Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Вычеты и элементарные дифференциалы Прима 9
1.1. Предварительные сведения 9
1.2. Теоремы о вычетах для дифференциалов Прима 16
1.3. Следствия из теоремы о вычетах и законы взаимности для мультипликативных функций 21
1.4. Элементарные дифференциалы Прима 25
1.5. Пространства мультипликативных функций с предписанными полюсами 36
1.6. Аналог формулы Аппеля разложения мультипликативной функции на переменной компактной римановой поверхности 39
Глава 2. Билинейные соотношения для периодов дифференциалов Прима на римановой поверхности 42
2.1. Основное соотношение на периоды голоморфного дифференциала Прима 42
2.2. Билинейные соотношения для периодов дифференциалов Прима первого рода 49
2.3. Периоды дифференциалов Прима третьего рода 55
2.4. Периоды дифференциалов Прима второго рода 61
Глава 3. Голоморфные дифференциалы Прима на специальных римановых поверхностях 65
3.1. Голоморфные дифференциалы на некоторых специальных римановых поверхностях 65
3.2. Базисы голоморфных дифференциалов на кривых Ферма 73
Глава 4. Периоды гармонических дифференциалов Прима на переменной компактной римановой поверхности 78
4.1. Предварительные сведения 78
4.2. Периоды гармонических дифференциалов Прима для существенных характеров 81
4.3. Периоды гармонических дифференциалов Прима для несущественных характеров 87
4.4. Аналоги теорем де Рама и Ходжа для гармонических дифференциалов Прима 96
4.5. Периоды голоморфных дифференциалов Прима для существенных характеров 99
Список литературы
- Теоремы о вычетах для дифференциалов Прима
- Билинейные соотношения для периодов дифференциалов Прима первого рода
- Базисы голоморфных дифференциалов на кривых Ферма
- Периоды гармонических дифференциалов Прима для несущественных характеров
Теоремы о вычетах для дифференциалов Прима
Отметим, что, по теореме Берса, отображение ф зависит локально голоморфно отри [р] [1]. Теорема 1.1.3 (о полной сумме вычетов для абелевых 1-дифференциа-лов) [8; 15; 11]. Для любого мероморфного абелева дифференциала ш на компактной римановой поверхности F рода g 1 с полюсами в попарно
Теорема (о мультипликативных пробелах Вейерштрасса) [10; 15; 8]. Для любого существенного характера р и любой точки Р на компактной римановой поверхности F рода g 2 существует точно g — 1 чисел (мультипликативных пробелов Вейерштрасса) щ, удовлетворяющих неравенствам которые определяются так, что для каждого і, і = 1, ...,g — 1, не существует мероморфной мультипликативной функции для р на F, имеющей в качестве единственной особенности полюс в Р точно порядка
Определение 1.1.4. Точка Р называется мультипликативной точкой Вейерштрасса для несущественного (существенного) характера р на F, если для Р существует мультипликативный не пробел J, 1 j д, (j, 1 j д — 1), т. е. существует мультипликативная функция / для р на F с единственным полюсом в Р точно порядка j,j д (j,j д — 1) [8; 15; 10].
Арбарелло Э. доказал, что (классические) точки Вейерштрасса на переменной компактной римановой поверхности FM локально голоморфно зависят от модулей [р] для поверхности. Установим аналог этого результата для мультипликативных точек Вейерштрасса.
Теорема [3; 9] Для любого q 1, q Є N, мультипликативные q—точки Вейерштрасса для переменной компактной римановой поверхности FM рода g 2, локально голоморфно зависят от модулей [/І] и характеров р} а пробелы в мультипликативных 1-точках Вейерштрасса и веса в мультипликативных q-точках Вейерштрасса являются локально постоянными функциями от [ц] и р со значениями в N.
Теорема о полной сумме вычетов для абелева 1-дифференциала на компактной римановой поверхности играет большую роль в теории функций. Вычеты для дифференциалов Прима можно определять только для ветвей этих многозначных дифференциалов. В этом параграфе будут найдены теоремы о полной сумме вычетов для дифференциалов Прима любого порядка на переменной компактной римановой поверхности с любыми переменными характерами.
Теорема 1.2.1 (о полной сумме вычетов для 1-дифференциала Прима). Для любого 1-дифференциала Прима ш с любым характером р и дивизором (ш) pc1 1pam ,a« Є N, j = l,...,m, с попарно различными точками Pi, ...,PTO,m 2, на переменной компактной римановой поверхности Рм рода g 2 существует мультипликативная функция f 2) если р - существенный характер, то существует единственная мультипликативная функция / для р 1 с единственным простым ПОЛЮСОМ Р\ [9]. Такая функция / имеет дивизор -р1, где (fi(Ri) = ty?(Pi) —ф(р) в многообразии Якоби J(FM), (p) т 0. Эта функция может быть задана явно в виде
Покажем единственность такой функции. Если имеется точка i?2 такая, что верно равенство ip{R\) = ty?(Pi) — Ф(р) = {p{R2), то ip(R\fR z) = 0. По классической теореме Абеля существует однозначная функция h с дивизором (h) = R1/R2, имеющая единственный простой полюс на компактной римановой поверхности положительного рода. Противоречие. Теорема доказана. Следствие 1.2.1 (о полной сумме вычетов для 1-дифференциала Прима с несущественным характером). На переменной компактной ри-мановой поверхности F рода g 2 для любого 1-дифференциала Прима т с несущественным характером р и простыми полюсами верно равенство fo l(Qj) resr = 0, где слагаемые не зависят от вы j=i Qj бора ветвей г и fo для р, т. е. сумма корректно определена на F .
Кроме того, верно равенство - - = щ для Т Є Гм, z Є w (U), а значит вычет не будет зависеть от выбора ветвей для т и fo. Теперь применяем теорему 1.1.3 о полной сумме вычетов для абелева дифференциала -р. Следствие доказано.
Билинейные соотношения для периодов дифференциалов Прима первого рода
В нашей теореме 1.2.1 ш - мероморфный дифференциал Прима с полюсами Q1,...,Qs, а / либо не имеет особых точек, либо особенность только в Q1. Таким образом получим, что ш и / будут 1-двойственны только по характеру, но это не будет строгой двойственностью, так как дивизоры не связаны между собой [10]. Заметим, что теорема Аппеля легко обобщается на кратные полюса.
Следовательно, наша теорема 1.2.1 и аналог теоремы Аппеля изучают 1-двойственные объекты функции и дифференциалы. Эти теоремы являются независимыми и дополнительными друг к другу в смысле 1-двойственных дифференциалов Прима и мультипликативных функций на FM [10].
Следствия из теоремы о вычетах и законы взаимности для мультипликативных функций В данном параграфе получены следствия из теоремы о полной сумме вычетов для 1-дифференциала ш с любым характером р, в частном случае, когда ш = dj , т. е. ш - мультипликативно точен на F .
Пусть P1,..., Рт - нули / с кратностью A1,..., Ато и Q1, ...,QS - полюса для / с кратностью Рассмотрим также однозначную функцию R на FM с полюсами M1,...,M/ кратности соответственно, где точки МІ не входят в носитель дивизора supp (/). Заметим, что -4- будет абелев дифференциал с простыми полюсами Р\,..., Рт, Qi,..., Qs и вычетами Лі,..., Ато, —соответственно. Тогда, в силу однозначности подынтегрального выражения, по теореме 1.1.3 получим, что
Эти три равенства выражают законы взаимности связывающие нули и полюса для мультипликативной функции / с полюсами однозначных мероморфных функций R на F . Как следствие из теоремы о полной сумме вычетов для 1-дифференци-ала с характером р получим аналог необходимого и достаточного условия существования 1-дифференциала Прима с любым характером на переменной компактной римановой поверхности F рода д 2 с заданными простыми полюсами и вычетами в них для ветви этого дифференциала [8].
Следствие 1.3.1. Пусть Q1,...,Qs будут попарно различные точки на переменной компактной римановой поверхности F рода g 2 и c1,...,cs - комплексные числа, s 2, и р - произвольный характер. Тогда существует 1-дифференциал Прима ш = h(z)dz для р с простыми полюсами Q1,..., Qs и вычетами с1,..., cs в них соответственно для некоторой его ветви если и только
Необходимость сразу следует из теоремы 1.2.1 для 1-дифференциала с характером р на F . Достаточность. При наших условиях ujf будет абелевым дифференциалом на FM и для него выполняется равенство (2). По классической тео реме существует абелев дифференциал UJ\ с вычетами vesuf, j = 1,..., s.
Замечание 1.3.2. Для существенного характера р и любой точки Q\ существует дифференциал Прима ш с единственным простым полюсом в Qi и не нулевым вычетом на компактной римановой поверхности F рода д 2. Это показывает принципиальное отличие теории дифференциалов Прима от теории абелевых дифференциалов на компактной римановой поверхности F рода д 2 [8; 15].
Сформулируем аналог теоремы существования (р, q)— дифференциала Прима с заданными полюсами и вычетами.
Следствие 1.3.2. Пусть Qi,...,Qs будут попарно различные точки на переменной компактной римановой поверхности F рода g 2 и ci,...,cs - комплексные числа, s 2, р - произвольный характер, и q - любое целое число. Тогда существует (p,q)—дифференциал Прима т с простыми полюсами Qi,...,Qs и вычетами ci,...,cs в них соответ ственно для некоторой его ветви на FM, если и только, если верно ра венство
Для построения общей теории однозначных и мультипликативных дифференциалов большую роль играют, так называемые, элементарные дифференциалы любого порядка, которые имеют минимальное количество полюсов: либо один полюс порядка 1, либо два простых полюса [8; 15], и голоморфно зависящие от характеров р и от модулей [ц] компактных римановых поверхностей. В этом параграфе будет найден общий вид элементарных (p,q)— дифференциалов Прима на F .
Предложение 1.4.1 [9]. 1) Для любого существенного характера р} точки Q Є Ffj,, натурального числа q 1 и несущественного характера р, точки Q Є Fp, натурального числа q 1 существует элементарный (p,q) —дифференциал Tpjq-Q третьего рода с единственным простым полюсом Q = Q[p] на Fp рода g 2, локально голоморфно зависящий от Р и [р];
Для любого несущественного характера р, точки Q Є Fp и q = 1 не существует элементарный (р, 1)—дифференциал TP;Q третьего рода с единственным простым полюсом Q на Fp. В нашей работе дадим другое доказательство предложения 1.4.1 и более детальное описание его асимптотики в окрестности особых точек. Теорема 1.4.1. Для любого существенного характера р, точки Q Є Є Fp существует некоторая ветвь элементарного дифференциала ТРД третьего рода с единственным простым полюсом в mo4KeQ на Fp рода g 2, локально голоморфно зависящего от [р] и р.
Будем искать такой дифференциал в следующем виде TP Q = fujQ. Здесь х о - фиксированный голоморфный абелев дифференциал, голоморфно зависящий от [р], с дивизором ( х о) = = Qi Q2g-2i состоящим из точек отличных от Q, и / - мультиплика-тивная функция с дивизором (/) = QA ZQ - Такую функцию можно записать в явном виде [10; 15]. По теореме Абеля для характеров верно равенство
Базисы голоморфных дифференциалов на кривых Ферма
Известно, что билинейные соотношения Римана для периодов абеле-вых дифференциалов играют большую роль в геометрической теории функций на фиксированной компактной римановой поверхности [4; 7; 8; 11; 15].
Цель второй главы - найти все основные соотношения на периоды и виды билинейных соотношений между периодами элементарных дифференциалов Прима трех родов на переменной компактной римановой поверхности для любых характеров.
Обозначим через Zl(r,p) для р Є Нот(Г,С ) множество всех отображений таких, что 4 (ST) = 4 (S) + p(S)(j)(T), S} T Є Г[19]. Пусть ф - замкнутый дифференциал Прима на Fo для р. Проинтегрировав этот дифференциал от фиксированной точки ZQ ДО Z Є U, получим, что f(Tz) - f(Tzo) = p(T)(f(z) - /Ы), где ф = df(z),z Є U, f(z) ин-теграл Прима на круге U для дифференциала Прима 0, определенный с точностью до аддитивного слагаемого. Отсюда для Т Є Г верно равен-ство f(Tz) = p(T)f(z) Lz0(T), где ф (Т) = f(Tzo)-p(T)f(zo). Таким образом, каждому Т Є Г соответствует число фfyZ0(T), а значит, определено отображение С, которое называется отображением периодов для ф. Оно зависит от выбора интеграла Прима f(z) на U и базисной точки ZQ. ЕСЛИ j1(z) = f{z)+c- другой интеграл Прима для того же дифференциала Прима ф} то (f)fuZo(T) = 0/jZo(T) + са(Т)}Т Є Г, где и(Т) = = 1 — р(Т),Т Є Г. Легко проверить, что оба отображения ф/,го и ф/ъг0 удовлетворяют коциклическому соотношению
В работе П.Аппеля [12] используется каноническое рассечение специального вида для фиксированной компактной поверхности F рода д 2. Это рассечение показано на рисунке 1 для поверхности рода д = 3.
В дальнейшем будем считать, что кривые фиксированны на гладкой поверхности F. Дадим вывод основного соотношения Аппеля для периодов дифференциала Прима в современных терминах Ганнинга, связанных с аналитическим продолжением ростков дифференциала Прима по петлям dk,bk и периодов по
Так, например, вместо термина скачок при переходе через разрез по кривой в терминах Аппеля будем говорить об аналитическом продолжении по "трансверсальной" кривой. Термин модуль периодичности интеграла Прима по Аппелю заменяем термином: либо классический период, либо когомологический период по Ганнингу. Число пересечения (dk,bk) = +1, так как упорядоченная пара петель dk,bk,k = 1,...,д, соответствует положительной ориентации. Проведя такое каноническое рассечение для переменной компактной римановой поверхности F рода д 2, получим односвязную область Тц Пусть ф = ф(г)(іг - голоморфный дифференциал Прима на F с характером р, который задаётся мультипликаторами p{a,k), p(bk), к = 1, ..., ?. Дифференциал ф = ф(г)с1г, поднятый на фундаментальную область Ам = w (A) группы Гм, будет точным и представляется в виде ф(г)(іг = df(z). Для некоторого фиксированного интеграла Прима f(z) имеем равенства f(z ) —m )f(z+) = ЧМ на краях разреза dk] f(z ) — p(dk)f(z+) = ф{а,к) на краях разреза &&, к = 1,..., д. Здесь через ф{а,к) и ф{Ък) обозначим а —период (по Ганнингу при аналитическом продолжении по (ik или модуль периодичности интеграла / при переходе через края разреза && с + на - в терминологии Аппеля) и bk период относительно выбранного интеграла Прима f(z) для дифференциала Прима ф = ф{х)йх на FM при аналитическом продолжении по петле dk и bk соответственно.
Тогда получаем следующие равенств -период при аналитическом продолжении по а или период соответствующий скачку при пересечении && с скачок период при при переходе через разрез ск+\] Дт) - у/№+ = продолжении по петле bk или период соответствующий скачку при пересечении разреза ак с + на -; f(e) — f(S)+ = ф(ск) период соответствующий скачку при переходе через разрез ск] f(r)) — p(ak)f(e)+ = ф(ак) - период при продолжении по ак или период соответствующий скачку при пересечении Ьк с + на аналитическом продолжении по bk или период соответствующий скачку при пересечении (ik с + на -.
После этого перевода на современную терминологию стало возможно сравнение основного соотношения между периодами по Аппелю и по Ганнингу. Заметим, что основное соотношение Аппеля доказано для голоморфных дифференциалов, а основное соотношение Ганнинга доказано для более общего класса замкнутых гладких и, в частности, гармонических дифференциалов при любых характерах на фиксированной компактной римановой поверхности. В работе Р. Ганнинга [19] и в книге [10], с помощью соотношений для квазифуксовой группы м, которая униформизирует FM в односвязной области w (U), получено другое соотношение.
В этом параграфе выводятся билинейные соотношения между периодами Ганнинга двух дифференциалов Прима первого рода со взаимно обратными характерами на переменной компактной римановой поверхности FM рода д 2. Это соотношение будет обобщением билинейного соотношения Римана для периодов абелевых дифференциалов первого рода на мультипликативный случай [15; 11].
Периоды гармонических дифференциалов Прима для несущественных характеров
Точка является особой точкой на этой кривой. Следовательно не выполняется первое условие теоремы А.
Отсюда можно сделать вывод, что имеются кривые, базис голоморфных дифференциалов которых нельзя найти по теореме А, но можно найти по методу Беннама. Таким образом, метод Беннама охватывает более широкий класс специальных римановых поверхностей, чем метод теоремы А.
Из главы 1 известно, что если ш1,..., иод канонический базис голоморфных абелевых дифференциалов, то мультипликативная единица /0 для Периоды гармонических дифференциалов Прима на переменной компактной римановой поверхности
Гармонические дифференциалы Прима и их классы периодов играют большую роль в современной теории функций на компактных римано-вых поверхностях [2; 3; 9; 10; 16-21]. В четвертой главе исследовано гармоническое расслоение Прима, слои которого есть пространства гармонических дифференциалов Прима на переменных компактных римано-вых поверхностях и найдена его связь с когомологическим расслоением Ганнинга над пространством Тейхмюллера для двух важных подгрупп несущественных и нормированных характеров на компактной римановой поверхности.
Каждый элемент будет единственно определяться упорядоченным набором комплексных чисел удовлетворяющих уравнению, которое получается из соотношения комплексное векторное (2д — 1)—мерное пространство для р = 1 и 2д—мерное пространство для р = 1. Пусть В1(ГИ}р) - одномерное подпространство в Z1(TIJi,p), порожденное элементом и. Тогда ії -комплексное векторное (2д—2)— мерное пространство для р ф\. Будем называть множество G = (J Н1(Гм, р) когомологическим расслоением Ганнинга
Пусть ф - замкнутый дифференциал Прима на Fo для р. Тогда, определенные в главе 2, отображения вида) (периоды по Р. Ган-нингу) и вида Т — фг0(Т) (классические периоды) определяют один и тот же класс периодов [ф] Є Н1(Т,р) для дифференциала Прима ф на Fo для р. Поэтому корректно определено С-инейное отображение из векторного пространства замкнутых дифференциалов Прима ф на Fo для р в векторное пространство Н1(Т,р).
Обозначим через Г Ді7 ) пространство дифференциалов Прима второго рода на FM для характера р [8; 15]. Лемма 4.1.1 [9; 10]. Если ш Є Г Ді ) имеет класс периодов [ш] = 0 в ії Г р), mo (х - мультипликативно точный дифференциал на F для р. Пусть 0 = df(z) = p(z)dz, тогда (p(Tz)T (z) = p(T) p(z), Т є Г, z Є С/, и 0 для р на F = U/T есть голоморфная мультипликативная касп-форма для (Г,р) веса (-2) [10; 15; 16].
Также имеем p(Tz) = (l/T (z))p(T)(p(z) = k(T,z)p(T) p(z),T Є Г, z Є U, где к(Т, z) - канонический фактор автоморфности для U/T, который зависит только от комплексно-аналитической структуры на U/T. Следовательно, (fi(z) - голоморфное сечение для голоморфного линейного расслоения к S р над U/T, где S обозначает тензорное произведение линейных расслоений над U/T [17-19].
Лемма 4.1.2 [10; глава 3, лемма 3.2.1]. Любой дифференциал Прима ф на F класса С для р единственно разлагается на сумму дифференциала Прима ф1 типа (1,0) на F класса С для р и дифференциала Прима ф і типа (0,1) на F класса С для р. Определение 4.1.1. Гармоническим дифференциалом Прима на F для р Є Нот(Т, С ) называется гармоническая (однозначная) дифференциальная
Гармонический дифференциал Прима ф на U представляется в виде, которые определяются с точ ностью до аддитивных комплексных констант. Поэтому ф = df(z), где f(z) = fi(z) + /2(2) - комплекснозначная гармоническая функция на U (гармонический интеграл Прима для дифференциала ф). Отсюда полу чаем следующие соотношения:
Следовательно, отображение периодов относительно гармонического интеграла Прима f(z), есть элемент из Zl(T,p). Если fi(z) = fi(z) + chf2(z) = /2(2) + с2 - другие интегралыи отображения периодов при различных гармонических интегралах Прима для одного и того же гармонического дифференциала Прима будут отличаться на элемент из В1(Г}р). Поэтому С—линейное отображение которое гармонический дифференциал Прима ф переводит в его класс периодов [ф], корректно определено. Обозначим через T{F)%l{p)) пространство всех гармонических дифференциалов Прима для р на F [17; 18].
Пусть при отображении р переходит в класс [со] = 0 в (Г , р). По лемме 4.1.1 получаем, что ш - мультипликативно точный дифференциал, т. е. ио = dj , где / - голоморфная мультипликативная функция для несущественного характера р ф \. Функция 4- будет однозначной голоморфной на компактной римановой поверхности F рода д 2, а значит она будет константой с 0, так как функция / не имеет нулей на этой поверхности. Следовательно ш = cdfo, с 0, т. е. ш представляет нулевой класс в нашем фактор пространстве. Поэтому отображение р -послойная инъекция.
Похожие диссертации на Периоды дифференциалов прима на переменной компактной римановой поверхности
