) ф 0, то равенство (р\(пхо) = rupi(xo) приводит к противоречию. Таким образом, ipi(u) = 0, р(и) = Nu, N(a) = Лг1п(1 + а). Теорема 2.4 доказана.
Следующие две теоремы касаются свойств произвольных р-полуаддитивных функций. Теорема 2.5 Пусть N(a), а Є (0, оо); является р-полуаддитивной функцией, которая удовлетворяет неравенству (2.5). Тогда либо lim N(a) = — оо, либо lim N(a) 0. Замечание. Такое же утверждение для полуаддитивных функций приведено в [25], теорема 7.4.3. Доказательство теоремы 2.5. Обозначим Л = Inn N(a). Если Л = со, то доказывать нечего. Поэтому можно считать, что Л Є (—со, со). Пусть тп, lim тп = 0, такая последовательность, что lim N(rn) = Л. Пусть є - произвольное строго положительное число. Тогда для всех достаточно больших п выполняются неравенства Отсюда следует Л 2Л, Л 0. Теорема доказана. Для доказательства следующей теоремы мы предварительно докажем две леммы. В этих леммах [х] означает целую часть х. Лемма 2.1 Пусть заданы сегменти [іі, ] С (0, оо) и целое положи тельное число р такие, что x—pti t\, i С [ i, г]- Тогда любое х pt\ , te [tht2]. представляется в виде х = pt + kt\, где к Доказательство очевидно. Ж-([Лгі/5І + 1)25 8([Ап/8] + 1) Лемма 2.2 Пусть заданы число s 0, сегмент [ті,Т2] С (0, оо) и целое число А такие, что А(тъ — п) 2s. Тогда любое число х ( - 1 + 1) s представляется в виде х = пт + ms, где т Є [ті,Г2], n = A([ ] + l),m = ([ ] + l),fc = Доказательство. Неравенство А(т2 — т\) 2s гарантирует включение Теперь применение леммы 2.1 с параметрами t\ = ([ + l) s, р = - +1и соотношения (2.17) доказывают лемму 2.2. Замечание. Если взять А = [ж1/3], то для представления х = п(х)т + m(x)s будут справедливы соотношения п(х) т\х2№ /s, m{x) x/s. Варьируя величину А, можно добиться, чтобы выполнялось любое из соотношений Далее формулируется основная теорема о свойствах р-полуаддитив-ных функций (мы считаем р/((1 + сх)р — 1)L_0= l/m(l + а)) 31 Теорема 2.6 Пусть N(a) - p-полуаддитивная функция, которая удовлетворяет неравенству (2.5) при некотором р Є (—оо,оо). 1. Если выполняется хотя бы одно из условий: а) функция N(a) измерима и удовлетворяет неравенству N(a) со на множестве положительной меры, б) функция N{a) ограничена сверху на множестве положитель ной меры, то существует предел 3. Если для каждого а О функция N(cv) либо полунепрерывна снизу слева в точке а, либо полунепрерывна снизу справа в этой точке, то существует предел Замечание 1. Как уже отмечалось во введении теория р-полуаддитивных функций параллельна хорошо разработанной теории полуаддитивных функций, причем для случая р = О функция N(a) с помощью замены а = ё — 1 превращается в полуаддитивную функцию. Аналогом утверждения 1 теоремы является теорема 7.6.1 из [25]. Аналогом утверждения 3 является теорема 7.11.1 из этой же книги. Как следствие теоремы 2.6 легко получается такая теорема.
Исключительное множество в окрестности луча, на котором конечен нижний индикатор
Пусть p{r), lim р(г) = р Є (—со, со), есть произвольный уточненный порядок, V(г) = гр(г\ Как показывает опыт исследований по теории роста функций, наряду с функцией V(r) часто приходится рассматривать функцию V\{r) = J-f -dt. Если lim У (г) = lim V\(r) = со, то из правила Лопиталя следует, что случае р О функции Vir) и V\{r) имеют одинаковый рост. В случае р = 0 функция Vi(r) растет быстрее. Если функция V\(r) ограничена, то удобнее рассматривать функцию V2(r) = J p-dt.B этом случае lim Т (г) = 0. Применение правила Лопиталя дает lim у±Х = —р. Ниже мы увидим как появляются в теории роста функции V\(r) и У2(Г).
Для произвольной функции /(г), определенной на полуоси (0, со), можно ввести тип и нижний тип, которые мы в этом разделе будем обозначать В и А. г-юоуґгу r_ oo V(r) По формулам (2.3) и (2.4) определяются плотность и нижняя плотность функции /(г). Мы намерены изучать связи между этими величинами и получать оценки для функции f(r). Простые априорные ограничения на функцию /(г), такие как измеримость или ограниченность на конечных сегментах, дают важную информацию о поведении введенных величин. Теорема 2.12 Пусть существует число TQ такое, что функция /(г) ограничена сверху на любом сегменте [a,b], а г$ и пусть lim V\(r) = со. Тогда Замечание. Некоторые близкие результаты содержатся в леммах 1.12, П2 из [22]. Доказательство. Если N(a) = со при а 0, то и доказывать нечего. Поэтому можно считать, что для некоторых а О iV(a) 00. В дальнейшем мы зафиксируем одно такое а. Пусть є - произвольное строго положительное число и пусть R гQ такое число, что при г R. (Выражение N(a) + є нужно заменить на произвольное вещественное число, если N(a) = —00.) Пусть теперь г R, а число п определяется из условия R(l + а)п г R(l + a)n+l. Тогда г = (1 + а) пг Є [-R, (1 + ct)R). В дальнейшем 1 + а мы будем обозначать через q. Пусть М = sup{f(t) : t Є [R,qR)}. По условию теоремы М +оо. Мы имеем /М = № + ± (f(qkf) - ftf- r)) М + (N(a) + є) ± V r). fc=l Ar=l (2.32) Пусть L(x) = x pV(x). Как известно [17], функция L(xt)/L(x) равномерно относительно t Є [1,#] стремится к 1 при ж — со. Поэтому f(r) = ,(f(qkr)-f(qk-Lr)), q l. к=1 Если N_(a) = —со при любом а 0, то и доказывать нечего. Поэтому можно считать, что для некоторых а 0 справедливо неравенство N_(a) —со. Зафиксируем одно из таких а и обозначим q = 1 + а. Пусть є - произвольное строго положительное число. Существует такое R, что при г R будет выполняться неравенство f(qkr) - f(qk-lr) (N(a) - e)V(qk-lr). (Если N_(a) = со, то выражение N_(a) — є нужно заменить на произвольное вещественное число.) Из этого неравенства и равенства (2.33) следует, что к /(г) -Ш) - е) т (1 + ( )) 7 Г = 4е - і 4=1 qtUr х "№)- Ю 3ї(1 + r))V2(r), где функции Єк(г) равномерно относительно к стремятся к нулю при г —» со и функция є (г) также сходится к нулю при г — со. Из полученного неравенства следует утверждение теоремы. Суммируя итоги проделанной работы, сформулируем теорему о связи между введенными нами величинами. Теорема 2.14 Пусть р 0 и пусть существует такое число г$, что функция f (г) ограничена сверху на любом сегменте [a, b], а TQ. Если дополнительно предполож.ить, что А —оо, то неравенства (2.34), (2.37) превращаются в равенства. А если предположить, что В +оо, то неравенства (2.35); (2.36) превращаются в равенства. Замечание. Если функция / удовлетворяет условиям теоремы 2.14, а именно: /(г) ограниченна на достаточно удаленных от нуля сегментах если р 0, и lira /(г) = О, если р О, и если, кроме того, N(a) ф +оо, Nipt) ф —оо хотя бы при некотором а, то величины А и В конечны и все неравенства теоремы 2.14 превращаются в равенства. Доказательство. Первое утверждение теоремы следует из теоремы 2.12. Второе утверждение теоремы — это есть первое утверждение, примененное к функции —/. Четвертое утверждение теоремы следует из теоремы 2.13. Третье утверждение теоремы — это есть четвертое утверждение, примененное к функции —/. Далее исследуем случаи равенства. Остановимся на неравенстве (2.34). Пусть А —оо. Если А = +оо, то очевидно, что неравенство (2.34) превращается в равенство +оо = +оо. Поэтому можно считать, что А Є (—оо,оо).
Вычисление предельного множества Азарина для некоторых функций
Вначале мы рассмотрим некоторые факты, относящиеся к общей теории субгармонических в плоскости и полуплоскости функций. Уточнённый порядок р{г) называется формальным порядком функции v(z) субгармонической во всей комплексной плоскости (D (верхней полуплоскости (D+ = {z : Imz 0}), если существует константа Mi такая, что v(rei9) M\V(r) при в Є [0,27г] (9 Є (0,7г)). Через SF(p(r)) мы обозначаем множество субгармонических функций, для которых р(г) является формальным порядком. Субгармоническая функция v{z) называется функцией конечного порядка, если существует уточнённый порядок р(г) такой, что v(z) Є SF(p(r)).
Уточнённый порядок р(г) называется полуформальным порядком функции v(z) субгармонической в (D + , если р(г) - формальный порядок этой функции и выполняется условие Б. Я. Левина: существуют числа q Є (0,1), 6 Є (0,7г/2), Мч, такие, что в каждой области найдётся точка z такая, что v{z) M2V(\z\). Такого типа условие появилось в одной теореме Б. Я. Левина [17, глава 2, теорема 7]. Аналогичное определение вводится для функций субгармонических в угле argz Є (а, (3).
Известно, что если р 7г/(/3 — а), то каждый формальный порядок функции v(z) одновременно является полуформальным порядком. Таким образом, различие между формальным и полуформальным порядками наблюдается только при р 7г/(/3 — а). Через SHF(p(r)) мы обозначаем множество субгармонических функций, для которых р{г) является полуформальным порядком.
Пусть v(z) - субгармоническая функция внутри угла (а, (3). Обозначим через Ev множество чисел р вида р = lira р(г), где р{г) -полуформальный порядок функции v(z). Величина inf Ev называется порядком функции v(z) внутри угла (СУ,/3).
Через SK мы обозначаем класс функций v(z), субгармонических в (D+ и имеющих в каждом полукруге C+(Q,R) = {z : \z\ R, Imz 0} (через C(z,r), B(z,r) мы обозначаем соответственно открытый и замкнутый круг с центром в точке z радиса г) положительную гармоническую мажоранту. Для функций v(z) Є SK, следуя [8], вводится понятие полной меры Л следующим образом. Ограничение меры Л на полуплоскость Гт z 0 - есть нулевая мера. Ограничение меры Л на полуплоскость lmz 0 - есть мера d\(Q — 27г Im dn(Q, где ц - рис-совская мера функции v(z). Ограничение меры Л на вещественную ось есть мера — и, где v определяется равенством Мера Л является конечной на каждом компакте и определяет субгармоническую функцию класса SK с точностью до слагаемого lmg(z), где g(z) - целая вещественная функция. Для функций класса SK почти всюду существует предел и выполняется равенство du(t) = v(t) dt + da(t), где о - сингулярная относительно меры Лебега мера, называемая сингулярной граничной мерой функции v. Для функций v(z) Є SF(p(r)) мера а отрицательная. Если кроме того р 1, то для полной меры Л справедливо неравенство а для функции v(z) имеет место представление причём ядро К при ImC = 0 определяется по непрерывности. Нам удобно будет считать, что K(z,() = 0 при Im 0. Пусть v(z) Є SF(p(r)) в (П + Р 0- Для того чтобы уточнённый порядок р{г) был полуформальным порядком функции v(z), необходимо и достаточно, чтобы для некоторого Мз и для всех R 1 выполнялось неравенство А([Д, 2R, 0,7г]) MzRV(R), где [Ri, Л2, Ри Ы = {z : Ri \z\ Д2, Pi arg z ip2} . Пусть A = {C(zj,Rj), j = 1,2,...} - система открытых кругов. Величина называется верхней линейной плотностью системы А. Если множество F можно покрыть системой кругов А с l (A) = 0, то F называется CQ - множеством.Этот термин ввел Б. Я. Левин. Если Е С [0, со), то величина называется верхней линейной плотностью множества Е.
