Содержание к диссертации
Введение
1 Введение 3
1.1 Предмет исследования 3
1.2 Обзор литературы 5
1.3 Основные результаты 12
2 Большие по норме потенциалы 19
2.1 Асимптотики 19
2.2 Локальный изоморфизм 21
2.3 Глобальный изоморфизм 24
2.4 Большие нечётные потенциалы 27
2.5 Перестановки, которые сохраняют спектр 29
2.6 Пример N = 2 32
2.7 Доказательства вспомогательных утверждений 34
3 Малые по норме потенциалы 44
3.1 Асимптотики 44
3.2 Изоспектральное множество 49
3.3 Доказательства некоторых утверждений 52
4 Оценки 54
4.1 Краткое содержание 54
4.2 Отображение z(k, h) 56
4.3 Зависимость между корнями полинома и его высотами 58
4.4 Оценки и асимптотики 59
4.5 Лакуны 62
4.6 Оценки спектральных данных 67
5 Общие результаты о конформных отображениях 68
5.1 Конформная эквивалентность континуумов 68
5.2 Гомеоморфизм пространства вложенных континуумов 72
6 Литература 77
- Основные результаты
- Перестановки, которые сохраняют спектр
- Доказательства некоторых утверждений
- Зависимость между корнями полинома и его высотами
Введение к работе
Актуальность работы. В диссертации изучается обратная спектральная задача для дискретного одномерного оператора Шрё-дингсра, возмущённого периодическим потенциалом. История обратных спектральных задач восходит к середине XX века к работам таких авторов, как G. Borg, N. Levinson, И.М. Гельфанд и Б.М. Левитан, В.А. Марченко, М.Г. Крейн и др.. Первыми начались исследования обратных задач для некоторых дифференциальных операторов. Так, для обратной задачи рассеяния на полупрямой, в 1955г. М.Г. Крейн и В.А. Марченко получили необходимые и достаточные условия на спектральную функцию, соответствующую потенциалу.
Так же хорошо известна'обратная задача для дифференциального оператора Шредингера с периодическим потенциалом (оператора Хилла): В 1975г. Марченко и Островский [1] рассмотрели квазиимпульс, как конформное отображение и доказали, что между спектральными данными (высоты разрезов квазиимпульса с нужными знаками) и потенциалом существует взаимно-однозначное соответствие. Там же получены двусторонние оценки нормы высот квазиимпульса через норму потенциала, но одна из оценок экспоненциально завышена. В 1984г. J. Garnet и Е. Trubowitz [2], опираясь на работу [1], показали, что отображения h : Н —> 1\ и L : Н — /2 есть вещественные аналитические изоморфизмы, здесь h и L это соответствующие спектральные параметры: высоты квазиимпульса и длины спектральных лакун, все параметры со знаками, а Н это пространство чётных потенциалов с 2-нормой. Там же указаны оценки ||Gj| через ||Л||, но важная задача о двусторонних оценках нормы потенциала через ||L|| ещё долгое время оставалась нерешённой. Позже (1997i.) П.П. Каргаев и Е.Л. Коротяев [3] существенно упростили доказательство изоморфизмов из [2], отчасти благодаря применению общих теорем нелинейного функционального анализа к отображению между потенциалом и спектральными данными. Впоследствии Коротяеву [4] удалось найти двусторонние оценки нормы высот квазиимпульса и длин спектральных лакун через норму потенциала. К сожалению вопрос о точности большинства оценок остаётся открытым.
Отметим, что получение оценок и вопросы о взаимно - однозначном соответствии различных спектральных параметров приводят
К задачам О КОнфорМНЫХ птпйра-ягрттисту ГПЄ"«я пкнпт иипя. МНОГО-
связных областей, см. например препринт Каргаева и Коротяева [5]. Эти задачи напрямую не связаны со спектральной теорией и интересны сами но себе.
Параллельно с обратными задачами для дифференциальных операторов изучались обратные задачи и для так называемых дискретных операторов. Одна из таких известных задач есть обратная задача для периодической матрицы Якоби. Так в 1976г. Р. van Moerbeke [6] показал, что в общем случае одного спектра для восстановления потенциала недостаточно, и построил набор спектральных данных по которым потенциал определяется однозначно. В работе не было характеризации спектральных данных, она получена позже другими авторами. В 1993г. D. Battig, В. Grebert; J.-C. Guillot и Т. Kappeler [7] нашли изоморфизм между пространством потенциалов матрицы Якоби и пространством спектральных данных, связанных с длинами спектральных лакун. Следует отметить, что связь со спектральными лакунами не совсем явная. В препринте [8] Коротяевым построен явный изоморфизм между потенциалами матрицы Якоби и спектральными данными, непосредственно связанными с длинами спектральных лакун. И в препринте [9] автором и Коротяевым построен явный изоморфизм между потенциалами матрицы Якоби и спектральными данными, непосредственно связанными с высотами квазиимнульса. Наконец, в работе автора [14] получены точные двусторонние оценки различных спектральных данных через потенциал.
Дискретные операторы Шрёдингера есть важный частный случай матриц Якоби. Важность также состоит в том, что эти операторы есть дискретный аналог дифференциальных операторов Шрёдингера. Следует отметить, что результаты обратной задачи для матриц Якоби не дают решения обратной задачи для дискретных операторов Шрёдингера, происходит это по нескольким причинам: 1) спектральные данные для матриц Якоби содержат много лишней информации, если их использовать для оператора Шрёдингера; 2) не удаётся получить характеризацию таких спектральных данных. Оказалось эффективным начинать исследование обратной задачи для оператора Шрёдингера, взяв в качестве спектральных данных минимальный набор параметров, т. е. спектр или изоспектральные данные. Здесь нужно упомянуть две работы, в которых были найдены асимптотики спектра при больших и малых потенциалах, авторы этих статей Y. Last [10] (1992) и P. van Mouche [11] (1995). В
' 4
диссертации также найдены аналогичные асимптотики, но использовался другой подход, т.к. основная цель была обратная задача.
Цель работы. Целью диссертации является изучение следующих вопросов, которые ставит обратная задача, и некоторых общих вопросов комплексного анализа:
-
Единственность. Найти области в пространстве потенциалов, в которых потенциал восстанавливается однозначно по заданному спектру.
-
Характеризация. Найти условия на набор величии, чтобы они соответствовали спектральным данным при некотором потенциале.
-
Получить точные двусторонние оценки спектральных данных через потенциал.
-
Обобщить результаты о взаимно-однозначном соответствии геометрических параметров при конформном отображении специального вида многосвязных областей на широкий класс многосвязных областей.
Методика исследований. Для выявления областей изоморфизма спектральной функции проводится непосредственное изучение функции Ляпунова с использованием различных комбинаторных методов и некоторых общих топологических и аналитических приёмов. Для получения точных оценок решаются соответствующие экстремальные задачи. Также используется техника комплексного анализа в сочетании с методами конечномерной топологии (Т. Брауэра о сохранении области и т.д.).
Научная новизна и значимость работы. Представленные в диссертации результаты получены в период с 2002 по 2005 год и все они являются новыми. Работа носит теоретический характер, помимо конкретных результатов по обратной спектральной задаче для дискретного периодического оператора Шрёдингера, она содержит в себе также общую схему исследования, которая может быть применена к другим задачам.
Практическая значимость работы определяется возможностью применения разработанных методов к другим обратным задачам и задачам комплексного анализа, и также потребностями физических исследований.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре по математическому анализу в Санкт-Петербургском отделении Математического Института РАН им. В. А. Стеклова (2004), семинаре Потсдамского Университета (Германия), и на INTAS кон-
форгпции "Spectral problems for Schrodinger-type operators II" в Университете им. Гумбольдта в Берлине (2003).
Публикации. По теме диссертации опубликованы три печатные работы [12], [13], [14], еще одна работа подготовлена к печати [15].
Структура и объем работы. Диссертационная работа, объемом 81 страницу, сосгоиг из пяти глав, разбитых на 21 параграф и списка литературы, содержащего 68 наименований.
Основные результаты
Теперь приведем некоторые оценки из [L]. Эта работа посвящена дискретному периодическому оператору Шрёдингера, то есть все а = ... — a f = 1, что будем обозначать а = 10. Пусть и(с) — sup„b„ — infnb„ для потенциала с = (1о,Ь), тогда мера Лебега спектра оператора Jc (напомним, что мы используем обозначения принятые в начале этого параграфа) оценивается снизу как
Вообще плоскости Ь{ = bj, і ф j являются "особыми"плоскостями для оператора Шрё-дингера, так в данной диссертации показано, что окрестности этих плоскостей при больших по норме потенциалах Ь сосредоточены границы раздела областей глобального изоморфизма изоспектральной функции h, подробнее см. замечание после Теоремы (1.4).
В работе [vMo] получены асимптотики спектра оператора Шрёдингера при больших и малых потенциалах (метод сильно отличается от того, который использовался в данной диссертации для получения похожих асимптотик).
Теперь кратко опишем историю обратных задач для случая дифференциальных операторов, поскольку многие методы и идеи, оказавшиеся полезными в решении обратной задачи для периодической матрицы Якоби, ещё раньше применялись в решении обратных задач для дифференциальных операторов. Рассмотрим оператор Хилла действующий в L2(R), где Vi Є L2(0,1) есть 1-периодический вещественный потенциал. Хорошо известно, что спектр оператора Т абсолютно непрерывный и состоит из интервалов
Эти отрезки разделены лакунами Glf G2,..., где Gn = (А , Л+). Если лакуна вырождена, то есть Gn = 0, то соответствующие сегменты сг„,сг„+1 сливаются. Пусть Z?„, п 1 есть спектр Дирихле, то есть спектр уравнения с граничными условиями /(0) = /(1) = 0. Хорошо известно, что Dn Є \А , Л+].
Оператор Хилла является одним из самых простых дифференциальных операторов с периодическими коэффициентами. При изучении оператора Хилла возникает две тесно связанные задачи. Первая - прямая спектральная задача. Вторая - обратная задача. Исследуется зависимость потенциала от спектральных параметров, длин лакун и т. д.. В частности, восстановление потенциала по некоторому набору данных.
Одним из первых решение этих задач сделано в работе Марченко и Островского [МО]. Они ввели квазиимпульс, как конформное отображение спектральной плоскости с разрезами по длинам лакун на "гребёнку" Я", то есть на комплексную плоскость с вертикальными симметричными разрезами, проходящими через точки кратные тг. Для взаимнооднозначного соответствия на каждом двустороннем разрезе с номером п выбиралась точка, образ точки Дирихле при конформном отображении квазиимпульса, и знак + или —. При этом получено взаимнооднозначное соответствие между этими данными и периодическим потенциалом. На этом пути удалось найти двусторонние оценки потенциала через высоты вертикальных разрезов где А и С некоторые абсолютные константы, и q\ — V\ — 70, fo = /0 Vi(t)dt, т.е потенциалы с нулевым средним. Оценки эти не точны, т.к. для получения использовалось неравенство Бсрнштейпа.
Пастур и Ткаченко [PTj обобщили некоторые результаты [МО] на случай предельно периодических потенциалов. Гарнет и Трубовиц [GaTr] исследовали случай чётных потенциалов, они доказали, что отображение h : Н — 1\ и L : Н — I2 есть вещественные аналитические изоморфизмы. Здесь h = {frn}f есть высоты "со знаком"разрезов гребёнки в определении квазиимпульса; отображение L — {n}i определяется как Ln = Dn — Nn разность между собственными числами задачи Дирихле Dn (см. (1.6)) и собственными числами задачи Неймана (то есть граничные условия в (1.6) будут / (0) = / (1) — 0), заметим, что Nn Є Gn (см. после (1.5)) и jL„ = \Gn\ в том и только том случае когда потенциал чётный; пространство Н это чётные вещественные потенциалы с 2-нормой; и наконец I2 стандартное весовое пространство. Там же указаны оценки G через \\h\\: \\G\\ l/ijji(4+ [fti)i но важная задача о двусторонних оценках \\Vi\\ через \\G\\ ещё долгое время оставалась нерешённой.
Впоследствии Коротяеву удалось получить двусторонние оценки для оператора Хил-ла в общем случае (не только для чётных потенциалов), так в работах [Ко], [К4], [Кб] были найдены следующие двусторонние оценки здесь q\ = V\ — qQ, qa = JQ Vi()d, т.е потенциалы с нулевым средним. Важную роль для получения этих оценок играли тождества для интеграла Дирихле, найденное в [К] (здесь приведён сокращённый вариант) где z(k) есть обратное отображение к квазиимпульсу, который ввели Марченко и Островский в [МО] (см. выше). Затем в работе [К7], в случае оператора Хилла с гладким потенциалом, были найдены двусторонние оценки нормы производных потенциала через норму различных спектральных данных. Каргаев и Коротяев в [КК2] нашли двусторонние оценки длин лакун эффективными массами для оператора Дирака. Также Коротяев [Ко] нашёл двусторонние оценки спектральных данных через потенциал для оператора Дирака. Отметим, что для получения оценок ключевую роль играет анализ конформных отображений специального вида областей, а не анализ самих дифференциальных операторов. Но всё же важный вопрос о точности большинства приведённых оценок остаётся неисследованным, в том смысле что: до какой степени можно улучшить эти оценки.
Несколько обратных задач было решено "аналитическим методом"в книге Пёшеля и Трубовица [РТг]. В работе Каргаева и Коротяева [КК1], [К], [К2] удалось существенно упростить доказательство многих изоморфизмов между спектральными данными и потенциалом для оператора Хилла за счёт использования так называемого "прямого метода". Суть данного метода состоит в применении достаточно общих теорем из нелинейного функционального анализа, при этом используется минимум свойств самого отображения, связанных с конкретной спектральной задачей. Одним из ключевых этапов этого метода является получение двухсторонних оценок спектральных данных через потенциал.
В дальнейшем прямым методом были решены и другие обратные задачи. Так в работе [К2] Коротяевым решена обратная задача (включая характеризацию) для оператора у" + г/у, где v Є 2(Т) (т.е. v есть распределение) и Т = R/S, так же получены двусторонние оценки для этого случая.
Перестановки, которые сохраняют спектр
Доказательство. Часто диаметр множества К мы будем обозначать просто как d(K). Пусть d(Kx) = \zi — z2\ для некоторых z ,z2 Є К\ и d(K2) = \w\ — w2\ для некоторых u i,u 2 Є К2. Обозначим за / однолистное отображение между С \ К\ и С \ К2 с асимптотикой f(z) = z + 0(г-1), z —+ со. Далее, отображение h(z) = j - однолистно отображает С \ Кх на некоторую область , и отображение g(w) = тс_)№ однолистно отображает С \ К2 на некоторую область Е. Тогда композиция k = h"ljg однолистно отображает область D на область Е. Из определения диаметра (5.1) видно, что максимальные радиусы кругов с центром в 0, которые целиком содержатся в областях D и Е равны jjTj -r и -щ соответственно. Используя асимптотику / и явный вид для д и /і, мы получаем так же, что А:(0) = 0 и к (0) = 1. Теперь всё готово для применения известного результата о константе Кёбе: пусть функция к однолистна в круге \z\ г и k(Q) = 0, Аг (О) = 1, тогда круг \w\ j целиколі покрывается образом круга \z\ г при отображении к, откуда и получаются оценки (5.2).
Замечание 5.2. В случае, когда одіта из компактов отрезок, одну из оценок в (5.2) можно сделать точной. То есть, если К\ К2 = [а,Ь], тогда d(K\) \Ь — а\. Доказательство такое же как и доказательство Предложения 5.1, только вместо g(w) = _ нужно брать функцию, однолистно отображающую область С \ [а, Ь] на круг с центром в 0 (со должна перейти в 0). Это отображение можно выразить в явном виде, как композицию линейного отображения и функции Жуковского,
Континуумом будем называть связный компакт в С дополнение к которому также связно. Континуум будем называть симметричным, если под действием оператора комплексного сопряжения он переходит в себя. Если К симметричный континуум, то легко видеть, что множество КпШ. будет непустым и связным, то есть КПШ. = [а, 6], а 6. Пусть A"i, К2 дизъюнктные симметричные континуумы и Kn nR — [аП)М, n 2-Будем говорить, что К2 находится справа от К\ и так же К\ находится слева от К2, если Ь\ а2. Так же если дан конечный набор дизъюнктных континуумов Kn, n = 1,.., N, то будем говорить, что он упорядочен по возрастанию, если Кп+\ находится справа от Кп при всех n = 1,.., JV — 1. Мы часто будем рассматривать области вида С\У Кп, где Кп, п — 1,.., N конечный набор дизъюнктных симметричных континуумов, очевидно, что в этом случае, не умаляя общности, можно считать набор континуумов упорядоченным по возрастанию.
Одним из фундаментальных результатов о конформных отображениях многосвязных областей область В плоскости г можно однолистно отобразить па плоскость С с N конечными и прямолинейными разрезами наклона в к вещественной оси и притом так, чтобы заданная точка z = а переходила в = со и чтобы разложение отображающей функции около z = а имело вид т4-Оі(г —а) + ... или z+ - + ..., смотря по тому, конечно а или нет. Существует только одна функция, совершающая такое отображение. Мы будем пользоваться важным частным случаем теоремы Гильберта, а именно
Теорема 5.3. Яусть симмєтргічньїє континуумы. 7п, п = 1,.., N попарно дизъюнктны и, для определённости, упорядочены по возрастанию. Тогда существует единственный набор дизъюнктных упорядоченных по возрастанию отрезков fn = [aJu&JJ С К, га = 1,.., ЛГ и единственная функция f имеющая разложение /(г) = г++... в окрестности z = со, которая осуществляет однолистное отображение N-связной области П = С \ U7n на N-связную область О! — С \ U7 Доказателъство. По теореме Гильберта существует единственный набор дизъюнктных отрезков /3„, п = 1,..,N, параллельных вещественной оси и единственная функция / имеющая разложение f(z) = г + + ... в окрестности г = со таких, что / осуществляет однолистное отображение ІУ-связной области Q на УУ-связную область Q = С\И0п. То же самое делает и функция f(z), значит, ввиду единственности такой функции, имеем m = Hz). (5.3) Множество 7п П R есть отрезок, обозначим jn Л R = [о„, 6П]. Ввиду однолистности / и свойства (5.3), получается, что образы открытых промежутков вещественной оси под действием / перейдут в открытые же промежутки на вещественной оси. В частности f{{bn,an+i)) = (cn,dn+i), n = 0,..,N, Ь0 = со = -со, aN+i = dN+l =+оо, (5.4) для некоторых вещественных с„, d„, заметим что здесь для описания образа бесконечных промежутков также использовалось разложение / около z = со. Все промежутки-образы в (5.4) попарно дизъюнктны, следовательно, кроме них на вещественной оси есть ровно N замкнутых отрезков, точки которых не являются образом никакой вещественной точки из области ft, а значит, ввиду однолистности / и ввиду (5.3) не являются образом вообще никакой точки из 1. Тем самым, эти iV замкнутых отрезков на вещественной оси и есть 0п, п = 1,.., N. Теперь упорядочим отрезки 0п по возрастанию и обозначим после этого /п. ш Следствие 5.4. В условиях Теоремы 5.3 будет f(z) = f(z) и, если обозначим 7„ П К = [ви А]» то Для завершения доказательства достаточно показать упорядоченность tf„ а+1, а 6JJ, п = l,..,N, так как наборы точек {a n,b n} =1 и {а Ь } =1 совпадают, что видно из (5.6), (5.4) и окончания доказательства Теоремы 5.3. Рассмотрим прямые а п = {dn + it, t Є Щ, dn = -"—"" , п = 1,.., JV — 1 и прообразы этих прямых ап = /-1(стп)- Прямая а п разбивает область fi на две связные подобласти fi и fi n, где ГУ = {гєП : Rez c n}, ГЇ + = {гЄїУ: Rez }. (5.7) Также прямая ап разбивает область fi па две связные подобласти Q — f l(Q ) и ГЇ+ = /_1(Q ). Пусть Сп = /"НО- Ясно что (6„, с„) целиком принадлежит какой-то одной из областей fi или Гї , так как оп только в одной точке пересекает вещественную ось. Обозначим эту область fin. И промежуток (Ь„_і,а„) С Пп, так как он примыкает к связному множеству 7ni к которому так же примыкает {Ьп,сп) С fi„. Двигаясь таким образом от промежутка к промежутку и используя связность 7ji получим что (bj,aj+i) С fi„, j = 0,..,7(- 1. Но из (5.4) следует, что (boi i) С fi , значит Qn = fi . Отсюда с учётом (5.4) и определения областей Q , Q следует, что а" dn и Щ dn при j — 1,..,п. Точно так же показывается, что dn a", dn Щ при j = п + l,..,iV. Откуда, в итоге и следует искомая упорядоченность Ь а"+1, aJJ 6 , п = 1,.., N. и Лемма 5.5. В условиях Теоремы 5.3 пусть f l(z) = u(z) + iv(z) разложение на вещественную и мнимую части, тогда существует w є L{Wyn), что Доказательство. Фиксируем x Є R\U7„. Окружим каждый отрезок 7п прямоугольным контуром рп(б, S), две боковые грани которого параллельны мнимой оси и проходят через точки а п — S и Уп + 5, 8 0 соответственно, а вертикальные грани параллельны вещественной оси и отстоят от неё на расстоянии є 0. Выберем 5 0 настолько малым, чтоб точка х оставалась слева при обходе каждого контура по часовой стрелке. По теореме Коши имеем
Доказательства некоторых утверждений
Тогда h : Л/ — Е2ЛГ-2 есть вещественный аналитический изоморфизм. Так же получаем, что h = d/inl} 1 : М — [0,+оо) -1 есть сюрьекция на всё [0,+00) -1 и если /j(c) = / (с1), то спектры соответствующих матриц Якоби совпадают a(Jc) = er(Jci). Таким образом спектральные высоты h, как и спектральные лакуны 7 (см. выше), являются "хорошими"изоспектральными параметрами в том смысле что они однозначно определяют спектр, и множество всех возможных спектральных высот легко описывается (это всё [0, -boo) "1).
Отметим, что отображение h есть некоторый аналог отображения Марченко - Островского в случае непрерывных дифференциальных операторов (см. [MJ, [К]), и подобные изоспектралыше свойства для непрерывного случая так же известны.
На самом деле между спектральными параметрами и h существует непосредственная связь. Возьмём комплексную плоскость и уберём из неё N — 1 симметричных разрезов, идущих вдоль фиксированных гипербол, точнее, для любого вектора h = {/ц} 1 Є [О.+со) -1 определим область Тогда, по Теореме Гильберта, существует единственное конформное отображение f(z) = z + Q + 0(z 2) области L(h) на плоскость без IV — 1 разреза, лежащего на вещественной оси, то есть на область вида CXU T fonf/i), bn(h)], где ап Ьп ап г. Значит мы можем определить отображение 1(h) = {ln(h)}n=i є [Оі+оо) "1! где ln(h) = bn(h) — an(h). Так вот оказывается что l(h(c)) = 7(с) то есть определённые выше изоспектральные параметры для матрицы Якоби связаны соотношением, в определении которого не участвуют никакие понятия, связанные с матрицей Якоби, только конформные отображения специального вида областей. Тем самым, если / : [0, -foo) -1 — [0,+00) 1 есть гомеоморфизм, то из того что h (или т) являются "хорошими"изоспектральньши параметрами (см. выше) следует, что и 7 (или h) также являются "хорошими"изоспектралъными параметрами. Еще раз отметим, что задача о гомеоморфности / напрямую не связана с матрицей Якоби и, вообще говоря, подобные задачи имеют самостоятельный интерес.
Например в [КК] рассматривались конформные отображения из плоскости без счётного числа симметричных вертикальных разрезов, отстоящих друг от друга на расстоянии больше или равном т 0, в плоскость без горизонтальных разрезов. Эти отображения соответствуют оператору Хилла, для которого h и 1(h) являются спектральными параметрами. Обозначим вектор высот вертикальных разрезов h = {hn}nzz, ПРИ этом h Є J2( ) и считаем, что высоты имеют знак (конформное отображение от этих знаков не зависит), а вектор длин соответствующих горизонтальных разрезов обозначим y(h) = {7n(fr)}neZ) 7n 0 и введём вектор длин разрезов "со знакомnl(h) = {ln(h)}nzz, где ln = ynsignhn. Так вот в [КК] доказано, что / : 12(Ъ) — l2(li) есть вещественный аналитический изоморфизм,
В случае конечного числа разрезов удаётся существенно расширить класс областей для которых отображение типа / (как в примерах выше) будет гомеоморфизмом (подробнее см. в разделе "Спектральные лакуны и общие результаты о специальных конформных отображениях"следующего параграфа и главу 5 "Общие результаты о конформных отображениях"). В частности получаем гомеоморфизм в случае гиперболических разрезов (матрица Якоби). Из-за того что класс областей достаточно широкий, отображение / уже не обязано быть гладким, поэтому методы доказательства гомеоморфности будут отличаться от тех, которые были в [КК], где проводился анализ производной отображения /.
Одним из важных вопросов являются оценки спектральных данных через потенциал. В работе [KoKrj получены оценки границ спектра и суммы длин спектральных лакун для периодической матрицы Якоби. А именно, пусть Пп=і n = 1 (используем обозначения из начала этого параграфа), тогда если — А = А 0 (этого всегда можно добиться добавлением константы к диагональным элементам), то
где a h+ достаточно непросто зависит от потенциала матрицы Якоби (в работе зависимость указана), но имеет оценкиВидно, что лакуны дп непосредственно связаны со спектральными лакунами 7л — (Л ,Л„"). К сожалению, в работе нет информации о том, насколько точны приведённые оценки.
Наконец, в работе автора [Кц] получены точные двусторонние оценки суммы длин спектральных лакун через норму потенциала. Точнее, пусть JV 3, с = (Ь, а) М (см. (1.4)) и с2 = 2аІ2 + ЬІ2 (здесь х = iz"l2)i обозначим сумму длин спектральных лакун І7І = І7(с)
Так же в работе [Ки] получены и точные оценки нормы спектральных высот \\h\\ через норму потенциала с2 для периодической матрицы Якоби (подробнее см. начало Главы "Оценки"Теорему 4.2 и замечание после Предложения 4.3). Используя эти оценки можно получить точные оценки для дискретного, периодического оператора Шрёдингера, что и сделано в Теореме 1.7. Теперь приведем некоторые оценки из [L]. Эта работа посвящена дискретному периодическому оператору Шрёдингера, то есть все а = ... — a f = 1, что будем обозначать а = 10. Пусть и(с) — sup„b„ — infnb„ для потенциала с = (1о,Ь), тогда мера Лебега спектра оператора Jc (напомним, что мы используем обозначения принятые в начале этого параграфа) оценивается снизу как Вообще плоскости Ь{ = bj, і ф j являются "особыми"плоскостями для оператора Шрё-дингера, так в данной диссертации показано, что окрестности этих плоскостей при больших по норме потенциалах Ь сосредоточены границы раздела областей глобального изоморфизма изоспектральной функции h, подробнее см. замечание после Теоремы (1.4). В работе [vMo] получены асимптотики спектра оператора Шрёдингера при больших и малых потенциалах (метод сильно отличается от того, который использовался в данной диссертации для получения похожих асимптотик). Теперь кратко опишем историю обратных задач для случая дифференциальных операторов, поскольку многие методы и идеи, оказавшиеся полезными в решении обратной задачи для периодической матрицы Якоби, ещё раньше применялись в решении обратных задач для дифференциальных операторов. Рассмотрим оператор Хилла действующий в L2(R), где Vi Є L2(0,1) есть 1-периодический вещественный потенциал
Зависимость между корнями полинома и его высотами
Теперь немного про матрицу Якоби. В работе [ККи] строится естественный набор спектральных данных Н = (йі„, /i2n)iJLi и доказывается, что Н : Ті2 —+ R2JV есть вещественно-аналитический изоморфизм, здесь Ті2 это пространство потенциалов и ТЇ = {х Є RN+1 : J2xn = 0}. А вот как связаны с этим наши параметры конформных отображений. Пусть h = {\\(hin(q),fi2n{Q))\\2}n i и Я = (х ) Є Н2, тогда 2(JV + l)Q2(h) — 2\\a\\l + ЩЦ, где a = {еХаJ- 1, и в этом случае G(h) это так называемые длины спектральных лакун, то есть расстояния между соседними зонами спектра матрицы Якоби с потенциалом q. Отметим ещё что заданные таким образом h однозначно определяют спектр матрицы Якоби с потенциалом q, а значит, по Предложению и лакуны G(h) однозначно определяют этот спектр. Все приведённые оценки легко переписываются на язык матрицы Якоби и мы получаем точные оценки спектральных данных через норму потенциала. Здесь и далее будем обозначать А, дА замыкание и границу множества А, и ej = {tfj.ijfcli стандартный базисный вектор, здесь 5 символ Кронекера, а размерность m будет видна из контекста. Так же если некоторый х Є IRm, то будем обозначать через Xk коэффициент при Єк в разложении х по базису {eJ} 1, Введём ещё обозначения и определим функции где To есть i?(i) это вектор высот полинома р(х, t), если высота равна 0, то считаем её столько раз, какова кратность корня производной. Легко заметить E(at) = aN+1t, а JV+1 0, так как р(х, at) = aN+lp(y, t), у = t так же видно что E(t + Q J ej) = E(t). Ещё отметим, что так как t = 0. Здесь и далее будем обозначать [г = YlT i т1 Для г т-Теперь определим так называемые "лакуны"полинома. Пусть t Є 7) тогда И функция G() = {СДі)} !, t є 7 определяется так здесь [x] ближайшее целое к х, которое не больше х. Промежутки 7j и будем называть "лакунами,,полиномар(х,). Известно (см. например [Ре]), что функция e(z,t), где при любом і 7 осуществляет конформное отображение (по г) области С+ на область K{h) (см. (4.1)) для некоторого h — h(t) Є R+, кстати Aj(t) = arccosh 0, j = 1..JV. Отметим, что в (4.14) выбирается ветвь радикала так, чтобы \m\/A p2{x,t) 0 при х а и чтобы множество разрезов этого радикала совпадало с {х Є R : р(х, t)\ 2}, фактически 6(z) это интеграл Христоффеля-Шварца. Из (4.11) и определения 6(z) следует Значит (ем. (4.2)) fc(z, h(t)) = 6(z, t), так как такое конформное отображение единственно. Кроме того видно, что l(h(t)) = G(t), поскольку именно "лакуны"полинома р(х, t) переходят в вертикальные разрезы при отображении в(х, t). В итоге, объединяя всё вместе, получаем, что если hj = -щ агссоаЬЧр 0, j = 1..N для некоторого t V2, тогда (Л) = С(0, Q(ft) = -Jtt=, А={М&1- (4.15) 4.3 Зависимость между корнями полинома и его высотами Вначале приведём одну абстрактную Лемму, на основе которой покажем гомеоморфность Е. Отображение между двумя топологическими пространствами / : X — Y будем называть локально обратимым, если для любого х Є X существует открытое х Є Вх С X, что f{Bx) открыто и / : Вх — f(Bx) биекция. Лемма 4.4. Пусть X, У С RN открытые и связные множества, f : X —» Y локально обратимо, непрерывно вплоть до границы и f(dX) С dY. В случае, если X неограни-чено, предположим \\/(х)\\ — со, х — ее. Тогда, если существует у0 є Y, такое что / 1{уо) = о состоит из одной точки, то f биекция между X uY. Доказательство: Рассмотрим F = {х X : / 1(/{х)) = х}, заметим Хо Є F. Покажем, что F открыто. От противного, пусть существуют х Є F и последовательность хп — х и tn ф х„, что /(х„) = f(tn). Тогда \\tn\\ ограничена, так как f(tn) — /(я) ограничена и tn Вх некоторой окрестности х в силу локальной обратимости /, значит некоторая подпоследовательность tk — t ф х. Но t $ ЭХ, так как f(dX) С dY $ f(x) = f(t), значит t Є X и f(t) = /(х), t ф х, что противоречит х Є F. Теперь покажем, что F замкнуто в топологии X. Пусть последовательность хп — х X, хп Є F. Если бы существовала t ф х, f(t) = /(х), то из-за локальной обратимости / в точках t,x нашлись бы уп ф хп, f(yn) = f(xn), что противоречит х„ Є F, значит х є F. То есть F открыто замкнутое, непустое подмножество связного X, то есть X = F и значит / инъекция. Покажем, что / сюръекция. От противного, пусть Н = Y\ f(X) ф 0, тогда из-за связности Y и открытости f{X), И не может быть открытым, то есть найдётся у И С У, что у Є сїЯ С дДЛ") иЗУс ДЗХ) U 5У С дК, то есть у є У и у Є ЗУ, противоречие. В итоге / биекция. Следующая Лемма так же требуется для доказательства гомеоморфности Е и, па самом деле, представляет хорошо известные свойства полиномов Чебышева. Доказательство: Непосредственно проверяется, что tQ Є Va, СІ2 = \/2N + 2 и () = i=i 2ej. Теперь достаточно показать единственность с точностью до сдвига аргумента полинома, все высоты которого равны h. Пусть есть р(х) = xN+1 + 0(xN) и р(х) — хм+\ __ О(х ) с таким свойством. Пусть x +l ... х0 и x +i — х0 такие что p(xj) = p(xj) = (—l)Jft, то есть все точки, кроме крайних соответствуют экстремумам pup. Можно считать ха = Хо и Хдг+і XJV+I, тогда max \р{х)\ = /і и значитp(x.j) — p(xj) = (-1) -, hj 0. To есть в каждом о$ = [XJ,XJ-I] есть корень у р — р и если корень попал на границу ст,, то там он кратности не меньше 2, так как h это экстремальное значение для р и р. В итоге полином не более JV степени р — р имеет не менее N + 1 корней, то есть р — р = 0. Лемма 4,6. Отображение Е : VQ —» Е является гомеоморфизмом и непрерывно вплоть до границы. Кроме того (s), s Р0 существует и обратима. Доказательство: Непрерывность ясна. Далее фиксируем j, тогда Xi(s) ф Xj(s), г ф j, значит y (Xj(s),s) ф 0 и по теореме о неявной функции в некоторой окрестности $ существует и единственно решение уравнения &(y(t),t) — 0, y(s) — Xj-(s), кроме того y(t) гладкое, из единственности следует Xj(t) = y(t). Теперь в малой окрестности 5 имеем Ej(t) = \p(x.j(t),t)\ =p(xj((),f)signp(Xj(s),5) тоже гладкое.
