Введение к работе
Актуальность темы. Прямые теоремы занимают одно из важнейших мест в теории приближений функции действительного переменного. К ним относят утверждения, в которых величина приближения функции / посредством некоторого заданного множества функций оценивается сверху заданной характеристикой гладкости функции /.
Одним из первых результатов такого типа стало неравенство Джексона [1], в котором характеристикой гладкости непрерывной периодической функции выступает модуль непрерывности, а аппаратом приближения служит пространство тригонометрических полиномов заданного порядка. СН. Бернштейн предложил аппарат приближения непериодических функций, заданных на всей числовой оси, — целые функции экспоненциального типа и получил аналог неравенства Джексона для ограниченных равномерно непрерывных функций [2].
СБ. Стечкин [3] распространил неравенство Джексона с первого модуля непрерывности на модули непрерывности высших порядков — введенные С.Н. Бернштейном характеристики гладкости дифференцируемых функций. В дальнейшем были доказаны аналоги неравенства Джексона-Стечкина для пространств Lp(r) и Ьр(ш.).
В.А. Юдин [4,5] обнаружил, что в случае, когда производная периодической функции принадлежит пространству Lz{t), в неравенстве Джексона-Стечкина оказывается возможным заменить модуль непре-
[1] Jackson D., Uber Genauigkeit der Annahertmg statiger Functionen durch
ganze rationale Functionen gegebenen grades und trigonometrische Sum-
mengegebener Ordnung. Diss.// Gottingen, 1911.
[2] Бернштейн C.H., О наилучшем приближении непрерывных функций
на всей вещественной оси при помощи целых функций данной степени
I// Сочинения, 1946, Т. 2, С. 371-375.
[3] Стечкин СБ., О порядке наилучших приближений непрерывных
функций// Изв. АН СССР. Сер. мат., 1951, Т. 15, №3, С. 219-242.
[4] Юдин В.А., Диофантовы приближения в экстремальных задачах
bill Докл. АН СССР, 1980, Т. 251, №1, С. 54г57.
[5] Юдин В.А., К теоремам Джексона в г// Матем. заметки, 1987, Т.
41, №1, С. 43-47.
2.
рывности ?7ї-го порядка на максимум Хз-нормы тп-ой разности функции, взятый по конечному набору точек, обладающих определенным арифметическим свойством, — новую и в некоторых отношениях более простую характеристику гладкости функции. А.А. Лигун [6] использовал неравенства подобного вида для вычисления точной константы в неравенстве Джексона-Стечгаша в Li.
Вопрос о том, возможно ли распространение неравенств Джексона-Юдина на случай Хр(т), 1 < р < со, оказывается непосредственным образом связан с проблемой ограниченности в Lv фурье-мультипликаторов невозрастающая перестановка которых на двоичных блоках имеет заданный степенной порядок убывания. Эта проблема в частных случаях была решена в работах А. Зигмунда [7], Л. Хёрмандера [8] и О.А. Васильевой [9].
Задача об ограниченности фурье-мультзшликаторах такого типа возникает также при исследовании разрешимости в измеримых функциях так называемого гомологического уравнения теории динамических систем:
fix) = д(х + а) - д{х) (х mod 1).
Проблема разрешимости этого уравнения рассматривалась в работах Д. Гильберта, Д.В. Аносова, В. Готтшалка и Г. Хедлунда, Е.А. Сидорова, Л. Баггетта и К. Меррилл.
Цель работы Для функций, r-я производная которых принадлежит пространству Хр(т) или пространству ХДк), доказать прямые теоремы Джексоновского типа, в которых в качестве характеристики гладкости взят максимум по конечному набору чисел Хр-нормы т-ой разности г-ой производной функции.
[G] Лигун А. А., Точные неравенства типа Джексона для периодических
функций в пространстве Li/ / Матем. заметки, 1988, Т. 43, №6, С. 757-
7С9.
[7] Зигмунд А., Тригонометрические ряды// М.: Мир, 1965, Т. 2.
[8] Хермандер Л., Оценки для операторов инвариантных относительно
сдвига// М.: Изд. Ин. лит., 19G2.
[9] Васильева О. А., Метод интерполяции линейных операторов в задаче
о множителях// Дік'С. ни сош'К. уч. степени к. ф.-м. и., 197Л, Хабаровск.
3.
Наущая новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:
-
Доказаны необходимые условия и достаточные условия ограниченности фурье-мультншшкаторов в пространствах Lp{rd) и Lp{vt.d).
-
Получены необходимые условия и достаточные условия существования неравенств Джексона—Юдина в пространствах суммируемых функций.
-
Найдены критерии разрешимости гомологического уравнения теории динамических систем и даны приложения полученных результатов к эргодической теории.
Методы исследования. В работе используются методы гармонического анализа, теории интерполирования операторов, теории днофан-товых приближений.
Теоретическая и практическая ценность работы. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут найти применение в различных вопросах теории приближений функций действительного переменного, теории функций, теории чисел, при оптимизации практических вычислений.
Апробация диссертации. Основные результаты диссертации докладывались на школах-семинарах по теории приближений по рук. СБ. Стечкина в 1993-1995 гг, на Саратовских зимних школах по теории функций и приближений в 1992 и 1994 годах, на международных конференциях по теории функций в г. Воронеже в 1993 и 1995 гг., на 1-ой международной конференции по теории чисел в г. Туле в 1994 г.
Публикации. По теме диссертации опубликованы 4 научные работы (список публикаций приведен в конце автореферата). Работ, написанных в соавторстве, нет.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения и трех глав, разбитых на 9 параграфов, изложена на 95 машинописных листах. Библиографический список состоит из 62 наименований.
