Введение к работе
Актуальность теш. Оцшл аз наиболее известных и вааных распределений за числовой прямой R , нараду с гауссовскш распределением, является распределение Каш, т.е. распределение j» с характеристической функцией
и плотностью
_t*_
Это распределение возникает в целом ряде задач молекулярной, атомной, ядерной физике, физике элементарных частиц, радиотехнике и электронике и др., и подробно исследовалось в различных аспектах (см., напр., монографии: Кагаа А.М., Ленник Ю.В., Рао СР. "Харак-теризационше задачи математической статистики"; Зеяотарёв В.М. "(&нсмерные устойчивые распределения"; Лукач Е. "Характернстичес-кне функцнн"; работы A.V.Шшнт<яс, Ь.Сч^с^р.&.уСнцЫ и др.).
Распределением Капи в 32 й называется распределение ум характеристическая функция которого ЕМЗЄТ вад
/^ = ехр/ї<х,ї>-і'і<у(*>//^о/ (і)
где M(Jf) конечная мера на сфере .Это распреде-
ление возникает, в частности, в ряде задач фазшш, теории случайных матриц и др. (см,, напр., вышеупсшшутую іазграфш В.М.Золотарёва ]. Распределение Ксши в 3?", л>Z, изучено существенно меньше чем на 3? , но, тем не менее, достаточно подробно исследованы не-козорые подшсхества множества распределений Ксши, а именно, типы следующих распределений с плотностями *)
Рі(Х»*тг"ТГ*./-/'Л1і-) * , ХЙ?И
(k + ffxr/ *
PW^I.—J: _ , ч5о(/3 ^S?
*} типом ыэры называется множество сдвигов автсыорфных образов этой меры.
и-Х и^1
исследованию свойств которых посвящены работы I.-L. Опием «"« */. SemUem, F.u. кчіаі»* «и Л Р. А/Ие|/ Hassenfarclcr ,
S.G. омі и др., при этом, в частности, важность этих типов определяется тем свойством, что они являются единственными инвариантами при некоторых преобразованиях пространства SZ .
В настоящее время значительно вырос интерес к вероятностным мерам на группах, при этш основное внимание уделялось либо общим свойствам безгранично делимых распределений, либо гауссовскжм распределениям (см., напр., монографии Х.Хейера "Вероятностные меры на локально компактных группах" и Г.М.Фельдмана "Арифметика вероятностных распределений ж характеризационкые задачи на абеяе-вых группах".).
Что же касается других семейств безгранично делимых распределений, отличных от гауссовского, то на локально компактных абеле-вых сепарабельных метрических группах (LCfi группах), эти вопросы почти не изучались. Отметим лишь, что Г. М.Фельдман см был предложен некоторый аналог распределения Кож на ЬСД группах (групповой аналог типа ъеры с плотностью f4
С другой стороны, стимулирующее значение для изучения распределения Кани на С(\ группах является, поставленная в вышеупомянутой монографии Кагана A.M., Линника Ю.В., Рао СР., задача построения теории равнораспределенности линейных форм на алгебраических структурах.
этим определяется актуальность темы диссертации.
Цель исследования. Целью диссертационной, работы является: определение распределения Ксши на LCA группах и исследование его свойств; решение рада характеризационных задач для распределения Коїш на группах.
Научная новизна результатов работы. В работе Г.М.йельдшна Сії было предложено некоторое определение распределения Ксши на ІСЙ группах, а именно: распределение /V называется распределением Сі] «вльдлш Г. И.—"Распределение КОШ На абёЯёШХ груННаХ Н его ' характеризация".- Докл. АН СССР, т.309, 1(1989), с. 46-49
Кши, если его характеристическая функция представиш в виде /1 ='х,у)-ехр /- /7»7 і >где ЧЧО -квадратичная форма на ^ , множество которых обозначим через Kf IX)» и исследованы некоторые его свойства в случае когда размерность компоненты нуля равна единице.
В диссертационной работе рассматривается другое определение распределения Коли на LCA группе, а именно: распределение /и называется распределением Каш, если р* - безгранично делимо и каждым характером переводится в распределение Коня на торе Т* , при этем под распределением Каш на торе понимается образ распределения Кади на Р при естественном гомоморфизме t: JR * ЇРХ'З,-Т множество распределений Ксши на группе X обозначим через к 00 В работе показано, что К,ДХ)екЭД, при этом, как показал Фельдман Г.М. Сії . К<р(Х) - КОО тогда и только тогда, когда размерность компоненты нуля не больше единицы.
В диссертационной работе ограничение на размерность компоненты нудя отсутствует и, креме того, рассматривается целый ряд свойств распределений Коли, их множества К(Х), характеризационные теоремы для распределения Ксши на LC/} группе X , которые, в случае когда У (&.*, ранее не рассматривались.
Таким об разом, все основные результаты диссертации являются новыми.
Научное значение результатов работы заключается в тем, что I. Введено определение распределения Ксши на LC/} группах. Показано, что любое распределение Каш является сдвигом гомоморфного образа в линейном пространстве, исследованы его свойства и структура.
2.Получены необходимые и достаточные условия которым додана удовлетворять группа чтобы на ней были справедливы групповые аналоги классических характеризациошшх теорем для распределения Ксши на вещественной прямей.
Методика доследования. Основными методами исследования являлись структурная теория локально компактных абелевых групп, теория двойственности Понтрягина и гармсаическші анализ на LCA группах (теория характеристических функций).
Основные положения вынесенные на защиту. I. Определение распределения Каши. Теорема о том, что любое распределение Каш на группе является сдвигом гомоморфного образа
распределения Капи в линейном пространстве, (писание всех групп для которых все распределения Кади характеризуются одним из своих свойств.
-
Структурные теоремы для распределения Каш.
-
Топологические свойства мнсаества распределений Ксши.
-
Основная харакгеризационная теорема для распределения Каш.
-
Групповые аналоги характеризации распределения Ксши равнораспределенностью одночлена и линейной формы.
Апробация работы. Изложенные в работе результаты докладывались на семинаре И.В.Сстровского в ХГУ, семинаре В.Я.Голодца
в ХГУ.
Публикации. По материалам диссертации опубликовано шесть статей El-61.
ОЗъём работы. Диссертационная работа состоит из 139 страниц машинописного текста. Библиография содержит 35 наименований.
