Введение к работе
АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Вопрос о возможности предельного перехода под знаком интеграла — один из важнейших в анализе. Известны три классические теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Лебега, принадлежащие А. Лебегу, Б. Леви и П. Фату. Также известна теорема Дж. Витали, дающая необходимые и достаточные условия возможности предельного перехода под знаком интеграла Лебега. Теорема Витали обычно формулируется в терминах равномерной интегрируемости последовательности подынтегральных функций, но может быть переформулирована следующим образом.
Определение. Говорят, что последовательность неопределённых интегралов {J fk d/j}k равностепенно абсолютно непрерывна относительно неотрицательной счётно-аддитивной меры /і, если для любого є > 0 существует 6 > 0 такое, что для всякого множества Е и для всякого А; Є N из условия \іЕ < 6 следует
I Ie fk М <
Теорема. (Витали) Пусть Т — сг-алгебра с единицей X, /і — конечная неотрицательная счётно-аддитивная мера на Т\ {fk}k С Li(X, J7,/і) — последовательность функций, сходящаяся к функции / по мере /і. Для того, чтобы / Є Li(X, J7, /і) и последовательность {fk}k сходилась к / в Li(X, J7, /і), необходимо и достаточно, чтобы последовательность неопределённых интегралов {J fk d/j}k была равностепенно абсолютно непрерывной относительно меры /і.
В теореме Витали, как и в классических теоремах Лебега, Б. Леви и Фату, переменной была функция точки, интегрирующая мера оставалась постоянной. Случай предельного перехода под знаком интеграла Лебега в случае, когда меняется не только подынтегральная функция, но и интегрирующая мера, рассматривали В. М. Дубровский, Г. Я. Арешкин, Ф. Кафьеро, В. И. Алексюк, В. М. Климкин, X. Ройден, Р. Серфозо. В работах Арешки-на, Алексюка и Климкина (Арешкин (1949) доказал достаточность, Алексюк (1965) — необходимость, в совместной работе Арешкин и Климкин (1968) доказали необходимость значительно более простым способом и распространили теорему на случай векторных мер) была установлена следующая теорема, являющаяся обобщением теоремы Витали на случай последовательности мер.
Определение. Говорят, что последовательность неопределённых интегралов {J fk d/Jk}k равностепенно абсолютно непрерывна относительно последовательности неотрицательных счётно-аддитивных мер {^к\и-> если Для любого
є > 0 существует 5 > 0 такое, что для всякого множества Е и для всякого А; Є N из условия ^Е < 5 следует | jE fk dfik\ <
Теорема. (Арешкин-Алексюк-Климкин) Пусть Т — сг-алгебра с единицей Х7 {/J-k}k ~ последовательность конечных неотрицательных счётно-аддитивных мер на J-, причём для всякого множества Е Є Т последовательность {/^к{Е)}к сходится к конечному пределу /J-(E). Пусть {fk}k ~ последовательность конечных функций, определённых на X, причём для любого к Є N функция fk является /^-интегрируемой, и для всякого х Є X последовательность {fk{%)}k сходится к конечному пределу f(x).
Тогда для того, чтобы функция / была /і-интегрируемой и для всякого множества Е Є Т выполнялось равенство
lim fkd[ik= if dfi,
k^JE JE
необходимо и достаточно, чтобы последовательность неопределённых интегралов {J fk d/Jk}k была равностепенно абсолютно непрерывной относительно последовательности мер {/J-k}k-
В этой теореме, в отличие от классических теорем о предельном переходе, последовательность функций точки сходится всюду. Применение столь сильного вида сходимости (по сравнению с обычными для теории интеграла сходимостью почти всюду и сходимостью по мере) представляется значительным недостатком теоремы Арешкина-Алексюка-Климкина. Заметим также, что как и в теореме Витали, в теореме Арешкина-Алексюка-Климкина используется понятие равностепенной абсолютной непрерывности последовательности неопределённых интегралов относительно последовательности мер.
ЦЕЛЬ РАБОТЫ. (1) найти условия равностепенной абсолютной непрерывности двух последовательностей функций множества; (2) ослабить в теореме Арешкина-Алексюка-Климкина условие сходимости последовательности функций точки всюду.
МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЙ. Используются методы теории неаддитивных функций множества, теории меры, теории функций действительной переменной.
НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Все основные результаты диссертации являются новыми и приводятся с полными доказательствами. Введены новые понятия
слабой диагональности последовательности функций множества и диагональной непрерывности последовательности функций множества. С использованием понятия слабой диагональности последовательности функций множества получен критерий равностепенной абсолютной непрерывности двух последовательностей функций множества. С использованием понятия диагональной непрерывности последовательности функций множества также получен критерий равностепенной абсолютной непрерывности двух последовательностей функций множества. Получены обобщения теоремы Арешкина-Алексюка-Климкина для следующих случаев сходимости последовательности подынтегральных функций: по интегрирующим мерам; по предельной мере; относительно последовательности интегрирующих мер, если последовательность мер слабо диагональна или диагонально непрерывна. Получено достаточное условие равномерной непрерывности последовательности слабо регулярных неаддитивных функций множества, как в произвольном сг-топо-логическом пространстве, так и в хаусдорфовом топологическом пространстве.
ПРАКТИЧЕСКАЯ И ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ. Диссертационная работа носит теоретический характер. Её результаты представляют интерес для исследований в рамках теории меры и интегрирования, теории вероятностей и математической статистики. Они могут быть использованы в процессе подготовки спецкурсов и семинаров для студентов математических специальностей университетов.
АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Основные результаты диссертации прошли апробацию на семинаре по уравнениям математической физики СамГУ (Самара, 2000 г., руководитель семинара — проф. О. П. Филатов), на семинаре по функциональному анализу и теории функций СамГУ (Самара, 2007 г., руководитель семинара — проф. С. В. Асташкин), на семинаре по дифференциальным уравнениям РУДИ (Москва, 2007 г., руководитель семинара — проф. А. Л. Скубачевский), на семинаре отдела теории функций МИАН (Москва, 2007 г., руководители семинара — акад. РАН С. М. Никольский и чл.-корр. РАН Л. Д. Кудрявцев), на семинаре по алгебрам операторов и их приложениям КазГУ (Казань, 2008 г., руководитель — проф. А. Н. Шерстнёв) на Воронежских зимних математических школах (г. Воронеж, 2007, 2008 г.г.)
ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[6] и являются новыми. Из совместных работ [3]-[5] в диссертацию вошли только принадлежащие автору результаты. Работы [3]-[6] соответствуют списку ВАК.
СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ. Диссертационная работа состоит из введения, трёх глав, разбитых на восемь параграфов, и списка литературы (52 наименования). Общий объём диссертации — 129 страниц машинописного текста.
