Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Весовые функции 12
1.1 Весовые функции и их свойства 13
1.2 Медленно меняющиеся весовые функции
1.3 Почти полу аддитивные сверху весовые функции 22
1.4 М- Лг-эквлвалеитность весовых функции 27
Глава 2. Продолжение ультраднфференцируе.мых функций нормального типа по Унтни 37
2.1 Пространства ультрадифференцируемых функцніі нормального типа 38
2.2 Топологические свойства пространств ультрадифференцируемых функции нормального типа 45
2.3 Совпадение классов ультрадифференцируемых функции нормального типа 49
2.4 Пространства ультраджстов нормального типа. Постановка задачи о продолжении по Уитнн 58
2.5 Необходимое условие справедливости аналога теоремы Уитнн для пространств ультрадифференцируемых функции нормального тина
2.5.1 Построение специального семейства полиномов С2
2.5.2 Основной результат G7
2.6. Абсолютно представляющие системы экспонент с мнимыми показателями в пространствах ультраджстов нормального типа и продолжение функции по Уитнн 72
2.6.1 Пространства периодических ультрадифференцируемых функций нормального типа н базисные системы экспонент в них 73
2.6.2 Основной результат
Глава 3. Аналоги и модификации теоремы Бореля 80
3.1 Постановка задачи и формулировка основного результата 81
3.2 Реализация сильных сопряженных к пространствам последовательностей нормального типа в виде пространств целых функций 83
3.3 Формулировка задачи в терминах целых функций 91
3.4 Доказательство основного результата с помощью кратных рядов экспонент 99
3.5. Постановка задачи и основной результат 99
Литература 106
- Почти полу аддитивные сверху весовые функции
- Пространства ультраджстов нормального типа. Постановка задачи о продолжении по Уитнн
- Пространства периодических ультрадифференцируемых функций нормального типа н базисные системы экспонент в них
- Реализация сильных сопряженных к пространствам последовательностей нормального типа в виде пространств целых функций
Введение к работе
1. Пусть ш — весовая функция, т. е. непрерывная неубывающая на [0, +оо) неотрицательная функция, удовлетворяющая условиям:
(а) ЗМ > 1, ЗС > 0 | Vz, у > 0 ш(х + у)< М(и(х) + и(у)) + С (или, что то же самое, ш(2і) ~ 0{ш{і)) , t —> со);
ОТ /ї^їл<і
(7) In і = o{w(t)) , і —> oo;
(<5) yw(a?) := wfe^) выпукла на [0, сю).
Далее, пусть ^(у) :— sup{a:y — (ри(х) \ х > 0} — функция, сопряженная но Юнгу к (ры(х). Пространства ультрадифферепцируемых функций (УДФ) Бёрлинга и, соответственно, Румье нормального типа q (термин нормальный означает, что q Є (0, со)) вводятся следующим образом:
С,0*") := {/ Є C*>(RN)\il Є N,V5 Є (0,(/) sup sup J|?M < со},
^,)(^) := {/ Є C~(R")|V/ Є N 3s Є (,, со) : дир sup ^ < со}
Здесь a = (ai,..., aw) — мультииндскс, |a| = ai +... + ajv — его длина, І їжі І := max |x,-| — рассматриваемая нами норма в 1$LN.
Пусть, далее, К — непустой компакт в RN. Джетом на компакте К называется последовательность / = (/л)пЄн^ непрерывных на компакте К функции. Обозначим символом J (К) пространство всех джстов на компакте К и введем для произвольного элемента / из J (К) так пазы-
ваемые остаточные члены
(ВДа(!|):=Г(Й- -^Г1^ - ХУ >
Щ<т-\а\ Р'
т Є N0 ; а Є N^ : |а| < m ; ж, у Є К .
Положим теперь
1/М1 1№/)йМ1(т + 1-Н)!
Ш*А':= sup sup .,, |,\ + sup sup sup ^ xJ} WJK L--.
Пространствами ультраджстов Бёрлмнга и Румьс нормального типа q будем называть соответственно пространства
(1)С0 := І/ Є Л'О | V* Є 0,7) H/IU^ < 00} и
<УО - {/ Є Л*) | 3s Є (g,00) : i|/|UM, < со} .
Проблема продолжения по Уитни УДФ нормального типа заключается в нахождении необходимых и достаточных условий на весовую функцию ш, при которых оператор рк : / Є С00^^) ь-ь (f^\K) fNn сюръ-ективно отображает ?JR^') на ?JK) (соответственно, Sj^JR1^) па ElJK)). История этой проблемы восходит к 1895 году, когда Э. Боре-лем [34] был доказан следующий результат: для всякой последовательности {Хп}^й комплексных чисел имеется такая функция / из C(R), что
f(n\0) = xniVneNQ.
Таким образом, первоначально задача продолжения была решена для пространства CM(R) и одноточечного компакта К ~ {0}. Заметим, что на самом деле сформул пропан нос утверждение справедливо и в многомерном случае. Затем и 1934 году Г. Уитпп [51] обобщил этот результат на случліі произвольного непустого компакта К и RN, Именно, было показано, что оператор рк сюръектшшо отображает пространство C(BLN)
«1
па пространство Jo(K) всех джетов Уитни на компакте К. Под джетом Уитни понимается такой джет /, что для всех т Є No и а Є N^ с \а\ < т равенство
Пу)= Е ^{у-*)0 + {\\у-*Т-м)
\0\
выполняется равномерно по всем х,у Є К, когда \\у — х\\ —> 0.
Продолжая классические работы Бореля и Уитни, многие авторы [2, 3,13,28,32,33,3G, 37,39,42,44,4G, 50] исследовали аналогичные проблемы продолжения для пространств бесконечно дифференцируемых функций с ограничениями на рост производных. Отмстим в связи с этим, что различным задачам, которые в той или иной степени участвуют в построении теории подобных пространств, посвящено значительное число работ (помимо перечисленных выше см., например, [9,12,14-1G, 18,29,30, 35,38,48,49]).
К настоящему времени сложились два основных подхода к определению пространств УДФ: подход Бёрлинга-Бьорка, в котором рост производных задается с помощью весовой функции, и подход Даижуа-Карле-мана, когда соответствующие оценки выписываются с помощью весовой последовательности. Как следует из приведенной выше постановки задачи, настоящая работа выполнена в рамках первого подхода. Остановимся кратко на нем самом и на полученных в этом направлении теоремах продолжения.
Пространства УДФ, задаваемые с помощью определенного в R полуаддитивного сверху веса, были введены А. Бёрлипгом с целью обобщения теории распределении. В конце 80-х годов Р. Брауном, Р. Майзс и Б.А. ТеПлором [35] было разработано частичное развитие указанного подхода, которое заключается в следующем: весовая функция теперь
берется зависящей по от х из RN, а от нормы х (т. е. фактически вес одномерный), но условие полу аддитивности сверху заменяется более мягким требованием (а). Основное внимание сначала уделялось пространствам УДФ минимального типа (или типа Бёрлинга) и максимального типа (или типа Румьс). В наших обозначениях это пространства ^)(MiV) и
?их(RjV). Фактически они порождаются последовательностями {nw}^
и {—ш}^1; соответственно. В частности, в [28,32,44] для пространств
минимального и максимального типов была решена проблема продолжения по Уптни. Именно, было показано, что аналог теоремы Уитнм в указанных пространствах справедлив тогда и только тогда, когда
со(Ы) limsup—— < L при некотором L > 1
(такие и> называются строгими). В [10,11] этот результат был частично перенесен на случай многомерных весов, зависящих от модулей переменных. Далее, в [1,23] изучались пространства УДФ, порождаемые возрастающими и убывающими последовательностями {0}^^ весовых функций. Для этих пространств был установлен аналог теоремы Пэли-Винера-Щварца, применяемый в настоящей диссертации к пространствам нормального типа, т. е. в случае, когда ujn = qnw, qn /* q либо qn \ g, ?Є(0;оо).
Наконец, отметим, что, как было обнаружено Ю.Ф. Коробейником в [8,9,43], проблема продолжения УДФ по Уптни напрямую связана с разработанной им в 70-80 годы [4,5] теорией абсолютно представляющих систем. Позднее эта взаимосвязь исследовалась также в [23]. Напомним, что в соответствии с определением, введенным в [4], последовательность X = {%k}kLi локально выпуклого пространства Н называется абсолютно представляющей системой (АПС) в Я, если каждый элемент х Є Н
допускает представление х = ]Г] QXjt, и ряд ) с^. сходится абсолютно в Я.
В завершение обзора полученных ранее результатов нужно заметить, что, насколько нам известно, для классов УДФ нормального типа задачи продолжения по Уитии-Борелго до сих пор не рассматривались. Их исследование и послужило темой данной диссертации. Основные цели работы следующие:
получение условий па весовую функцию, при которых для порождаемых ею классов УДФ нормального типа справедлив аналог теоремы Уитни н — как частный ее случай, соответствующий одноточечному компакту, — аналог теоремы Бореля;
выявление взаимосвязи между вопросами продолжения УДФ нормального тина по Уитни и наличием в соответствующих пространствах ультраджетов АПС экспонент с мнимыми показателями;
изучение некоторых сопутствующих задач:
— решение вопроса о совпадении пространств УДФ нормального
типа, задаваемых двумя разными весовыми функциями;
- выяснение взаимотношении между различными классами весов
с точки зрения определяемых ими пространств УДФ нормаль
ного типа.
Следует подчеркнуть, что классы нормального типа являются гораздо более "тонкими", чем предельные (т. с. классы минимального и максимального типа). В связи с этим условие (а) на весовую функцию пришлось заменить более жестким требованием почти иолуаддитипности сверху. Весовую функцию ш будем называть почти полу аддитивной
сверху, если для любого р > 1 найдется С > 0 такое, что
ш{х + у)< р(ш{х) + ш(у)) + С, Уж, у > 0 .
Более подробно причины этой замены и ее сстсствешюстг» бу;гут обсуждаться в 2.1. 2. Основными результатами работы являются
Теорема А. Пусть ш — почти полу аддитивная сверху весовая фуик-ция, q Є (0, оо), К — непустой компакт в Ж^. Для того чтобы в пространствах ?JWLN) и (или) fJRN) был справедлив аналог теоремы Уитпи, необходимо, чтобы и была медленно меняющейся функцией, т. е. чтобы
lim —-г— = 1.
і-юо ш[ъ)
Теорема В. Пусть и — почти полу аддитивная сверху весовая (функция, q Є (0, оо). Аналог теоремы Бореля справедлив в пространствах ?JRN) и (или) ? і(НЛГ) тогда и только тогда, когда ш — медленно лісияющаяся (функция.
Теорема С. Пусть ш — почти полу аддитивная сверху весовая функция, К — непустой компакт в RjV; q Є (0,оо). Следующие утверждения эквивалентны:
(г) рк действуcm сюръективио из ?v(RA) ua?JK) (соответствен-но, из 1}(R") па 1}(К));
(и) в ?JK) (соответственно, в ffJK)) существует абсолютно представляющая система (соответственно, индуктивно абсолютно представляющая система) из джстов, порооїсдаемих экспонентами с мнимыми показателями;
(tit) если К С Tujb := {х Є RN : а < х < b} (a,b Є RN : щ < Ь, , j = 1,..., N), то система
Г(2тгг)^ (-^-)аехр2тгг )
является абсолютно представляющей системой (соответствеп-ио} индуктивно абсолютно представляюгцей системой) в ?JK) (соответственно, в 1 Л К)).
Из решенных попутно задач выделим две следующие: Теорема D. Пусть ш, а — почти полуаддитивные сверху весовые функции, q Є (0,со). Для того чтобы ?UJM.N) = ^0^) и (или) ?->(RA) = ?JR.N), необходимо и достаточно, чтобы со и и были эквивалентны в обычном смысле, т. е. чтобы
им a{t)
Теорема Е. Имеется такая почти полуаддитивпая сверху весовая (функция, которая не эквивалентна ни одной полуаддитивпой сверху весовой функции.
Следствие. Классов УДФ нормального типа, порождаемых почти полуаддитивпыми сверху весовыми фупкгіліями, больше, чем тех оісс классов, определяемых полуаддитивпыми сверху весами.
На наш взгляд, следует еще особо отметить одно из установленных в главе 1 вспомогательных утверждений о весовых функциях, которое используется для доказательства всех трех теорем А-С и которое представляет собой (с точки зрения автора) наибольший самостоятельный интерес. Для него нам понадобится ввести гармоническое продолжение
веса и:
\№ Г "ФР м пели 7/^0
ш(|сс|) , если у = 0.
Теорема F. Для весовой функции со эквивалентными являются три ниоісеприведенных утверэ/сдеиия:
(г) ш медленно меняется;
(и) hm -у. —~ ~ 1;
(z,y)-»oo ш(|я + Zf/J)
(иг) hm —тгтг = 1
Доказательство теорем А и В проводится методом, разработанным в [44] и [28] для пространств минимального и максимального типов. Его суть заключается н переходе к двойственной задаче, которая формулируется в терминах целых в С^ функций. Заметим, однако, что реализация этого метода в случае пространств нормального типа становится возможной лишь благодаря установленным в главе 1 новым свойствам весовых функции. Наконец, для того чтобы установить взаимосвязь между продолжением УДФ нормального тина по Уйти и и наличием в соответствующих пространствах ультраджетов АПС экспонент с мнимыми показателями, мы используем методы Ю.Ф. Коробейника из [8,43].
Материал диссертации разбит на три главы. В первую главу, как уже было сказано выше, включены все вспомогательные утверждения о весовых функциях, состаїїляющис аналитическую основу последующей работы. Достаточно много внимания уделяется также классам медленно меняющихся и почти полуаддптивпых сверху весов и их изаимотношенинм с классом полуаддитшшых сверху весов. Полученный в этом направлении результат (теорема Е) является усилением результата У Франкена из [40].
Вторая глава полностью посвящена продолжению УДФ нормального типа по Уитни. Теорма Л доказывается в 2.5, а теорема С — в 2.G. Кроме того, в 2.3 решается задача о совпадении классов УДФ нормального типа, порождаемых двумя разными весовыми функциями (теорема D).
Почти полу аддитивные сверху весовые функции
Пространства бесконечно дифференцируемых (функций с ограничениями на рост производных изучались с разных точек зрения многими авторами. Одними из таких пространств являются классы УДФ, в которых производные оцениваются либо с помощью весовой функции (подход Бёрлинга-Бьорка), либо с помощью числовой последовательности (подход Дан жуа-Карл ем ана). Наиболее широко были исследованы пространства УДФ типа Бёрлинга (минимального типа) и типа Румье (максимального типа). В частности, для этих пространств в [28, 32, 44] была решена проблема продолжения по Уитни. Именно, было доказано, что аналог теоремы Уитни справедлив для классов УДФ минимального и максимального типов тогда и только тогда, когда порождающая их ве w (Lt) совая функция ш является строгой, т. е. когда hmsup—т-— h при t- oo w(t) некотором L 1. В свою очередь мы и данной главе рассматриваем пространства УДФ нормального типа и показываем, что необходимым условием выполнения аналога теоремы Уитни для этих пространств является медленное изменение весовой функции ш. Это составляет основной результат главы. Далее, в работах Ю.Ф. Коробейника [8,43] была обнаружена и исследована взаимосвязь между вопросами продолжения функций по Уитни и наличием в соответствующих пространствах абсолютно представляющих систем экспонент с мнимыми показателями. Применяя методы этих работ, мы изучаем аналогичный вопрос для пространств УДФ нормального типа. Соответствующий результат представлен в теореме 2.С.4 и также является одним из главных во второй главе. Отличительной чертой нашего исследования является то, что на компакт, с которого ведется продолжение, не налагаются никакие ограничения (в [8] требовалось, чтобы компакт совпадал с замыканием своей внутренности, т. е. был толстым). Кроме того, в этой главе исследован вопрос о совпадении классов УДФ нормального типа, порождаемых двумя разными весовыми функциями (см. теорему 2.3.1), что позволяет по-новому взглянуть на теорему I.4.G. Настоящий параграф включает в себя определение пространств УДФ нормального типа, которым посвящена диссертация, а также два вспомогательных результата, касающихся их алгебраической структуры и построения ерезающеіі функции с нужными свойствами. Пусть ш — весовая функция. Для функции / Є С(]& ) и чисел s Є (О, со), І Є N положим где a — (ai,... ,CKJV) — мультииндскс, \a\ — ai + ... + a — его дли (#1,..., :rjv) Є RA. Для q Є (0, со] и r Є [0, со) определим следующие пространства бесконечно дифференцируемых функций:
Заметим, что )}(КЛ ) и {w}(RiV) — это уже изучавшиеся ранее (см. [28, 32,35,44]) пространства УДФ типа Берлин га (или минимального типа) и, соответственно, типа Руыье (или максимального типа). В литературе они обычно обозначаются (и)(МЛГ) и {„}(М ). При q Є (0,оо) ?JRN) и w,(RjY) будем называть пространством УДФ Бёрлипга нормального типа q и пространством УДФ Румье нормального типа q, соответственно.
Всюду в дальнейшем пространства УДФ нормального типа будут рассматриваться лишь в случае, когда ш — почти полу аддитивная сверху весовая функция. Такая замена условия 1.1.1(a) более жестким представляется нам естественной в связи со следующими соображениями. Фактически, пространство ? (RA) (соответственно, q,,{KN)) порождается весовой последовательностью вида { w} ,!, где qn f q (соответственно, qn X q). В случае пространств минимального и максимального типов, когда q = со или q = 0, умножение этой весовой последовательности на произвольное L О не меняет ее вид в том смысле, что числовые множители передо;, как и раньше, стремятся к оо или к 0. Для пространств же нормального типа, чтобы сохранить сходимость к тому же самому q (0, со), мы можем умножать элементы весовой последовательности лишь па числа, стремящиеся к 1.
Будем для удобства использовать одно обозначение {KN) для обоих пространств J,{RN) и J,{KN), q Є (0,оо), если это не вызывает недоразумений.
Приведем сначала одно простое утверждение, которое будет использоваться в дальнейшем.
Пространства ультраджстов нормального типа. Постановка задачи о продолжении по Уитнн
В соответствии с известной теоремой Бореля [34], доказанной в 1895 г., для любой последовательности (xn) L0 вещественных или комплексных чисел найдется такая бесконечно дифференцируемая на R функция /, что / (0) = хп при всех п Є NQ. Аналогичное утверждение справедливо и в многомерном случае (см., например, [17, с. 34-35]). Понятно, что этот результат является частным случаем сформулированной в 2.4 теоремы Уитни, когда компакт К С RN, с которого ведется продолжение, представляет собой одноточечное множество {0}. Позднее многие математики занимались всевозможными аналогами и вариантами теоремы Борсля для различных пространств функций. В настоящей главе диссертации рассматриваются две подобные задачи.
Во-первых, мы устанавливаем критерии справедливости аналога теоремы Бореля для классов УДФ нормального типа. Именно, будет показано, что найденное во второіі главе в случае произвольного компакта К необходимое условие — медленное изменение веса, задающего пространство, — является одновременно и достаточным, если К — одноточечное множество. Доказательство этого результата содержится в первом разделе главы.
Второй раздел посвящен так называемой аналитической проблеме Бореля. В работах [7] и [G] Ю.Ф. Коробейником был предложен метод исследования этой задачи, основанный на поиске ее решения в виде сумм различных функциональных рядов (степенных, простейших дробей и экспонент) и использовании теоремы Полна о разрешимости бесконечных систем линейных уравнений. Там же в [7] этот метод был реализован в одномерной ситуации, а для систем экспонент и в двумерной. Было так- же отмечено, что аналогичные результаты могут быть получены п обідом многомерном случае (соответствующая формулировка приведена в G]). Их доказательство и составляет основное содержание 3.5.
Как уже было сказано в начале главы, проблема продолжения УДФ нормального типа по Борелю есть частный случаи сформулированной в 2.4 задачи продолжения по Уитни, когда К {0}. При этом пространства ультраджстов $(К) представляют собой просто пространства последовательностей комплексных чисел:
Мы для краткости опустили аргумент {0} в обозначениях пространств и третий индекс {0} в обозначении нормы. При этом, как и раньше, со — весовая функция, q (0,со). Будем говорить, что для класса ?JRN) (соответственно, (W]( A)) справедлив аналог теоремы Бореля, если оператор отображает сюръектишю ?JRN) на ?л (соответственно, j,(RN) па Основной результат данного раздела составляет (г) для ? Jffi ) и (или) Е1иЛК ) справедлив аналог теоремы Борсля; (и) со медленно меняющаяся функция. В соответствии с теоремой 2.5.3, в доказательстве нуждается лишь импликация (И) =(г). В своих рассуждениях мы будем использовать метод, предложенный Р. Майзе и Б.А. Тейлором в [44] для пространств УДФ минимального и максимального типа. Отметим, что применение этого метода в случае пространств нормального типа становится возможным лишь благодаря установленным в первой главе новым свойствам весовых функций. Сделаем сразу несколько замечаний, касающихся доказательства импликации (и) = (г). Во-первых, как было отмечено в предложении 2.4.1, если ш — весовая функция, q Є (0, оо), то % = Поэтому нам достаточно рассмотреть случаії q = 1, Далее, учитывая неубывание на (0, оо) функции (pl{y)/y, нетрудно видеть, что где числовая последовательность {гп} такова, что оо гп \. 1. Далее, во второй части предложения 2.1.1 было доказано, что Поэтому если мы докажем, что p j отображает Г[\(ЕЛ) на Г\ Для всех п Є N, то отсюда будет автоматически следовать сюргьективвость оператора р{о} : L( JV) Lv Таким образом, доказательство теоремы 3.1.1 сводится к доказательству следующего результата. Главная цель данного параграфа — описать (}u\)s в виде пространства целых функций с определенными оценками роста. Позднее это будет использоваться для доказательства теоремы 3.1.2, которое основывается на применении теории двойственности. Попутно мы выпишем аналогичную реализацию пространства {}u\)s, хотя в настоящей работе она использоваться не будет.
Пространства периодических ультрадифференцируемых функций нормального типа н базисные системы экспонент в них
Продолжая классические работы Бореля и Уитни, многие авторы [2, 3,13,28,32,33,3G, 37,39,42,44,4G, 50] исследовали аналогичные проблемы продолжения для пространств бесконечно дифференцируемых функций с ограничениями на рост производных. Отмстим в связи с этим, что различным задачам, которые в той или иной степени участвуют в построении теории подобных пространств, посвящено значительное число работ (помимо перечисленных выше см., например, [9,12,14-1G, 18,29,30, 35,38,48,49]).
К настоящему времени сложились два основных подхода к определению пространств УДФ: подход Бёрлинга-Бьорка, в котором рост производных задается с помощью весовой функции, и подход Даижуа-Карле-мана, когда соответствующие оценки выписываются с помощью весовой последовательности. Как следует из приведенной выше постановки задачи, настоящая работа выполнена в рамках первого подхода. Остановимся кратко на нем самом и на полученных в этом направлении теоремах продолжения.
Пространства УДФ, задаваемые с помощью определенного в R полуаддитивного сверху веса, были введены А. Бёрлипгом с целью обобщения теории распределении. В конце 80-х годов Р. Брауном, Р. Майзс и Б.А. ТеПлором [35] было разработано частичное развитие указанного подхода, которое заключается в следующем: весовая функция теперь берется зависящей по от х из RN, а от нормы х (т. е. фактически вес одномерный), но условие полу аддитивности сверху заменяется более мягким требованием (а). Основное внимание сначала уделялось пространствам УДФ минимального типа (или типа Бёрлинга) и максимального типа (или типа Румьс). В наших обозначениях это пространства )(MiV) и Фактически они порождаются последовательностями соответственно. В частности, в [28,32,44] для пространств минимального и максимального типов была решена проблема продолжения по Уптни. Именно, было показано, что аналог теоремы Уитнм в указанных пространствах справедлив тогда и только тогда, когда (такие и называются строгими). В [10,11] этот результат был частично перенесен на случай многомерных весов, зависящих от модулей переменных. Далее, в [1,23] изучались пространства УДФ, порождаемые возрастающими и убывающими последовательностями {0} весовых функций. Для этих пространств был установлен аналог теоремы Пэли-Винера-Щварца, применяемый в настоящей диссертации к пространствам нормального типа, т. е. в случае, когда q либо qn \ g, Є(0;оо).
Наконец, отметим, что, как было обнаружено Ю.Ф. Коробейником в [8,9,43], проблема продолжения УДФ по Уптни напрямую связана с разработанной им в 70-80 годы [4,5] теорией абсолютно представляющих систем. Позднее эта взаимосвязь исследовалась также в [23]. Напомним, что в соответствии с определением, введенным в [4], последовательность X = {%k}kLi локально выпуклого пространства Н называется абсолютно представляющей системой (АПС) в Я, если каждый элемент допускает представление х = ]Г] QXjt, и ряд ) с . сходится абсолютно в Я.
В завершение обзора полученных ранее результатов нужно заметить, что, насколько нам известно, для классов УДФ нормального типа задачи продолжения по Уитии-Борелго до сих пор не рассматривались. Их исследование и послужило темой данной диссертации. Основные цели работы следующие: получение условий па весовую функцию, при которых для порождаемых ею классов УДФ нормального типа справедлив аналог теоремы Уитни н — как частный ее случай, соответствующий одноточечному компакту, — аналог теоремы Бореля; выявление взаимосвязи между вопросами продолжения УДФ нормального тина по Уитни и наличием в соответствующих пространствах ультраджетов АПС экспонент с мнимыми показателями; изучение некоторых сопутствующих задач: — решение вопроса о совпадении пространств УДФ нормального типа, задаваемых двумя разными весовыми функциями; - выяснение взаимотношении между различными классами весов с точки зрения определяемых ими пространств УДФ нормаль ного типа. Следует подчеркнуть, что классы нормального типа являются гораздо более "тонкими", чем предельные (т. с. классы минимального и максимального типа). В связи с этим условие (а) на весовую функцию пришлось заменить более жестким требованием почти иолуаддитипности сверху. Весовую функцию ш будем называть почти полу аддитивной сверху, если для любого р 1 найдется С 0 такое, что Более подробно причины этой замены и ее сстсствешюстг» бу;гут обсуждаться в 2.1. 2. Основными результатами работы являются Теорема А. Пусть ш — почти полу аддитивная сверху весовая фуик-ция, q Є (0, оо), К — непустой компакт в Ж . Для того чтобы в пространствах ?JWLN) и (или) fJRN) был справедлив аналог теоремы Уитпи, необходимо, чтобы и была медленно меняющейся функцией.
Реализация сильных сопряженных к пространствам последовательностей нормального типа в виде пространств целых функций
Итак, мы имеем класс МА всех весовых функций и три его подкласса A, NA и SV, состоящие, соответственно, нз полуаддитивных сверху, почти полуаддитивных сверху и медленно меняющихся весовых функций. Теоретико-множественные отношения между ними, следующие из сказанного выше, представлены на рисунке:
В этом параграфе вводятся и изучаются понятия М- и JV-подчішения н М- и Аг-эквнвалептпости весовых функций, играющие существенную роль в вопросе о вложении или совпадении пространств УДФ, порождаемых двумя разными весами (см. 3 главы 2). Забегая вперед, отметим, что использование этих понятий зависит от того, какой тип пространств УДФ мы рассматриваем: предельным (минимальный, максимальный) или нормальный. Основными результатами настоящего параграфа являются теоремы 1.4.Он 1.4.7.
Определение 1.4.1. Пусть со, а Є МЛ. Будем говорить, что со М подчинена а (со - а], если Inn sup оо. При этом а называется М -маоїсораитой со. с./ш одновременно ш - а и а - со, то со и а называются М-эквивалентными (со а).
Понятия ІІ /-нодч имения и М-эквивалентности неявно присутствовали еще у Г. Бьорка [30] для полуаддитивных сверху многомерных весов, а для весов в смысле определения 1.1.1 — в работах У. Франксна [40]. Однако, в исследуемом нами случае пространств нормального типа они оказываются малопригодными, а их функции выполняют понятия N-нодчинения и iV-эквивалентности, которые мы сейчас приведем. Определение 1.4.2. Пусть со, т NA. Будем говорить, что со N-подчинена a (со - а), если hmsup— - 1. При этом а называется N -маоїсораитой со. Если одновременно и - а и а - со, то со и а назы-оаются N -эквивалентными (со и). Отметим, что iV-эквивалентность весов равносильна их эквивалентности в обычном смысле, используемом в анализе. Именно, ю с Ф u(t) Hm —7-rr = 1. Ясно также, что iV-подчинение и -эквивалентность ве сов влечет их А /-иодчиненпс и, соответственно, М-эквивалентность. В [40] У. Франком указал пример (функции со МА, для которой нет ни одной нолуаддитишюи сверху А/-мажоранты. Наша первая цель в этом параграфе — доказать, что имеется такая функция со из N А, что для нее нет ни одной полуаддитивной сверху //-мажоранты. В силу сказанного выше, доказав это, мы тем самым одновременно усилим результат У. Франксна. Начнем с двух вспомогательных утверждений. Доказательство. Положим т() = / j, если t Є [0, іі), и для Є [tj,tj+i). Легко видеть, что Следовательно, г непрерывна на [0, со). Далее, г не убывает на [0, со), так как она склеена непрерывным образом из отрезков неубывающих функции. Приведем некоторые другие нужные нам свойства функции т. 1) Поскольку для произвольного j Є N Ha [tj, tj+i) оно, очевидно, выполнено в силу определения т. Зафиксируем произвольное t Є [tj+i, со) и найдем к j + 1 такое, что t Є [ , ijt+i). Используя вновь определение г и (1.4.2), тогда имеем: Таким образолі, неравенство (1.4.7) доказано, а из него непосредственно вытекает нужное. 3) Докажем, что г почти полуаддитивна сверху. Для этого оценим сверху функцию ф(х,у) ;= —;—г -1-1Г па множестве t\ х у со. Зафин сируем произвольные х\\у из указанного множества. Пусть х Є [U, {+i), 2/ [tjitj+i), і j. Благодаря условию (1.4.2), которое, напомним, обеспечивает выполнение неравенства 2tj+i Uj+i, относительно расположения х + / возможны лишь три варианта. Рассмотрим каждый из них отдельно. а) х + у 6 [tj,Uj] (при этом, естественно, у [tj,Uj])- Здесь возможны два подслучая. al) г = j, т. е. х Є [t/, ]. Так как на [і, , -] функция г полуаддитивна сверху, то в данной ситуации ф(х,у) 1. а2) г" j. При этом т(х + у) = fjtf{x + у)1 єіл г (у) = f//yl j, а т(х) /г+і {ж1+Сі (в силу определения т).
