Введение к работе
Актуальность темы
Проведенные в работе исследования берут начало в основной работе Р. Ганнинга (1980 г.)1, который возродил интерес к дифференциалам Прима для любых характеров и вместо пространства периодов предположил так называемое когомологическое расслоение Ганнинга для фиксированной поверхности и для любых характеров. В работе Чуешева В. В.2 предложено обобщить понятие когомологического расслоения Ганнинга над базой из пространства Тейхмюллера и группы характеров. В этой работе начато построение общей теории дифференциалов Прима для произвольных характеров, причем для переменной римановой поверхности.
В работах Х.М. Фаркаша и И. Кра3 изложены элементы геометрической теории мультипликативных функций и дифференциалов Прима для фиксированной поверхности и для любых характеров. Они изложили основной классический материал на 10 страницах своей книги (1992
г)-
Наша цель создать основы общей теории дифференциалов Прима для
любых характеров как аналог теории абелевых дифференциалов. Отметим, что общая классическая теория абелевых дифференциалов строилась только на фиксированной поверхности.
Построенные в работе основы теории дифференциалов Прима на переменной поверхности и с переменными характерами существенно отличаются от классической теории, причем используются новые средства
1Gunning R.C. On the period classes of Prym differentials. J. Reine Angew. Math. 1980. V. 319. P.
153 - 171.
2Чуешев В. В. Мультипликативные функции и дифференциалы Прима на переменной компактной римановой поверхности. КемГУ, Кемерово. 2003, 248 с.
3Farkas Н.М., Kra I. Riemann surfaces. Grad. Text's Math. 1992. V. 71. New-York : Springer.
геометрической теории функций: пространства Тейхмюллера, группы характеров, векторные расслоения из дифференциалов Прима над пространством Тейхмюллера, универсальное многообразие Якоби, расслоения целых дивизоров с голоморфными сечениями над пространством Тейхмюллера и сложную технику работы с классами дивизоров на ри-мановой поверхности.
Теория однозначных (абелевых) дифференциалов (р = 1) имеет ряд принципиальных отличий от теории дифференциалов с произвольными характерами (р j^ 1). Кроме того, однозначные дифференциалы (особенно случаи порядков q = 1, q = 2) даже на фиксированной поверхности уже нашли многочисленные приложения в уравнениях математической физики, при алгебро-геометрическом интегрировании ряда нелинейных уравнений в работах СП. Новикова4, И.М. Кричевера5, Б.А. Дубровина6, И.А. Тайманова7 и в теоретической физике (Р. Дик, С. Климек), а также в аналитической теории чисел в работах X. Фаркаша, И. Кра и теории пространств Тейхмюллера в работах Л.В. Альфорса, Л. Берса8, С.Л. Крушкаля9 и К. Эрла10.
Отметим существенные отличия наших результатов от имеющихся
4Кричевер И.М., Новиков СП. Алгебра типа Вирасоро, тензор энергии-импульса и операторные
разложения на римановых поверхностях. Функцион. анализ и его приложения. 1989. Т.23. В.1. С.
24 - 40.
Новиков СП. Периодическая задача Кортвега - де Фриза. Функцион. анализ и его приложения.
1974. Т. 8. В 3. С. 54 - 66.
5Кричевер И.М. Методы алгебраической геометрии в теории нелинейных уравнений. Успехи
матем. наук. 1977. Т. 32, Вып. 6. С. 180-208.
6Дубровин Б.А. Тэта-функции и нелинейные уравнения. Успехи матем. наук. 1981. Т.36. В. 2. С.
11 - 80.
7Тайманов И.А. Секущие абелевых многообразий, тэта функции и солитонные уравнения. Успехи
матем. наук. 1997. Т. 52. В. 1. С. 150 - 224.
8Альфорс Л.В., Бере Л. Пространства римановых поверхностей и квазиконформные отображения. М. : ИЛ, 1961.
9Крушкаль С.Л. Квазиконформные отображения и римановы поверхности. Новосибирск: Наука,
1975. 10Earle C.J. Families of Riemann surfaces and Jacobi varieties. Annals of Math. 1978, v.107, p. 255-286.
классических результатов, приведенных в книгах Дж. Спрингера , Фар-каша-Кра и других книгах по классической геометрической теории функций на компактной римановой поверхности. Сначала заметим, что все объекты рассматриваются на переменной компактной римановой поверхности F^. Для построения общей теории однозначных дифференциалов большую роль играют, так называемые, элементарные дифференциалы любого порядка, которые имеют минимальное количество полюсов: либо один полюс порядка > 2, либо два простых полюса, и голоморфно зависящие от модулей [ц] компактных римановых поверхностей F^. В нашей работе впервые дано полное конструктивное описание дивизоров элементарных как абелевых дифференциалов, так и дифференциалов Прима всех трех родов. Также рассмотрены элементарные дифференциалы любых целых порядков. Этот случай, как правило, отсутствует в учебниках по классической теории функций. Кроме того, в отличии от случая абелевых дифференциалов при q = 1 для случая q > 1 на переменной компактной римановой поверхности рода д > 2 существует дифференциал порядка q с единственным простым полюсом.
Метод дивизоров и применение многообразий Якоби для переменной поверхности позволяют дать методы для развития теории как мультипликативных дифференциалов, так и однозначных дифференциалов.
Исследование группы монодромии для решений линейных дифференциальных уравнений на компактной римановой поверхности с помощью вариационных методов начато в работах Д.А. Хейхала (1976 г.). Он нашел первую вариацию для группы монодромии. В работах В.В. Чуешева получена точная вариационная формула для вектор-решения и элементов группы монодромии линейного дифференциального уравнения второго порядка на римановой поверхности. Задача Пуанкаре о нахождении
11 Спрингер Дж. Введение в теорию римановых поверхностей. М. : ИЛ, 1960.
группы монодромии для заданного уравнения на компактной поверхности до сих пор не решена, за исключением очень небольшого числа уравнений (так, например, для гипергеометрического уравнения с тремя особыми точками на С). Так как явные решения найти невозможно даже для уравнения второго порядка, то возникают вариационные задачи (Д.А. Хейхал12), которые показывают, как зависят образующие группы монодромии от малых вариаций в пространстве голоморфных дифференциалов.
Вариационные формулы нашли приложения в геометрической теории функций комплексного переменного на компактных римановых поверхностях и в теории пространств Тейхмюллера, в связи с униформизацией компактных римановых поверхностей.
В нашей работе предлагается компактный способ вывода вариационных формул для вектор-решения и элементов группы монодромии с помощью векторно-матричной записи. Получены точные вариационные формулы при вариации в пространствах голоморфных квадратичных и кубических дифференциалов для вектор-решения и элементов группы монодромии на компактной римановой поверхности рода д > 2 для линейного обыкновенного дифференциального уравнения третьего порядка с любыми голоморфными коэффициентами. Эти теоремы продолжают исследования Д.А. Хейхала и В.В. Чуешева13 для уравнений порядка два на случай уравнений порядка три. Найдена связь этих вариационных
12Hejhal D.A. Monodromy groups for higher-order differentials equation. Bull. Amer. Math. Soc, 1975,
v. 81, N 3, p. 590-592.
Hejhal D.A. Monodromy groups and Poincare series. Bull. Amer. Math. Soc, 1978, v. 84, N 3, p.339-376.
Hejhal D.A. The variational theory of linearly polymorphic functions. J. d'Analyse Math., 1976, v. 30, p.
215-264. 13Чуешев В.В. Точная вариационная формула для группы монодромии на компактной римановой
поверхности. Математические труды Института математики им. С.Л. Соболева, СО РАН, 2004, т.
7, N 2, С. 126-158.
формул и дифференциалов Прима с матричными характерами и с сечениями специальных голоморфных векторных расслоений на компактной римановой поверхности.
Цель диссертации
Целью работы является:
-
построение основных типов элементарных (р, д)-дифференциалов Прима трех родов, голоморфно зависящих от характера р и от модулей компактной римановой поверхности; нахождение базисов локально голоморфных сечений двух основных типов векторных расслоений, со слоями из (р, д)-дифференциалов Прима, над произведением пространства Тейхмюллера и группы характеров;
-
построение основных типов элементарных однозначных (абелевых) ^-дифференциалов трех родов целого порядка q > 1, голоморфно зависящих от модулей компактной римановой поверхности; нахождение базисов локально голоморфных сечений двух основных типов векторных расслоений, со слоями из абелевых g-дифференциалов, над пространством Тейхмюллера рода д > 2;
-
нахождение точных вариационных формул для вектор-решения и элементов группы монодромии линейного дифференциального уравнения третьего порядка при вариации по базе кубических голоморфных дифференциалов на фиксированной компактной римановой поверхности рода д > 2.
Методы исследования
Методы исследования используют:
-
универсальное расслоение Якоби над пространством Тейхмюллера;
-
метод построения базисов голоморфных дифференциалов, и различных видов мероморфных дифференциалов Прима, которые голоморфно зависят от модулей [ц] римановой поверхности и характеров р;
-
сложную технику работы с классами дивизоров и голоморфными сечениями К. Эрла в пространствах целых дивизоров на переменной римановой поверхности.
Научная новизна
Основные результаты работы являются новыми и представляют научный интерес.
Теоретическая и практическая ценность
Результаты представляют теоретический интерес и могут быть применены в многомерном комплексном анализе, геометрической теории функций на компактной римановой поверхности, аналитической теории чисел, уравнениях математической физики и комплексной алгебраической геометрии.
Практическое применение полученных результатов состоит в их включении в учебные программы специальных курсов по геометрической теории функций и многомерному комплексному анализу для магистрантов и аспирантов кафедры математического анализа Кемеровского и Горно-Алтайского государственных университетов.
Степень достоверности и апробация работы
Все утверждения диссертации снабжены строгими математическими доказательствами.
Результаты работы обсуждались и докладывались на следующих международных и всероссийских конференциях :
международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс"/ Новосибирск, НГУ, 2010, 2011, 2012 г.
всесибирском конгрессе женщин-математиков / Красноярск, СФУ, 2010 г.
на школе-конференции по геометрическому анализу / Горно-Алтайск, ГАГУ 2010, 2011, 2012 г.
международной школе-конференции по геометрии и анализу / Кемерово, КемГУ, 2011 г.
международном конгрессе ISAAK 2011 / Москва, 2011 г.
на совместном заседании семинаров "Геометрическая теория функций "и "Инварианты трехмерных многообразий "в Новосибирском Институте Математики (СО РАН) под руководством член-корр. РАН А.Ю. Веснина, профессора НГУ А.Д. Медных и профессора НГУ В.В. Асеева в 2013 г.
в Сибирском Федеральном университете на семинаре по многомерному комплексному анализу под руководством проф. А.К. Циха и проф. A.M. Кытманова (Красноярск), 2013 г.
Публикации
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-16], из них 3 работы [1-3] в ведущих рецензируемых изданиях, рекомендованных ВАК, 3 публикации [4-6] в материалах конференций, 11 публикаций [7-17] являются тезисами конференций.
Структура и объем работы
