Введение к работе
Актуальность темы.
Круг вопросов, связанных с гостроением и изучением различных свойств пространств дифференцируемых функций многих переменных и доказательством различных интегральных неравенств типа теорем влоаения этих пространств, относится к той области математического анализа, которая получила самостоятельное развитие под названием "теория пространств".
Основоположником и создателем этой теории является академик С.Л.Соболев, в работах которого получены фундаментальные результаты этой теории. Наряду с теориями известных пространств Wpr(G) (С.Л.Соболев - А.Н.Слободецкий), Hpr(G) (СМ.Никольский), ВрГе (G) (С.М.Никольский - О.В.Бесов), весовых пространств Wpra(G) <С-Л. Соболев - Л.Д. Кудрявцев), в 1961-1972 гг. в работах'с М.Никольского, В.П. Ильина, О.В.Бесова, П.Й.Лизорки-на, А.Д.Даабраилова, Т.И.Аманова, А.С. Джафарова, Я.С.Бугрова и других математиков были построены теории пространств
SpW(G), SpH(G), S^e8^
дифференцируемых функций многих переменных с доминирующими смешанными производными и теории различных обобщений этих пространств.
В последние годы в связи с исследованием дифференциальных уравнений в частных производных стало необходимым изучение пространства W_ra # (G) функций многих переменных с параметрами.
Подобные функциональные пространства, построенные на базе изотропных пространств Wp(G) С.Л. Соболева, при некоторых частных значениях индексов впервые изучались в работах Морри. В частности, им было получено широко известное условие гельдеровости функций из этих пространств.
В дальнейшем результаты Морри развивались и обобщались в различных напрвлениях в работах Греко, Ниренберга, Кампанато, Петре и др. Работы В.П.Ильина посвящены исследованию функциональных пространств с параметрами fpra ж (G).
В настоящей диссертации строятся теории функциональных пространств с параметрами типа известных функциональных пространств SpW(G) и их обобщений (см. работы С.М.Никольского, П. И. Лизоркига, А.Д.Джабраилова), функций с доминирующей смешан-
ной производной, что и обеспечивает актуальность полученных в диссертации научных результатов.
Цель работы
Целью диссертационной работы является изучение дифференциальных свойств функций, определенных в многомерной области и принадлежащих пространствам с параметрами дифференцируемых функций с доминирующими смешанными производными. Для достякения указанной цели были поставлены следующие задачи:
- ввести пространства Lp a>ae(G), Р = (pi»p2' '^ и ш свойства;
-построить пространства с параметрами функций с доминирующими смешанными производными типов
Л,<Ъ
2n
& V,a*,a (G)I P 'a »V
(*)
и изучить их свойства;
- доказать теоремы вложения построеных пространств с
параметрами;
построить соответствующие весовые пространства с параметрами и доказать теоремы вложения этих пространств.
сравнить подученные результаты с соответствующими известными результатами.
Результаты исследования и научная новизна.
Построены новые функциональные пространства с параметрами типа (*). При зтом изучен ряд свойств построенных пространств. Доказаны теоремы вложения этих построеннных пространств с параметрами, харектеризущие дифференциальные свойства функций из этих пространств. Доказаны, что для функций из построенных пространств с параметрами обобщенные производные удовлетворяют кратному интегральному условию Гельдера в' метрике Lq(Gm>. Построены соответствующие весовые пространства с параметрами и доказаны теоремы вложения этих пространств.
Все полученные в диссертации результаты новые.
- 5 -Теоретическая и практическая значимость.
Теоретическая и практическая значимость исследований проведенных в диссертационной работе, заключается в том, что полученные новые результаты представляют самостоятельный научный интерес в теории функциональных пространств и могут быть применены в теории дифференциальных уравнений в частных производных при решении граничных задач и при исследовании дифференциальных свойств обобщенных решений квазиэллиптических и гипоэллиптических дифференциальных уравнений в частных производных.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на научном семинаре кафедры "Высшая математика" в АзИСУ; на IX, X и XI республиканских научных конференциях аспирантов Вузов Азербайджана; VII республиканской конференции молодых ученых по математике и механике в ИМИ АН Азербайджана, а также на XV Всесоюзной школе по теории операторов в функциональных пространствах (г. Ульяновск 1990 г.); на семинаре д.ф.-м.н., проф. В. С. Гулиева в БГУ им. U.A. Расул-заде и на семинаре отдела математического анализа Института математики и механики АН Азерб. под руководством д.ф.-м.н. Ы-Б.А.Бабаева.
Структура и объем работы . Диссертационная работа состоит из введения и четырех глав и изложена на 127 страницах машинописи. Библиография содержит 48 наименований.
