Введение к работе
Актуальность темы . Основы теории квазиконформных отоора-женш на плоскости были заложены в cO-JO-e годы Гречем Г. и Лаврентьевым М.л.. В настоящее время эта теория представляет сооой одну из наиболее интенсивно развивающихся областей современной геометрической теория функции комплексного переменного .
Альфорс JL, Бере Л., Лехго 0., Геринг 4.У., Зекуа h.H., Боярский Б.В., Лаврентьев М.А., Еелинскид II.П., Решетник Ю.Г. и другие авторы изучали в своих работах фундаментальные свойства квазиконформных отображении и некоторых их обобщении , ими были обнаружены интересные приложения этих результатов ко многим разделам современного анализа .
3 IS88 году Гк давимом оыла доказана новая теорема сушест-вования и единственности для уравнения іельтраш . Она придала новый импульс дальнейшим исследованиям оощих гомеоморфизмов плоскости . Вопросы компактности классов давица начали изучаться в работе Тукиа П. (1991/ .
В.И.Рязанов в своей докторской диссертации (1994) с исчерпывающей полнотой изучил проблемы сходимости , компактности и замыкания для гомеоморфизмов давида с ограничениями на дилатації» общего интегрального и теоретико-множественного видов .
Аналитический подход к исследованию топологических отображении связан с изучением эллиптических систем уравнений . В атом отношении уникальное положение в геометрической теории дифференциальных уравнении занимает комплексное уравнение Бельтрами , которому удовлетворяет люоои сохраняющий ориентацию гомеоморфизм плоскости с обобщенными производными . Поэтому многие свойства квазиконформных, отображений и их обобщений могут быть получены , исходя из теории дифференциальных уравнении .
Впервые (1667) это уравнение в вещественной форме появилось в работе Бельтрами Е. в связи с изучением аналитических функций на поверхностях . Аналитическое определение квазиконформного отображения , как гомеоморфного сообщенного решения
уравнения Бельтрами , фактически содержалось в одно/, из работ Морри К., опубликованной в ibd& году вне всякоіі связи с существовавшей уже тогда теорией квазиконформных отображений . Полная эквивалентность этого определения геометрическому определению квазиконформных отображении была установлена позже , олаго-царя раоотам Мори а., Берса Л,, Щлюгера л., іе>.то 0. и других авторов , к концу 50-х - началу 60-х годов .
При аналитическом походе к изучению топологических отображении плоскости с оооощенными производными центральны:»! является вопрос о взаимосвязи коэффициента уравнения Вельтрами с его решением . Поведение этой характеристики при локально равномерной сходимости отооражений имеет очень сложную природу . Это ооусло влено тем , что решение уравнения Бельтрами связано с комплексной характеристикой посредством нелинейного преобразования , в котором к тому же задействован сингулярный интегральный оператор типа І^альдерона-Йигмунда - так называемое , комплексное преобразование Гильберта .
Кроме того , если в случае классических квазиконформных ото сражении мы имеем дело с равномерно эллиптическими системами дифференциальных уравнений , то находясь в условиях теоремы существования .Давида , мы сталкиваемся с вырождением эллиптичности . При этом , вырождение может наблюдаться сразу во всех окрестностях любой точки из области определения , а не только при подходе к границе . Специалистам по дифференциальным уравнениям известно , с какого рода трудностями связано исследование таких систем .
Вопросы сходимости и компактности всегда занимали одно из центральных мест в теории квазиконформных отображений . Среди наиболее известных результатов в этом направлении следует отметить теоремы сходимости Штребеля и Ьерса-Ьоярского , а также теоремы компактности Шнффера-Шобера и Песина .
Одним из важных приложений теорем компактности является теория вариационного метода . дело в том , что в секвенциально компактных классах всегда гарантируется существование экстремальных отображений для любых непрерывных , в том числе , нелинейных функционалов . Иначе , как отмечалось , в сравнительно недазно вышедшей монографии Крушкаля C.JJ. и Кюнау Р., вопрос о
существовании экстремали становится чрезвычайно трудным . Поэтому масса интересных необходимых условий экстремума , которые могли быть использованы для доказательства теорем существования и представления решений различных уравнений , повисает в воздухе . Кроме того , в компактных классах множества комплексных характеристик оказываются выпуклыми , что значительно облегчает построение вариации и получение необходимых условий ькстремума .
Вариационный метод исследования экстремальны* задач для квазиконформных отображений был впервые прюленеп Белинским П.П.„ Зтот метод получил свое дальнейшее развитие в работах їіііффе-ра Ш., Шобера Г., Кшау Р., Крушкаля CJL, Гутлянского В.Я., Рязанова В.И. и многих других .
цель работа <, Доказательство критерия компактности классов гомеоморфизмов с ограничениями по мере общего вица ча цилата-цию . Следствием этого критерия является некомпактность классов Давида . Доказательство теорем об инвариантности относительно вращений и выпуклости множеств комплексных характеристик замыканий некомпактных классов с ограничениями по мере „ Построение вариаций в указанных классах и доказательство теоремы о вариационном принципе максимума .
Оби'?е методы исследования . Используются метотда теории квазиконформных отображений на плоскости , геометрической теории функций комплексного переменного , а также вариационные методы исследования Екстремальних задач для квазиконформных отображений .
Научная новизна . Получены необходимые и достаточные условия компактности классов гомеоморфизмов с ограничениями по мере общего вида на дилатацию . Показано , что ни один из классов Давида не является секвенциально компактным классом . Доказан принцип подчинения и инвариантности относительно вращений для множеств комплексных характеристик замыканий некомпактных классов с ограничениями го мере . Доказана выпуклость этого множества . На основании зтого построены вариации в указанных классах и сформулирован вариационный принцип максимума .
Теоретическая и практическая ценность работы . Результаты диссертации и развитые в ней методы могут быть использованы
при дальнейшем изучении вопросов компактности идя классов гомеоморфизмов с ограничениями общего вида на дилатацию , при исследовании вопросов о замыкании некомпактных классов и построении вариаций в указанных классах .
Апробация работы . Результаты диссертации докладывались ка научном семинаре отдела уравнений в частных производных Института прикладной математики и механики RAH Украины ( рук. цок-тор физ.-мат, наук , профессор В.Я.Гутлякским ) , а также на научном семинаре по теории функций Донецкого государственного университета ( рук. доктор физ.-мат. наук , профессор З.И.йруг-ликов ) ,
Публикации . Результаты диссертации опубликованы автором в работах [lj - [з] . Из них две работы выполнены в соавторстве с В.И.Рязановым .
Структура и объем работы . .диссертация состоит из введения , четырех глав и списка литературы ( її0 наименований ; . Общий объем диссертации составляет ±еЛ, страницы ,
