Введение к работе
^Ср^и;^ J
Актуальность темы. Исследование операторов обобщенного сдвига (о.о.с.) было начато в работах М.Дельсарта (1933) и Б.М.Левитана (1945). С тех пор теория о.о.с. превратилась в обширную область исследований, привлекающую внимание многих математиков. Одной из основных задач этой теории является изучение представлений, гармонического анализа и теории двойственности для о.о.с.
В серии заметок 1945 года Б.Н.Левитан для определенного класса коммутативных о.о.с. получил ряд результатов гармонического анализа и теории двойственности, а затем применил эти результаты к спектральной теории дифференциальных операторов. Теория унитарных представлений о.о.с. в компактном случае изложена в монографиях Б. 1.1.Левитана (1962, 1973). Приложениям теории о.о.с. к дифференциальным операторам посвящены статьи А.Я.Повзнера, В.Л.Марченко, Ю.Ы.Березанского, Н.Г.Крейна, Д.И.Гу ревича, В.Хатсона, Дж.Нима, Н.Лебланка и др.
Развивая исследования М.Дельсарта и Б.М.Левитана, Ю.М.Бере-занский и С.Г.Крейн (1950) ввели понятие гиперкомллексной системы (г.с.) с континуальным базисом. Она представляет собой коммутативную банахову алгебру i1CQ,fn) (где Q - локально компактное топологические пространство - базис і'.с, т - положительная регулярная мера на Q ), операцией в которой является обобщенная свертка. При этом свертка положительных функций предполагается положительной. Для случаев компактного и дискретного базисов в 50-е годы были построены гармонический анализ, теория почти периодических функций и рассмотрены приложения к ортогональным многочленам, к задаче Штурма-Лиувилля на полуоси и к центральным функциям на компактной группе. Общий случай г.с. с локально компактным базисом изучен уже в 80-е годи Ю.Н.Верозанским и А.А.Калюжным.
Близкие к г.с. объекты - гипергруппы - введены Ч.Данклом (1973), Р.Д-куэтом (1975), Р.Спектором (1975) и изучались в дальнейшем целим рядом математиков - см. обзоры К.А.Росса (1977), Г.Л.Литвинова U9oa) и Л.ЇІ.Ваіінермана (19и6). Техника о.о.с, порожденных коммутационными соотношениями, применялась М.В.Ка-р;і::.?пмм и В.П.Масловым (ІУ79, 19об) для решения задач математи-
ческой физики. Применению гармонического анализа о.о.с. к теории распознающих систем посвящен обзор Л.И.Вайнермана (1986).
Рассмотрим проблему распространения принципа двойственности для коммутативных локально компактных групп на, вообще говоря, некоммутативные о.о.с. Поскольку двойственный объект к г.с.(коммутативной гипергруппе) не является, вообще говоря, г.с. (коммутативной гипергруппой), возникает задача выделить класс коммутативных о.о.с, охватывающий г.с. и гипергруппк и инвариантный относительно двойственности. Для некоммутативных компактных групп теорема двойственности доказана Т.Таннакой (1938) и М.Г. Крейном (1949); ее обобщения принадлежат В.Стайнспрингу (1959), Н.Татсууме (1965), М.Такесаки (1971). Наиболее полное и симметричное по форме решение указанной проблемы для унимодуоярных групп дал Г.И.Кац (1961). Он построил категорию так называемых кольцевых групп (в современной терминологии унимодулярных алгебр Каца), в которую вкладывается категория унимодулярных групп и в которой имеется естественный функтор двойственности. В случае коммутативных групп эта двойственность сводится к двойственности Л.С.Понтрягина.
Теория алгебр Каца развивалась в работах самого Г.И. Каца, а также В.Г.Налюткина, Л.И.Вайнермана, Э. Кирхберга, М.Энока, Ж.-М.Шварца, Ж. де Канье, В.Иорио, Дж.Валлина. Объекты типа алгебр Каца для негрупповых некоммутативных о.о.с. изучались A.M.Вершком (1972), С.В.Керовым (1974) и Э.Кирхбергом (1977). Как показал В.Г.Дринфельд (1986), близкие к алгебрам Каца объекты (квантовые группы) находят применение в квантовом методе обратной задачи интегрирования нелинейных уравнений - см. Е.К. Склянин, Л.А.Тахтаджян, Л.Д.Фадеев (1979). Применения теории двойственности для некоммутативных групп в квантовой теории поля содержатся в.работах С.Доплихера и Дж.Робортса (1984).
Несмотря на наличие множества работ по гармоническому анализу и двойственности для различных классов о.о.с, полученные в них результаты не охватывают ряда интересных примеров, важных для математической физики (оператор Шредингера, система Дирака с потенциалом общего вида). Поэтому представляется актуальным изучение представлений, гармонического анализа и двойственности для достаточно широкого класса о.о.с, охватывающего указанные примеры и ранее рассмотренные классы о.о.с.
Научные результаты, выносимые на защиту, и их новизна. Вес результаты, изложенные в диссертации, являются новыми.
-
Установлен принцип двойственности для локально компактных топологических групп. Он опирается на построенную в диссертации теорию неунимодулярных алгебр Каца. Показано, что его следствием является теорема двойственности Т.Таннаки-М.Г.Крейна-Б.Стайнспринга-Н.Татсууми.
-
Даны определения вещественных г.с. с компактным и дискретным базисом. Показано, что на эти объекты можно распространить основные факты гармонического анализа на компактных и дискретных группах (теория Петера-Вейля, формулы Планшереля и обращения для преобразования Фурье, теорема Бохнера), а также принцип двойственности.
-
Доказана теорема двойственности для конечных г.с. Для этого развита теория г.с. Каца, включающая утверждение о существовании и единственности меры Планшереля и утверждения о свойствах представлений. Принцип двойственности для г.с. с'локально Компактным базисом получен с помощью квантованных г.с.
-
Сформулирована аксиоматика неограниченных о.о.с. в гильбертовом пространстве вектор-функций. Для преобразования Фурье Но их фактор-представлениям установлены формула Планшереля и формула обращения. Даны приложения к спектральной теории дифференциальных и разностных операторов.
Теоретическая значимость. В диссертации разработаны новые метода, основанные на теории гильбертовых биалгебр, позволяющие Изучать представления, гармонический анализ и двойственность для «шрокого класса операторов обобщенного сдвига.
Апробация работы и публикации. Основные результаты диссертации докладывались на международном ст.тоэиуме по теории информации (Ташкент, І9У4), на всесоюзных конференциях и школах по функциональному анализу в гг. Новосибирск (1977), Ульяновск (19«0), Иркутск (1902), Донецк (1983), Воронеж (1932, 1983,1964, 1936, 1987, 1903), Челябинск (1986), Тамбов (1937), Куйбышев (І9ГІ8), на семинарах в Московском государственном университете, Ленинградском отделении Математического института АН СССР, Казанском государственном университете, Ташкентском государственном университете, Институте математики АН УССР, Доме научно-технической пропаганды общества "Знание" УССР.
Основное содержание работы опубликовано в [I - 20].
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, списка литературы и содержит 300 страниц машинописного текста.
