Введение к работе
Актуальность темы. Диссертация посвящена изучению некоторых вопросов сходимости рядов Фурье по тригонометрической системе, всплеск системам и их приложениям и многомерной полиномиальной интерполяции. Возникшая еще в начале девятнадцатого века теория тригонометрических рядов Пыла в центре внимания многих выдающихся математиков (Фурье, Риман, Данжуа, Лузин, Колмогоров, Меньшов, Зигмунд и др.) и до сих пор остается одной из актуальных областей теории функций. Многие проблемы зтой теории, особенно в многомерном случае, остаются открытыми. Существенная часть исследований по тригонометрической системе Пыла подытожена в фундамсіїтальньїх монографиях А. Зигмунда [02] и Н.К. Бари [1].
Естественным обобщением теории тригонометрических рядов является теория ортогональных рядов, возникшая в начале этого века и активно изучающийся в последние1 3-4 десятилетия. Она изучает, с одной стороны, свойства, имеющие общий характер и остающиеся справедливыми для широкого класса ортонормированных систем и, с другой стороны, конкретные системы, приспособленные для решения конкркт-ных задач (отметим монографии С. Качмажа и Г. Штейнгауэа. [19], A.M. Олевского [24], Б.С. Кашина и А.А. Саакяна [30]). В последние 10-15 лет очень интенсивно изучаются всплеск системы. Эти ортонормирован-ные системы, имеющие простое построение (все функции получаются из одной порождающей функции двоичными сжатиями и сдвигами) имеют множество применений как в теоретических (теория вроятностей, математическая физика и т.д.), тик и в практических (передача сигналов, обработка образов и т.д.) исследованиях (см. монографии И. Мейера [40], Ч. Чюи [12] и И. Добаши [18]).
Полиномиальная интерполяция является одной из старейших областей математики. Интерполяционная формула была открыта Ньютоном в конце семнадцатого века, а чуть позже Лагранж получил свою формулу для интерполяционных полиномов, принимающих заданные значения в заданных точках. Несмотря на то, что полиномиальная интерполяция уже не является главным методом приближения, эта теория остается з центре внимания многих математиков и является одним из основных методов локального приближения (сплайны, конечные .элементы, куба-гурные формулы и т.д.).
Многомерная теория полиномиальной интерполяции возникла сравнительно недавно и здесь очень много нерешенных еще проблем. Она на-
много богаче одномерной теории так как здесь, с одной стороны, богаче класс множеств, где могут быть заданы параметры искомого полинома (точки, отрезки и т.д.) и, с другой стороны, сами параметры могут быть разные (значения, средние значения на отрезках и т.д.). Основные результаты теории многомерной интерполыции можно найти в монографиях Р.А. Лоренца [39] и В.Д. Боянова, А.А. Акопяна, А.А. Саакяна [78].
Цель работы. Исследоване вопросов сходимости рядов Фурье функций имеющих ограниченную гармоническую вариацию, или после замены переменной. Нахождение оптимальной скорости роста степеней тригонометрических полиномов, образующих базис в пространстве непрерывных функций. Исследование проблем многомерной поточечной интерполяции полиномами.
Методы исследований. Применяются методы теории функций и функционального анализа.
Научная новизна и публикации. Все результаты диссертации являются новыми. Основные результаты опубликованы в работах [6С]-[78].
Тсоретическая и практическая значимость. Полученные результаты представляют теоретический интерес. Результаты и методы работы могут найти применение при изучении ортонормированных систем и при исследовании проблем многомерной полиномиальной интерполяции.
Аппробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре по теории функции действительного переменного в МГУ (руководители - Б.С. Кашин, К.И. Осколков), на семинаре по математическому анализу в университете г. Дюисбурга (Германия, руководитель -К Иеттер), на математическом семинаре в университете г. Иена (Германия, руководитель - П. Освальд), на семинаре по теории приближений в университете г. Рострка (Германия, руководитель - Престин), на семинаре в Институте Математики Польской АН (руководитель - 3. Чисель-ски), на семинаре по действительному анализу в Институте Математики НАН Армении (руководитель - А.А. Талалян), на школах по теории функций в Амберде (1987г.), в Одессе (1991г.), в Воронеже (1991г.), в центре Банаха в Варшаве (1986г., 1989г.), на международных конференциях по теории приближений в г. Вонешта Вода (Болгария, 1993г.), в г. Дортмунде (Германия, 19Э5г.), на Международном Математическом Конгрессе (Цюрих, 1994г.).
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит ил введения, двух глав, которые делятся на 9 параграфов, и списка цитированной литературы.
