Содержание к диссертации
Введение
1 Обобщенные тетраэдральные группы 10
1 Предварительные результаты 11
1.1 Обобщенные треугольные и тетраэдральные группы 11
1.2 Графы групп 13
1.3 Теорема о правописании и представления в PSL(2, С) 19
1.4 Обобщенные тетраэдральные группы как треугольники групп 25
2 Несферические треугольники групп 27
2.1 Обзор известных результатов 27
2.2 Свободные подгруппы в группах с тремя порождающими 30
2.3 Случаи El, Е2 и ЕЗ 35
2.4 Случаи Е4 и Є5 38
2.5 Случай Еб 40
2.6 Случай Е7 43
3 Сферические треугольники групп 48
3.1 Введение 48
3.2 Орбифолды и геометрические структуры 49
2 Двупорожденные клейновы группы 54
4 Предварительные результаты 55
4.1 Введение 55
4.2 Двупорожденные группы с вещественными параметрами 56
4.3 Геометрические инструменты 62
5 Доказательство теоремы 4.2 71
5.1 Основная конструкция 71
5.2 т — дробное, 1/тте + 2/п < 1 76
5.3 m — целое, 1/т + 2/п < 1, и I — дробное, I > 1 83
5.4 т Є {оо,оо} я I — дробное, I > 1 88
6 Приложения 108
6.1 О гиперболическом орбифолде минимального известного объема 108
6.2 Параметры 110
6.3 Орбифолды с двупорожденной фундаментальной группой 114
Литература 124
- Графы групп
- Свободные подгруппы в группах с тремя порождающими
- Орбифолды и геометрические структуры
- Основная конструкция
Введение к работе
Диссертация состоит из двух независимых частей. Первая часть имеет дело с обобщенными тетраэдральными группами, т.е. группами, допускающими следующее копредставление: (xty,z\xl ^ym = zn = Wfayf = W2(y,z)o = Wz(z,x)r = 1), где каждое Wi(a,b) — циклически приведенное слово, включающее как а, так и Ь, и все степени являются целыми числами, большими 1.
Эти группы можно реализовать треугольниками групп, чьи вершинные группы являются обобщенными треугольными группами, т.е. группами с копредставлением вида {1,^ = ^ = 1^,^ = 1), где W{x,y) — циклически приведенное слово в свободном произведении (х | хр = 1) * (у | уя = 1), и р, q, г — целые числа, большие 1.
Изучение обобщенных треугольных групп имеет богатую историю. Оказывается, что такие группы могут быть фундаментальными группами геометрических орбифолдов. Первые такие орбифолды были построены Винбергом, Меннике и Хеллингом в статье [VMH]. В [JR98] Джонс и Рид доказали, что орбифолд с носителем S3 и сингулярным множеством двумостовое зацепление (или узел) с перемычкой имеет обобщенную треугольную фундаментальную группу.
Другое интересное поле исследования обобщенных треугольных групп — ИХ линейные свойства. В 1988 году Розенбергер выдвинул гипотезу о том, что обобщенная треугольная группа удовлетворяет альтернативе Титса. Это было доказано для многих групп, кроме некоторых особых случаев с г = 2 (см. [FR95]).
Нас интересует альтернатива Титса для обобщенных тетраэдральных групп. В (FLRR] Файн, Левин, Роэл и Розенбергер привели условия, при которых обобщенная тетраэдральная группа имеет существенное представление в PSL(2, С), и условия, при которых вершинные группы вкладываются в эту группу.
В [EHRT] Эджвет, Хауи, Розенбергер и Томас показали, что конечная обобщенная тетраэдральная группа, для которой хотя бы одно из чисел р, q, г больше 3, изоморфна обыкновенной тетраэдральной группе. В [RSTJ были классифицированы все конечные обобщенные тетраэдральные группы с кубическим соотношением, а в [RS01] Розенбергер и Шеер классифицировали конечные обобщенные тетраэдральные группы с точностью до пяти возможных исключений, которые они также перечисляют. Эти результаты покрывают значительную часть обобщенных тетраэдральных групп, но не дают полной картины происходящего.
Цель части I — доказать альтернативу Титса для обобщенных тетраэдральных групп, реализованных несферическими треугольниками групп.
В главе 1 мы приводим предварительные сведения, которые понадобятся нам в первой части диссертации, а также доказываем основные результаты для графов групп, которые будут использованы в главе 2. Мы доказываем, что амальгамированное произведение графа отрицательно изогнутого треугольника групп содержит неабелеву свободную подгруппу. В частности, обобщенная тетраэдральная группа, реализованная отрицательно изогнутым треугольником групп, содержит неабелеву свободную подгруппу.
Мы также улучшаем теорему о правописании, полученную в [EHRT]. Мы даем наулучшую возможную нижнюю границу длины соотношения в обобщенной треугольной группе. Это позволяет нам точно определить соответствующие вершинные группы в евклидовых и сферических треугольниках групп.
Графы групп
При заданных подгруппах А и В группы G включения А — G и В — G определяют гомоморфизм ф : А В — G. Если ф инъективен, то угол (Герстена-Столлингса) {G;AyB) полагают равным 0, в противном случае (G;A,B) полагают равным 7г/п, где 2п — минимальная длина нетривиального элемента в ядре Кег{ф). Пусть Г — связный граф, в вершины которого поставлены группы Gj, а ребра помечены такими группами С?ц, что каждая Gij — собственная подгруппа как О , так и Gj. Амальгамированным произведением графа Г называется группа Q, заданная порождающими и определяющими соотношениями вершинных групп вместе с соотношениями, которые появляются из свободных произведений с объединенной подгруппой d Gii Gj. Рассмотрим весовую функцию ф для Г, которая каждому углу графа Г, образованному двумя ребрами, сходящимися в одной вершине, ставит в соответствие неотрицательное вещественное число (угол Герстена-Столлингса между реберными группами в вершинной группе). Определим линк lk(Gi) вершины G{ в Г как полный граф на множестве ребер графа Г, инцидентных вершине Gj. Если дано слово w — gig2---gn в Gj, где ( є G , к = 1,...,п, то найдется замкнутый путь /i№ = 7і72---7л в линке lk(Gt), проходящий через вершины линка Gjj!, Gij2, ..., Gija так, что 7t соответствует углу графа Г, образованному ребрами, помеченными GiJk и Gtjfc+1. Тогда мы полагаем ф{ ) — Y j=\ Ф(ъ)- Замкнутый реберный путь а = ете2... е„ в Г определяет последовательность углов №& = 7ь 17ni гДе 7» угол образованный ребрами е И ЄІ+I ДЛЯ г = 1,..., тг— 1, и ребрами еп и Єї для г — п. Тогда мы полагаем ф( а) = 2Г=і Ф{ъ)- Будем говорить, что граф Г является несферическим, если он удовлетворяет следующим двум условиям: (1) если w — 1 в Gi, то ф(Дш) 2тг; (2) если а — простой замкнутый путь длины А: в Г, то ф(ца) {к — 2)7г. Существует более общая концепция двумерных комплексов групп, введенная Корсоном [Сог95]. Наше определение несферического графа групп является частным случаем корсоновского определения несферического комплекса групп, в котором все двумерные ячейки помечены тривиальными группами.
Справедлива следующая теорема: Теорема 1.2 ([Сог95]). Вели G — несферический комплекс групп, то вершинные группы вкладываются в TTI(G). Под 7Ti(G) понимается комбинаторная фундаментальная группа комплекса групп. Если G — граф групп, то 7Ti(G) совпадает с амальгамированным произведением графа G. Теорема 1.2 для треугольника групп впервые была доказана Столлингсом в [Sta91l. Фактически, нам будет нужен общий результат Корсона только в утверждении 1.2. Все прочие результаты получены для треугольников групп, так что для них общая теория не понадобится. Отрицательно изогнутые треугольники групп Рассмотрим особый случай графа групп, треугольник групп (см. рис. 1.1). Такой треугольник групп называется сферическим, если (G\;X, У) + (Сг;У, Z) + (G3\Z,X) тг, и несферическим в противном случае. Среди несферических треугольников выделяют евклидовы и отрицательно изогнутые в зависимости от того, будет сумма углов равна или меньше п. Утверждение 1.1. Пусть Г — отрицательно изогнутый треугольник групп. Тогда его амальгамированное произведение Q содержит свободную подгруппу ранга 2. Доказательство. Воспользуемся идеями работы [ERST]. Пусть Q — амальгамированное произведение треугольника групп, изображенного на рис. 1.1. Если одна из реберных групп, например, X, тривиальна, то, фактически, Г является деревом, т.е. G — свободное произведение с объединенной подгруппой G\ у С?2 z G3 = (Gi y G2) сг ( 2 z G3). Поскольку Y и Z — собственные подгруппы Сг, группа G2 имеет бесконечный индекс как в G\ у G2, так и в Gi z G3. Следовательно, Q содержит свободную подгруппу ранга 2. Предположим, что X, У и Z нетривиальны. Поскольку треугольник групп отрицательно изогнут, существует є О, такое что 7г ((Gi; X, Y) + (G2; Y, Z) + {G&ZtX)). Рассмотрим и = (хуг)р и v = (xzy)p, где р — 4[1/є] + 1, х Є X, у є У, z Z\ далее мы покажем, что и и v порождают свободную подгруппу группы Q. Известно, что и к v имеют бесконечный порядок [ERST]. Допустим, найдется w(u,v) = 1 в Q. Рассмотрим диаграмму ван Кампена К, граница которой помечена словом w(u,v). Пусть D — экстремальный диск диаграммы К. Диск D разбит на Gi-, G2- и G3-регионы. Если два Gi-региона пересекаются хотя бы по одному ребру, то мы объединяем их в один регион. Продолжим этот процесс, пока возможно, и получим максимальные G{-регионы для г = 1,2,3. Поскольку вершинные группы вкладываются в С?, можно считать, что максимальные регионы односвязны. Результирующую диаграмму обозначим D. Ребром в D назовем путь, помеченный элементами только из X, или только из У, или только из Z. Поместим D на сферу и возьмем двойственную к ней диаграмму D . Пусть Vb — вершина, соответствующая S2\D. Регион диаграммы D назовем внутренним, если он не содержит Vb, и внешним в противном случае. Заметим, что каждый внутренний регион является по крайней мере треугольным. Каждому углу при вершине степени d в диаграмме D назначим величину 2ir/d. Тогда кривизна с(Д) региона Д степени к, вершины которого имеют степени d , 2, ..., ok, определяется по формуле Пусть Д — внутренний регион диаграммы D степени 3. Тогда /2тг 2тг 27г\ с(Д) = - +(- + - + - -- + tGi;X y) + (G Y Z) + (G3;Z,X) 0. Легко видеть, что кривизна внутреннего региона степени к 3 также отрицательна. Таким образом, сумма кривизн внутренних регионов отрицательна.
Рассмотрим внешние регионы. Заметим, что внешний регион может быть и двуугольным. Максимальная сумма кривизн внешних регионов достигается при максимальном числе двуугольников. Заметим, что сокращение в го может произойти только в случае, когда [u-1!»] 1 = [(z ly 1x 1)p 1z ly lx 1xzy(xzy)v 1]±1. Рассмотрим путь, помеченный той частью слова u)(u,u), где имело место сокращение, например, (z ly 1x 1)p 1z 1y 1zy. Кривизна такой цепочки S внешних регионов диаграммы D вдоль этого пути будет максимальной, когда z ly lzy будет частью Сг-региона, и регионы диаграммы D степени 2 и 3 будут чередоваться. Поскольку р нечетно, S начинается с бг-региона и заканчивается в С -регионе (см. рис. 1.2). Более того, число треугольников в S равно JV3 = 3(р — 1)/2, а число двуугольников в S равно TVa = 3(р — 1)/2 + 2, Сумма углов при каждой вершине цепочки S, отличной от VJ), например, помеченной G\, не превышает 3(Gi\X,Y), и сумма углов при вершине Vo равна 2irNs/d0, где da — степень Vo, и Ns = N2 -+ N$. Заметим, что мы имеем (р — 1)/2 максимальных Gj и Сз-регионов и (р — 1)/2 + 1 максимальных Сг-регионов для 5. Тогда Для цепочки 5 регионов диаграммы D вдоль пути, который не содержит сокращений, c(S) fNs. Далее, число внешних регионов диаграммы D равно d. Значит, Мы пришли к противоречию. D Несферические графы групп Утверждение 1.2. Пусть Г — несферический граф групп, имеющий более одного ребра, такой (г) существует реберная группа, содержащая по крайней мере 3 элемента; (и) каждый простой замкнутый путь имеет длину по крайней мере 4. Если Q амальгамированное произведение графа Г, то Q содержит свободную подгруппу ранга Доказательство. Пусть Г— несферический граф групп, описанный в формулировке утверждения. Удалим из Г все ребра, помеченные тривиальными группами. Ясно, что эта операция не изменит Q. Если Г стал разрывным после удаления, то Q — свободное произведение и содержит свободную подгруппу, потому что по крайней мере один сомножитель Q имеет более двух элементов. Если Г связен и является деревом, то Q — свободное произведение с объединенной подгруппой с более чем тремя сомножителями. Тогда поскольку реберные группы являются собственными подгруппами вершинных групп, Q сдержит неабелеву свободную подгруппу. Предположим, что Г связен, но не является деревом. Пусть Gu — реберная группа, для которой Guj 3. Найдется такая реберная группа Gv, что Gu и G„ не будут подгруппами одной и той же вершинной группы. Мы заявляем, что Gu и Gv образуют свободное произведение. Предположим, что это не так, и w Рассмотрим диаграмму ван Кампена К, граница которой помечена словом w. Пусть D — экстремальный диск диаграммы К. Диск D разбит на Gi-регионы, тде d — вершинная группа.
Свободные подгруппы в группах с тремя порождающими
Следующие леммы будут неоднократно использованы в доказательстве теоремы 2.1. Лемма 2.1. Пусть Q = (х,у, z\xl = ут = z2 = Wx{x,yY = ... = W((x,fl)p = Wt+i{y,z)q = +2(2:,z)r = 1) — группа, для которой Wt+2(x,z) =1 ...1 : -циклически приведенные слова. Предположим, что ((х,у) , (х), (у)) тг/2, a / 4 u rfc3 4 — nemnwe числа. ТЬг а верно одно из следующих утверждений: (1) I = т = 2, 1/р + 1/ ? + 1/г = 1, u Q виртуально разрешима; (2) 2 = т = 2, 1/р + 1/ 7 + 1/г 1, и Q конечна; (3) Я содержит свободную неабелеву подгруппу ранга 2. Доказательство. Ядро гомоморфизма h : Q —» Z2, заданного посредством я, у — О, гн-» 1, изоморфно группе Группу Ker(h) можно представить как амальгамированное произведение следующего квадрата групп Очевидно, что (ВІ; 7L m) тг/2. Поскольку qk-i 4 и гА;з 4, углы при вершинах Л и С также не превышают тг/2. Следовательно, если I 2 или m 2, то Q содержит свободную подгруппу ранга 2 по утверждению 1.2. Если / — m = 2, то группа изоморфна группе lS."{p,q,r). Значит, если l/p + l/q + 1/г 1, то G содержит свободную подгруппу ранга 2; если 1/р + 1/?+ 1/г = 1, то Q виртуальна разрешима; Лемма 2.2. tfycm& Q = {x,y,z\xl = j/m = z3 = И у)2 = = H fa;, )2 = (у11 zy1 z2)2 = {x41 zxmz2)2 = 1), ({x, y); (x), (y)) тг/2 и no крайней мере одно из I и m больше, чем 2. Тогда Я содержит свободную подгруппу ранга 2. Доказательство. Пусть h — гомоморфизм группы Q на Ъ заданный посредством х;,у і—» О, z н-» 1. Его ядро имеет копредставление Группу Ker(/i) можно представить как амальгамированное произведение следующего графа групп: Для этого графа (B;;Z;,Sm) тг/2, все остальные углы между реберными группами в вершинных группах имеют величину тг/2, и, следователыю, по утверждению 1.2, Кег(/г), а значит, и группа Q содержат свободную подгруппу ранга 2. Лемма 2.3. Пусть Г — треугольник групп, изображенный нарис. 1.1 такой, что (и) существуют нетривиальные элементы, х Є X, у Є Y такие, что х1 ф 1, (ш) для всех а, (3, 7? ху2хух у7 ф 1 и ух2ухау х1 ф 1 в группе Gi. Если G — о«алъгаА ироеанмое произведение треугольника Г, то б содержит неабелеву свободную подгруппу. Доказательство. Будем действовать как в доказательстве утверждения 1.1. Если Z тривиальна, то Г является деревом, и Q содержит свободную подгруппу.
Предположим, что Z не тривиальна. Выберем х Є X и у є У как описано в формулировке леммы И Z Є Z. Пусть и — zxyzx 1y 1 и v = zx 1y 1zxy. Покажем, что и и v порождают свободную группу. По результатам {ERST, Утверждение 3.1], такие и и v имеют бесконечный порядок. Предположим, что существует слово w(u,v) = 1 в Q. Рассмотрим экстремальный диск D диаграммы ван Кампена для w(u,v). Поместим диаграмму D максимальных Gi-регионов на сферу и возьмем двойственную к ней диаграмму ) , Ясно, что кривизна внутренних регионов диаграммы D не положительна. Покажем, что кривизна внешних регионов также не положительна. Заметим, что цепочка внешних регионов диаграммы ) , соответствующая пути на границе диаграммы , который помечен словами uv и vu, имеет неположительную кривизну. Рассмотрим цепочку S внешних регионов, соответствующую пути, который помечен словом uv-1 = zxyzx 1y x 1z 1yxz J. Ясно, что кривизна c(S) максимальна, когда число двуугольников максимально, т.е. когда регионы упорядочены как показано на рис. Поскольку ху2х не является частью отношения длины б в группе Gi, все углы при вершине А не превышают п/4. Углы при остальных вершинах диаграммы D не превышают тг/3. Таким образом, c{S) -5 + 12 /3 + 4 /4 + 22 /( — 227r/d0, где dQ — степень вершины, соответствующей S2\D. Для цепочки, помеченной словом v u, аргументы аналогичны, Тогда Y2ACD 2тг, И мы пришли к противоречию. Следствие 2.1. Группа Q = (х, г/, z х1 — у = г2 — {ху)2 — (yz)3 = (xzx zx z)2 --= 1), где 3 / 5, содержит свободную подгруппу ранга 2. Доказательство. Подгруппа Н индекса 2 в G, порожденная элементами х и t — yz имеет копредставление Ядро гомоморфизма h : Н — Z3, заданного посредством х - 0, t і— 1, имеет копредставление Группу К можно представить как амальгамированное произведение треугольника групп с вершинными группами Поскольку (G3; X, Z) = тг/6, все углы треугольника равны тг/3. Для 2 5и1 ?} мы легко можем проверить, что никакое слово вида аЬ2а или ba2b не является подсловом тривиального слова длины 6 в группе Ki- Чтобы это сделать, отобразим К\ на одну нз конечных групп Si или 2; и проверим, будет ли аЬ2аЬга?Ък равно единице в образе. Оказывается, что ф{аЬ2аЬха?Ьк) ф 1 для всех г, j, к 1,...,/ хотя бы при одном гомоморфизме ф : Ку — F, где F — S\ или Z(. Тогда ab2a не будет подсловом тривиального слова длины бив группе К\. То же самое можно сказать и о группах Къ и К?,. Тогда К и, следовательно, Q содержат свободную подгруппу по лемме 2.3. Следствие 2.2. Группа Q — {x,y,z \ х2 — у2 — zn — (ху)2 — (у-гг)3 — (xzxzxz 1)2 = 1), для которой п 3; содержит свободную подгруппу ранга 2. Доказательство. Рассмотрим подгруппу К группы С?, порожденную элементами у, z и w = xzx. К имеет следующее копредставление: и является амальгамированным произведением треугольника групп с двумя вершинными группами типа Т(2,3,п) = (а,Ь\а2 — Ьп — (аб 5)3 — 1} и одной вершинной группой типа Н — (z,w\zn = wn — zwz lwzw l = 1}. Поскольку {G?,\ X,Z) — 71"/6, все углы этого треугольника равны тг/3. При п 7 и п — 6, (п,6) 1, вершинная группа Х(2,3,п) содержит свободную подгруппу ранга 2, и значит, К и Q тоже содержат такую группу. При п = б и (п, 8) = 1 добавим соотношения г3 = го3 = 1.
Тогда мы можем считать, что 3 п 5. Действуя как в следствии 2.1, проверим, что zw2z и wz2w не являются частями соотношения длины 6 в группе Н. По лемме 2.3 группа К, а значит, и G содержат свободную неабелеву подгруппу. Лемма 2.4. Группа Q — {х,у,z\хъ — у3 = z2 = (хау)2 = (yz)3 — (xzx zx z)2 — 1) содержит свободную подгруппу ранга 2. Доказательство. Доказательство аналогично доказательству леммы 2.3. Здесь мы дадим только схему доказательства. Во-первых, заметим, что элемент вида yxzxz, где х є X, у Є Y и z є Z, имеет бесконечный порядок в группе Q. Предположим, что а = ±1. Рассмотрим два элемента и = yx2zx2zy 1x 1zx 1z и v — y lx 2 zx 2 zyxzxz бесконечного порядка. Как и ранее, пусть D — экстремальный диск диаграммы ван Кампена для слова w(u,v), D — диаграмма максимальных регионов, и D —диаграмма, двойственная к D. Поскольку кривизна внутренних регионов D" не положительна, остается рассмотреть только внешние регионы. Цепочки, помеченные словами uv, vu и и"1!! не создают проблем. Сокращение может появиться только в случае сегмента, помеченного uv l — yx2zx2zy lx lzx 2zx 1y lzx2zx2y. Далее заметим, что в группе Gt = (х,у\хъ = у3 = (x±ly)2 = 1) ни одно слово длины 4 не содержит полслова х2у. То есть нет вершин, угол при которых равен 7г/2, и кривизна цепочки не превышает 2irN/do, где N — число регионов в S, и d0 — степень вершины, соответствующей \D. Тогда сумма кривизн не превышает 2тг. Противоречие. Если а = 2 или а = 3, то G\ = (х,у\хъ — у3 = (хйг/)2 = 1) и ни одно слово длины 4 не содержит подслова ху. Тогда мы берем и = yxzxzy xx lzx lz, v — у 1x lzx lzyxzxz и повторяем вышеизложенные аргументы. Сначала рассмотрим копредставления евклидова типа с отношениями длины 1. Напомним, что по теореме 1.2 вершинные группы несферического треугольника вкладываются в его амальгамированное произведение. То есть группы G\, G2 и G$ — подгруппы группы Q. Случай El. Q = (х,у, z х1 = ут = г" = (хау8)2 = (yV)3 = (я г )6 = і) Если хотя бы одна из вершинных групп не является обыкновенной треугольной группой, то Q содержит Fi по теореме 2.2. Предположим, что -у — В = Г) =в — \. Более того, Gz не содержит свободной подгруппы, только если 1/1 +- 1/п + 1/6 1, т.е. I — 2 и п 3, или ( = 3 и n = 2. Предположим, что ( = 2. Тогда Q = (х, у, z х2 = ут = г"= (ху )2 = (і/г)3 = (хг)6 Вычислим ядро гомоморфизма h : б — 22, заданного посредством х н- 1, у, г — 0. Добавим соотношение угУі = 1 к соотношениям группы Кег(А) и, таким образом, получим гомоморфный образ Если ті 2 или ти 2, то Л" изоморфна группе гиперболического тетраэдра и, значит, содержит изоморфна евклидовой группе Д (2,3,6) и, следовательно, виртуально разрешима.
Орбифолды и геометрические структуры
Группа G действует собственно-разрывно на топологическом пространстве X, если для любого компактного подмножества С пространства X множество {д Є G \ дС П С ф 0} конечно. Ниже мы дадим определение орбифолда в немного упрощенной, но достаточной для наших целей, форме. Если X — n-мерное многообразие (возможно, с границей), и G действует собственно-разрыв но на X, то фактор-пространство Q = X/G называется n-мерным орбифолдом (с границей, соответственно). Заметим, что если G действует на X собственно-разрывно, то стабилизатор Gx = {g Є G \ gx = x) точки x Є X конечен. Если Gx тривиален для любой точки х Є X, то G действует на X свободно, и Q фактически является многообразием. Если, однако, действие группы G не свободно, то фактор-пространство является пространством с сингулярными точками, которые возникают из фиксированных точек поворотов. Для заданного орбифолда Q существует естественная проекция р : X — Q. Пусть „ є р г(и). Множество ( 5) = {и Q\GXa ф 1} называется сингулярным множеством орбифолда Q. Пространство Q, рассматриваемое как топологическое пространство, называется носителем орбифолда и обозначается X(Q). Говорят, что дву- или трехмерный орбифолд Q допускает геометрическую структуру, если Q изоморфен фактор-пространству X/G, где X — пространство с одной из модельных геометрий, a G — дискретная подгруппа группы изометрий Isom(X) пространствах. По теореме униформизации для орбифолдов (см., например, [Sco83]}, двумерный орбифолд Q имеет одну из трех геометрий: сферическую S2, евклидову Е2 или гиперболическую Н2, если только Q не является "плохим". Список плохих орбифолдов, т.е. орбифолдов, которые не накрываются никаким многообразием, также известен. Что касается трехмерных пространств, Терстон [Thu78, Thu82j выдвинул гипотезу о том, что всякое трехмерное многообразие можно естественным образом разбить на геометрические куски. Существуют восемь геометрий, которые может иметь трехмерное многообразие или орбифолд: Н3, Е3, S3, Н2 х R, S2 х К, ЗЬ2Ш, Nil и Sol Мы будем рассматривать только ориентируемые компактные орбифолды.
Сингулярное множество ( 2) такого орбифолда Q всегда будет (заузленным) графом. Более того, если вершина v 2(Q) не лежит на границе (J, то deg(v) = 3. Если же и Є 8Q, то deg(v) = 1. Хороший орбифолд Q накрывается односвязным многообразием М. Фактически М — это универсальное накрытие для Q. Фундаментальной группой тгі( 2) орбифолда Q называют группу накрывающих преобразований многообразия М над Первые орбифолды с обобщенной треугольной фундаментальной группой были построены Хеллингом, Меннике и Винбергом в работе [VMHJ. Они показали, что орбифолды с носителем S3 и сингулярным множеством узел трилистника с перемычкой имеют обобщенную треугольную фундаментальную группу. Они также определили геометрическую структуру таких орбифолдов. Джонс и Рид в [JR98] рассмотрели более общий случай. Они показали, что фундаментальная группа орбифолда Q с носителем S3 и сингулярным множеством двумостовый узел или зацепление с перемычкой является обобщенной треугольной группой. Они также определили геометрическую структуру таких орбифолдов. Узел (или зацепление) L в S3 называется двумостовым узлом (или зацеплением), если он пересекает плоскость Е с S3 в четырех точках, так что дуги L, содержащиеся в каждом полупространстве относительно Е, можно спроектировать на Е ортогонально без пересечений. Перемычка для зацепления L — это вложенная в S3 дуга t с концами на L и больше нигде с ним не пересекающаяся, такая что дополнением к LUt будет шар с двумя ручками. Известно, что перемычки существуют для всех двумостовых узлов и зацеплений. Построим орбифолд Q следующим образом. Пусть L двум остовый узел или зацепление с перемычкой в S3. Тогда L — граф с двумя вершинами и тремя ребрами. Пометим ребра L целыми числами /, т, г 1 так, чтобы г помечало перемычку. Этот помеченный граф будет сингулярным множеством орбифолда Q с носителем S3 (см. рис. 3.1 для торического зацепления (2,п)). Если х Є E(Q) — внутренняя точка ребра, то индекс к на ребре, содержащем ж, показывает порядок группы Gx Ък, Если х — вершина, то группа Gx должна быть изоморфна треугольной группе Д(/,т, г) (или A(l}l,r) или Д(т,т,г), если L — зацепление). Если Gx бесконечна, мы удаляем открытую окрестность точки х из Q. Для такого орбифолда Q Джонс и Рид вычислили копредставление его фундаментальной группы -K\{Q): и s,t — положительные взаимно простые числа такие, что s t. Теорема 3.1 ((JR.98]). Пусть Q — трехмерный орбифолд с носителем S3 и сингулярным множеством двумостовый узел или зацепление L с перемычкой, помеченным, числами I, т и г так, чтобы г помечало перемычку (и возможно, с удаленными окрестностями вершин). Пусть s,t — положительные взаимно простые числа такие, что s і, a nj(Q) — геометрический орбифолд, кроме случая, когда L состоит из двух незацепленных, незаузленных компонентов. Более точно, (1) если L состоит из двух незацепленных, незаузленных компонентов, то Q — плохой орбифолд; (&) иначе, если 7Г] {Q) конечна, то Q — сферический; (S) иначе, если t нечтно, г = 2, I — 2 шш т = 2, и 2s = ±1 (mod з), то Q — расслоение Зейферта; (4) иначе, если s = 0 и t — 1, то Q — расслоение Зейферта; (5) иначе, Q — гиперболический орбифолд. Заметим, что расслоения Зейферта имеют негиперболическую геометрическую структуру. Воспользуемся теоремой 3.1, чтобы определить структуру геометрических орбифолдов с обобщенной тетраэдральной фундаментальной группой в нашем примере.
Пример Пусть L — торическое зацепление типа (2,2j), j 0, с присоединенной перемычкой и пусть Q — построенный указанным выше способом орбифолд. Тогда Q допускает автоморфизм а порядка 2, который представляет из себя поворот на угол п относительно окружности (геодезической в S3), проходящей через перемычку и пунктирную линию на рис. 3.2. Тогда орбифолд Q = Qjip) — это трехмерная сфера с сингулярным множеством торическое зацепление типа (2, j) с двумя перемычками (см. рис. 3-2). Как было упомянуто в главе 3, гипотеза Терстона о геометризации говорит, что всякое трехмерное многообразие можно разбить сферами и торами на геометрические куски так, что на каждом куске можно ввести в точности одну из следующих восьми геометрий: Н3, Е3, S3, Н2 х R, S2 х Е, SL2R, Nil и Sol. Семь из восьми модельных геометрий изучены достаточно хорошо в том смысле, что описаны структуры пространств с этими геометриями. Гиперболические многообразия И орбифолды составляют самый большой, но наименее изученный класс пространств. Поскольку мы имеем дело только с геометрическими орбифолдами, можно определить гиперболический трехмерный орбифолд Q как фактор-пространство Н3/Г, где Г — дискретная подгруппа группы изометрий Isom(H3) гиперболического пространства. В свете этого определения проблема классификации гиперболических орбифолдов становится проблемой классификации дискретных подгрупп группы PSL(2,C), которая изоморфна группе Isom+(H3). Скорее всего эта задача не разрешима в общей постановке- Таким образом, естественно искать решение в частных классах групп. Одним из таких классов является класс двупорожденных групп. Проблема заключается в том, чтобы определить, будут ли два элемента группы PSL(2,C), или Isom+(H3), порождать неэлементарную дискретную группу. Проблема рассматривалась многими авторами начиная с работ Кнаппа Кп68); Несмотря на это, задача далека от полного решения. Наибольший успех был достигнут в изучении фуксовых групп, т.е. дискретных подгрупп группы PSL(2, Ш) = Isom+(H2). Здесь полное алгебраическое решение было дано Розенбергером [Ros86j, а геометрическое — Маскитом и Гилман [GiM91, Gil95]. Более того, в работе [Ros86] Розенбергер нашел все пары порождающих для всех двупорожденных фуксовых групп. Клименко и Сакума [KS98] получили геометрическое решение в более общем случае, для подгрупп группы 1вот(И12), содержащих обращающие ориентацию нзометрии; в частности, была получена полная классификация таких групп. Таким образом, проблема нахождения критериев дискретности полностью решена для элементарных групп и для двупорожденных подгрупп группы PSL(2, С) с инвариантной гиперболической плоскостью (такие группы сопряжены подгруппам группы Isom(IH[2}).
Основная конструкция
Доказательство организовано следующим образом. Мы начинаем с построения группы Г , которая содержит группу Г в качестве подгруппы конечного индекса. Такая группа дискретна тогда и только тогда, когда Г дискретна. Затем мы строим некоторые многогранники и спаривающие их грани преобразования, которые являются элементами группы Г . Мы одновременно доказываем и необходимость, и достаточность. Доказательство естественным образом распадается на конечное число случаев, в зависимости от вида двугранных углов этих многогранников. Доказательство необходимых условий можно отследить по схеме на рис. 5.0. Наоборот, для каждой группы из пунктов (x)-(tm) мы строим фундаментальный многогранник и преобразования, спаривающие его грани, которые удовлетворяют условиям теоремы Пуанкаре, откуда следует дискретность этих групп. Тем не менее теорема Пуанкаре дает условия на двугранные углы фундаментального многогранника для группы, Мы бы хотели получить условия, которые зависят только от порождающих /ид группы Г. Вот почему мы вводим вспомогательные элементы hi, і = 1,... ,4, в теорему 4.2. Пусть / — примитивный эллиптический элемент нечетного порядка п 3, д — гиперболический элемент, и пусть их оси пересекаются неортогонально. Пусть и) — плоскость, содержащая оси / и д, и пусть е — полуоборот, ось которого проходит через точку пересечения / и д перпендикулярно плоскости и. Для группы Г = (f-,9) мы определяем два ее расширения конечного индекса Пусть е; и ед — полуобороты такие, что / = е/е ид — еде. Оси є j и е лежат в некоторой плоскости, обозначим ее через є, и пересекаются под углом тг/п; плоскости є и ш взаимно перпендикулярны; ось ед перпендикулярна плоскости ш и пересекает д, более того, расстояние между е?ие равно половине длины сдвига д. Рассмотрим плоскость е и группу (е,е/} (см. рис. 5.1а). Эта группа содержит элементы є, Є/ — /е, f2e, ...Каждый элемент fke, к = 0,1,2,... является полуоборотом с осью, лежащей в плоскости е. Обозначим ej = /("-1 /2е и е2 = / п+1 2е. Заметим, что плоскость ш делит пополам угол, образованный прямыми ех и е-і. Пусть а — гиперболическая плоскость такая, что / = -. Тогда Г = {е\,ед, Ra, Rj). 3. Построение фундаментального многогранника для Г , который соответствует пункту (і) теоремы 4.2 Заметим, что существует плоскость 6, которая перпендикулярна плоскостям а, и и а = е?(о;).
Плоскость 6 проходит через общий перпендикуляр к прямым / и eg(f) перпендикулярно плоскости ш. Ясно, что ед С 8. Нам нужна еще одна плоскость, обозначим ее через Сі Для построения фундаментального многогранника для группы Г . Чтобы построить , мы используем вспомогательную плоскость к, которая проходит через е\ перпендикулярно плоскости а . Тогда плоскость проходит через е\ перпендикулярно плоскости к. (Заметим, что в общем случае С, ф є.) Фактически, плоскость Ы и прямая ех могут либо пересекаться, либо быть параллельными, либо расходиться. Заметим, что если С П Ы Ф 0, то єі X (С П а )- Пусть V — выпуклый многогранник, ограниченный плоскостями а, и, а , 5 и (. Заметим, что V может быть как компактным, так и некомпактным (см. рис. 5.1б, на котором V изображен как компактный). Рассмотрим двугранные углы многогранника V. Углы между плоскостями 5 и ш, S и а, 6 и а! равны тг/2; углы, образованные плоскостью ш с плоскостями а и о/, равны 7г/п; сумма углов, образованных плоскостью плоскостями ш на, равна ж. Плоскости а и а могут либо пересекаться, либо быть параллельными, либо расходиться. То же самое верно для плоскостей С и а . Обозначим угол между а и а через 7г/пг, а угол между а и С — через тг/(2(). Здесь тп и / могут быть равны оо или со. Если две плоскости, скажем, а и а , параллельны, мы пишем m — оо, и если а и а расходятся, мы пишем m = оо. При таком соглашении оо оо к, оо/к — оо и oo/fc — бо для любого целого положительного числа А:. Ясно, что если тп (2/п + 1/т 1) и / ({ 2) — целые, оо или со, (5.1) то многогранник V и элементы d, е5, Rat R ,, Ra — egRaeg удовлетворяют условиям теоремы Пуанкаре, Г дискретна, и V является ее фундаментальным многогранником. Теперь покажем, что условие (5.1) эквивалентно пункту (і) теоремы 4.2. Естественный выбор элементов Rc Ra и R -Rct , где а" = е с/), не дает достаточно информации о многограннике V . Заметим, что даже если Ra Ra и Ra fRa — примитивные эллиптические элементы, соответствующие двугранные углы многогранника V могут быть тупыми. Если двугранный угол многогранника V, образованный плоскостями а и с/, равен (р— 1)тг/р, то Ra Ra. будет поворотом на угол 2тг/р; т.е. примитивным эллиптическим элементом, но тп = р/(р — 1) не будет целым. Следовательно, мы выбираем квадратный корень как в лемме 4.1: который единственным образом определяет hi как элемент группы PSL(2,C), Для элемента hi, удовлетворяющего условиям (5-2) будет верно, что hi = R Ra, где — биссекториальная плоскость двугранного угла многогранника V, образованного плоскостями а и а . Более того, /гх — примитивный эллиптический элемент четного порядка 2т, 2/п + 1/т 1, тогда и только тогда, когда двугранный угол многогранника V при ребре а П а равен тг/m, т Є Z, 2/п + 1/т 1; ki — параболический (гиперболический) тогда и только тогда, когда а и Ы параллельны (расходятся, соответственно).
Аналогично, элемент R R i равен h\ = / 1"2g-1/""1g/_t"+l a3/-15 1-Теперь нам нужно выбрать квадратный корень из Ra- Ra который соответствует двугранному углу многогранника V, образованному плоскостями а и а". В лемме 4.1 доказано, что требуемый элемент hi — тот, для которого hif — /129/5-1 эллиптический элемент, чья ось пересекает /. При таком выборе корня h2 будет примитивным эллиптическим элементом четного порядка 21, I 2, тогда и только тогда, когда двугранный угол между плоскостями а и а" равен п/l, І є Ъ, I 2; /г2 будет параболическим (гиперболическим) тогда и только тогда, когда плоскости а и а" параллельны (расходятся, соответственно). Следовательно, условие (5.1) эквивалентно условию hi — гиперболический, параболический или примитивный эллиптический элемент четного порядка 2т, 2/п + 1/т 1, и /i2 — гиперболический, параболический или примитивный эллиптический элемент четного порядка 21, I 2, которое и есть пункт (і) теоремы 4.2. 4. Предположим, что условие (5.1) не выполняется Это означает, что многогранник V сам по себе не является фундаментальным многогранником для Г . Тогда дискретные группы могут появиться в одном из следующих случаев: Эти случаи требуют дополнительного исследования, и в разделах 5.2-5.4 список дискретных групп в каждом случае будет полностью определен. А именно, в каждом из случаев 1-3 мы предполагаем, что Г дискретна, чтобы исключить некоторые группы, которые не могут быть дискретными, то есть мы получаем необходимые условия. Оказывается, что все оставшиеся группы дискретны, то есть эти необходимые условия являются достаточными. Эти дискретные группы перечислены в случаях (ii)-(vii) теоремы 4.2. Чтобы доказать достаточность, для каждой такой группы мы находим многогранник и порождающие группы Г , удовлетворяющие условиям теоремы Пуанкаре. Мы предположили, что группа Г = (ei eg,Ra RJ) дискретна, а значит, любая ее подгруппа дискретна. Следовательно, группа {Rw, Ra, Rar) дискретна. Заметим, что (Rui,R b,Ra ) действует как группа отражений в сторонах гиперболического треугольника (п, п, т), которым является верхняя грань многогранника V (см, рис. 5.16).
