Мультипликативные функции и дифференциалы Прима на компактной римановой поверхности Чуешев Виктор Васильевич

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Мультипликативные функции и дифференциалы Прима на фиксированной компактной римановой поверхности 33

1.1. Основные свойства мультипликативных функций и дифферен циалов Прима.на компактной римановой поверхности. Теоремы Абеля и Римана-Роха для характеров 33

1.2. Топологические и аналитические свойства группы характеров для фундаментальной группы компактной поверхности 47

1.3. Пространства мероморфных мультипликативных функций и q—дифференциалов Прима на компактной римановой поверхности. Теорема Римана-Роха для #—дифференциалов Прима и характеров ... 58

1.4. Мультипликативные q—точки Вейерштрасса на компактной римановой поверхности. Мультипликативные пробелы по Вейерштрассу и по Нетеру и их фильтрационные характеристики в многообразии Якоби .85

Глава 2. Базис в пространстве мероморфных дифференциалов Прима на переменной компактной римановой поверхности 115

2.1. Пространства Тейхмюллера, вложение Берса и модули компактных римановых поверхностей 115

2.2. Базис голоморфных дифференциалов Прима и абелевы дифференциалы третьего рода на переменной компактной римановой поверхности 121

2.3. Базис голоморфных дифференциалов Прима и тэта-функция Римана на переменной компактной римановой поверхности 135

2.4. Базис пространства мероморфных дифференциалов Прима, кратных дивизору, на переменной компактной римановой поверхности 145

Глава 3. Периоды гармонических и голоморфных дифференциалов Прима на компактной римановой поверхности. Гармоническое векторное расслоение Прима и когомологическое расслоение Ганнинга над пространством Тейхмюллера 154

3.1. Гармоническое векторное расслоение Прима, когомологическое расслоение Ганнинга и представления группы Торелли для фиксированной компактной римановой поверхности 155

3.2. Периоды замкнутых, гармонических и голоморфных дифференциалов Прима на компактной римановой поверхности. Общая формула для билинейного спаривания 171

3.3. Гармоническое векторное расслоение Прима и когомологическое расслоение Ганнинга над пространством Тейхмюллера 185

Глава 4. Векторное расслоение Прима над пространством Тейхмюллера, над пространством групп Кебе и над пространством гиперэллиптических римановых поверхностей 192

4.1. Пространства компактных римановых поверхностей с неполным отмечанием и пространства групп Кебе. Топологические и аналитические свойства этих пространств 192

4.2. Векторное расслоение Прима из мероморфных автоморфных форм Прима, кратных дивизору, над пространством групп Кебе 211

4.3. Базис голоморфных дифференциалов Прима, голоморфно зависящий от характеров и от точек ветвления гиперэллиптической римановой поверхности 215

Глава 5. Проективные структуры и группы монодромии линейных дифференциальных уравнений на компактной римановой поверхности 223

5.1. Униформизация и проективные структуры на компактной римановой поверхности. Отображение монодромии над пространством квазиконформных деформаций групп Кебе 223

5.2. Точная вариационная формула для группы монодромии линейного дифференциального уравнения второго порядка и для решений нелинейного уравнения Шварца на компактной римановой поверхности 236

Список литературы 252-260

• Топологические и аналитические свойства группы характеров для фундаментальной группы компактной поверхности
• Базис голоморфных дифференциалов Прима и абелевы дифференциалы третьего рода на переменной компактной римановой поверхности
• Базис пространства мероморфных дифференциалов Прима, кратных дивизору, на переменной компактной римановой поверхности
• Периоды замкнутых, гармонических и голоморфных дифференциалов Прима на компактной римановой поверхности. Общая формула для билинейного спаривания

Введение к работе

Основы классической теории римановых поверхностей и абелевых дифференциалов на компактных римановых поверхностях были заложены в работах Б. Рішана, Ф. Клейна, К. Вейерштрасса и А. Пуанкаре. Теория римановых поверхностей тесно связана со многими направлениями в современной математике - теорией функций на комплексных многообразиях, алгебраической геометрией, топологией и уравнениями математической физики. Она содержит три основных аспекта: топологический (двумерные поверхности и фундаментальные группы), алгебраический (дискретные группы, группы автоморфизмов поверхностей и комплексных многообразий) и аналитический (функции и дифференциальные формы на поверхности, дифференциальные уравнения и функциональный анализ).

Гармонические и голоморфные дифференциалы Прима и их периоды появились в конце 19 века в работах Ф. Прима [84], П. Аппеля [33 - 35] и позднее Р. Кенига, О. Хаупта, Г. Петерсона [71; 62; 83]. Для дальнейшего изучения этих объектов было недостаточно средств из алгебры, геометрии, теории функций и дифференциальных уравнений.

К середине 50-х годов 20 века появились нужные алгебро-геометрические средства, например, теория голоморфных векторных расслоений над комплексными многообразиями в работах Н. Стинрода [21] и Г. Грауэрта [55]. Затем в работах М.А. Лаврентьева, Ю.Г. Решетняка [18], П.П. Белинского [3] была развита теория квазиконформных отображений. С помощью этой теории была решена 22 проблема Гильберта и исследованы обшие пространства Тейхмюллера компактных римановых поверхностей и пространства клейновых групп в работах Л. Альфорса [1; 32], Л. Берса [1; 38 - 41], С.Л. Крушкаля [13], И. Кра [72 -74] и Б. Маскита [77 - 80]. Квазиконформные деформации фуксовых и других клейновых групп в настоящее время являются одним из важнейших методов в исследованиях по геометрической теории функций на компактных римановых поверхностях. Введению римановой метрики в общих метрических пространствах и когомологическим вопросам комплексного анализа были посвящены работы В.Н. Берестовского [4], Р. Ганнинга [6; 58 - 61] и А.К. Циха[26].

Теория краевых задач в классе аналитических функций на компактных римановых поверхностях для сложного (составного) контура была развита в работах В.Н. Монахова [15], Л.А. Аксентьева [2], Э.И. Зверовича [10], Л.И. Чибриковой [27] и СР. Насырова [16]. Многозначные аналитические функции с постоянными модулями граничных значений изучены метода-

ми функционального анализа в работе М.В. Самохина [19]. Мультипликативные интегралы Прима (интегралы от дифференциалов Прима на римановой поверхности) являются решениями специальной краевой задачи в классе мероморфных функций для составного контура на компактной римановой ї поверхности.

В середине 70-х годов 20 века после работ СП. Новикова [17], И.М. Кричевера [12], Б.А. Дубровина [8; 9], И.А.Тайманова [22; 23], в связи с алгебро-геометрическим интегрированием уравнений математической физики (уравнения Кортвега де Фриза, Кадомцева-Петвиашвили и др.), возрос интерес к тэта-функциям Римана, многообразиям Якоби и специальным характерам для фиксированной гиперэллиптической римановой поверхности. Кроме того, в теории многообразий Прима, связанных с двулистными накрытиями, применяются дифференциалы Прима для специальных характеров, квадраты которых равны единице. Такие характеры соответствуют так называемым спинорным структурам.

Затем в наше время дифференциалы Прима снова появились в ряде работ К. Эрла, И. Кра [48; 49; 74], в связи с тэта-рядами Пуанкаре; в работах Г. Кемпфа [70], Дж. Фея [54], Дж. Ергенсона [68], в связи с приложениями к теории чисел, и недавно в работе Э. Джеблоу [67] в вариационной теории таких дифференциалов. Однако, как правило, все эти авторы изучали голоморфные дифференциалы Прима относительно двух специальных видов характеров для фундаментальной группы фиксированной компактной римановой поверхности, которые либо принимают все свои значения только на единичной окружности, либо на половине образующих группы их значения равны единице.

По-видимому к 1980 году появилась необходимость в построении общей теории дифференциалов Прима для любых характеров, хотя бы на фиксированной компактной римановой поверхности. В 1980 году Р. Ганнинг [60] начал изучение голоморфных дифференциалов Прима и их периодов относительно произвольных существенных характеров. Классы периодов голоморфных дифференциалов Прима на компактной римановой поверхности рода д > 2 являются важными трансцендентными инвариантами связанными с поверхностью. Он ввел векторное расслоение Прима из голоморфных дифференциалов Прима и когомологическое векторное расслоение (Ганнинга) для классов их периодов и дал явное описание таких расслоений для рода д = 2.

Группы монодромии для линейно-полиморфных функций на компактной римановой поверхности появились ещё в 19 веке в работах А. Пуанкаре,

Э. Пикара, П. Фату [см. 35 - 36], в связи с проблемой униформизации компактной римановой поверхности. В 70-х годах 20 века группы монодромии появились вновь в работах К. Эрла [47], И. Кра [72; 73], Б. Маскита [73], D.A. Хейхала [64 - 65] и Р. Ганнинга [58 ], в связи с общей проблемой униформизации и с теорией общих пространств Тейхмюллера.

В диссертации, состоящей из пяти глав, построена общая теория диффе
ренциалов Прима и их классов периодов для произвольных характеров на
переменной компактной римановой поверхности. Изучены векторные рас
слоения Прима, образованные мероморфными дифференциалами Прима, и
когомологическое расслоение Ганнинга, составленное из классов периодов
для таких дифференциалов, над пространством Тейхмюллера и над про
странством групп Кебе. Исследованы периоды замкнутых, гармонических
и голоморфных дифференциалов Прима для произвольных характеров. В
пятой главе изучены проективные структуры и их группы монодромии,
в связи со стандартными униформизациями компактных римановых по
верхностей группами Кебе. Получена точная вариационная формула для
группы монодромии линейного дифференциального уравнения второго по
рядка на компактной римановой поверхности.
«г В первой главе будет построена общая теория мультипликативных

функций и дифференциалов Прима для произвольных характеров фундаментальной группы компактной римановой поверхности.

Параграф 1.1 имеет вспомогательный характер и содержит сведения по теории мультипликативных функций и дифференциалов Прима, полученные в работах Ф. Прима [84], П. Аппеля [33 - 35] в конце 19 века ив начале 20 века, и изложенные в книге X. Фаркаша, И. Кра [52, р. 126-134].

В теории мультипликативных функций и дифференциалов Прима на компактной римановой поверхности F рода д > 2 большую роль играют множество L_g так называемых несущественных и дополнительное к нему множество существенных характеров [52]; Обозначим через #om(7ri(F), С*) группу всех характеров (одномерных представлений) р из 7Ti(F) в С* = С\{0} с естественной операцией умножения. Характер р на 7Ti(F) называется несущественным характером на 7Ti(F), если существует с= (сі,...,с<,) Є С⁹ такой, что

« 9

p(aj) = exp 2mcj, p{bj) - ехр 27гг ^ 7г_;-*сь j'= 1,..., д,

Jfc=i

tt^F, О) = (oi, Ь_ь ..., a_g, b_g : ]~[[a_kl b_k] = 1),

«>. Q = (7Tjk) - матрица порядка g из 6—периодов для канонического бази-

са -Cij.-jCp голоморфных абелевых дифференциалов на F, двойственного с KA}?₌i (^т-^е- SaSi ^{= S}^f_bkQ = Kjk,3>k = 1,...,0) [52, с. 129]. Несущественные характеры образуют подгруппу L₅ в Hom(-Ki(F),G*). Характеры р Є Hom(7ri(F), C*)\L_g называются существенными характерами и они имеют следующее представление

p{aj) = ехр2тггс_;-, p{bj) - ехр2ттг(^ 7т,-*с_к + dj),j = 1,..., #,

где с = (сі,..., с₅) Є С⁹, rfj Є С и dj ф. Z для некоторого j,j = 1,..., д [52].

В параграфе 1.2 будет дана топологическая и аналитическая характери-зация группы характеров Hom(7Ti(F, О), С*) и ее специальных подгрупп Ь_д и Ь_д (Ьд - множество всех комплексно-сопряженных характеров к L_g).

В параграфе 1.3 доказываются теорема Абеля для характеров, теоремы
щ, Римана-Роха для мероморфных g-дифференциалов Прима и для строго

двойственных д-дифференциалов Прима относительно любых характеров на компактной римановой поверхности рода д, где q Є Z,g > 0. С помощью этих теорем получаются шесть таблиц размерностей пространств мероморфных ^-дифференциалов Прима для характера р, кратных дивизорам степеней т(2д — 2),т > 0,m,q Z, и им обратным дивизорам. Оказывается, что эти размерности зависят от того выполняются или нет достаточное условие в теореме Абеля для характеров и некоторое равенство в многообразии Якоби для компактной римановой поверхности.

Определение 1.3.1. Мероморфным q—дифференциалом Прима на F для р называется однозначная мероморфная дифференциальная q—форма ф = (j)(z)dz^q пъ. U = {z Є С : \z\ < 1} такая, что

(j)(Tz){dTz)^q'= p{T)(f){z)dz^q,T Є Г,z Є U,q Є Z.

Здесь

Г =(А_ь...,Вд:[А₁,В₁]...[А_д,Вд] = 1),

- фуксова группа первого рода на U такая, что F = U/Г, и группа Г изоморфна группе ni(F).

Теорема (Абеля для характеров) [52, р.134]. Пусть D - дивизор на отмеченной компактной римановой поверхности [F, {ai, ...,a₅,6i,..., b_g}] рода

g > 1 и p - характер на ~K\{F). Тогда D будет дивизором мультипликативной функции / на F для характера р ^ degD = О и

i=i i=i

в многообразии Якоби J{F), т.е.С⁵ по модулю целочисленной решетки L(F), порожденной столбцами е^,...,е^⁹\тт^\ ..., 7Г^ матрицы а—периодов и 6—периодов канонического базиса і, ...,Сд Д^ля канонического гомологического базиса на F, где (р - отображение Якоби для F.

Обозначим через Sl^q_p(D) пространство мероморфных q-дифференциалов Прима ф = (p(z)dz^q на F для характера р таких, что (ф) > D, где g 6 Z. Его комплексная размерность есть число i_p,_q(D) и i_pp(D) — r_p{D).

Теорема 1.3.1 (Римана-Роха для q-дифференциалов и характеров). Для любых д > 0 и q Є Z верно равенство

i_P,_q(D) = (9 - l)(2q -1)- degD + i{(f)Z^q/D) =

(g - l)(2g- 1) - degD + r((f)Z^q-^l/D)

при любом характере p на компактной римановой поверхности F рода д, где / - любая мультипликативная функция для р, f ф 0, и Z - канонический класс дивизоров абелевых дифференциалов на F.

Следствие 1.3.5. Для существенного характера р на компактной римановой поверхности F рода д > 1 верны следующие утверждения:

1. пространство голоморфных сечений для линейного расслоения L_p [61] над F имеет размерность 0;

2. если degD = 0, то пространство мероморфных сечений для L_p, кратных D, будет одномерно, и порождено /і -мультипликативной мероморфной функцией для р с условием (/i) = D, которая была построена при доказательстве теоремы Абеля для характеров. Любое другое мероморфное сечение для L_p имеет вид Я/і, где Я -однозначная мероморфная функция на F;

3. если degD — 0, но ip{D) ф ф(р) в J{F), то не существует нетривиальных мероморфных сечений для Lp, кратных D.

Таблица 2 (для чисел i_p,_qiD) при degD = 0)

Таблица 4.1 (для чисел г_РЛ(Р) при D, degD = (2д — 2)к, к > 2)

Классические q—точки Вейерштрасса играют большую роль в геометрической теории функций на компактных римановых поверхностях. Точки Вейерштрасса несут важную информацию о самой компактной римановой поверхности. В параграфе 1.4 будут введены мультипликативные точки Вейерштрасса и построена теория мультипликативных точек Вейерштрасса для мультипликативных мероморфных функций и дифференциалов Прима на компактной римановой поверхности. Оказывается, что свойства мультипликативных точек Вейерштрасса для существенных характеров сильно отличаются от свойств классических точек Вейерштрасса. Кроме того, создан новый метод исследования пробелов Вейерштрасса и Нетера, и мультипликативных точек Вейерштрасса через фильтрации в многообразии Якоби на компактной римановой поверхности.

Теорема 1.4.5 (о мультипликативных пробелах Вейерштрасса). Для любого существенного характера р и любой точки Р на компактной римановой поверхности F рода д > 1 существует точно д — 1 чисел (мультипликативных пробелов Вейерштрасса) п_г-, удовлетворяющих неравенствам

О < п\ < ... < n_ff_i < 2д,

которые определяются так, что для каждого г, і = 1,..., д— 1, не существует мероморфной мультипликативной функции для р на F, имеющей в качестве единственной особенности полюс в Р точно порядка щ.

Определение 1.4.2. Точка Р на компактной римановой поверхности F рода д > 1 называется мультипликативной точкой Вейерштрасса для существенного характера р, если в ней можно задавать единственный полюс, мероморфной мультипликативной функции для р, порядка не превышающего д --1..

Теорема 1.4.7(о мультипликативных пробелах Вейерштрасса). Для любого существенного характера р и любой точки Р на компактной римановой поверхности F рода д > 2 верны следующие утверждения:

1) натуральное число j, 1 < j < д, будет мультипликативным не пробе
лом в Р для р на F тогда и только тогда, когда

MP) + ф{р) є WjMWj^ + <р(Р)У,

2) точка Р не будет мультипликативной точкой Вейерштрасса на F для
р тогда и только тогда, когда выполняются условия

MP) + Ф(р) І Wj\(Wj-i;+ _V(P)), lі,

где Wj = ip(Fj), Fj - симметрическое произведение поверхности F, a ip -отображение Якоби для F.

Теорема 1.4.15. На компактной римановой поверхности Р рода д > 2 для любого характера р и при q > 1 (g, р)—каноническая линейная система | Z^q_p | дивизоров не имеет базисных точек на Р.

Теорема Г.4.19. На компактной римановой поверхности Р рода д > 2 для любого существенного характера р число N{p) мультипликативных точек Вейерштрасса для р на Р удовлетворяет неравенству

9 - 1 < N(p) < (д - 1)²д.

Теорема 1.4.20. При фиксированной точке Р на компактной римановой поверхности Р рода д > 2 для существенного характера р Р—фильтрация для р в группе J(P)

ОС W_v-ip{P) CW₂-2С ... CW_k-k(p(P) С ...

С И^_! -(д- IMP) C\V_g- дср(Р) = J(F),

будет отделимой исчерпывающей фильтрацией длины д в J(F).

Эта фильтрация позволяет определять мультипликативные пробелы и не пробелы Вейерштрасса для существенного характера/? в фиксированной точке Р среди чисел {1,2,...,д} через расположение ф(р) в J(F).

Пусть теперь фиксирован существенный характер р. Тогда получаем последовательность подпространств

О ± ~Ф(р) С Wi-фір) С \У₂-ф(р) С ... С\У_д-і-ф(р) С \_д-ф(р) = J{F)

так называемую р—фильтрацию для Р в J(F). Она позволяет определять точки Р и мультипликативные пробелы и не пробелы Вейерштрасса в точке Р для фиксированного существенного характера р среди чисел {1,2,...,^} через расположение <р(Р),2<р(Р), ...,д<р(Р) в J{F).

Кроме того, в конце параграфа 1.4 найдены некоторые дополнительные связи между мультипликативными точками Вейерштрасса на компактной римановой поверхности для существенного характера и специальными подмножествами в многообразии Якоби, каноническими вложениями компактной римановой поверхности в проективное пространство. Установлено, что множество голоморфных (р, д)— дифференциалов Прима с простыми нулями образует открытое и всюду плотное подмножество в пространстве всех голоморфных (p,q)— дифференциалов Прима на компактной римановой поверхности рода д > 2. С помощью нового метода фильтрации получен результат о неинвариантности стандартной фильтрации в многообразии Якоби относительно сдвига.

Теорема 1.4.21. Подмножества Wk = ^{Fk), 1 < к < g — 1, не инвариантны относительно сдвига на любой ненулевой элемент М в многообразии Якоби J(F) компактной римановой поверхности F рода д > 2, причем

4. пересечение {М-\-W\} [)Wi состоит не более, чем из конечного числа точек;

5. каждой точке пересечения {М + ИУ П^ь где М — ip(p)_t 1 < к < д — 1, соответствует мультипликативная функция / для существенного характера р с дивизором (/) = Di/Z?2> D\,D2 Є F^, удовлетворяющим условию ф(р) = cp{Di/D₂) = Mb J(F).

В 1976 году Р. Ганнинг [59; 60] начал изучать векторные расслоения Прима из мероморфных дифференциалов Прима на компактной римановой поверхности. Он построил базис мероморфных дифференциалов Прима на фиксированной компактной римановой поверхности, который голоморфно зависит только от характеров, с помощью так называемых обобщенных тэта-функций.

Во второй главе будут предложены новые методы построения базисов мероморфных дифференциалов Прима, кратных заданному дивизору, на переменной компактной римановой поверхности; которые голоморфно зависят и от модулей компактной римановой поверхности и от характеров.

В параграфе 2.1, который носит вспомогательный характер, будет дан краткий обзор по пространствам Тейхмюллера, по расслоенным пространствам Берса и по расслоениям дивизоров над пространством Тейхмюллера T, = T₅(F).

В параграфе 2.2 будет построен базис голоморфных дифференциалов Прима на переменной компактной римановой поверхности, с помощью абелевых дифференциалов третьего рода. Для р Є Нот(Г, С*) обозначим через Г(і<о, O^l'(p)) векторное пространство голоморфных р—дифференциалов Прима на Fo и через Pi,o(-Fo) = U_P$L_gF{Fo,О^1,0(р)) векторное расслоение Прима для фиксированной поверхности /. Р. Ганнинг [59] доказал, что это комплексное голоморфное векторное расслоение ранга д — 1 над Яотп(Г, С*)\Ь_д.

Определение 2.2.1. Мероморфным (p,q)— дифференциалом Прима ф = ф (z) dz^q с характером р на F^ называется однозначная мероморфная функция ф(г) на 11^((7), удовлетворяющая условию

^(Т"(_г))[(Т")'(г)]« = _P(T")(z),

для z Є ^(U), [р] Є Т_д) ТР Є Р. Здесь Г^ - квазифуксова группа, уни-формизирующая в инвариантной компоненте w^(U) компактную риманову

поверхность Fp. Если q — О, то будем говорить о мультипликативной функции / на Fp с характером р.

Теорема 2:2.1.. Для любых д > 2, [ро] Є T_g(F₀),p₀ Є Нот(Т, C*)\L_g существуют односвязные окрестности

ЩЫ) С T_g(Fo),U(p₀) С Нот(Г,С*)\Ь_д,

и голоморфные функции i{[p\,PY^z)i3 — І'і -ч 9 ~ 1> ^на ^{U), голоморфно зависящие от [р] Є U([po]),p Є U{po), такие, что при фиксированных [р] и р они задают базис 4>j([p],p\z)dz,j = 1, ...,д — Г, в комплексном векторном пространстве голоморфных р—дифференциалов Прима на отмеченной компактной римановой поверхности ю^{и)/Т^ рода д.

Пусть Е будет главное #ога(Г, С*)—расслоение над T₅(F) со слоем #от(Г",С*) над точкой [р] = [FJ = Р*.

Лемма 2.2.2. Голоморфное главное Нот(Г,С*)—расслоение Е биго-ломорфно изоморфно тривиальному расслоению T₅(F) х Нотп(Г, G*) над T₅(F).

С помощью леммы 2.2.2 введем векторное расслоение Прима Р^І) над T_g(F) х (#от(Г, C*)\L_g) со слоем Г([FJ, О^1>0Ы) над точкой ([FJ; /?), где p(Aj) = _Pfl(A^l;),p(B_j) = pp(B])J = 1,..., д.

Рассмотрим векторное расслоение Прима Pq(l), у которого слой над точкой ([/і],/?) Є Т_д х Нот(Г,С*) состоит из голоморфных (р, д > 2при q > l,q Є N:

Предложение 2.2:4. Для любого д > 2 эрмитово голоморфное векторное расслоение Прима Pq(l), q > 1, над Т₅ х L_g аналитически эквивалентно тривиальному голоморфному векторному расслоению ранга д при q = 1 и ранга (2q—1)(д — 1) при q > 1.

Теорема 2.2.5. Для любого # > 2 векторное расслоение Прима P_lfo(l) над Т_д х Нот(Г, C*)\L_g является эрмитовым голоморфным векторным расслоением, ранга д — 1.

Это утверждение уже доказано в; теореме 2.2.1 и там. был построен базис голоморфных дифференциалов Прима вида f\u,..., f_g-ico, где и - голоморфный; абелев дифференциал, a /i,..., f_g-\ - мероморфные мультипликативные функции для р на F^, у которых полюса совпадают с нулями дифференциала ал При этом базис голоморфно зависел от р и от [р]. В теореме 2.2.5 построен базис голоморфных дифференциалов Прима другого вида fiUi,...,f_g-iUg-i, с теми же свойствами.

Теорема 2.2.6. Векторное расслоение Прима Р_д(1) над Т_д х

Яот(Г, С*) является эрмитовым голоморфным векторным расслоением ранга d — (2q — 1)(д — 1) при любых д > 2,q> 2.

Отметим, что при q — 1 и q > 1 частные случаи теорем 2.2.1 и 2.2.6 были доказаны И. Кра в [74] для множества нормированных характеров [5¹]²⁵ С Нот(Т, G*)\L_g, где для построения базиса голоморфных (p,q)— дифференциалов Прима на компактных римановых поверхностях использовались тэта-ряды Пуанкаре и не выяснялось, как зависят они от характеров и от модулей компактных римановых поверхностей.

В параграфе 2.3, с помощью тэта-функции Римана, строится другой базис голоморфных g-дифференциалов Прима, который голоморфно зависит от существенных характеров и от модулей компактной римановой поверхности. Сначала будут приведены некоторые известные факты о связи тэта-функций Римана и мультипликативных функций.

Теорема 2.3.1 [52, с.315-316]. Пусть ^ = -^. дивизор степени нуль. Тогда мультипликативная функция / с дивизором (/) = D имеет вид

_{f(p) =} Є(^Р) + Ч>{Р2...Р.) - >(А») - в)

^Л ' в(ср(Р) + ip(P₂...P_s) - ₃) - е)'

на F, где s Е N и є Є С⁹, удовлетворяют условиям 0(WJt ~Wk — е) =.0, 0 < к < s — 1, но @(W_S — W_s — є) ф 0, a D\ — P\P2...P_S выбран из условий

Є(у>(Яі) - 4>{D2) - є) ф 0, e(tp(Di) - ₃) -е)ф0.

Теорема 2.3.4. Для любого существенного характера р на компактной римановой поверхности F рода д > 2 и любого натурального q > 1 существует базис голоморфных q—дифференциалов Прима

f_l(z)u(z)dz^...,f_d(z)uj(z)dz"

для характера р на F, который голоморфно зависит от характера р и от модулей компактной римановой поверхности; где d = д — 1 при q =1 и d = (2q—1){д — 1) при q > 1. Причем функции fj, j = 1,..., d, выражаются через отношения тэта-функций Римана на F.

В параграфе 2.4 будут построены базисы в пространствах мероморфных дифференциалов Прима, кратных дивизору, на переменной компактной римановой поверхности.

Зафиксируем дивизор D = R\...Ri,l > 1, на Fo. Используя глобальное вещественно-аналитическое сечение К. Эрла s для канонического отображения Ф, из пространства всех комплексных структур в пространство Тей-хмюллера Т_д [44], и локально голоморфные сечения s для Ф над достаточ-

но малыми окрестностями 77( [/хо]) в Т_д, получим глобальное вещественно-аналитическое сечение из дивизоров D[/jl] = w^$№(D) = R\[//]...Щ[ц] степени I над Т_д и локально голоморфные сечения из дивизоров D[fj] = w*M(D) степени 7 над С^([мо]) соответственно. Обозначим через P_q(D) векторное расслоение Прима над Т_д х Яот(Г, С*), слой которого над точкой ([/х], р) состоит из мероморфных (р, q)— дифференциалов Прима ф = ^q на Fp, кратных дивизору D[fi] степени 7.

Теорема 2.4.1. Для любых д > 2, дивизора D = Fi-..Р/ на Fo, 7 > 1, векторное расслоение Прима Pi (1/7)) является голоморфным векторным расслоением ранга d = д — 1 +1 над Т_д х Яот(Г, С*).

Теорема 2.4.2. Для любых д > 2, дивизора D — Pi...Pi на Fo, Z >.l,. > 2, векторное расслоение Прима P_q(l/D) является голоморфным векторным расслоением ранга d = (2q —l)(g — 1) + / над Т_д х Яот(Г, С*).

Теорема 2ЛЛ. Векторное расслоение Прима ~P_q(D) является эрмитовым голоморфным векторным расслоением ранга d = (2q -1)(^-1)-/ над Т_д х Яот(Г,С*), если д > 2,D= Pi...P/ на Fo, g > 2 и выполнено условие 2(<7—1)(<7—1) > 7 > 1.

Теорема 2.4.6. Для любых д > 2,д > 2 и дивизора D ф l,degD = О на Fo, эрмитовы голоморфные векторные расслоения P_q{D) и P_g(l) ранга d = (2q — 1)(д — 1) над Т_д х Яот(Г, С*) биголоморфно изоморфны.

Пространство Тейхмюллера Т_д является неразветвленным накрытием для пространства Торелли Т₅, а группа Торелли т_д, являющаяся нормальной подгруппой модулярной группы Тейхмюллера, действует свободно, т.е. без неподвижных точек, на Т_д [45]. При этом Т₅ = Т_д/т_д. Все теоремы параграфов 2-4 главы 2 остаются верными, если в них пространство Тейхмюллера Т_д заменить на пространство Торелли Т₅, где д > 2.

В третьей главе дано описание расслоения Ганнинга для д > 2, введено и изучено гармоническое векторное расслоение Прима из гармонических дифференциалов Прима на компактной римановой поверхности рода д > 2. Установлено, что образующим У. Ликориша [28, ч.З, с. 133-134] для группы классов отображений поверхности F при д > 2 соответствуют невырожденные квадратные матрицы порядка 2д — 2, имеющие простую структуру, а группа Торелли обладает большим классом нетривиальных представлений в группу матриц порядка 2д — 2.

Также изучены классы периодов замкнутых, гармонических и голоморфных дифференциалов Прима на компактной римановой поверхности любого рода д > 2 и для любых характеров ее фундаментальной группы. Выведены общие формулы, связывающие периоды для любых двух

замкнутых дифференциалов Прима относительно двух произвольных характеров. Из них получаются аналоги билинейных соотношений Римана для случая гармонических и голоморфных дифференциалов Прима. Для гармонических дифференциалов Прима относительно нормированных характеров доказаны аналоги теорем Ходжа и де Рама, построены канонические базисы из гармонических дифференциалов Прима, которые локально вещественно-аналитически зависят от характеров.

Показано, что гармоническое векторное расслоение Прима HP, образованное гармоническими дифференциалами Прима, и когомологическое расслоение Ганнинга будут вещественно-аналитически изоморфны над базой из нетривиальных нормированных характеров для любой компактной ри-мановой поверхности рода д > 2. Найдены "препятствия"коциклического типа к взаимной однозначности отображения периодов для гармонических дифференциалов Прима относительно ненормированных характеров.

В параграфе 3.1 будут изучены гармоническое векторное расслоение Прима, когомологическое расслоение Ганнинга и представления группы То-релли для фиксированной компактной римановой поверхности. Обозначим через Z¹ (Г, р) для р Є Яот(Г, С*) множество всех отображений ф : Г —у С таких, что

ф(вТ) = 0(5) + р(ЗДГ),5,Т Є Г.

Каждый элемент ф Є Z^l(T,p) будет единственно определяться упорядоченным набором комплексных чисел ф(Лі),..., ф(А_д), ф{В\),..., ф(В_д), удовлетворяющих уравнению

^{a(BMAj) - *Шф(ВЛ] = О, j=i

которое получается из соотношения:Hj₌₁Cj — 1 в Г, где Cj = [Aj, Bj] — A_jB-Aj¹Br\ a(T) = 1-р(Т),Г Є Г. Тогда Z¹ (Г,р) - комплексное векторное (2д — 1)—мерное пространство для р ф Г (т. е. p{S) ф 1 для некоторого 5 F) и 2д—мерное пространство для р = 1. Пусть J5¹(F, р) -одномерное подпространство в Z¹ (Г, р), порожденное элементом сг. Тогда Я¹(Г,р) = Z¹(V,p)/B¹(r,p) - комплексное векторное (2д — 2)—мерное пространство для р ф 1. Будем называть множество G = и_р^іН¹(Г_ур) когомологическим расслоением Ганнинга для поверхности F.

Дифференциал Прима ф = ф(г)<іг для характера р, определенный на односвязном диске U, может быть записан в виде ф = df(z) для подходящей голоморфной функции f(z) (она называется интегралом Прима для

дифференциала Прима ф на U). Следовательно,

/(Тг) = р(Т)/(г) + ф(Т),

ДОТ) = ДО) +р(5)ДО), где ф(Т) = /(Г2й) - p{T)f{z₀). Таким образом, отображение < : Т -> ^>(Т), или отображение периодов 0 : Г -> С относительно интеграла Прима f(z)_t есть элемент из Z^l(T,p). Отображения периодов при различных интегралах Прима для одного и того же дифференциала Прима будут отличаться на элемент из В^Х(Г, р). Поэтому С-линейное отображение р : ф —> [ф] б Я^Г, р), которое дифференциал Прима ф переводит в его класс периодов [0], корректно определено.

Отображение периодов р : r(F, 0^1,о(р)) —> Я^Х(Г, р) такое, что ф(г)сіг —> р(ф(г)йг) = [ф] = {< + ссг : с Є С} = ф + В¹(Т₁р)₁ будет G—линейным послойным отображением из Рі,о в G над Нот(Г, C*)\L_g.

Теорема 3.1.3. Последовательность голоморфных векторных расслоений и отображений

О - Pi,₀ 4 G- GfPifl.-* О

над Яот(Г, С*)\L_g является точной при любом # > 2.

Определение 3.1.1. Гармоническим дифференциалом Прима на F для /? Є Яот(Г, С*) называется гармоническая (однозначная) дифференциальная 1-форма ф — ф\{г)йх + ф2(г)(ІЇ на {/ такая, что ф\(Тг)(1Тх + фг{Тх)($Гг = р(Т)(фі{г)(1г + фг{г)<ї2), Т Є T,ze U.

Множество всех гармонических дифференциалов Прима ф для р Є Яот(Г, С*) образует комплексное (2д — 2)—мерное векторное пространство r(F,7/¹(/?)) при р . L_g U L₅, так как

T(F, 7^(,)) = T(F, О¹'⁰^)) 0 r(F, О⁰-¹ (р)),

где L₃ - образ L₅ при отображении р —) р.

Теорема 3.1.5. Эрмитово голоморфное векторное гармоническое расслоение Прима HP ранга 2д — 2 является прямой суммой ортогональных эрмитовых голоморфных *—инвариантных векторных подрасслоений Pi,о и Род ранга д — 1 над Яот(Г, G*)\(L_g U L₅) при любом д > 2.

Ф. Прим, Р. Рост [84] начали построение теории гармонических и голоморфных интегралов Прима только для нормированных характеров фундаментальной группы компактной римановой поверхности. Дж. Кемпф [70] и Э. Джеблоу [67] получили ряд свойств периодов голоморфных дифференциалов Прима для нормированных характеров и для характеров, которые

на половине образующих фундаментальной группы равны единице. В параграфе 3.2 изучаются классы периодов замкнутых, гармонических и голоморфных дифференциалов Прима на компактной римановой поверхности любого рода д > 2 и для любых характеров ее фундаментальной группы. Теорема 3.2.3. Если ф,ф - замкнутые дифференциалы Прима на F класса С для р\ и р₂ соответственно, то

ПфЛф = ( 1г(_г)ф =

[(1 - pMBj)) / h{z)t -(1- pip₂(Aj)) / h(z)t]+

rBj(zo)
[MAj) - 1)0((...^) + р2(А-)ф_к(А₅) - ф{С₅)] / ФЬ

J Zq

где Д - фиксированная фундаментальная область для F в U\ ф = dh{z) на U,h(Tz) = p(T)h(z) + фь(Т),Т 6 F; причем это равенство инвариантно, относительно выбора интеграла h(z) для ф с точностью до аддитивного слагаемого.

Из этой общей формулы для билинейного спаривания получаются, как частные случаи, все известные соотношения между периодами дифференциалов Прима, найденные Ф. Примом, Р.Ганнингом, Дж. Кемпфом и Е. Джеблоу.

Теорема 3.2.4. Пусть F - компактная риманова поверхность рода д > 2, ф - гармонический дифференциал Прима на F для р Є [5¹]²⁵, и [ф] = О в Я¹ (Г, р). Тогда ф = 0 на F.

Следствие 3.2.6 (Аналоги теорем де Рама и Ходжа). Для р Є [S¹]²⁹ верноT(F^7i¹(p)) = H})_R(F,p) = Н¹{Г,р) и для любого замкнутого дифференциала Прима ф на F класса С для р существует единственное разложение Ходжа ф = фо + df (z), где ф₀ Є T{F,V}(p))J(z) Є C(F,p), а также для любого класса периодов [ф] Є Я¹ (Г, р) существует замкнутый дифференциал Прима ф на F класса С для р такой, что [ф] = [ф] в Н^р).

Аналог теоремы Ходжа получен Э. Джеблоу в [67] с использованием сложной техники аналитических линейных расслоений на римановых поверхностях. Аналог теоремы де Рама получен ранее Р. Ганнингом в [61]

с использованием когомологий с коэффициентами в пучках на F. Наше доказательство не требует такой сложной техники.

Выясним какое минимальное число базисных периодов ф(Аі),...,ф(А_д),ф(Ві), ...,ф(В_д) надо задать, чтобы полностью определить голоморфный дифференциал Прима ф для существенного характера р на F.

Теорема 3.2.10. Дифференциал Прима ф Є T(F, <9^1,0(р)) для существенного характера р, р Є U\ = {р : р(А\) ф 1}, единственно определяется "половиной "своих базисных периодов ^(iVj-J, —іФІЩ^, где ф{А\) — О, {N_u..._iNg₁N_g+i_i...₁N₂g} = {А_иА₂,...,А_9УВ_иВ₂,...,Вд} и {л,...,і₅_і} -(д — 1)—элементное подмножество в {2,3, ...,#, # + 2,g + 3,..., 2д}, зависящее от выбора базиса bT(F, О^1,0(/?^-1)).

Следствие 3.2.11. Для любого ро - &д существует окрестность U(po) С Яот(Г, C*)\L_g такая, что для р Є U(po) существует канонический базис голоморфных дифференциалов Прима на F, голоморфно зависящий от р Є U(po), при любом д > 2.

Заметим, что последнее следствие ранее получено Р. Ганнингом [59], но его доказательство требует построения базиса голоморфных дифференциалов Прима через сложный аппарат так называемых обобщенных тэта-функций и базис голоморфно зависит только от характеров. Наше доказательство использует другой базис голоморфных дифференциалов Прима, который зависит голоморфно не только от характеров, но и от модулей компактных римановых поверхностей.

В параграфе 3.3 будут установлены некоторые свойства расслоений Прима и Ганнинга над пространством Тейхмюллера.

Теорема 3.3.Г. Векторные расслоения Ганнинга G и Прима HP над [5^Х]²⁵\1 будут вещественно-аналитично изоморфными, и расслоение Ганнинга G над [5¹]^2р\1 равно прямой сумме двух вещественно -аналитических комплексных векторных подрасслоений ранга д — 1 для любой компактной римановой поверхности F рода д > 2.

Из теоремы 3.2.3 следует, что условие

[(1 - pp(Bj)) / f(z) * df(z) - (1 - pp(Aj)) / f(z) * df(z)]^ 0

является некоторым коциклическим "препятствием"к взаимной однозначности отображения периодов р : r(F,'H¹(p)) -> Я¹(Г,р) для р Є [Hom^CWLgUTgKMS¹]²*, где ф = df(z) Є d(C(F_}р))П T{F,U^l{p)).

С помощью леммы 2.2.2 введем расслоение Ганнинга G над T₅(F) х (Яот(Г, С*)\1) со слоем Я¹ (Р*, р_й) над точкой ({F^p).

Теорема 3.3.4. Когомологическое расслоение Ганнинга G является голоморфным векторным расслоением ранга 2д — 2 над T_g(F) х (Яого(Г,С*)\1).

Из свойств отображения периодов р : Рю —> G получается

Теорема 3:3.5. Последовательность голоморфных векторных расслоений и отображений

О -> Рю Л G Л G/Рю -» О

над T₅(F) х (Яотп(Г, G*)\L₅) является точной для любого # > 2.

Теоремы 3.3.4,3.3.5 будут верны для естественно определенных над Т_д х (Hom(Hi(F, Z), G*)\L₅) расслоений Прима и Ганнинга, так как

Яот(Г, С*) S Яот(Г/[Г, Г], С*) = Hom(Hi(F, Z), С*).

В главе 4 будут изучены векторное расслоение Прима над пространством Тейхмюллера, над пространством групп Кебе и над пространством гиперэллиптических римановых поверхностей.

Классическая теория униформизации компактных римановых поверхностей традиционно исследует либо поверхности с полным (каноническим) рассечением, либо с рассечением по минимальному набору петель, превращающим поверхность в область, подобную плоской области на расширенной комплексной плоскости С. Это приводит к универсальной накрывающей и слабейшей плоской регулярной накрывающей (Шоттки) над компактной римановой поверхностью [79; 80; 63]. В [63] Д. А. Хейхал изучил пространства групп Шоттки, соответствующие слабейшей плоской регулярной накрывающей над компактной римановой поверхностью.

В параграфе 4.1 рассматриваются группы Кебе - группы преобразований наложения для любой промежуточной плоской регулярной накрывающей, и будут установлены связи между пространством Тейхмюллера компактных римановых поверхностей данного рода, пространством этих поверхностей с "неполным "отмечанием и пространством отмеченных групп Кёбе, униформизирующих такие поверхности. Доказано, что эти пространства являются областями голоморфности, а универсальным накрывающим пространством для них служит пространство Тейхмюллера. Отсюда получаем три пространства: (Т₅,с?г) - пространство Тейхмюллера компактных римановых поверхностей рода д с метрикой Тейхмюллера cfr; Uh,g-h - пространство компактных римановых поверхностей рода д с отмечанием типа (h,g — h); V_CT, из-за свойства взаимнооднозначное отображения Фу,<т,

назовем пространством отмеченных групп Кёбе сигнатуры о. Построена следующая диаграмма из отображений

В главе 2 были построены (р, ф = /ш,(ф) > D^ на переменной компактной римановой поверхности Fy, с модулями [/і] Є Т_д, которые голоморфно зависят от [р.] и от р. После подъема ф по 7г^ : Д^_1<т —> F^ на Д^ получим мероморфную ав-томорфную (р,д)—форму Прима ф для отмеченной группы Кебе G>,ф\ = ,/W, ...,0d = /dCJ - базис (p,q)~дифференциалов Прима на F^, ($,-) > D^j = Г, ...,с?, который задается голоморфными функциями на расслоенном пространстве Берса BV_g над Т₅ х Ногп_а{Г, С*), то их поднятия фі,...,фсі на Д^ также задаются голоморфными функциями на расслоенном пространстве Берса-Кебе BKVg(a) над Q_CTхНотп_а(Г, С*). Таким образом, получаем базис автоморф-ных (p,q)—форм Прима на векторном расслоении Прима Pig(Z)), который голоморфно зависит от модулей [р] компактной римановой поверхности и от характера р, над Q_a х Яот_Т(Г, С*).

Теорема 2.2.3 и теоремы 2.2.6, 2.4.1, 2.4.2, 2.4.4, 2.4.6 имеют естественные аналоги для векторных расслоений Прима P^_)<7(.D) над Q_CT х Нот_а(Г, C*)\L_g и Q„ х Нот_а(Г, С*) (и_л,₅__л х Нот_а(Г, C*)\L_gn XJ_h,_g-_h х Яот₍₇(Г, G*)) соответственно.

Л. Бере [41], И. Кра [49; 74], Д.А. Хейхал [63] и многие другие авторы, используя метод А.Пуанкаре, строили базис автоморфных форм веса q > 1, относительно специальных клейновых групп (Шоттки, квази-фуксовы и конечно порожденные клейновы группы) только для р = 1 или для нормированных характеров р, через тэта-ряды Пуанкаре, порожденные специальными рациональными функциями на плоскости имеющими полюса только на предельном множестве этих групп. Наш подход по-существу является возвратом к идеям Ф.Клейна : строить мероморф-ные (р, q)— дифференциалы Прима, кратные заданному дивизору, сразу на компактной римановой поверхности, а затем поднимать их на накрыва-

ющую поверхность для компактной римановой поверхности. Предложенный в этом параграфе метод построения автоморфных (р, )-форм Прима подъемом (р, )-дифференциалов Прима также применим и к векторным расслоениям Прима над пространством деформаций любой конечно порожденной клейновой группы, имеющей инвариантную компоненту, с любым характером.

В параграфе 4.3 приведен конструктивный выбор базиса голоморфных абелевых дифференциалов любого порядка на гиперэллиптических римановых поверхностях, и построен базис голоморфных (р,

Обозначим через И_д множество классов конформной эквивалентности отмеченных гиперэллиптических римановых поверхностей рода д > 2. Тогда И_д С T_s. Множество И_д разлагается на классы гиперэллиптически эквивалентных поверхностей. Эти классы являются связными компонентами Ид в топологии Тейхмюллера, причем эти компоненты замкнуты и изолированы. Кроме того, топология Тейхмюллера на И_д совпадает с топологией, которая определяется расположением точек ветвления в стандартном представлении для гиперэллиптической римановой поверхности. Связные компоненты в И_д являются аналитическими подмногообразиями без особенностей в пространстве Т_д при д > 2.

Построенные в главе 2 базисы для векторных расслоений Прима Р₉(1), из голоморфных (p,q)— дифференциалов Прима, над Т_д х #om(F,C*) можно сразу ограничить на подмногообразие И_д и получить таким образом аналоги предложения 2.2.4, теорем 2.2.5, 2.2.6, заменив Т_д на Н^,, хотя Ид уже не будет односвязным.

Однако, учитывая две конкретные реализации для гиперэллиптических римановых поверхностей, можно вместо базиса Берса взять явный базис o>i, ...,и^ абелевых голоморфных q—дифференциалов из теоремы 4.3.2. Этот базис будет голоморфно зависеть от точек; ветвления в реализации таких поверхностей. Кроме того, нужные, для построения базиса голоморфных (p,q)— дифференциалов Прима, мультипликативные функции fj,j = -1, ...,d, для р можно выразить через явный канонический базис голоморфных абелевых дифференциалов (i,...,^ и через явные нормированные абелевы дифференциалы тр<э третьего рода с простыми полюсами в Р и Q на F с вычетами +1 и -1 соответственно. При этом такие мультипликативные функции будут голоморфно зависеть от характеров и от

точек ветвления гиперэллиптических римановых поверхностей.

При алгебро-геометрическом решении уравнений математической физики большую роль играют голоморфные дифференциалы Прима на гиперэллиптических римановых поверхностях для характеров ро, удовлетворяющих условию pi — 1.

Следствие 4.3.3. Векторное расслоение Прима Р₉(1), из голоморфных (po,q)— дифференциалов Прима, над Т_д х ро (и над ~Н._д х ро) будет аналитически эквивалентно тривиальному векторному расслоению над этой базой. Таким образом, существуют глобальные голоморфные сечения из голоморфных (ро,^)—дифференциалов Прима над Т_д (и над Н₅), где

q> 1,^:=1.

В главе 5 изучаются проективные структуры и группы монодромии линейных дифференциальных уравнений на компактной римановой поверхности.

В параграфе 5.1 исследуются группы монодромии для линейно-полиморфных функций на компактных римановых поверхностях рода д > 2, в связи со стандартной униформизацией этих поверхностей клейновыми (разрывными) группами. Найдены необходимые и достаточные условия, чтобы линейно-полиморфная функция на компактной римановой поверхности давала стандартную униформизацию этой поверхности. Эти условия имеют простой топологический смысл.

Проективной структурой на F называется атлас из карт на F, у которого отображения соседства будут дробно-линейными отображениями [58].

Определение 5.1.1. Локально мероморфная (многозначная) функция z на F, ветви которой преобразуются дробно-линейно относительно действия группы ni(F, О), называется линейно-полиморфной функцией на F.

В дальнейшем рассматриваются только локально однолистные линейно-полиморфные функции на F. Они играют большую роль в теории унифор-мизации и в теории пространств Тейхмюллера.

Поднятая на (U, 7г) линейно-полиморфная функция z на F является ме-роморфной (однозначной) функцией z = z(t) на U такой, что

z(At) = Az(t),t Є U, А Є Г,

где р(А) = А Є PSL(2,C) - группа дробно-линейных преобразований . Поэтому определен гомоморфизм р : Г —> PSL(2, С). И. Кра [73] назвал эту функцию (Г, р)— деформацией фуксовой группы Г в U, а Р. Ганнинг [58] - реализацией (разверткой) неразветвленной проективной структуры на F.

Для теории функций более подходящим представляется термин линейно-полиморфная функция, принятый в работе Д.А.Хейхала. К тому же он согласован с исторической традицией, идущей от А. Пуанкаре, П. Аппеля и Э. Гурса [35].

Из теории пространств Тейхмюллера Т_д [1] известно, что существует гомеоморфизм переводящий г = [F_T, {ajfc(r), 6u(r)}f₌₁] Є Т_д в группу Г_т из пространства нормированных отмеченных фуксовых групп на U. Поэтому можно писать

Г_г = {Л,(г) В,(г) : П[^(г),^(г)] = 1}.

Пусть z - линейно-полиморфная функция на F_T = U/V_T, тогда для ме-роморфной функции z = z(t) на, U имеем z(At) = Az(t),A Є Г_г, Л Є P5L(2, G). Отображение А —> А называется гомоморфизмом моно-дромии. Оно определяет отмеченную группу монодромии

M[z]= {1^),...,^(7-): йм^хМі-.ймДм] = 1},

т.е. M[z] есть точка в [PSX(2, С)]^2д. Обозначим через ;^> (внутренность) фундаментального многоугольника группы Г_г в U.

Фундаментальной мембраной R₂ для z(t) назовем риманов образ z{T_r). Она односвязна неразветвлена, хотя возможно, отображение z : Т_т —> z^Tt) будет п—значно, п > 2. Стороны мембраны отождествляются по Аі(т),...,Вд(т). Сумма углов при вершинах равна 2л^-. Существует эквивалентность связывающая линейно-полиморфную функцию z и её фундаментальную мембрану. Так если задана односвязная, неразветвлённая область R с указанными выше свойствами, то существует линейно-полиморфная функция -г такая, что R_z = R [64]. Явная конструкция, таких функций z по і? указана в. [64], причем она допускает обобщения, где вместо (/, Г_г) можно взять любую униформизацию (A,G) для компактной римановой поверхности рода д.

Лемма 5.1.1. Пусть w = w(t) - локально однолистная линейно-полиморфная функция на компактной римановой поверхности F рода д > 2 и w(U) ф С. Тогда Л4[іи] - неэлементарная, конечно порождённая клейнова группа с инвариантной компонентой w (U).

Теорема 5.1.2. Пусть w — w(t) - локально однолистная линейно-полиморфная функция на компактной римановой поверхности F рода д > 2. Тогда w = w(t) является униформизацией F тогда и только тогда, когда выполняются условия:

6. w(U) ф С,

7. w(U)/Ai[w] - компактная ориентируемая поверхность рода д.

Следствие 5.1.3. Пусть w = w{t) - локально однолистная линейно-полиморфная функция на отмеченной компактной римановой поверхности F рода д > 2 такая, что M[w] - отмеченная группа Кёбе сигнатуры а = (Л, s;z'i, ...,г'_т), |сг| = д. Если w(U) Ф О, то w == w(t) - униформизация F группой Кёбе сигнатуры а.

Заметим, что если w = w(t) такая, как в следствии 5.1.3, но w(U) = С, то утверждение следствия 5.1.3 не верно. Для доказательства нетрудно построить фундаментальную мембрану Яу, для w так, чтобы .M[iu] была такая же, как в следствии 5.1.3, а отображение w : Т —> R^, — w{T} было n-значно, п > 2.

Следствие 5.1.3 и предыдущее замечание показывают, что, как и классическая проблема выбора присоединенных параметров для униформиза-ции фуксовыми группами [64], проблема выбора присоединённых параметров для любой стандартной униформизации компактной римановой поверхности группами Кёбе имеет единственное решение, если линейно-полиморфная функция w имеет "ограниченный"образ круга, т.е. w(U) ф С. Следствие 5.1.3 включает в себя, как частные случаи, теоремы 3 и 5 из работы Д.А. Хейхала [64] для фуксовой группы и для групп Шоттки соответственно. Кроме того, получаем примеры групп монодромии, которые алгебраически устроены, как отмеченные группы Кёбе, но на w(U) они действуют неразрывно, хотя Л4[іу] - группа конформных гомеоморфизмов многолистной области w(U) на себя.

В этом параграфе также исследуется отображение монодромии р : T_aQ';—> М, где T_gQ - векторное расслоение из голоморфных квадратичных абелевых дифференциалов над пространством Тейхмюллера компактных римановых поверхностей рода д, М. - пространство отмеченных групп монодромии для рода д. Д.А. Хейхал в [64] показал, что отображение р не обладает свойством поднятия путей над Л4, но над частью Ai_q, соответствующей квазифуксовым униформизациям, оно обладает этим свойством. Естественно представляет интерес нахождение частей пространства М., над которыми отображение р обладает этим свойством. В конце параграфа 5.1 доказывается, что над любым пространством квазиконформных деформаций групп Кебе сигнатуры а = (Л, s;ii, ...,г_то), связанных со стандартной униформизацией компактной римановой поверхности рода д, отображение р обладает свойством поднятия путей.

В работе Д.А. Хейхала [65] начато исследование группы монодромии для

линейно-полиморфных функций на компактной римановой поверхности с помощью вариационных методов. Он нашел первую вариацию для группы монодромии. Затем К. Эрл [47] вывел формулу первой вариации с помощью квазиконформных отображений римановых поверхностей.

В параграфе 5.2 будет получена точная вариационная формула для группы монодромии линейного дифференциального уравнения второго порядка и первая вариация для решения уравнения Шварца на компактной римановой поверхности.

Функция 2q(t) = {z, t} = {z" / z')' — \{z" / z')² удовлетворяет соотношениям q(t) = q(Lt)L'(t)² для L Є Г, t Є U. Следовательно, q{t) задает квадратичный голоморфный абелев дифференциал на F = U/T.

Выберем произвольно г = r(t)dt²,q = q(t)dt² из Q(F). Рассмотрим нормированные решения z(t,h) и v(t,h),u(t,h) уравнения Шварца

{z, t} = 2[r(t) + hq(t)}

и линейного уравнения

u"{t) + [r(t) + hq{t)]u{t) = О,

где h Є С, \h\ < є, є - достаточно малое положительное число. Здесь z(t,h) = v{t, h)/u(t, h). Используя теорему Пуанкаре о малом параметре [7], теорему Коши-Ковалевской и ряды Хартогса [30], получим на U х {h : \h\ < є} сходящиеся ряды

u(t, h) = u(t) + ui(t)h + u₂(t)h² + ... + u_n(t)hⁿ + ...,

v(t, h) = v(t) + vi(t)h + v₂(t)h² + ...,

где u(t),v{t),Ui(t),Vi{t) - голоморфные функции на U. Введем следующие обозначения

^л"-^і(Ч«⁽(?))^=Лп-^2МА(^(5?))'

^{^)=^(:5(Г2;1(,)).^)=л(,м,}

Сначала получаем точную вариационную формулу для решений

СЙ)-(«МЙ?МЙ!Ь-"(:8Ь-

'(о 1 )^+h І ^A(^s)^ds+h2 J Ms)AWs+-+hⁿ f A_n.₂{s)A{s)d

«+...]

_:g)^'»^ftA(s)ds_-(5?)

Отсюда имеем точную вариационную формулу для элементов группы монодромии

( a_L(h) (3_L{h) \ _

\ lb(h) S_L(h) J -

^{= [}( 0 1 )+^hM^o)+h²A₁(Lt₀)^...+hⁿA_n.₁(Lt_Q)+...] Далее рассмотрим уравнение Шварца

c*_L(0) /?_L(0) 7l(0) 6_l(0)

{z,t} = 2[r(t) + J2h_jq_j(t)] j=i

и линейное уравнение

d u"{t) + [r(t) + J2 h_jqj(t)]u(t) = 0

j=l

на F — U/Y, где q\(t),...,qd(t) - базис в пространстве Q(F), h = (h\,..., hd) Є C^d, d = 3g — 3. Снова будем рассматривать только нормированные решения z(t,h) и v(t,h), u(t,h) для любого h такого, что \h\ = maxiє,є - достаточно малое положительное число. Повторяя предыдущие рассуждения, получим вариационные формулы

d ~t

z(t, h) = z(t, 0) + ^ hj / qj(s)[v(s) - z(t, 0)u(s)]²ds + o(h), j=\ ^

( cx_L{h) p_L(h) \ _

V lb(h) 6_L(h) J

= {( I I ) + E A*,k(Lto)h^k+Y, A_1]k(Lt₀)h^k+...+ Y^ An-iALto)h^k+...}-

^ ' \k\=\ |fc|=2 \k\=n

( <*_L{Q) /3_L(0)\ ' V 7L(0) S_l(0) ) »

4»;(fci,...,fc)№ = / J} A_n-._1]{ku^_k._i _kd){s)Mj(s)ds,

⁰ l

п > 1, kj > 0, k=(k_u..., A:_d), |fc| = &x + ... + &_d, /i^fc= /ij\../#,

AfiW = Ф) ( I^⁽⁵⁾ 2i₍₅₎ ) ,A₀,(t) = M_j{s)_dSy

при A; = (0,...,0,1,0,...,0), символ 1 стоит на j - том месте.

При выводе последней вариационной формулы была получена точная вариационная формула для решений

_{(ЗУІ )-<(!!> ^т-.+Е а-»ю*+-> (5;).}

^{4 V У 7 Ч} ' |Jt|=l |Jfc|=n ^{Ч К} ' '

Вариационные формулы показывают, как зависит группа монодромии и решение уравнения Шварца от присоединенных (аксцессорных) параметров (hi,...,hd).

Вышеизложенные результаты этой работы позволяют охарактеризовать данное направление как актуальное. Все основные результаты диссертации являются новыми; Используемые при доказательстве теорем специальные и новые методы могут быть применены в дальнейших исследованиях по геометрической теории функций комплексного переменного.

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались на следующих семинарах и конференциях : Всесоюзной конференции по теории функций, посвященной 100-ю со дня рождения Н. Н. Лузина( 10-19 сентября 1983 г., Кемерово); Всесоюзном семинаре "Актуальные вопросы комплексного анализа"(16-23 сентября 1985 г., Ташкент); Всесоюзном семинаре "Актуальные вопросы комплексного анализа"(5-10 июня 1989 г., Ташкент); Всесоюзной конференции по геометрии и анализу (14-16 ноября 1989 г., Новосибирск); Международной конференции по геометрии, посвященной Н. И. Лобачевскому (август 1992 г., Казань); Всесоюзной школе "Алгебра и анализ"(1993г., Байкал); International conference on discrete groups and 3-manifolds (Bielefeld State University, Germany, June 1996 г.); Второй Сибирский Конгресс по Прикладной и Индустриальной Математике (Новосибирск, ИНПРИМ-96); Третий Сибирский Конгресс по Прикладной и Индустриальной Математике (Новосибирск, ИНПРИМ-98); Международной конференции по анализу и геометрии, посвященной 70-летию академика Ю. Г. Решетняка (Новосибирск, 1999 г.); Международной конферен-

ции по геометрии, посвященной 70-летию профессора В. А. Топоногова (Новосибирск, 2000 г.); Четвертый Сибирский Конгресс по Прикладной и Индустриальной Математике (Новосибирск, ИНПРИМ-2000); Международной конференции, посвященной 100-летию академика М. А. Лаврентьева (Новосибирск, 2001 г.); Second Russian-German Geometry Meeting dedicated to 90-anniversary of A. D. Alexandrov, Euler International Mathematical Institute, St. Petersburg, June 2002; Всероссийской конференции "Математические методы в механике", посвященной 70-летию член-корр. РАН В. Н. Монахова ( 8-13 августа, 2002 г., Барнаул); Ben-Gurion University, Beer-Sheva, Israel (семинар под руководством профессора В. М. Гольдштейна) -1999 г.; Bar-Ilan University, Tel-Aviv, Israel (объединенный семинар Института Математики) - 1999 г.; Институт математики СО РАН (семинар по геометрии, топологии и их приложениям под руководством профессора И. А. Тайманова) - 2002 г.; Омский государственный университет (геометрический семинар под руководством профессора В. Н. Берестовского) - 2002 г.; Красноярский государственный университет (семинар по комплексному анализу под руководством профессора А. К. Циха) - 2002 г.; Казанский государственный университет (городской семинар по геометрической теории функций под руководством профессоров Л.А. Аксентьева и СР. Насыро-ва) - 2002 г.; Институт математики СО РАН (объединенный семинар отдела геометрии и анализа под руководством академика Ю. Г. Решетняка) - 2002 г.; Кроме того, все результаты работы в различное время докладывались в Институте математики СО РАН (семинар отдела теории функций под руководством профессоров П. П. Белинского, С. Л. Крушкаля; семинар по геометрическим структурам на многообразиях и орбифолдах под руководством профессора А. Д. Медных).

Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (грант 99-01-00630).

Пользуясь случаем автор выражает глубокую благодарность своему научному консультанту профессору А.Д. Медных за постоянную дружескую поддержку и конструктивные обсуждения основных результатов диссертации.

Топологические и аналитические свойства группы характеров для фундаментальной группы компактной поверхности

В теории мультипликативных функций и дифференциалов Прима на компактной римановой поверхности F рода д 2 большую роль играют множество Lg несущественных и дополнительное к нему множество существенных характеров [34; 52; 59; 37]. В этом параграфе будет дана харак-теризация группы характеров Hom(TTi(F,0),C ) и ее специальных подгрупп Lg и Lg (Lg - множество всех комплексно-сопряженных характеров к Lg). Кроме того, исследуется зависимость несущественного и нормированного сомножителей, на которые по теореме Фаркаша - Кра ([52, с. 130]) единственным образом разлагается любой характер, от самого характера. Оказывается, что указанная зависимость является только комплексно-гармонической (приводятся явные формулы), а пересечение Lg П Lg будет дискретной подгруппой. Предлагается также другое явное разложение любого характера, при котором, в отличии от разложения Фаркаша - Кра, сомножители зависят от самого характера комплексно-аналитически. Это важно при построении теории векторных расслоений Прима и Ганнинга над произведением пространств Тейхмюллера и ifom(7Ti(F), C )\(Lg U Lg). Обозначим через Яот(Г, С ) множество всех одномерных комплексных характеров группы Г, т. е. всех гомоморфизмов р : Г — С . Каждый характер р однозначно определяется своими значениями на образующих группы Г. Таким образом, любой характер р однозначно задается строкой (p(Ai),...,p(Ag),p(Bi),...,p(Bg)) Є [С ]25, и множество Яош(Г,С ) отождествляется с пространством строк [С ]29. Характер р называется нормированным, если он принимает все свои значения на единичной окружности. Множество таких характеров будем обозначать [51] д. Введем на Яот(Г, С ) естественные операции умножения и взятия обратного элемента: если р,рі Є Нот(Г, С), то 1)р-рі #от(Г,С ), где (р-рі)(А) = р(А) -рі(Л), А Є Г; 2)/.-1 Є Яот(Г,С ), где.(р-1)(А) = (р(Л))"1, А Є Г. Зададим топологию на #от(Г, С ) через задание е-окрестностей для до = 1, как множеств вида {р : \p(Nj) — 1 e,j — 1,...,2 ), и є-окрестностей для фиксированного характера pi, как множеств вида Ясно, что операции будут непрерывными в указанной топологии и Нот(Г, С ) является топологической абелевой группой. Зададим на Яот(Г,С ) комплексно-аналитическую структуру. При фиксированных образующих группы Г, имеем отображение Фі по правилу Отображение Фі задает глобальную карту на Яот(Г,С ) и задает биголоморфный изоморфизм групп Яогв(Г, С ) и [С ]25, где в [G ]2ff введена операция покоординатного умножения векторов. Нетрудно видеть, что переход к другому множеству образующих в группе определяет другое отображение Фг из Нот(Г, С ) на [С ]25, но эти отображения Фі и-Фг отличаются на биголоморфный автоморфизм группы [С ]25. Таким образом, группа Яот(Г, С ) становится комплексно-аналитическим многообразием размерности 2д, или комплексно-аналитической группой Ли размерности

Отметим, ещё дополнительно, связь элементов р из Яот(Г, С ) с голоморфными плоскими расслоениями на F [59]. Каждый характер р Є Яот(Г, С ) есть плоский фактор-автоморфности ранга один для действия Г на U, который задаёт плоское голоморфное расслоение на F. Действительно, из соотношения p{ST) = p(S)p(T) для всех 5, Т Є F получаем фактор-автоморфности р : Г х U —) С , определяемый по правилу р(Т, z) = р(Т), т.е. не зависящий от z из U. Рассмотрим тривиальное голоморфное линейное расслоение f = Ux С над U и группу Г голоморфных автоморфизмов Г для І таких, что f{z,t) = {Tz,p{T)t), z eU,T T,t ЄС. Тогда фактор-расслоение f/Г = f есть плоское голоморфное линейное расслоение на U/T — F, и его фактор-автоморфности равен р. Обозначим через Ьд множество точек р Є #от(Г, С ) соответствующих плоским голоморфным линейным расслоениям на F, которые аналитически эквивалентны тривиальному голоморфному линейному расслоению на F [59; 60]. Имеется другое описание для группы Яот(Г, С ). Для этого определим комплексно - аналитическую структуру на Нот (Г, С ), задав координаты 3 : С2д — #ога(Г,С ) по правилу С2 Э (х,у) - рх,у Є Яот(Г,С ), где Рзг,у(А ) = exp2irixj, pXiy(Bj) = exp2niyj,j = Г,....,д. Отображение 3ft : (ж, у) И- рХіУ сюръективный гомоморфизм, имеющий ядро Z25 в С25. По теореме о гомоморфизмах групп имеем биголоморфный изоморфизм Заметим, что отсюда следует изоморфизм групп а также некомпактность и связность (но не односвязность!) множества Яот(Г,С ). Множество Lg, как показано в [59], совпадает с множеством несущественных характеров рХлУ для F, где Xj - с,,уу = ELi fe i = 1,-,9-Здесь с = (сі,..., Сд) - любая точка из С5. Поэтому Ьд = ЩЬо), где является д—мерным комплексным векторным подпространством в С2д. Если характер р Є Яот(Г, C )\Lg, то он может быть представлен в виде р = рх,у для Xj = Cj, yj = 5Zfc=i KjkCk + dj, где хотя бы один dj $:Z,j — 1,..., . Эти характеры называются существенными характерами для Г. Предложение 1.2.1. Отображение 3ft есть голоморфная биекция из LQ па. Lg. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Покажем, что 3 инъективно. Действительно, если рХуУ = рХ ,у , то х — х-\-к,у = у + n,k,n Zg и у = Clx = Q(x + к). Значит С1(х + к) = у = у + п = Qx + п и1к = п. Последнее эквивалентно следующим двум вещественным равенствам: (Re Q)к = n,(Im Q)k = 0. Так как Im ft - невырожденная матрица, то по теореме из линейной алгебры к = 0. Тогда из условия (Re Q)k = п следует, что n = 0. Отсюда х = х,у = у. Отображение 3 будет сюръективно по определению, а также голоморфно, так как рХіУ зависит аналитически отхбС5 и матрица ft фиксирована. Предложение доказано. Следствие 1.2.2. Группа Lg - односвязное подмногообразие в Яога(Г, С ) комплексной размерности д. Обозначим через Lg множество комплексно-сопряженных характеров к характерам из Lgt a. 1.- тривиальный характер. Предложение 1.2.3; Подгруппы Lg и Lg являются комплексно-аналитическими #—мерными подгруппами Ли в группе Ли Нот(Т, С ), а будут комплексно-аналитическими 2д—мерными подпространствами в комплексно-аналитическом пространстве Яот(Г, С ), причем они инвариантны относительно биголоморфного автоморфизма В : /э t- /o-1, где р Є Яот(Г, С ). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Если р Є Lg (несущественный характер) с параметрами (сі,...,сд) Є С5, т. е. р(Лк) = exp2irick} р(Вк) = exp2ni(Y =i kjCj), к = Г,—, 7, тогда р 1 имеет параметры (—сі,..., — сд) и также несущественный характер; поэтому р 1 Є Lg. Если р - существенный характер с параметрами (ci,..., с5; c?i,..., d5), где некоторый dk Z, тогда р-1 тоже существенный характер с параметрами (-съ..., -сд] -di,..., -dg), где некоторый (-djt) Z. Поэтому отображение В : р — р-1 инвариантно на Lg и также на Нот(Г,С )\Ьд и на Яот(Г,С )\1, так как В = В 1. Это отображение В будет, очевидно, голоморфной биекцией множеств Lg, Яот(Г, С )\Ьд и Яот(Г, С )\1 на себя соответственно. Кроме того, если pi и р2 из Lg с параметрами (сп, ...,ci5) и (сгь .-,с2д) соответственно, тогда Lg Э рірг — r = (j-)(-h) Є 5, где последний элемент имеет параметры (—Си — сгі,..., —ciff — С25). Следовательно, Б би-голоморфный автоморфизм для подгруппы Ли-Ьд.. Множество Lg =- {р Є Яот(Г, С ) : р Є Lg} есть образ множества {(х у) Є CJxGJ : 7/ = Qx} относительно отображения 9, и является подгруппой Ли, так как, если р Є Lg имеет параметры (ci,...,cff) Є GJ, то р(Ак) = ехр2пі(-ск),р(Вк) = ехр27гг(Х =і 7(-cj)), и также (рГ)(/) = Р1Р2, (рГ)-1 = (рї"1) когДа Pi» Р2 Є L5. Затем Lg будет #—инвариантно, так как Lg Э р — = = - () Є Lg, и множества Яот(Г, C )\L5 и Яот(Г, C )\(Lff U L5) будут —инвариантными, так как Б = Z3-1. Предложение доказано. Замечание Г.2.Г. Множества имеют реализацию в [С ] д в виде областей, которые не являются областями голоморфности. Это есть следствие того, что Lg и LgULg имеют реализацию в [С ] д в виде неограниченных открытых #—мерных подмножеств, имеющих комплексную коразмерность д,д 2, в 2д—мерном комплексном пространстве. В тоже время, Яотп(Г, С ) изоморфна [G ] ff, а значит является многообразием Штейна и областью голоморфности [б; 30; 40]. Определим еще одно отображение ф : Яот(Г, С ) - J(F) — Cg/L(F), где L(F) - целочисленная решётка в G5, порожденная столбцами единичной матрицы I порядка д и столбцами матрицы S7, следующим образом. Для р Є Яот(Г, С ) существует непостоянная мероморфная мультипликативная функция /для характера р. Тогда положим ф(р) = р((/)) Є J(F), т.е. это образ дивизора (/) степени нуль по отображению Якоби р : DWQ(F) — CgmodL(F) в многообразии Якоби «7(F), причем это отображение не зависит от выбора базисной точки. Предложение Г.2.4 [52, с.134]. Отображение ф задаёт изоморфизм фактор-группы Нот(Т,C )/Lg на отмеченное многообразие Якоби J(F) для отмеченной компактной римановой поверхности F рода д 2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Докажем, что корректно определенный групповой гомоморфизм из Нотп(Г, С ) в J(F). Если для данного р существуют две не равные тождественно нулю мультипликативные функции /і и /г» то /= /і//г - однозначная мероморфная функция на компактной римановой поверхности F. Поэтому (/і) линейно эквивалентен (/г), а значит Ф(Р) = ((/i)) = Ч (Ш)- Затем

Базис голоморфных дифференциалов Прима и абелевы дифференциалы третьего рода на переменной компактной римановой поверхности

Оказывается, что указанная зависимость является только комплексно-гармонической (приводятся явные формулы), а пересечение Lg П Lg будет дискретной подгруппой. Предлагается также другое явное разложение любого характера, при котором, в отличии от разложения Фаркаша - Кра, сомножители зависят от самого характера комплексно-аналитически. Это важно при построении теории векторных расслоений Прима и Ганнинга над произведением пространств Тейхмюллера и ifom(7Ti(F), C )\(Lg U Lg). Обозначим через Яот(Г, С ) множество всех одномерных комплексных характеров группы Г, т. е. всех гомоморфизмов р : Г — С . Каждый характер р однозначно определяется своими значениями на образующих группы Г. Таким образом, любой характер р однозначно задается строкой (p(Ai),...,p(Ag),p(Bi),...,p(Bg)) Є [С ]25, и множество Яош(Г,С ) отождествляется с пространством строк [С ]29. Характер р называется нормированным, если он принимает все свои значения на единичной окружности. Множество таких характеров будем обозначать [51] д. Введем на Яот(Г, С ) естественные операции умножения и взятия обратного элемента: если р,рі Є Нот(Г, С), то 1)р-рі #от(Г,С ), где (р-рі)(А) = р(А) -рі(Л), А Є Г; 2)/.-1 Є Яот(Г,С ), где.(р-1)(А) = (р(Л))"1, А Є Г. Зададим топологию на #от(Г, С ) через задание е-окрестностей для до = 1, как множеств вида {р : \p(Nj) — 1 e,j — 1,...,2 ), и є-окрестностей для фиксированного характера pi, как множеств вида Ясно, что операции будут непрерывными в указанной топологии и Нот(Г, С ) является топологической абелевой группой. Зададим на Яот(Г,С ) комплексно-аналитическую структуру. При фиксированных образующих группы Г, имеем отображение Фі по правилу

Отображение Фі задает глобальную карту на Яот(Г,С ) и задает биголоморфный изоморфизм групп Яогв(Г, С ) и [С ]25, где в [G ]2ff введена операция покоординатного умножения векторов. Нетрудно видеть, что переход к другому множеству образующих в группе определяет другое отображение Фг из Нот(Г, С ) на [С ]25, но эти отображения Фі и-Фг отличаются на биголоморфный автоморфизм группы [С ]25. Таким образом, группа Яот(Г, С ) становится комплексно-аналитическим многообразием размерности 2д, или комплексно-аналитической группой Ли размерности Отметим, ещё дополнительно, связь элементов р из Яот(Г, С ) с голоморфными плоскими расслоениями на F [59]. Каждый характер р Є Яот(Г, С ) есть плоский фактор-автоморфности ранга один для действия Г на U, который задаёт плоское голоморфное расслоение на F. Действительно, из соотношения p{ST) = p(S)p(T) для всех 5, Т Є F получаем фактор-автоморфности р : Г х U —) С , определяемый по правилу р(Т, z) = р(Т), т.е. не зависящий от z из U. Рассмотрим тривиальное голоморфное линейное расслоение f = Ux С над U и группу Г голоморфных автоморфизмов Г для І таких, что f{z,t) = {Tz,p{T)t), z eU,T T,t ЄС. Тогда фактор-расслоение f/Г = f есть плоское голоморфное линейное расслоение на U/T — F, и его фактор-автоморфности равен р. Обозначим через Ьд множество точек р Є #от(Г, С ) соответствующих плоским голоморфным линейным расслоениям на F, которые аналитически эквивалентны тривиальному голоморфному линейному расслоению на F [59; 60]. Имеется другое описание для группы Яот(Г, С ). Для этого определим комплексно - аналитическую структуру на Нот (Г, С ), задав координаты 3 : С2д — #ога(Г,С ) по правилу С2 Э (х,у) - рх,у Є Яот(Г,С ), где Рзг,у(А ) = exp2irixj, pXiy(Bj) = exp2niyj,j = Г,....,д. Отображение 3ft : (ж, у) И- рХіУ сюръективный гомоморфизм, имеющий ядро Z25 в С25. По теореме о гомоморфизмах групп имеем биголоморфный изоморфизм Заметим, что отсюда следует изоморфизм групп а также некомпактность и связность (но не односвязность!) множества Яот(Г,С ). Множество Lg, как показано в [59], совпадает с множеством несущественных характеров рХлУ для F, где Xj - с,,уу = ELi fe i = 1,-,9-Здесь с = (сі,..., Сд) - любая точка из С5. Поэтому Ьд = ЩЬо), где является д—мерным комплексным векторным подпространством в С2д. Если характер р Є Яот(Г, C )\Lg, то он может быть представлен в виде р = рх,у для Xj = Cj, yj = 5Zfc=i KjkCk + dj, где хотя бы один dj $:Z,j — 1,..., . Эти характеры называются существенными характерами для Г. Предложение 1.2.1. Отображение 3ft есть голоморфная биекция из LQ па. Lg. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Покажем, что 3 инъективно. Действительно, если рХуУ = рХ ,у , то х — х-\-к,у = у + n,k,n Zg и у = Clx = Q(x + к). Значит С1(х + к) = у = у + п = Qx + п и1к = п. Последнее эквивалентно следующим двум вещественным равенствам: (Re Q)к = n,(Im Q)k = 0. Так как Im ft - невырожденная матрица, то по теореме из линейной алгебры к = 0. Тогда из условия (Re Q)k = п следует, что n = 0. Отсюда х = х,у = у. Отображение 3 будет сюръективно по определению, а также голоморфно, так как рХіУ зависит аналитически отхбС5 и матрица ft фиксирована. Предложение доказано. Следствие 1.2.2. Группа Lg - односвязное подмногообразие в Яога(Г, С ) комплексной размерности д. Обозначим через Lg множество комплексно-сопряженных характеров к характерам из Lgt a. 1.- тривиальный характер. Предложение 1.2.3; Подгруппы Lg и Lg являются комплексно-аналитическими #—мерными подгруппами Ли в группе Ли Нот(Т, С ), а будут комплексно-аналитическими 2д—мерными подпространствами в комплексно-аналитическом пространстве Яот(Г, С ), причем они инвариантны относительно биголоморфного автоморфизма В : /э t- /o-1, где р Є Яот(Г, С ). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если р Є Lg (несущественный характер) с параметрами (сі,...,сд) Є С5, т. е. р(Лк) = exp2irick} р(Вк) = exp2ni(Y =i kjCj), к = Г,—, 7, тогда р 1 имеет параметры (—сі,..., — сд) и также несущественный характер; поэтому р 1 Є Lg. Если р - существенный характер с параметрами (ci,..., с5; c?i,..., d5), где некоторый dk Z, тогда р-1 тоже существенный характер с параметрами (-съ..., -сд] -di,..., -dg), где некоторый (-djt) Z. Поэтому отображение В : р — р-1 инвариантно на Lg и также на Нот(Г,

Базис пространства мероморфных дифференциалов Прима, кратных дивизору, на переменной компактной римановой поверхности

Зафиксируем дивизор D = R\...Ri,l 1, на FQ. Используя глобальное вещественно-аналитическое сечение Эрла s для Фи локально голоморфные сечения s для Ф над достаточно малыми окрестностями /([до]) в Тд, получим глобальное вещественно-аналитическое сечение из дивизоров D[p] = ws \D) = Ri[fi]...Ri[fj] степени І над Тд и локально голоморфные сечения из дивизоров D[n] = w &\(D) степени / над /([до]) соответственно. Обозначим через Р9( ) векторное расслоение Прима над Тд х Нот(Г, С ), слой которого над точкой ([//], р) состоит из мероморфных (/9, )-дифференциалов Прима ф — f {z)dzq на F , кратных дивизору D[fj] степени I. Теорема 2.4.1. Для любых д 2, дивизора D = R\...Ri на Fo, I 1, векторное расслоение Прима Pi(l/D) является голоморфным векторным расслоением ранга d = д — 1 + /над Тд х #отп(Г, С ). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для любого характера р по теореме Римана-Роха для характеров имеем равенство ip(l/D) = rp-i{D) — degD l + д — 1 = I + д — 1 = d, так как degD = I 0. Построим базис из мероморфных дифференциалов Прима для р на FM, кратных дивизору 1/D[p], в виде f\u ,..., fdU) над U([po]) х U(po), который голоморфно зависит от р и от [//], и вещественно-аналитично от D[p]. Здесь ш = uj(z)dz - голоморфный абелев дифференциал на F с простыми нулями Qi[/z],..., Qm[t4 m = 2g — 2, отличными от i?i[/x],..., Ri[p], который голоморфно зависит от [ц], а мультипликативные функции fj имеют полюса только в точках і?і[д],..., i?/[/i],Qi[/ ],..., фт[А ] J = 1?..., d. Выбор такого дифференциала ш возможен так как каноническая линейная система Z[/i] дивизоров для Fp не имеет базисных точек на F . Построим мероморфную мультипликативную функцию /і для р на FM с полюсами R\[p],..., Ri[p], Qi[pj\,..., Qm[p]. По теореме Абеля для характеров нули Pi,..., P2g-2+i этой функции удовлетворяют уравнению в многообразии Якоби ./(F ). Последнее равенство перепишем в виде Отметим, что т + І — д д — 1. Выберем дивизор Di = Pff+i...Pm+/ (постоянное сечение для Sm+l 9[Vg] над t/([A o])) на FM, носитель которого не содержит точек R\[p],..., Ri[p],Qi[p], ...,Qm[p\, такой, что правая часть в ( ) не принадлежит особому множеству И [//] в J(FM) для [р] Є U([po\), р Є U(po). Тогда существует дивизор являющийся единственным решением проблемы обращения Якоби для уравнения ( ) при выбранном дивизоре D\, т.е. Таким образом, f\U) будет мероморфным дифференциалом Прима для р на FM, кратным 1/D[р], который голоморфно зависит от [р] Є U([po\) и от Р Є U(po). Теперь нужно построить d = I + д — 1 2 линейно независимых над С мероморфных мультипликативных функций /i,..., / на F из пространства Lp(l/i?iM...i?jMQ1[ ]...Qm[/2]), причем так как I + m 2g — 2. Для этого будем выбирать неэквивалентные дивизоры Dj = Pg+ij...Pm+ij с попарно непересекающимися носителями на FM такие, что для [ ] Є U([po\) С Тд, р Є U(po) С Нотп(Г, С ). А значит, для каждого j = 1,...,d проблема обращения Якоби для ( ) будет иметь единственное решение Dj = Dj([p],p) Є [F g при заданном дивизоре Dj, т.е. Функции fj имеют дивизор нулей (fj)0 — DjDj, причем D j неэквивалентен D\ (к D j ф D\) при і ф 3,1,3 = 1, ...,d. Если /і = с/2, с ф О, с Є С, то нули для /і и /г совпадают и D\D\ = D2D2. Отсюда, учитывая выбор )ь )2, имеем включения D2 С HDJC D2. НО degD[ = degD 2 = g, a degD\ = degD2 = m-\-l — g = g + l — 2.

Для / 3 имеем 7-М—2 7 + 1 # и получаем противоречие. Для / = 2 имеем Dx = 2, - 2 = - ь и рассмотрим дивизор D = D\D2 = D2D2 нулей для /2. Он содержит lg = s — 1 свободных точек в силу выбора дивизоров Di,D2 Є [ . По [52, с. 125] получим, что Поэтому существует голоморфный абелев дифференциал и ф 0, (ш) D. Но i(D) = 0 так как degD = 2g 2д — 2. Противоречие. Для I = 1 положим D\ — D2Dz,D 2 = D1D4 и D2DzD\ — D\D D2. Отсюда Dz = 4 как дивизоры степени 1. Снова рассмотрим D = D\D iDz дивизор нулей /і и f2. Он имеет 1д — 2 = s — 1 свободных точек в силу выбора D\,D2. Снова по [52, с. 125] Но i(D) — 0 так как degD = 2д — 2 + 1 2д — 2. Противоречие. Таким образом, /і и f2 для р на Fp при указанном выборе D\, D2, линейно независимы над G. Далее, уточняя выбор дивизоров-Dj,j = 1, ...,d, получим, что функции /ь --ч fd для р на F будут линейно независимы над С. Для этого учтем, что т ненулевой определитель; Dd = Pg+i,dPg+2,d-pm+i,d так, чтобы матрица fj(Pg+n4)J, п = 1,2,..., d-1, имела ненулевой определитель. Теорема доказана. Замечание 2.4.1. При / = 1 ограничение расслоения Pi(1/Pi) на Тд х Lg совпадает с Рі,о(1) над TgxLg и имеет -мерный слой над любой точкой (М,р), состоящий из голоморфных дифференциалов Прима ф — ф(z)dz для несущественного характера р на F . При / = 1 ограничение расслоения Pi(l/Pi) ранга д на Тд х (Hom(V,G )\Lg) содержит Pi,o(l) над Тд х (#отп(Г, C )\L5), как под-расслоение ранга д — 1. Теорема 2.4.2. Для любых д 2, дивизора Z) = Ri...Ri на Fo, / 1, 7 2, векторное расслоение Прима P9(l/D) является голоморфным векторным расслоением ранга d — (2q — 1)(д -1) + / над Тд х #от(Г, С ). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для любого характера р по теореме Римана-Роха имеем равенство %M(l/D) = (2q-l)(g-l)-degD-l + r((f)Z 1D) = (2q- 1)(д- 1) + / = d, так как deg(f)Zq 1D = (- l)(2g — 2) + / 0, где / - мультипликативная функция для р и deg(f) = 0. Построим базис из мероморфных (/?, q) —дифференциалов Прима на F , кратных дивизору l/Dj/t], в виде fitu,...,fdu над {/([до]) х U(po) С Тд х Нотп(Г,С ), голоморфно зависящий от р и от [д], и вещественно-аналитически зависящий от D[p]. Пусть из.— u(z)dzq - голоморфный абелев q—дифференциал на Fp с простыми нулями Qi[/x],..., Qm[f4 rn — (2 -2), отличными от ЯІ[/І], ..., Ri[p], который голоморфно зависит от [р] Є U([po]). Этот выбор возможен так как каноническая линейная система Z9[//] дивизоров голоморфных абе-левых q—дифференциалов на F не имеет базисных точек на FM. Построим мероморфную мультипликативную функцию /і для р с полюсами Qi[p],..., Qm[p], Ri[p],..., Ri[p] на F . Нули PjJ = 1,..., m+/, этой функции удовлетворяют уравнению в многообразии Якоби /(FM). Последнее равенство перепишем в виде где m + / — g 3(д — 1) д — 1. Выберем дивизор Di = P +i-.-Fm+j (постоянное сечение для Sm+l 9[Vg] над U([po])) на F , носитель которого не содержит точек R\[/І], ..., Ri[p],Qi[p],...,QmM такой, что правая часть в ( ) не принадлежит W [/z] в J{F ) для [р] Є /([й)]) Р U(po). Тогда существует единственное решение дивизор D1 = D\([p\,p) = Р\...Рд Є [F g для ( ) при заданном D\. Поэтому f\uj будет мероморф-ным (p,q)— дифференциалом Прима на FM, кратным 1/D[p], который голоморфно зависит от [р] Є С ([до]) и от р Є U(po). Теперь нужно, как в доказательстве теоремы 2.4.1, построить d линейно независимых над С мероморфных мультипликативных функций /і,..., /а на Fy, из пространства Lp(l/Ri[fi]...Ri[fj]Qi[n]...Qm[ ]), размерность которого равна d — (2q — 1){д — I) + Z. Для этого будем выбирать неэквивалентные дивизоры Dj = Рд+ij...Pm+ij с попарно непересекающимися носителями на FM такие, что проблема обращения Якоби для каждого j = 1,..., с? имеет единственное решение Dj = D j([p],p) Є [Fj5 при заданном дивизоре Dj Є [FJm+i_5, [p] Є U([p0]) и p Є U(po) С Яот(Г,С ). Функции /j имеют дивизор нулей (/j)o = D jDjy причем D{ неэквивалентен D j {И D\ ф D j) при і ф j,i,j = І,..., d. Если /і = с/г, с ф 0, с Є С, то DXD\ = D2D2, и имеем включения D2 С D[ и Di С 2- Но т + I - д Зд - 3 д при д 2,q 2. Противоречие. Затем учитывая, что т + / — # = 2q(g — 1) + Z — д = d— 1 получим; как в доказательстве предыдущей теоремы, что функции /і, ...,/ / - линейно независимы над С. Теорема доказана. Замечание 2.4.2. В [49] доказано существование глобальных голоморфных сечений s для 7гп : Sn(Vg) — Т5 при п 2д — 2, проходящих через любую заданную точку. Поэтому на каждой поверхности F существует дивизор D[p] степени п, который голоморфно зависит от [fi]. Поэтому построенный, при I 2д — 2 в теоремах 2.4.1 и 2:4.2, базис также будет голоморфно зависеть от дивизора D[p]. При I,1 I 2д — 2, такой базис глобально вещественно-аналитически зависит от D[p], а также локально голоморфно зависит от -D[/i]. Следствие 2.4.3. При любых д 2,д 1, D — R\...Ri на Fo, I = (2д — 2)к, к 1, векторное расслоение Прима Pq(l/D) является голоморфным векторным расслоением ранга d = (2q — 1)( - 1) + (2д — 2)к над Т5 х Яот(Г,С ). Теорема 2.4.4: Векторное расслоение Прима Pq(D) является эрмитовым голоморфным векторным расслоением ранга d = (2q — 1)( — 1) — I над Tff х Яот(Г,С ), если д 2,D = Ri...Ri на Fo, q 2 и выполнено условие 2(д — 1)(д — 1) / 1. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для любого характера р по теореме Римана-Роха имеем равенство

Периоды замкнутых, гармонических и голоморфных дифференциалов Прима на компактной римановой поверхности. Общая формула для билинейного спаривания

Периоды многозначных мультипликативных гармонических дифференциалов Прима на компактной римановой поверхности рода д 2 являются важными трансцендентными инвариантами, связанными с римановой поверхностью. Ф. Прим, Р. Рост [84] начали построение теории гармонических и голоморфных интегралов Прима только для нормированных характеров фундаментальной группы компактной римановой поверхности. Дж. Кемпф [70] и Э. Джеблоу [67] получили ряд свойств периодов голоморфных дифференциалов Прима для нормированных характеров и для характеров, которые на половине образующих фундаментальной группы равны единице. В параграфе 3.2 изучаются классы периодов замкнутых, гармонических и голоморфных дифференциалов Прима на компактной римановой поверхности любого рода д 2 и для любых характеров ее фундаментальной группы. пі. Периоды замкнутых дифференциалов Прима. Лемма 3.2.1 ([67, с.ЗЗО]). Любой дифференциал Прима ф на F класса С00 для р единственно разлагается на сумму дифференциала Прима фі типа (1,0) на F класса С для р и дифференциала Прима ф2 типа (0,1) на F класса С для р. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. На U дифференциал Прима ф единственно разлагается на сумму дифференциала ф\{г)в,г типа (1,0) и дифференциала ф2(г)сг типа (0,1) : ф = ф\{г)йг + ф2(г)(іг, z Є U. Покажем, что они также являются дифференциалами Прима для р. При фиксированном Т Є Г имеем равенство Отсюда получаем, что ф\{х) 1г — р(Т) 1фі(Тг)сІ(Тг) и ф2(г)іїг = p{T) 2(Tz)dTz1T Є Г. Лемма доказана. Пусть ф - замкнутый дифференциал Прима на F класса С для р. Проинтегрировав равенство, из определения, от фиксированной точки ZO,K(ZQ) = О, до zEU, получим, что где /(z) - интеграл Прима на односвязном круге U для дифференциала Прима 0, который определяется с точностью до аддитивного слагаемо го. Отсюда для Т Є Г верно равенство f{Tz) = p(T)f(z) + ф]і2о(Т), где Ф/,г0(Т) = f(Tzo) — p(T)f(zo). Таким образом, каждому Т Є Г соответствует число ф/ 0(Т), а значит, определено отображение ф/ го : Г — С. Это отображение называется отображением периодов для ф. Оно зависит от выбора интеграла Прима f(z) на U и базисной точки ZQ. ЕСЛИ /I( ) = /(-?) + с - другой интеграл Прима для того же дифференциала Прима ф, то ф/и:о{Т) = fi(Tz0) -p(T)h(z0) = ф Т) + са(Т),Т Є Г. Легко проверить, что оба отображения ф/у2о и ф/1 го удовлетворяют ко циклическому соотношению / (5Т) = ф(8)+р(Б)ф(Т), 5, Т Є Г. Это означает, что они принадлежат пространству Zl(T, р), и представляют один и тот же класс периодов [ф] из Н1(Г,р) для дифференциала Прима ф на F. Для замкнутого дифференциала

Прима ф можно определить так называемые классические периоды. Для Т Є Г соответствующий ему классический период фх0(Т) — fz z ф и верно равенство fz " ф = f, df(z) = f(Tz0) - /(20) = ф},20{Т) - f(z0)a(T). Отсюда Следовательно, классические периоды не зависят от выбора интеграла Прима f(z) для дифференциала Прима ф при фиксированной базисной точке ZQ. Легко видеть однако, что фг0{Т) зависит от выбора базисной точ-ки ZQ так, как J 1 ф = fz ф - а(Т) Ц ф. Из последней формулы следует, что ф/,21(Т) = ф/ 0(Т), т.е. Ф/,г0(Т) не зависит от выбора ZQ при фиксированном интеграле Прима f(z) для дифференциала Прима ф на F. Затем приходим к равенству Отсюда получим, что фБгоСП = фго{Т) - а(Т)ф2о(8), S,T Є Г. Следовательно, отображения вида Т — ф/і2о(Т) (периоды по Ганнингу /ті [60]) и вида Т - J ф = Фг0{Т) (классические периоды [67]) определяют один и тот же класс периодов [ф] Є Я1 (Г, р) для дифференциала Прима ф на F для р. Поэтому корректно определено С—линейное отображение р : ф — [ф] из векторного пространства замкнутых дифференциалов Прима ф на F для р в векторное пространство Я1 (Г, р). Кроме того, выбирая /(-2) = 0, получаем фго(Т) = Уг"Ф = «АдгоСП» что классические периоды совпадают с периодами по Ганнингу. Наконец, для любых А, В, С, D Є Г имеем и (/ ([А, -В][С, ]) = ф([А, В])+ф([С, D]), т.е. на коммутаторах классические периоды равны периодам по Ганнингу и не зависят ни от выбора ZQ, ни ОТ выбора интеграла Прима для дифференциала Прима. При этом ф : [Г, Г] — С (ограничение ф на коммутант [Г, Г] группы Г) является гомоморфизмом из группы [Г, Г] в (С,+) и ф{Т) = 0 для Г Є [Г ,Ґ],Г = [Г, Г] Г, так как для любых А, В, С, D Є Г имеем Назовем дифференциал Прима ф на F класса С для р мультипликативно точным дифференциалом на F для р, если ф = df(z) и f(Tz) = p(T)f(z),T Є T,z Є U, т.е. / - мультипликативная функция на F класса С00 для р. Лемма 3.2.2. Если ф - замкнутый дифференциал Прима на F класса С для р и [ф] = 0 в Я1(Г,р), то ф является мультипликативно точным дифференциалом на F для р. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как ф - замкнутый однозначный дифференциал на U, то он будет точным на U} т.е. ф = df(z) на U, где / .C(U). Покажем, что интеграл Прима для дифференциала Прима ф можно выбрать как мультипликативную функцию на U для р при условии [ф] — 0 в ЯХ(Г, р). Действительно, по условию f(Tz) = p(T)f(z) + са(Г),Г Є Г, z Є U, или f{Tz) — с = p(T)(f(z) — с). Интеграл f\(z) = f(z) — с является мультипликативной функцией на F для р. Лемма доказана. Теорема 3.2.3. Если ф,ф - замкнутые дифференциалы Прима на F класса С для pi и pi соответственно, то причем это равенство инвариантно, относительно выбора интеграла h(z) для ф с точностью до аддитивного слагаемого. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Граница фундаментальной области А имеет вид ([59, с.153], [28, с.129]) дА = a b a b ...a+b+a-bj, где причем aj - поднятие aj с началом в точке ZQ И концом в AJZQ, bj - поднятие bj с началом в точке ZQ И концом в BJZQ на U. Тогда по теореме Стокса [52], с учетом соотношений для периодов [67; 60], имеем Если h(z) заменить на h(z) + с, то левая сторона нашего равенства изменится на слагаемое с fgA ф = О (из-за основного коциклического условия на периоды замкнутого дифференциала Прима ф). Правая сторона тоже изменится на слагаемое вида где 7i(T) = 1 — pi(T),T Є Г, так как первая сумма равна 0 из-за коциклического условия на периоды для ф, а последние три суммы взаимно сокращаются. Теорема доказана. ЗАМЕЧАНИЕ 3.2.1. Для р2 = pj-1 из этой формулы получается билинейное спаривание Ганнинга [59] из параграфа 3.1.

Похожие диссертации на Мультипликативные функции и дифференциалы Прима на компактной римановой поверхности

Мультипликативные функции и дифференциалы Прима на компактной римановой поверхностиЧуешев, Виктор Васильевич

Дифференциалы прима на переменной компактной римановой поверхностиТулина, Марина Ивановна

Периоды дифференциалов прима на переменной компактной римановой поверхностиПушкарева Татьяна Алеексеевна

Дифференциалы Прима на переменной конечной римановой поверхностиКазанцева Алена Алексеевна

Периоды дифференциалов Прима на переменной компактной римановой поверхностиПушкарева Татьяна Алексеевна

Факторизация подстановочных матриц-функций на компактных римановых поверхностяхЕжов, Михаил Борисович

Системы алгебраических уравнений, гипергеометрические функции и интегралы рациональных дифференциаловСтепаненко Виталий Анатольевич

Дзета-функции алгебраических поверхностей и якобианы кривых рода 3 над конечными полямиРыбаков Сергей Юрьевич

Описание поверхностей на основе экспериментальных данных с помощью интерлинации функций и его применениеКрыкова, Инна Владимировна

Тау-функция Бергмана на пространствах разветвленных накрытий сферы и абелевых дифференциаловКокотов Алексей Юрьевич