Введение к работе
Актуальность теж. С'лигуляріше интегрзлъныз уравнения :о сдвигом являются естественным обобщением сингулярних ИН-'егрэльных уравнений с ядром Коши.
Интерес к такого рода уравнениям вызвал многочисленном х приложениям в теории кзвитзцконных течений идеальной идкости,в анизотропной теории упругости и функциональные перзторы в задачах синтезе сигнала оптимальных систем локэ-ии.
Сингулярные интегральные операторы со сдвигом (СИСС) ря различных предположениях относительно несущего контура коэффициентов привлекал ьнимэние. многочисленных исследо-ітелей. В их числе Г.С.Литвикчук, С.Г.Сакко, Н.К.Корзпетякц, .Ц.Гохберг, Н.Я.Крупник, В.И.Нягэ, Р.В.Дудучзвэ, В.Г.Краз-!нко, Ю.И.Карлович, В.Н.Семенютв, А.П.Солдотов, Л.И.Сззо-ІВ, А.Г.Мясникоз, А.Б.Антоневич, А.Б.Лебедев, А.Б.Хзелев, Д.Латуикин и др.
Подробное изложение и историю вопроса, а также библио-вфию доведенного до 1975 годэ, мокно найти в ыонографии О.Литвинчукэ1^. Отметим тэкжб обзорные статьи
Г.С.Литвинчух. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом. М., Наука, 1977. - 448с.
В.И.Карловиче, В„Г.Кравченкос Г.С.Литвинчука ' \ в кото-рых, в частности, собрана библиография до 1989 годэ.
В диссертации изучаемся сингулярный оператор со сдвигом
T=A+R + A-P- а)
А±^±х-±^ ' :(2)
I ~ тождественный оператор, W - onepasop сдвига: (ОТ)(-0==^(}ШП , Ш) даффаоморфазн (сдвиг) простого замкнутого контура V ив себя, инеющий 'непустое, множество J\ периодических ючек„ коэффициенты CU , $ непрерывны не контура Р ,, R-^4p(liS) ,
В предполокении;, что коэффициенты 0.+ , с^ операторе А + являются непрерывными функциями на Г иля CU t^+ принадлежат пространству f-/u(D , оператор Т рассматривался.рз&ее соответственно в пространствах /-рСЕ"1) ,
/|Z.p/.<*> к ty*^ ,0^^1 (0М.2), 4)).
2) Карлович Ю.И., Кравченко В.Г., Литвинчуя Г.СС їеорая Нестера сингулярных интегральных операторов go сдвигом. //Изв.вузов. Ыэтаи. -1983 - Е 4 - с„3-27о
5' Карлович Ю.И., Кравченко В.Г., Лятвничук Г.С Обратимость функциональных операторов в бзнвховых пространствах.// Функционально-дифференциальные уравнения - Пермь: ПЛИ, . 1990. - с.18-58. 4) Карлович Ю.И., Литвинчук Г.С. О некоторых классах полу-нетеровых операторов//Изв.вузов. Ма?еи.-2990 - № 2, с.3-16.
При этом з ^-р(Г) теория Нетерэ оператора (І) в случае конечного множества периодических точек сдвига построена В„ГДрэвченко, a s случае произвольного непустого множества периодических точек - В.ИДарловичен и В,Г.Кр8вченко; критерий И. (о) - нормальности оператора (I) получен Р.Марди-евыц0 Соответствующие результаты для оператора (І) в НиС> получены в работах а.И.Карловича, Б.Турсункулова и Р.Кэр-диевэ.
В настоящей диссертации впервые оператор Т рассизк-
эивэетоя в рефлексивной пространстве Орлича /-^СП) . Пере-
:од к пространствам Орлича J-^if) оказался нэ тривиальный.
Голученные здесь результаты существенно отличается от эна-
:огичных результатов для пространств Z-pU"1) как по хзрзк-
ерус так й способу ах обоснования» Это вызввно теи, что
ыесто одной величины К , К-=Ц'^)| , отрэЕЗюцей 39-
исииость спектра оператора взвешенного сдвига от значений ронзводной сдвига з периодических точках, в случае про-грэнствэ Орличэ Z-/ACP) -поязлгагоя две величины34^" >, ~0, Л , связанные с интерполяционный! характеристиками )остранств8 Орличв - индексами Д.Бойда. ' В основе исследования на Уг(сі)- нормальность (поду-теровость) оператора (I) лежит изучение однооторонаэй об-тииости функциональных операторов со сдвигом (2). Такие ерэторы играют важную роль в теории дифференциальных звнений с отклоняющимся вргуиентои, в теории динаиических зтем и'т.д.
Цель работа - построение теории И.(о!) - нормальности СКОС (I) и получения критерии односторонней обратимости ФО (2) со сдвигом в рефлексивном пространстве Орличо ^-М(.Ґ)
Методы исследования. В диссертации применяются методы общей теории линейных операторов в банаховых пространствах,-з тэкке теории интегральных и функциональных операторов.
Научная ковианэ, теоретическая и практическая значимость таботы. Основные научные результаты, которые выносятся на защиту, следующие:
1) Критерий односторонней обратимости в рефлексивных
пространствах Орличэ І-^СҐ) ФО (2) со сдвигом:
а) сохраняющим ориентации и имеющим конечное мнокество
неподвижных точек,
б) имеющим произвольное непустое множество периодичес
ких точек.
-
Описание спектра оператора взвешенного сдвига в/ V,
-
Критерий И,(а) - нормальности СИОС (І) в рефлексивном пространстве Орличз/^(.П) в случаях сдвига:
a) сохраняющего ориентацию и имеющего конечное ино
ке ствс неподвижных точек, .
б) сохраняющего ориентацию и имеющего произвольное
непустое мноиестЕо периодических точек,
в) изменяющего ориентацию сдвига.
b) Критерий нетеровости и формула для вычисления ин
дексе СИОС (I) в рефлексивном пространстве Орлича і-^^'
з случаях сохрзнякцего и изменяющего ориентацию сдвига.
5) Приложение к исследованию дифференциальных грэкич-1ых задач со сдзкгои для аналитических функций з прострзн-іівах Соболева-Орличз V^ {V) ,
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались га Одесском городской сешвэрэ по крзевш зэдзчзм и лнтег-іальньш уравнениям" (рук. - проф.Г.С.Литвннчук), на Ш Урэль-кой региональной конференции "Сункционально-дийеренцизль-ыэ уравнения и их приложения" (Пєр:іь, 1-5 февраля 1988г»)» а Хй Всесоюзной школе по теории операторов в функциональных рострзнствох (Куйбшлев, 6-13 октября 1988г.), на Северо-8ВК83СК0Й сколе-конференции "Функциональные пространства, ингулярпые оператори :: их прилояенля (г.Теберда, 16-23 знтябрл 1983г.), нэ Соворо-Кэвкозской региональной конфе-энцш: "Линейкк"? оператори з функциональных пространствах" ?розниП, 1983г.),
