Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Вычеты и элементарные дифференциалы Прима 9
1.1. Предварительные сведения 9
1.2. Теоремы о вычетах для дифференциалов Прима 16
1.3. Следствия из теоремы о вычетах и законы взаимности для мультипликативных функций 21
1.4. Элементарные дифференциалы Прима 25
1.5. Пространства мультипликативных функций с предписанными полюсами 36
1.6. Аналог формулы Аппеля разложения мультипликативной функции на переменной компактной римановой поверхности 39
Глава 2. Билинейные соотношения для периодов дифференциалов Прима на римановой поверхности 42
2.1. Основное соотношение на периоды голоморфного дифференциала Прима 42
2.2. Билинейные соотношения для периодов дифференциалов Прима первого рода 49
2.3. Периоды дифференциалов Прима третьего рода 55
2.4. Периоды дифференциалов Прима второго рода 61
Глава 3. Голоморфные дифференциалы Прима на специальных римановых поверхностях 65
3.1. Голоморфные дифференциалы на некоторых специальных римановых поверхностях 65
3.2. Базисы голоморфных дифференциалов на кривых Ферма 73
Глава 4. Периоды гармонических дифференциалов Прима на переменной компактной римановой поверхности 78
4.1. Предварительные сведения 78
4.2. Периоды гармонических дифференциалов Прима для существенных характеров 81
4.3. Периоды гармонических дифференциалов Прима для несущественных характеров 87
4.4. Аналоги теорем де Рама и Ходжа для гармонических дифференциалов Прима 96
4.5. Периоды голоморфных дифференциалов Прима для существенных характеров 99
Список литературы 107
- Следствия из теоремы о вычетах и законы взаимности для мультипликативных функций
- Билинейные соотношения для периодов дифференциалов Прима первого рода
- Голоморфные дифференциалы на некоторых специальных римановых поверхностях
- Периоды гармонических дифференциалов Прима для существенных характеров
Следствия из теоремы о вычетах и законы взаимности для мультипликативных функций
В данном параграфе получены следствия из теоремы о полной сумме вычетов для 1-дифференциала ш с любым характером р, в частном случае, когда ш = dj , т. е. ш - мультипликативно точен на F .
Пусть P1,..., Рт - нули / с кратностью A1,..., Ато и Q1, ...,QS - полюса для / с кратностью /i1, ...,/v Рассмотрим также однозначную функцию R на FM с полюсами M1,...,M/ кратности р1,...,рі соответственно, где точки МІ не входят в носитель дивизора supp (/). Заметим, что -4- будет абелев дифференциал с простыми полюсами Р\,..., Рт, Qi,..., Qs и вычетами Лі,..., Ато, — /ii,..., —/is соответственно. Тогда, в силу однозначности подынтегрального выражения, по теореме 1.1.3 получим, что
Замечание 1.3.1. Эти три равенства выражают законы взаимности связывающие нули и полюса для мультипликативной функции / с полюсами однозначных мероморфных функций R на F . Как следствие из теоремы о полной сумме вычетов для 1-дифференци-ала с характером р получим аналог необходимого и достаточного условия существования 1-дифференциала Прима с любым характером на переменной компактной римановой поверхности F рода д 2 с заданными простыми полюсами и вычетами в них для ветви этого дифференциала [8].
Следствие 1.3.1. Пусть Q1,...,Qs будут попарно различные точки на переменной компактной римановой поверхности F рода g 2 и c1,...,cs - комплексные числа, s 2, и р - произвольный характер. Тогда существует 1-дифференциал Прима ш = h(z)dz для р с простыми полюсами Q1,..., Qs и вычетами с1,..., cs в них соответственно для некоторой его ветви если и только, если где f - функция для существенного характера p 1, (/) = g1, ip{R1) = v{Q1) — Ф(р), Ф(р) 7 0, в многообразии Якоби J{FfJ).
. Необходимость сразу следует из теоремы 1.2.1 для 1-дифференциала с характером р на F . Достаточность. При наших условиях ujf будет абелевым дифференциалом на FM и для него выполняется равенство (2). По классической тео реме существует абелев дифференциал UJ\ с вычетами vesuf, j = 1,..., s.
Для несущественного характера p существует мультипликативная единица /о для р 1 и её дивизор (/о) = 1- Поэтому получаем более простые формулы для вычетов resujfo = fo(Qj) resix , j = 1,..., s. Следствие доказано.
Замечание 1.3.2. Для существенного характера р и любой точки Q\ существует дифференциал Прима ш с единственным простым полюсом в Qi и не нулевым вычетом на компактной римановой поверхности F рода д 2. Это показывает принципиальное отличие теории дифференциалов Прима от теории абелевых дифференциалов на компактной римановой поверхности F рода д 2 [8; 15].
Сформулируем аналог теоремы существования (р, q)— дифференциала Прима с заданными полюсами и вычетами.
Следствие 1.3.2. Пусть Qi,...,Qs будут попарно различные точки на переменной компактной римановой поверхности F рода g 2 и ci,...,cs - комплексные числа, s 2, р - произвольный характер, и q - любое целое число. Тогда существует (p,q)—дифференциал Прима т с простыми полюсами Qi,...,Qs и вычетами ci,...,cs в них соответ ственно для некоторой его ветви на FM, если и только, если верно ра венство
При этом:
1) если p - несущественный характер, то f - мультипликативная единица для р 1;
2) если р - существенный характер, то f - функция для р 1, (/) = - и точки S1,...,Sg+1 на FM, удовлетворяют условию теоремы 1.2.2.
Доказательство получается аналогично доказательству теоремы и предыдущему следствию. При этом искомый дифференциал г = - -j—,
Замечание 1.3.3. При q 0 не будет второй суммы в утверждении предыдущего следствия.
Билинейные соотношения для периодов дифференциалов Прима первого рода
Найдём соотношения между периодами интеграла Прима второго рода на F . Пусть TZ0(z) - ветвь элементарного интеграла Прима второго рода с единственным простым полюсом в ZQ И вычетом 1 в ZQ ДЛЯ любого характера р ф\. Этот интеграл будет голоморфным на J- \{zo}, и также как интеграл Прима первого рода, имеет Ъд — \ периодов ф{ак\ ф{Ьк),ф{ск),к = 1,...,#,/ = 2, ...,#. Здесь TZ0(X) - -}TZ0(p) = - при аналитическом продолжении по петле &&, TZo(X) — p{ak)TZo{p) = ф(ак) -по петле ак,к = 1,...,#, и TZo(X) - TZo(p) = ф{сь) на ch, h = 2, ...,#, где ф = dTZQ{z) на Ам\{ о}. Для такого дифференциала Прима с любым характером р 1 его основное соотношение совпадает с основным соотношением для интеграла Прима первого рода (см. теорему 2.1.1).
Найдём теперь билинейные соотношения между периодами элементарного интеграла ПримаTZo(z) второго рода и интеграла Прима первого рода со взаимно обратными существенными характерами.
Голоморфные дифференциалы на некоторых специальных римановых поверхностях
В общей теории функций на компактной римановой поверхности рода д 2 встречаются в основном только теоремы существования дифференциалов и функций [8; 15; 11]. Для ряда специальных римановых поверхностей удается найти явный базис голоморфных абелевых дифференциалов и дать описание их точек Вейерштрасса [15; 11].
В.М. Бухштабер и А.К. Цих обратили наше внимание на важность построения явных базисов для специальных римановых поверхностей, которые заданы полиномиальными уравнениями. Специальные римано-вы поверхности нашли многочисленные приложения в геометрической теории функций, аналитической теории чисел, в алгебраической геометрии и при решении ряда нелинейных уравнений математической физики [4-7; 20-22].
Третья глава посвящена специальным римановым поверхностям, заданных явными полиномиальными уравнениями, а также всем кривым Ферма. На этих специальных кривых в 3.1 и 3.2 будут построены явные базисы голоморфных абелевых q—дифференциалов, а так же явные базисы голоморфных (р, q)— дифференциалов для несущественных характеров р.
Голоморфные дифференциалы на некоторых специальных римановых поверхностях
В этом параграфе будут построены явные базисы голоморфных абелевых дифференциалов для четырех специальных римановых поверхностей, заданных полиномиальным уравнением, и получено некоторое описание точек Вейерштрасса и их весов на этих поверхностях.
Специальная компактная риманова поверхность F есть множество {(z,w) :A(z,w) = 0} С С2 (1)
- комплексная кривая в С2, где A(z,w) - конкретный неприводимый полином [11]. Здесь (1) определяет аффинную часть кривой F. Чтобы сделать кривую F компактной надо добавить конечное число точек лежащих над z = оо или w = оо [4; 15]. Для нахождения рода д ри-мановой поверхности F алгебраической функции, определяемой неприводимым полиномиальным уравнением, применяют формулу Римана г
Гурвица g=l—n + nj, где A(z,w) - конкретный неприводимый полином степени п по w и алгебраические точки ветвления имеют порядки Пі, ...,nr [15; 11]
Определение 3.1.1. Точка Р называется точкой Вейерштрасса для компактной римановой поверхности F рода д, если существует однозначная мероморфная функция с единственным полюсом в точке Р порядка к не превышающего д.
По теореме Вейерштрасса для любой фиксированной точки Р на компактной римановой поверхности F рода д 2 существует набор из д натуральных чисел таких, что для любого rij не существует однозначной мероморфной функции / с единственным полюсом в Р точно порядка rij, т. е. rij - пробел Вейерштрасса в точке Р на F. Заметим, что числа п\ — 1,П2 — 1,— 1 это порядки нулей адаптированного в точке Р базиса (/?і, ( 2,..., (рд голоморфных дифференциалов на F. Вес в точке Вейерштрасса Р на F находится по формуле т{Р) = X (nj — J) или эт0 порядок нуля для вронскиана базиса голо 3=1 морфных дифференциалов в точке Р на F [15]. Следуя работе Беннама [13] будем рассматривать специальные рима новы поверхности вида У = П(я-а,Г , 3=0 где do,...,ар - попарно различные комплексные числа np,q,otj - натуральные числа. Пусть q не делится на р. Для каждого і, і = 0, ...,р (р 1), положим р ОІІ некоторое натуральное число такое, что 1 СЇІ q — 1, с = г=0 = 0(mod q). Это условие равносильно тому, что оо не является точкой р ветвления. Положим di — НОД (q,cti) и d! — НОД (q, Х а ) г=1 Предположим, что q - простое, тогда род д римановой поверхности F С- (v-l)(q-l) Тогда шт будет не голоморфным для т = jjr и d = d m с целыми j и 1 J db — 1. Кроме того, для получения базы голоморфных дифференциалов, нужно исключить d — 1 не голоморфных дифференциалов, которые даны в (2).
Для данного числа q дифференциалы приведенные в (2) формируют некоторый базис, при условии исключения тех, которые не голоморфны над точками а , оо. п. 1. Риманова поверхность, заданная уравнением вида Аффинная часть кривой имеет следующий виду9 = х2{х — 1). Найдем род кривой д = 12((2 — 1) 9 — 2 — 3 + 2) = 3. Выпишем набор мероморф-ных дифференциалов из (2) и найдем из них голоморфные. Получаем следующие дифференциалы:
Периоды гармонических дифференциалов Прима для существенных характеров
Таким образом, фі(А ), фі(В ), j = 1, ..., ?, выражаются через CJIVJIJ = 1,..., g — 1, и последние можно взять в качестве координат для фо в слоях над T5(F) х U\. Аналогично можно поступить для остальных окрестностей.
Координаты CjiVj являются линейными комбинациями от 0/(А,), фі(В ) с голоморфными коэффициентами на U([fio\) х [//, а также линейными комбинациями от фь(А , фь(В с голоморфными коэффициентами на t/([H) х (Uk П С//), так как 0/[Г,г] = / о = Ы[г,г] над U([fi0]) х (С4 П С//) (здесь фк и 0/ определяются, аналогично, как ф\ над [/і, над Uk и [// соответственно). Далее, фк{А ), фк{Вj) - линейные комбинации от Cj Vj с голоморфными коэффициентами на U([fio\) х Uk- Поэтому координаты Lf]lj будут линейными комбинациями от j,r]j с голоморфными коэффициентами на и([цо\) х (Uk П [//). Таким образом, получим, что матрицы перехода Tkj голоморфны на Tg(F) х ([// П [4) для всех к,1 = 1,...,2д. Следовательно, такие карты 0(//, {A,-, Bj}g,=l)}l = l,...,2g, задают структуру голоморфного векторного расслоения на(7 над Tg(F) х (Нот(Г, C )\1). Теорема доказана.
Теорема 4.2.3. Векторные расслоения ГаннингаС = (J Н1(ГИ}р) и Прима HP над Tg х [5 1]25 \1 будут вещественно-аналитично изо морфными, и расслоение Ганнинга G над Tg х [5 1]25 \1 равно прямой сумме двух вещественно-аналитических комплексных векторных под-расслоений ранга g — 1 для любого g 2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Имеем включения что сразу следует из следствия к теореме Фаркаша-Кра [15, с.130], по которой любой нормированный несущественный характер будет тривиальным. На [5 1]25 \1 есть естественная вещественно-аналитическая структура, согласованная с комплексно-аналитической структурой на пространстве Яот(, C )\(LgULg). Поэтому голоморфные векторные расслоения G и HP над Тд х Яот(, C )\(LguZ g), ограниченные на Tg х ([б4]2 ), будут вещественно-аналитическими комплексными векторными расслоениями [17; 19; 10]. По предложению 4.2.1 послойный С—линейный изоморфизм р будет также вещественно-аналитическим изоморфизмом расслоений G и HP над Тд х ([S]V).
Второе утверждение следует из теоремы 4.2.1. Теорема доказана.
Покажем, что отображение р будет послойно инъективным отображением из расслоения ранга д — 1 в когомологическое расслоение Ганнинга ранга 2д — 2.
Пусть uj+kdfo при отображении р переходит в класс [со] = 0 в (Г , р). По лемме 4.1.1 получаем, что ш - мультипликативно точный дифференциал, т. е. ио = dj , где / - голоморфная мультипликативная функция для несущественного характера р ф \. Функция 4- будет однозначной голоморфной на компактной римановой поверхности F рода д 2, а значит она будет константой с 0, так как функция / не имеет нулей на этой поверхности. Следовательно ш = cdfo, с 0, т. е. ш представляет нулевой класс в нашем фактор пространстве. Поэтому отображение р -послойная инъекция. Теорема 4.3.2. Последовательность голоморфных векторных расслоений и отображений является точной для любого g 2.
Доказательство. По предыдущей теореме и [10; глава 3, теорема 3.3.4] расслоения Pi;o и G имеют структуру голоморфных векторных расслоений. Кроме того, уже доказано, что р - послойная инъекция.
Покажем, что отображение р будет голоморфным относительно этих структур. Пусть и([цо\) х U(po) - достаточно малая односвязная окрестность точки ([/ІО],РО)5 гДе U(po) С (Lg\l). Тогда U(po) лежит в одной из областей Uj = {р : p(Aj) 1}, Ug+j = {р : p(Bj) 1}, j = 1,...,#, покрытия для Lg\l. Пусть, например, U(po) С Ug П (Lg\l). Тогда существует базис из классов смежности для голоморфных дифференциалов Прима /оСъ і foCg-i на м (в слое расслоения Pi,o), голоморфно зависящий от ([р\] р) Є U([po\) х U(po),z Є w (U). Любой элемент
Похожие диссертации на Периоды дифференциалов Прима на переменной компактной римановой поверхности
