Введение к работе
Актуальность темы» Хорошо известно, что одним из наиболее интересных классов одномерных тригонометрических рядов является класс рядов с монотонными коэффициентами. Различным свойствам таких рядов уделено большое внимание в монографиях Н.К.Бари и А.Зигмунда . При рассмотрении многомерной ситуации презде всего возникает вопрос об определении монотонности кратной чис-
О 1 R
ловой последовательности. В ряде работ, например в статьях *, изучались кратные тригонометрические ряды, коэффициенты которых монотонны в смысле Харди. Оказалось, что во многих отношениях такие ряды ведут себя точно так же, как и одномерные ряды с монотонными коэффициентами. В то же время, класс кратных рядов с монотонными в смысле Харди коэффициентами достаточно узок. Так, даже среди ядер Дирихле, только прямоугольные имеют коэффициенты, монотонные в смысле Харди на любом координатном квадранте.
В связи с этим, представляется актуальным рассмотрение существенно более широкого класса кратных тригонометрических рядов -рядов, коэффициенты которых монотонно стремятся к нулю по каждому индексу. Изучение этого класса оказалось тесно связанным с вопросами получения оценок сверху и снизу для норм ядер Дирихле в про-
'Рари Н.К. Тригонометрические ряды. М.: Физматгиз, 196).
23игмунд А. Тригонометрические ряды. Т. 1,2. М.: Мир, 1965.
"%ак И.Е., Шнейдер А.А. Об условиях равномерной сходимости двойных рядов из синусов// Изв. вузов. Матем,- 1966,- № 4.- С. 44 -52.
Бицадзе М.Г. О кратных тригонометрических рядах с монотонными коэффициентами// Сообщ. АН ГССР.- 1978.- Т.93, .* 1.- С. 53 - 55. Mciiti F On Jouiu tciint, tint an Malkk ictiM wilk томСом uxffltltnli // /W. /тег HuU..Sot. - івО/О - V ЮЗ, J2 t 4lt-4ZS.
- г -
странствах Lp (Тт), где і *f><*** . Ранее многими математиками находились асимптотические оценки норм ядер Дирихле вида
оЗгв (%) при ?-*оо .где множество f- 4t і]т, как для конкретных В » так и для некоторых классов множеств. В этом направлении важные результаты для широкого класса множеств
S были получены В.А.Единым6,' и Л.Кользани и П.Сорди . Тем не менее, в ряде случаев, и в частности, при исследовании свойств кратных рядов с монотонными по каждому индексу коэффициентами, необходимо иметь оценки норм ядер L fzj при фиксированном
U cj< Годин из первых результатов здесь установлен в работе А.А.Юдина и В.А.Ццина9]. Автору удалось получить такие оценки для ограниченных U , содержащих вместе с каждой точкой К и параллелепипед ГО;К.] А 2, и установить с их помощью ряд
теорем для кратных тригонометрических рядов с"монотонными-по
каждому индексу коэффициентами, причем оказалось, что эти ряды по своим свойствам во многом отличаются от рядов с коэффициентами, монотонными в смысле Харда.
Любопытным представляется и изучение задачи о свойствах рядов Фурье кусочно-монотонных функций многих переменных. Как устанавливается в диссертации, свойства таких рядов Фурье обладают определенной двойственностью по отношению к свойствам рядов с монотонными по каждому индексу коэффициентами.
Далее, в многомерном случае хорошо изучены (^,^) -средние Чезаро. Следует однако отметить, что у них есть определенные
К}дин В.А. Поведение констант Лебега// Мат. заметки,- 1975,-
Т. 17, й 3,- С. 401 - 405.
7Цдин В.А. Нормы многомерных ядер Дирихле в Lp //В кн. Теория
приближения функций. Труды междунар. конф. Киев, 1983.- М., 1987.- С. 47$ - 480.
bCjUan\l.JoaiJi Р.Н. С-гш.тл of КШгіЛ П-с/іт(ШІОм.
іти// Tla'tU. . ~ V. ZU,Ji. - Р. Ш-Ш. %цин А.А., Юдин В.А. Дискретные теоремы вложения и константы
Лебега// Мат. заметки.- 1977,- Т. 22, № 3.- С.381 - 394.
недостатки. В частности, они не обладают свойством регулярности ни по отношению ко сходимости по кубам, ни по отношению ко сходимости по Прингсхейму. В связи с этим весьма актуальной представляется задача изучения других линейных средних кратных рядов Фурье, например, введенных Ж.Марцинкевичем однократных линейных средних, в дальнейшем активно изучавшихся Л.В.Іикиаш-вили {см., например, ).
Затрагиваются в диссертации и некоторые аспекты поведения одномерных тригонометрических рядов. Рассматривается задача П.Л.Ульянова о мере множества нулей тригонометрических рядов с монотонными коэффициентами и строится непрерывная шкала классов монотонности.
Цель работы. Получение оценок сверху и снизу для норм ядер Дирихле J&^ (х) в пространствах /,р/Т**) при i*/>**' , изучение вопросов сходимости и интегрируемости сумм кратных тригонометрических рядов с монотонными по каждому индексу коэффициентами. Исследование свойств рядов Фурье кусочно-монотонных интегрируемых функций многих переменных. Рассмотрение вопросов суммируемости почти всюду рядов Фурье интегрируемых функций многих переменных методами Марцинкевича. Получение новых результатов об одномерных тригонометрических рядах с монотонными коэффициентами.
Общая методика работы. В диссертации используются различные методы теории функций действительного переменного, такие как применение максимальных функций для оценок мажорант, разбиение области интегрирования на обладающие определенными свойствами подобласти, применение различных неравенств.
HaxeUiK.cwkiJ. Ju.x am vutKoJe. ігтмглмабй яг icmiruitian. ііл UI'-їа Л>іс«
de Рсмгілг//Ann. juto&L Wctm. /чр Ji ffza.-mtl.-VJ M. -P. IW-JS.
Жижиашвили Л.В. Обобщение одной теоремы Марцинкевича// Изв.
АН СССР. Сер. матем.- 1968.- Т. 32, » 5.- с. 1112 - 1122.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и опубликованы в работах автора. Получены двусторонние оценки норм тригонометрических полиномов с монотонными по каждому индексу коэффициентами в пространствах I If т) при -—- <. о < (к> . Найдены неусиляемые оценки сверху норм ядер Дирихле -&%(х) в I (Т*1) пщ i
рядов Фурье интегрируемых функцийГТешена~задача~П7Л;Ульянова
о мере множества нулей сумм одномерных косинус-рядов с монотонными коэффициентами и получено существенное продвижение в аналогичной задаче для синус-рядов. В одномерном случае построена непрерывная "шкала монотонности" и установлены соответствующие теоремы для тригонометрических рядов.
Приложения. Работа носит теоретический характер. Методы и результаты диссертации могут быть использованы в дальнейших исследованиях в области кратных тригонометрических и ортогональных рядов.
Апробация работы. Результаты диссертации неоднократно докладывались на заседаниях семинаров по теории функций действительного переменного под руководством члена-корреспондента РАН П.Л.Ульянова и профессоров М.К.Потапова и Б.С.Кашина в МГУ, на научных семинарах в МИ РАН под руководством профессоров С.Б.Стечкина и С.А.Теляковского, в ТГУ под руководством члена-корреспондента АН Грузии Л.В.Жижиашвили, в Институте математики АН Болгарии под руководством профессора К.Иванова, на Всесоюз-
них школах по теории функций в Саратове (1984, 1988, 1990) , в Ереване (1987) , в Одессе (1991J , в Воронеже (1991, 1993) , на расширенных заседаниях семинара ИПМ им, И.Н.Векуа в Тбилиси (1985, 1990J , на международной конференции по конструктивной теории функций в Варне (t991) .
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах автора Ш - fl7J , список которых приведен в конце автореферата. Среди них статей, написанных в соавторстве, нет.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых в общей сложности на 10 параграфов, и списка литературы. Нумерация теорем, лемм и формул -сквозная. Объем диссертации - 207 страниц машинописного текста. Библиография содержит 60 наименований.
