Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Операторные полугруппы на банаховых пространствах
1.1. Предварительные сведения об операторных полугруппах, эргодичности в среднем и почти периодичности 16.
1.2. Констриктивные и квази-констриктивные полугруппы 30.
Глава 2. Положительные полугруппы на пространствах
2.1. Марковские полугруппы на пространствах 55.
2.2. Эргодичность в среднем положительных полугрупп на L1-пространствах 65.
2.3. Асимптотическая устойчивость, нижние граничные функции и теорема о разложении 78.
Глава 3. Положительные полугруппы на упорядоченных банаховых пространствах
3.1. Идеально упорядоченные и равномерно порядково-выпуклые банаховы пространства 93.
3.2. Полугруппы с порядково-ограниченньши констрикторами 98.
3.3. Асимптотическое доминирование 105.
Глава 4. Положительные полугруппы на предсо-пряженных пространствах алгебр фон неймана
4.1. Одно геометрическое свойство предсопряженного простран ства алгебры фон Неймана 119.
4.2. Нижние граничные элементы марковских полугрупп на предсопряженном пространстве алгебры фон Неймана 125.
4.3. Констрикторы и асимптотическое доминирование 132.
Глава 5. Положительные полугруппы на банаховых решетках
5.1. Предварительные сведения 144.
5.2. Асимптотическое доминирование 152.
5.3. Геометрия банаховых решеток и асимптотическое поведение операторных полугрупп действующих на них 162.
Литература 177.
- Констриктивные и квази-констриктивные полугруппы
- Эргодичность в среднем положительных полугрупп на L1-пространствах
- Полугруппы с порядково-ограниченньши констрикторами
- Нижние граничные элементы марковских полугрупп на предсопряженном пространстве алгебры фон Неймана
Введение к работе
Пусть Т — однопараметрическая операторная полугруппа действующая на банаховом пространстве X. Обычно мы предполагаем, что 7" либо параметризована неотрицательным вещественным параметром Т = (Tt)fgjp^ и сильно непрерывна, либо, что Т = (3)пЄ2 является полугруппой неотрицательных целых степеней некоторого оператора. Кроме того по умолчанию, будем считать, что рассматриваемые полугруппы состоят из ограниченных линейных операторов. Изучение однопараметрических полугрупп мотивированно главным образом тем, что они возникают при исследовании линейных уравнений в частных производных — так называемые Co-полугруппы, а также при исследовании дискретных процессов описываемых итерациями одного оператора.
Имеется большое количество монографий по операторным полугруппам, например [55], [ИЗ], [64], [94], [46], [75], [9], не говоря уже о бесчисленном море журнальных публикаций. В изучении операторных полугрупп важное место занимает асимптотический анализ их поведения. Это связано с тем, что с практической точки зрения часто бывает нужно знать является ли рассматриваемый процесс затухающим, цикличным, или асимптотически периодичным. Классический подход к исследованию данного вопроса основан на изучении спектра инфинитезимального генератора полугруппы. Этот поход дает исчерпывающий ответ в конечномерном случае dim X < оо благодаря теореме Ляпунова.
В бесконечномерном же случае наряду с, как правило нетривиальной, проблемой вычисления спектра генератора полугруппы,
подобный подход наталкивается на отсутствие подходящего обобщения теоремы Ляпунова, хотя иногда теорема Ляпунова допускает разумное обобщение (см., например, [77], [9], [86], [5]). В ряде же случаев такой подход не дает удовлетворительных результатов, в частности, при исследовании асимптотического поведения марковских полугрупп на .^-пространствах. Значительный прогресс в исследовании асимптотического поведения марковских полугрупп сравнительно недавно был достигнут в работах Ласоты, Коморника, Рудницкого, Бартошека, Маккея, и ряда других математиков, без использования спректральных методов. Наиболее существенные результаты, полученные в этих исследованиях, а так-же их приложения к теории вероятностей и динамических систем изложены в монографии Ласоты и Маккея [69]. В настоящей работе неспектральные методы анализа развиваются, и применяются не только к марковским полугруппам (чему посвящена, однако, целая глава), но и к операторным полугруппам значительно более общей природы. Так, мы будем рассматривать положительные полугруппы на предсопряженном пространстве к алгебре фон Неймана (.^-пространства как известно являются предсо пряженным и коммутативных алгебр фон Неймана) и положительные полугруппы на банаховых решетках. Первая глава, впрочем, имеет дело с операторными полугруппами на произвольных банаховых пространствах. На протяжении настоящей работы, грубо говоря, рассматриваются два вопроса. Первый из них связан с выяснением условий при которых полугруппа асимптотическое конечномерна, эргодична в среднем, почти периодична или асимптотически устойчива. Второй вопрос касается сохранения при доминировании различных асимптотических свойств
положительных полугрупп.
Настоящая работа состоит из пяти глав. В параграфе 1.1 (первом параграфе первой главы) для удобства читателя мы приводим ряд результатов теории операторных полугрупп необходимых для понимания основного текста. Здесь упомянуты лишь основные факты и понятия, более полное изложение темы можно найти в стандартных монографиях, например в [113], [65] и [75]. Параграф 1.2 содержит весьма общие результаты о полугруппах обладающих (квази) компактными констрикторами, полученные в работах [34], [38] и [29]. Не вдаваясь в детали, кратко сформулируем один из результатов этого параграфа. Пусть Т — нерас-тягивающий (||Т|| < 1) линейный оператор на X. К. Фонг в работе [84] и Р. Сайн в работе [106] показали, что Т обладает компактным констриктором (т.е. существует компактное множество К такое, что lim distfT^a;, ІІГ) = 0 для любого х Є X, \\х\\ < 1) в том и только том случае когда X разлагается в прямую сумму Т-инвариантных подпространств Xq(T) = {х : lim ||Т"я(( — 0} и ХГ(Т), причем dimXr(T) < со. В работе [34] М. Вольф и автор показали (см. следствие 42 параграфа 1.2), что в том случае когда X рефлексивно для существования подобного разложения вполне достаточно чтобы нашлось вещественное 7/, 0 < г] < 1 такое, что для некоторого компактного К\ будет lim sup d\st(Tnx, Ki) < rj.
n—ЮО
Последнее условие существенно легче для проверки, чем условие lim dist(Tn:c, К) = 0, однако в рефлексивном случае они оказываются равносильными. В статье [38] изучаются различные обобщения на случай (не обязательно мульти-параметрических) абеле-вых операторных полугрупп. Мы не будем касаться в настоящей работе такого рода обобщений. Отметим, что начало исследований
в этом направлении было положено в работе [33], где был построен первый пример нерастягивающего оператора на cq имеющего квази-компактный констристор (т.е. множество типа К + rjBi, где К — компакт, 0<^<1,аЛі— единичный шар в со), но не имеющего компактного констриктора. В работе [29] специально рассмотрен случай Со-полугрупп, и ряд результатов доказан с применением нестандартного анализа. В настоящей работе автор избегает применения нестандартного анализа, поскольку это потребовало бы написания значительного объема вводного текста. Результаты параграфа 1.2 по-видимому интересны с точки зрения теории операторов на банаховых пространствах и, вероятно, с точки зрения теории Co-полугрупп. За небольшим исключением, данные результаты в других главах не используются. Во второй главе исследуется асимптотическое поведение положительных (главным образом марковских) операторных полугрупп на ^-пространствах. Здесь развивается и используется ряд новых методов, введенных недавно различными авторами. Основные результаты параграфа 2.1 опубликованы в [27]. Упомянем один из них. Пусть Т — марковский оператор на L^пространстве Е. Ясно, что если Т имеет инвариантную плотность, скажем и, то lim sup ]jT"u — и\\ < 2, хотя-бы потому, что \\Тпи — и\\ = О
п—^оо
при всех п Є М. В работе [27] автором показано (см. теорему 54), что при наличие плотности w для которой lim sup \\Tnw — w\\ < 2
n-*oo
оператор T имеет инвариантную плотность. Одним из приложений этого результата является критерий эргодичности в среднем — теорема 62 установленная во втором параграфе. Результаты параграфов 2.2 и 2.3 опубликованы в работах [39] и [27] (см. также обзор в [30]). Отметим некоторые из них. Недав-
но И. Корнфельд и М. Лин [62] показали (см, также более раннюю работу Й. Коморника [60]), что всякий эргодичный в среднем марковский оператор слабо почти периодичен. Теорема 56 обобщает этот результат на случай ограниченных положительных полугрупп. Еще одним результатом является аналог критерия А. Ласоты асимптотической устойчивости марковского оператора в случае если вместо сходимости по норме используется сходимость по Чезаро - теорема 66. Отметим, что терема 66, равно как и ряд других результатов параграфов 2.2 и 2.3 являются следствиями теоремы 58. В главе 2 также даются новые доказательства ряда результатов Ласоты и Коморника, в частности критерия Ласоты 65 асимптотической устойчивости марковского оператора. Остальная часть работы посвящена положительным операторным полугруппам на упорядоченных банаховых пространствах. Центральную роль здесь играет третья глава. В ней изучаются положительные полугруппы действующие на ряде важных классов упорядоченных банаховых пространств, а именно — на сильно нормальных пространствах (в этот класс в частности попадают С*-алгебры, предсопряженные пространства к алгебрам фон Неймана, а так-же банаховы решетки), и на равномерно порядково-выпуклых пространствах (^-пространства при 1 < р < со, а также предсопряженные к алгебрам фон Неймана). Среди результатов этой главы следует отметить теорему 82 говорящую о том, что при достаточно общих предположениях (например всегда когда рассматриваемое банахово пространство рефлексивно) из существования у полугруппы квази-порядково ограниченного констриктора можно сделать заключение о существовании порядково-ограниченного констриктора весьма регулярной формы. Эта тео-
рема из работы [36] является далеко идущим обобщением основной леммы 3.3 работы [90] в которой рассматривался случай нерас-тягивающего оператора на банаховой решетке, а так-же теоремы 1 из [47], где условие нерастягиваемости опущено, однако по прежнему рассматривался лишь случай дискретной однопараметрической полугруппы на банаховой решетке. Так-же стоит отметить ряд результатов касающихся наследования при асимптотическом доминировании эргодичности в среднем, почти периодичности и устойчивости приведенных в параграфе 3.3, но для их обсуждения надо обратиться непосредственно к тексту параграфа. Эти результаты опубликованы в [31], [32] и в [36]. Главы 4 и 5 можно читать независимо, но обе они основаны на результатах третьей главы. В четвертой главе рассматриваются положительные полугруппы на некоммутативных L1 -пространствах (т.е. на предсопряженных пространствах к некоммутативным алгебрам фон Неймана). Отметим что эта глава содержит ряд результатов о марковских операторах на некоммутативных /^-пространствах близких по формулировке к результатам главы 2. Однако техника доказательства в некоммутативном случае совершенно новая, поскольку базовые факты про Х^-пространства как правило не допускают обобщения на некоммутативный случай, в частности, некоммутативные ^-пространства не являются банаховыми решетками. Результаты четвертой главы содержатся в [31], [35], [36] и в [37].
Остановимся на некоторых из них. Прежде всего это теорема 97 говорящая о том, что если М. — алгебра Неймана, a M.sa —- самосопряженная часть предсопряженного пространства Л4* алгебры Л4, то конус М+ положительных нормальных линейных функци-
оналов на Лч сильно нормален в Aisa. Этот достаточно нетривиальный факт позволяет применять многие результаты главы 3 к положительным полугруппам на Л4*. Отметим также, что попутно в параграфе 4.1 устанавливается, что самосопряженная часть С*-алгебры А также имеет сильно нормальный конус. Теорема 97 опубликована в [36] и в [37].
Центральным результатом параграфа 4.2 является теорема 101, дающая условия, которые обеспечивают эргодичность в среднем марковской полугруппы на М.*. Для коммутативного случая этот результат рассмотрен в параграфе 2.2. В частном случае одного марковского оператора эта теорема выглядит так. Пусть Т — марковский оператор на Л4*, д ЛІ+, итубК, 0 < т? < 1 такие, что lim sup dist(An(T)f, [—д,д]) < ц для любого нормального состоя-
п~>00
га—1
ния / є М+, где Ап(Т) — ~ Тк — среднее по Чезаро. Тогда Т
fc=0
эргодичен в среднем. Эта теорема вместе с теоремой 97 и теоремой 82 позволяет получить основной результат главы — теорему 106. Кроме того, теорема 101 — ключевой момент в доказательстве теоремы Сарымсакова - Грабарника - Аюпова 102 [10, Thm.2.4], [97, Thm.l]. Отметим, что эта теорема 102 была анонсирована в [10] а затем в [97]. Однако в этих работах не приведено ее доказательство, и было ли оно где-либо опубликовано, автору неизвестно. Отметим также, что теорема 101 применяется в доказательстве теоремы 103 обобщающей теорему Сарымсакова - Грабарника -Аюпова в случае сходимости по Чезаро. Частный случай (впрочем достаточный для доказательства теоремы 102) теоремы 101 опубликован в [35]. Затем в общей форме эта теорема опубликована в препринте [37].
В параграфе 4.3 мы попытались, насколько возможно, получить аналог декомпозиционной теоремы Коморника - Ласоты 73. Наиболее сильный результат который удалось здесь получить - теорема 106. В частом случае одного оператора эта теорема звучит так. Пусть М. — алгебра фон Неймана и Т — положительный оператор на М.+. Предположим, что Т обладает констриктором [—у, 3/]+т/ти. для некоторого 0 < г\ < 1 и некоторого у Л4+. Тогда существует предел w := ^1 Ткуи множество [—w, w] —
к—О
0-констриктор для Т. В частности, Т слабо почти периодичен. Эта теорема имеет ряд следствий, которые при дополнительных предположениях на алгебру М. и на оператор Т являются достаточно удовлетворительными некоммутативными версиями теоремы 73. Результаты параграфа в основном взяты из работ [36] и [37].
Пятая глава посвящена положительным полугруппам на банаховых решетках. Банаховы решетки это банаховы пространства, наделенные решеточными операциями, согласованными со сложением векторов и умножением на скаляры, /-^-пространства, где 1 < р < оо, С (К) и некоторые другие пространства являются примерами банаховых решеток. Отметим, что многие результаты главы 3 справедливы для банаховых решеток, поскольку они всегда имеют сильно нормальный конус (предложение 76). Результаты главы 5 содержатся в работах [26], [33], [47], [32], [31] и [28]. В параграфе 5.1 даются основные определения, касающиеся банаховых решеток и положительных операторов действующих на них.
В параграфе 5.2 обсуждается сохранение эргодичности в среднем и (слабой) почти периодичности положительных операторных no-
лугрупп при доминировании. Пусть о и Т — положительные линейные операторы на банаховой решетке такие, что S <Т. Возникает вопрос, какие свойства оператора Т наследуются оператором S. Множество результатов в этом направлении относится к сохранению компактности, слабой компактности, свойства Данфорда - Петтиса, свойства быть ядерным оператором и др. (см. обзор этих результатов [4], [80], [114]). В последние 15-20 лет возник интерес к исследованию спектральных и асимптотических свойств доминированных операторов, таких, как эргодичность в среднем и равномерная эргодичность, почти периодичность, квазикомпактность или соотношения включения периферических спектров (см. [б], [8], [19], [79], [82], [88], [89], [90], [91] и т.д.). Большинство результатов можно сформулировать как для (степеней) операторов, так и для Co-полу групп. Например, Ф. Рэбигер в работе [89, Thin. 3.9] показал, что если Т — положительный оператор на банаховой решетке Е с порядково-непрерывной нормой такой, что степени Г сильно сходятся к проектору Вт конечного ранга, то для каждого оператора S на Е такого, что 0 < S < Т, степени Sn тоже сильно сходятся к проектору конечного ранга. Это заключение останется верным, если вместо условия конечности ранга Рт потребовать, чтобы спектр сг(Т) оператора Т не содержал единичной окружности (см. [91, Cor.4.3]). Аналогичное утверждение, как оказалось, справедливо для наследования почти периодичности при доминировании (см. [89, Prop.3.10], [91, Thm.4.2]). Нужно ли вообще накладывать дополнительные условия на оператор Т чтобы сохранить при доминировании сходимость степеней оператора или почти периодичность? Как было показано в работе [31], сохранение (даже при асимптотическом доминировании) этих свойств имеет
место без каких-либо дополнительных предположений. Из результатов главы 3 выводится наследование соответствующих свойств полугрупп на банаховых решетках с порядково-непрерывной нормой даже без предположения нерасширяемости асимптотически доминированной полугруппы (теоремы 120 и 121). Основные результаты параграфа опубликованы в [32] и [31].
Параграф 5.3 посвящен исследованию того, как геометрия банаховой решетки влияет на асимптотические свойства положительной полугруппы, действующей в ней. Поскольку, здесь результаты как правило одни и те-же, как для дискретных так и для непрерывных полугрупп, ограничимся рассмотрением лишь полугруппы степеней одного оператора. Коснемся подробнее одной из такого рода проблем. Как известно, в любом рефлексивном банаховом пространстве всякий ограниченный со степенями оператор эргоди-чен в среднем. Верно ли обратное? Точнее, можно ли доказать, что если всякий ограниченный со степенями оператор на банаховом пространстве эргодичен в среднем, то это пространство рефлексивно. Это старая проблема теории банаховых пространств, она была поставлена Л. Сачестоном [107]. В общем случае проблема не решена, однако для некоторых классов банаховых про странств удается получить положительный ответ. Так в 1986 г. Р. Захаропол [115] дал положительный ответ для ^-пространств, именно, он показал, что если Е — банахова решетка, являющаяся /^-пространством, то каждый ограниченный со степенями положительный оператор Т : Е —» Е эргодичен в среднем, тогда и только тогда когда Е рефлексивно. Этот результат развивался и обобщался в различных направлениях в работах Рэбигера [87], ав-
тора [26], автора совместно с Вольфом и Рэбигером [34], [33], В. Фонфа, М. Лина и Р. Войташика [45]. Так Рэбигером [87] было построено несколько примеров не эргодичных в среднем операторов Т, удовлетворяющих условию 0 < Т < / на банаховых решетках, не являющихся Ка- пространствами или на банаховых решетках содержащих топологически ортогональную систему и не имеющих порядково-непрерывной нормы. Затем автором, в работе [26] был дан положительный ответ на вопрос Сачестона для произвольных банаховых решеток. Этот результат обобщался и модифицировался в работах [34], [33] и [45]. В частности в работе [34] был дан положительный ответ на вопрос Сачестона для банаховых пространств допускающих изоморфное вложение Со, а в работе [45] вопрос Сачестона был закрыт для банаховых пространств имеющих базис. Помимо проблемы Сачестона, в этом параграфе рассматриваются многочисленные связи геометрии банаховых решеток и асимптотических свойств операторных полугрупп действующих на них. В параграфе представлены результаты работ [26], [34] и [33].
Основные результаты диссертации докладывались автором на конференции Positivity and its Applications в Анкаре (Турция, 1998 г.) и Наймегене (Голландия 2001 г.), на конференции Quantum Probability and Infinite Dimensional Analysis в Котбу-ce (Германия, 2001 г.), а так-же на научных семинарах ИМ СО РАН (1998, 2000, 2002 гг.), институтов мат. статистики университетов Гетингена (Германия, 2002 г.) и Бонна (Германия, 2002 г.), технических университетов Ульма (Германия, 2001 г.), Дрездена (Германия, 2002 г.) и Анкары (Турция, 2002, 2003 гг.), а так-?ке на семинарах институтов математики при университетах Тюбингена
и Штуттгарта (Германия, 2000-2002 гг.)
Результаты диссертации изложены в работах [26], [27], [28], [29], [33], [32], [34], [35], [36], [37], [38], [39], [40] и [31]. Статьи [33], [32], [34], [35], [36], [37], [38], [39], [40] и [31] совместные, в диссертацию из них включены результаты принадлежащие автору.
Констриктивные и квази-констриктивные полугруппы
Этот параграф посвящен однопараметрическим операторным полугруппам на произвольных банаховых пространствах, чье асимптотическое поведение, в некотором смысле, конечномерно. При изучении таких полугрупп можно применять разнообразные методы линейной алгебры. Эти полугруппы часто возникают в различных приложениях, чем и мотивируется их исследование. Несколько примеров мы приведем ниже, другие рассматриваются в книге [69]. Параграф содержит ряд результатов о полугруппах обладающих (квази) компактными констрикторами полученных в работах [34], [38] и [29], Начнем с понятия констриктора операторной полугруппы, а затем исследуем полугруппы, обладающие компактными или квази-компактными констрикторами. 1.2.1. Пусть X — банахово пространство с нормой [J, и Т = {TtjteJ однопараметрическая операторная полугруппа на X. Здесь J — IN U {0} в дискретном случае, и J — IR+ в сильно непрерывном случае. Определение 21 Подмножество АС. X называется констриктором полугруппы Т, если Через Вх, как обычно, мы обозначаем единичный шар пространства X, и через dist(y, А) — расстояние от элемента у Є X до множества А, Понятие констриктора восходит к работе А. Ласоты, Т. Ли и Д. Йорка [68]. Разумеется, понятие констриктора зависит от выбора нормы в X. Множество всех констрикторов полугруппы Т будем обозначать символом Construe(7 ) или просто Constr(T), если норма в X фиксирована.
В дискретном случае мы говорим, что множество А — констриктор оператора Т если А является констриктором полугруппы (T")L0, и пишем А Є Constr.,(T) вместо А Є СошИтц.н Т) ). Следующее утверждение почти очевидно. Лемма 22 Если полугруппа Т имеет (слабо) компактный констриктор, то Т — [слабо] почти периодична. Доказательство: Пусть множество А Constr(T) (слабо) компактно. Пусть х Є X, и последовательность („) в J сходится к со. Подберем для каждого tn элемент atn Є А такой, что а „—7 пж - 0. Последовательность (а ) имеет (слабо) сходящуюся подпоследовательность (aSn), поскольку множество А (слабо) компактно. Тогда подпоследовательность (TSnx) в (Ttnx) также (слабо) сходится, о 1.2.2. Основная теорема об полугруппах обладающих компактными констрикторами была установлена Ласотой, Ли и Йорком [68] для марковских операторов. Затем в общем случае она была доказана Фонгом [84], (см. также [86]) и, независимо, Сайном [106]. Интересно отметить что в работе [68] Ласотой, Ли и Йорком было дано прямое доказательство этой теоремы для частного случая марковских операторов. Оно достаточно длинно, в отличие от доказательства Фонга и Сайна которое мы воспроизводим ниже, однако не использует теорему Гликсберга - Де Лю - Джекобса. Теорема 23 (Ласота - Ли - Йорк - Фонг - Сайн) Для любой однопараметрической ограниченной полугруппы Т {Х) равносильны следующие утверждения: (г) существует компактное множество А Є Constrj.(T); (гг) существует Т-приводящее разложение X = XQ(T) ХГ(Т), где Х0{Т) = {хХ: Ит Т(я; = 0} dim(Xr) со. Доказательство: (г) = (и): Полугруппа Т почти периодична в силу леммы 22. Применив теорему Гликсберга Де Лю - Джекобса 13, получим разложение X := XQ ф Х\ на Т-инвариантные подпространства XQ И Х\ такие, что XQ = XQ(T) (поскольку Т —ограничена), и всякий элемент х Є. Х\ —- предельная (по норме) точка орбиты {Ttx}tj. Таким образом, Bxt Q Л. Поэтому шар Вхх компактен по норме и сІіт(Л"і) оо. (іі) = (і): Предположим, что X Х0(Т)ХГ(Т) — Г-приводящее разложение, гдеХ0(Т) = {х Є X : lim \\Ttx\\ = 0}, и Xr, dim(Xr) оо. Тогда множество MrjPSxr является компактным констриктором полугруппы Т, где Mr = sup 7t, и Р є С{Х) — проектор, teJ удовлетворяющий условию Р(Х) — Хг, и kerP = XQ. О Теорема Ласоты - Ли - Йорка - Фонга - Сайна 23 мотивирует следующее определение. Определение 24 Однопараметприческая ограниченная полугруппа Т называется констриктивной полугруппой, если Т удовлетворяет условиям теоремы 23. Оператор Т Є С(Х) называется констриктивным оператором, когда полугруппа (Г") кон-стрштивна.
Теорема 23 показывает, что констриктивная полугруппа может быть асимптотически исследована методами линейной алгебры. Это замечание подчеркивает важность исследования констрик-тивных полугрупп. К сожалению, за исключением нескольких довольно частных случаев, проверить констриктивность полугруппы Т довольно сложно. Поэтому возникает вопрос: найти условия, при которых оператор Т будет констриктивным. Этот вопрос будет центральным в этом параграфе и в нескольких других параграфов нашей работы. Отметим, что в силу принципа равномерной ограниченности, всякая констриктивная полугруппа автоматически ограничена. По этой причине мы будем рассматривать, главным образом, ограниченные полугруппы. 1,2.3. Пусть X — банахово пространство, и Т — {Ttjtej — ограниченная полугруппа в С(Х). Тогда множество является, очевидно, замкнутым Т-инвариантным подпространством в X. В том случае, когда пространство Х${Т) обладает Т-инвариантным дополнением, полугруппа Т удовлетворяет условиям теоремы 23 и поэтому является констриктивной. Это ключевое замечание к следующему определению. Определение 25 Мы называем ограниченную полугруппу Т квази-констриктивной, если codimXoCT) ос. ОператорТ С(Х) называется квази-констриктивным, если полугруппа (71п) .1 квази- конструктивна. Следующий результат очевиден. Предложение 26 Однопараметрическая ограниченная полугруппа! = {Tt)teJ квази-констриктивна тогда и только тогда, когда оператор ТТ квази-констриктивеп для некоторого т Є J о.
Эргодичность в среднем положительных полугрупп на L1-пространствах
В этом параграфе мы изучим связь между эргодичностью в среднем и слабо почти периодичностью положительных полугрупп на 1 -(0,, Е, д) и представим несколько результатов об условиях, при которых однопараметрическая положительная полугруппа эрго-дична в среднем. Затем мы исследуем условия эргодичности в среднем марковских полугрупп и полугрупп Перрона - Фробени-уса. 2.2.1. Начнем со следующего простого свойства, которое непосредственно следует из теорем 8 и 12. Предложение 55 Пусть Т — (Tt)teJ однопараметрическая ограниченная положительная полугруппа на L1-пространстве, такая, что оператор Т( эргодичен в среднем или [слабо) почти периодичен при некотором 0. Тогда полугруппа Т обладает тем же свойством, о По теореме 10, всякий слабо почти периодичный оператор и всякая слабо почти периодичная Co-полугруппа эргодичны в среднем. Обратное утверждение в общем случае не верно. Однако, оно выполняется для ограниченной положительной полугруппы наі П). Этот результат был получен Й. Коморником [60, Prop. 1.4(1)] и, независимо, И. Корнфельдом и М. Лином [62, Thm.1.2]. Доказательство, приводимое ниже, взято из статьи [27] автора. Интересно отметить что это доказательство без изменений работает и в случае произвольных -пространств. Теорема 56 Пусть Т = [Tt)t j — однопараметрическая положительная ограниченная эргодичная в среднем полугруппа на L1(Qi Ei/І). Тогда 7 слабо почти периодична.
Доказательство: Достаточно показать, что орбита {Ttf}t j слабо предкомпактна для каждого элемента / Є L\(U). Фиксируем / Є L\(Q)} и пусть и = \im.At{7 )f. Если и = О, положим Q = I := /di,i(fi). ЕСЛИ и ф 0, возьмем проектор на носитель и - Р = Ри: Ясно, что Р удовлетворяет неравенству 0 Р I, и Т Р — PTtP поскольку пространство Ь {{и 0}) — Т-инвариантно. Положим Q = / — Р и заметим, что QTt = QTiQ для всех t Є J. Так как lim ju—At{T)f\\ = 0 и Qu = 0, мы имеем lim Q At(7")/ = 0. Применяя неравенство (1) из 2.1.1 к подмножеству Н := {QTtf}tej, получим,что для некоторой возрастающей последовательности (гц), и, следовательно, и, поскольку полугруппа Т ограничена, для любого є 0 найдется Іє такой, что lim sup dist(Ti/? [—lu, lu]) = lim sup dist(PTt/, [—lu, lu]) є t—№C t- CQ при всех I Іє. Значит, множество {Tt/}tej слабо предкомпактно, так как отрезок [—1и,1и] слабо компактен и є 0 было выбрано произвольно, о Следующий результат принадлежит И. Дериннику и У. Кренгелю [24], и вытекает непосредственно из теорем 7 и 56. Заметим, что это следствие можно независимо вывести из теоремы 90 следующей главы. Следствие 57 Пусть Т — ограниченный со степенями положительный оператор на L1-пространстве. Для любого mflN, оператор Т эргодичен в среднем тогда и только тогда, когда Тт эргодичен в среднем, о 2.2.2. Во многих случаях важно найти условия, при которых положительный оператор Т эргодичен в среднем, а пространство Fix{T) всех Т-неподвижных векторов конечномерно. Для этой цели полезна следующая теорема. Теорема 58 Пусть Т — однопараметрическая положительная полугруппа на Z1 -пространстве такая, что существует элемент у Є L\ и вещественное число ту, 0 г) 1, удовлетворяющие условию: Доказательство:
Докажем эту теорему только для дискретных полугрупп (Т") . Непрерывный случай можно легко свести к дискретному, используя теорему 8, поскольку по принципу равномерной ограниченности, полугруппа 7" удовлетворяющая условию (4), является ограниченной. Обозначим наше -пространство через Е. По эргодической теореме Сайна 6, достаточно проверить, что для каждой Т -неподвижной точки 0 ф ф Є Е = Ь(И, , fj,) существует Т-неподвижная точка w Є Е, удовлетворяющая неравенству (ф, w) ф 0. Пусть Е Э ф Ф 0, Т ф = ф. Мы можем считать, что \\ф+\\ = Ї [[ — 1. Положим є := (1 — )?)/3 и возьмем некоторый элемент / Є Е, который удовлетворяет условиям }/ = 1 и (ф+, /) 1-е. Имеем ШЛИ = Ц/1 = 1, и
Полугруппы с порядково-ограниченньши констрикторами
В этом параграфе установим теорему 82 — ключевой момент в доказательстве теоремы 71 параграфа 2.3 а так-же ряда результатов параграфов 4.2 и 5.2 (см. [36]). Эта теорема является очень сильным и далеко идущим обобщением основной леммы 3.3 работы [90] в которой рассматривался случай нерастягивающего оператора на банаховой решетке, а так-же теоремы 1 из [47], где условие нерастягиваемости опущено, однако по прежнему рассматривался лишь случай дискретной однопараметрическои полугруппы на банаховой решетке. Отметим что в однапараметрическом случае наличие Т-инвариантной точки у орбиты Ту :— {Tty}t j равносильно тому что Ту сходится по Чезаро, а последнее всегда имеет место, если полугруппа Т эргодична. Временно отступая от принятого в настоящей работе соглашения будем работать в этом параграфе с произвольной абелевой полугруппой Т. На ней имеется естественное упорядочение: тогда и только тогда когда $ — t m для некоторого m Т. Относительно этого порядка полугруппа направлена — для любых s, t Є Т справедливо s,t s t. Следовательно, можно рассматривать сходимость по данному порядку. Теперь пусть Т абелева операторная полугруппа на банаховом пространстве X. Определение 81 Подмножество Л С X называется констриктором полугруппы Т, если каждого х Є Вх 3.2.1. Следующая теорема касается положительных полугрупп, обладающих квази-порядково-ограниченными констрикторами. Теорема 82 Пусть Т (Tt)tej положительная абелева полугруппа на банаховом пространстве X над R, упорядоченном сильно нормальным конусом.
Если Т имеет констриктор [—у, у]+ цВх для некоторого вещественного r\i О п 1, и если при этом замыкание по норме выпуклой оболочки орбиты 7 у := {Tty}teJ содержит Т-инвариантную точку w, тогда порядковый интервал J [ WJW] является констриктором Т. Доказательство: Прежде всего, Mr := sup Т( оо по прин-ципу равномерной ограниченности. Пусть теперь п а 1 фиксировано. Покажем, что izr[—u ,w} Є Constr(7"). Чтобы это доказать, достаточно продемонстрировать, что для произвольных элемента х Вх и є 0, существует і(х,є) Є J, удовлетворяющее соотношению Фиксируем х Вх и є 0. В силу того, что конус Х+ сильно нормален, существует 5 0, для которого Так как w Є co{Tty : t Є J}, можем взять aq Є R+ и sq Є J, где g Є 1, m, такие, что Построим по индукции возрастающую последовательность (U) С J, удовлетворяющую условию при всех« , 5 Є IN, g m. Первый шаг (5) следует непосредственно из факта, что [—у,у] + цВх Є Constr(T). Пусть для некоторого і мы нашли ti, которое удовлетворяет (5) при всех 14 Э q т. Выберем тогда и1 и vq так, чтобы для каждого ( удовлетворяющего неравенству N Э т. Тогда при достаточно большом +ъ имеем при всех q Є l,m. Таким образом, мы получаем, что соотношение (5) выполняется при замене г на г + 1. Используя тот факт, что w — неподвижная точка Т и условие (4), мы получаем следующее: 3.2.2. Следующий результат является простым следствием теоремы 82. Следствие 83 Пусть Т = [Tt)teJ ограниченная положительная полугруппа на упорядоченном банаховом npocmpaucmse X с сильно нормальным положительным конус и сильной порядковой единицей ЇЇ. Если существует предел -1 L 103 то [—М-ш, Mw] Є Constr(T), где M := swp\\Tt\\. В частности, если w = 0, то lim \\ТА\ — О. Доказательство: По предположению, интервал [—МИ, МП] является констриктором Т. Таким образом, первое утверждение вытекает из теоремы 82. Если, в частности, w = 0, то lim \\Ttl\\ = О, откуда, ввиду Tt О, следует, что lim jTfj = 0. о В следующей главе мы покажем, что самосопряженная часть всякой С -алгебры имеет сильно нормальный положительный конус (см. теорему 100).
Таким образом, мы можем применить следствие S3 в этом контексте и получим следующее следствие, которое выглядит интересным даже для коммутативных С -алгебр. Вторая часть представляет собой обобщение результата У. Гро и Ф. Ней-брандера [53, Satz 3.2], где предполагалась слабая сходимость полугруппы к 0, чтобы вывести равномерную сходимость к 0. Фактически, при этом предположении Tt 1 слабо сходится к 0, откуда вытекает, что w 0 в силу теоремы Эберлейна об эргодичности в среднем 2. Результат, относящийся ко второй части следствия 83 изначально был доказан Ч. Бэтти [15, Thm.3] в несколько других предположениях на уппорядоченное пространство. Следствие 84 Пусть Т — (Tt)tej — одиопараметрическая положительная непрерывная полугруппа, ограниченная константой М на С -алгебре Л с единицей її. Если существует предел -. 771—1 , -, Т w := lim — ТИ (относительно, w := lim -/T/Hrft). тогда m-ЮО m Q \ r oo r Q J [—Mw,Mw] является констриктором ограничения 7" на само ті сопряженную часть Asa С -алгебры Л. При этом, если w = О, то lim Г( = 0. f-юо " Доказательство: По предположению, интервал [—МП, МЇЇ] является констриктором ограничения Т\л!а- Тогда утверждение следует из следствия 83. Если, в частности, w = 0, то lim \\Ttl\\ = 0, что, ввиду Т% 0, влечет Hm \\Tt\\ — 0. о
Нижние граничные элементы марковских полугрупп на предсопряженном пространстве алгебры фон Неймана
Фиксируем несколько необходимых понятий, которые не определены в параграфе 4.1. Пусть М. — алгебра фон Неймана с предсопряженным пространством Л4+ и сопряженным пространством Л4 . Для х у из M. sa будем обозначать через [х,у] порядковый интервал {z M+sa : х z у}, и через Вмяга = {z A4 sa : \\z\\ 1} — замкнутый единичный шар в Ai sa. Алгебра Л4 называется атомной, если каждый ненулевой проектор мажорирует ненулевой минимальный проектор. Например, алгебра М, = В{%) всех линейных ограниченных операторов на гильбертовом пространстве % атомная. Как обычно, обозначим средние по Чезаро полугруппы Т — (Tt)tej через Оператор Т на Лч называется вполне положительным, если его сопряженный оператор Т" вполне положителен на Л4 (см. [108, р.200]). Положительный оператор Т на А4 называется марковским оператором, когда единица II алгебры Л4 является неподвижной точкой его сопряженного Т . Заметим, что для марковского оператора Т выполняются отноше-ния Г = 1 и ЦТ/11 = Ц/ІІ для / Є (Лй)+. Пусть Г == (Tt)teJ -дискретная или сильно непрерывная полугруппа марковских операторов на At . 4.2.2. Следующая теорема дает условия, которые обеспечивают эргодичность в среднем марковской полугруппы на М. . В коммутативном случае этот результат рассмотрен в параграфе 2.2. Теорема 101 Пусть М. — алгебра фон Неймана, Т — марковская полугруппа на М. , д Є М.+, w 7? Є R, 0 т/ 1 талое, что для любого нормального состояния / Є Лі . Тогда Т эргодична в среднем. Если к тому же Л4 атомная и Т состоит из вполне положительных операторов, то пространство Fix{T) всех неподвижных точек Т конечномерно. Доказательство: Прежде всего покажем, что Т эргодична в среднем. По теореме Сайна б и простым соображениям линейно сти, достаточно проверить, что для каждой Т -неподвижной точки 0 ф ф Є Msa существует Т-неподвижная точка w Є M. sa, удовлетворяющая неравенству {ф,ь)) ф 0. Пусть M.Sa Э ф ф 0 — неподвижная точка Т .
Можем считать, что IJV +II — II"011 — 1- Положим є := (1- )/3 и возьмем некоторый элемент х Є A +so, удовлетворяющий х = 1 и (ф+}х) 1 — Є. Имеем, что ЩхЩ = \\х\\ = 1и Таким образом, (ф, \х\) — (2- +, ж) — (\ф\, ja;) 2(1 — є) — 1 = 1-2є. Пусть х" Є М — ад -предельная точка {Ai(T)a:}fej. Тогда Т"х" — хи. Так как Umdiat CnH.hy.y]) »? и порядковый интервал [—у, у] слабо компактен в М. по теореме Акемана 98, получаем, что Возьмем положительный проектор R : Л4 — Л4 согласно [95, Prop. 1.17.7]. Тогда {IdM - R)x" Є rjBM , и Таким образом, (TtRx")t убывающая в .М + и, значит, существует w := lim TtRx". Ясно, что Ttw — ги при всех t Є J, и {ф,ги) = {ф, Rx") 0. Таким образом, полугруппа Т эргодична в среднем. Теперь пусть М. атомная иТ вполне положительная. Эргодиче-ский проектор Pj = lim At{T) (взятый по отношению к сильной операторной топологии) является вполне положительным марковским оператором. По теореме М. Чоя и Э. Эфроса [20], образ его сопряженного Pj- является алгеброй фон Неймана, скажем, АЛ Значит, образ Pj(ftA ) = Fix(T) сам является предсопряженным пространством ЛЛ Тогда вещественная часть единичного шара В-Мча f N удовлетворяет соотношению Так как порядковые интервалы Л4 за компактны, последнее включение показывает, что единичный шар в Л/ также компактен, и, значит, dim Fix(Т) со. о Такое нормальное состояние и, очевидно, единственно и Т-инвариантно. Элемент h Є М. + называется нижним граничным элементом для 7", если Следующий результат известен как критерий Ласоты (см. теорему 65) для марковских полугрупп на коммутативном L пространстве. Его обобщение на предсопряженное пространство некоммутативной алгебры фон Неймана принадлежит Сарьшсакову и Грабар-нику [97, Thm.l] (кроме того оно было анонсировано Аюповьш и Сарымсаковым в [10, Thm.2.4]). В этих работах впрочем не приведено доказательство, и было ли оно где-либо опубликовано, автору неизвестно. Ниже доказательство будет получено как простое следствие теоремы 101. Теорема 102 (Сарымсаков - Грабарник — Аюпов)
Пусть М. — алгебра фон Неймана. Тогда для любой марковской полугруппы Т па ./И следующие утверждения эквивалентны,: (г) 7 асимптотически устойчива; (гг) существует нетривиальный нижний граничный элемент для г. Доказательство: (г) = (гг) : Пусть нормальное состояние и S{M) удовлетворяет тогда и — нетривиальный нижний граничный элемент для Т. (гг) =$ (і) : Пусть 0 ф h Є Л4++ — нетривиальный нижний граничный элемент для Т. Обозначим Теорема 101, примененная к интервалу [—дуд] = [ h,h] и rj = 1 — \\h\\, влечет, что Т эргодична в среднем, и, значит, существует Т-инвариантное нормальное состояние, скажем, и. Тогда Л4 ва M+Q IR. - и. Достаточно показать, что Отметим, что \\Ttf\\ jT3+t/ так как Т нерасширяющая. Значит, ]/ lim iT(/j = inff Ti/ выполняется для каждого /. Если (3) неверно, то существует / 6 .М о с 2а := lim \\Ttf\\ 0. Тогда что невозможно. Тем самым, утверждение (3) выполняется, о 4.2.4. По аналогии с предыдущим пунктом, назовем элемент h Є Af + средним нижним граничным элементом для марковской полугруппы Т, если Очевидно, всякий нижний граничный элемент является средним нижним граничным элементом. Заключительный результат этого параграфа — одно следствие теоремы 101 является аналогом теоремы 66.
