Содержание к диссертации
Введение
1 Основные уравнения 12
1.1 Конфигурации предварительно напряженного тела 13
1.2 Уравнения движения предварительно напряженного несжимаемого упругого твердого тела 16
1.3 Сравнение с н єна груженным случаем 23
1.3.1 Случай трансверсальной изотропии 23
1.3.2 Изотропный случай 26
1.4 Некоторые энергетические потенциалы 26
1.4.1 Линейный потенциал 26
1.4.2 Почти нерастяжимый материал 27
1.4.3 Предварительно напряженный изотропный несжимаемый материал 28
1.5 Дополнительные напряжения на поверхностях 30
2 Распространение волн в предварительно напряженном трансверсально анизотропном упругом несжимаемом материале 33
2.1 Условие распространения 34
2.2 Условия сильной эллиптичности 35
2.2.1 Достаточные условия сильной эллиптичности 35
2.2.2 Необходимые и достаточные условия в главных плоскостях предварительной деформации 37
2.2.3 Двуосная деформация 38
2.3 Поверхность обратных скоростей при двуосной деформации 40
2.3.1 Пространственный случай 41
2.3.2 Поверхность обратных скоростей в плоскости (пі, па) 44
2.3.3 Поверхность обратных скоростей в плоскости (її!, п3) 44
2.3.4 Поверхность обратных скоростей в плоскости (пз, из) 47
2.4 Случай почти нерастяжимого материала 47
2.4.1 Условие распространения в главных плоскостях 49
2.4.2 Двуосная деформация 49
2.5 Поверхность обратных скоростей и волновая поверхность в случае почти нерастяжимого материала при двуосной дефор мации 50
2.5.1 Поверхность обратных скоростей 50
2.5.2 Поверхность обратных скоростей в главных плоскостях 52
2.5.3 Волновая поверхность в главных плоскостях 54
3 Распространение поверхностных волн в предварительно напряженном трансверсально изотропном полу-пространстве. 60
3.1 Характеристическое уравнение 61
3.1.1 Частные случаи 62
3.2 Определение перемещений и дополнительного давления 64
3.3 Граничные условия 66
3.4 Частные случае направления распространения и направления волокна 72
3.4.1 Распространение перпендикулярно волокну 72
3.4.2 Распространение вдоль волокна 73
3.5 Случай почти нерастяжимого материала 74
4 Краевые колебания предварительно напряженной изотропной полу бесконечной полосы 87
4.1 Основные уравнения 88
4.1.1 Граничные условия 88
4.2 Краевые колебания 90
4.2.1 Гладкое покрытие 91
4.2.2 Нерастяжимая мембрана 94
4.2.3 Асимметричный случай 96
4.3 Свободные колебания полу-полосы 98
4.3.1 Свободные колебания в случае гладкого покрытия 98
4.3.2 Свободные колебания в случае нерастяжимой мембраны 101
4.3.3 Свободные колебания в случае асимметричных решений 103
4.3.4 Предельные случаи 105
4.3.5 Графические иллюстрации 106
4.4 Вынужденные колебания полу-полосы 110
4.4.1 Вынужденные колебания в случае гладкого покрытия 110
4.4.2 Вынужденные колебания нерастяжимой мембраны 112
4.4.3 Численные результаты 113
5 Трехмерные краевые колебания в упругих изотропных телах 117
5.1 Трехмерные краевые волны в полубесконечной изотропной упругой плите 118
5.1.1 Гладкое покрытие 119
5.1.2 Нерастяжимая мембрана 123
5.1.3 Асимметричные граничные условия 125
5.2 Свободные краевые колебания прямоугольного бруса 127
5.2.1 Гладкое покрытие 128
5.2.2 Нерастяжимая мембрана 130
5.3 Вынужденные краевые колебания прямоугольного бруса 132
5.3.1 Гладкое покрытие 133
5.3.2 Нерастяжимая мембрана 136
6 Трехмерные краевые волны в предварительно напряженной изотропной полу-бесконечной плите 139
6.1 Основные уравнения 140
6.2 Гладкое покрытие 141
6.2.1 Нерастяжимая мембрана 158
6.2.2 Асимметричный случай 162
7 Трехмерные краевые колебания в случае предварительно напряженного бруса 171
7.1 Свободные колебания прямоугольного бруса 172
7.1.1 Гладкое покрытие 172
7.1.2 Нерастяжимая мембрана 179
7.2 Вынужденные колебания изотропного предварительно напряженного бруса 185
7.2.1 Гладкое покрытие 186
7.2.2 Нерастяжимая мембрана 189
Использованная литература 193
- Уравнения движения предварительно напряженного несжимаемого упругого твердого тела
- Условия сильной эллиптичности
- Поверхность обратных скоростей в главных плоскостях
- Частные случае направления распространения и направления волокна
Уравнения движения предварительно напряженного несжимаемого упругого твердого тела
Остановимся теперь более подробно на несжимаемых телах, то есть телах, для которых возможны лишь изохорные деформации. Покажем, что ограничение несжимаемости эквивалентно требованию для любой возможной деформации материала. Рассмотрим элементарный тетраэдр в естественном состоянии В0 w обозначим его вершину через Р0, а три образующих - через 5Х 1\6Х и 5Х . Известно, что в этом случае его объем 5V вычисляется как Глава 1. Основные уравнения 17 где ЄАВС - тензор Леви-Чивита, компоненты которого определяются следующим образом: ЄАВС = 0. если среди индексов А,ВиС есть по крайней мере два одинаковых; ЄАВС = 1 если перестановка индексов А,В иС четная и ЄАВС = — 1 в случае нечетной перестановки. Предположим, что после статической деформации образующие тетраэдра имеют вид Sx ,5x и 5х&\ Объем деформированного тетраэдра 5v может быть вычислен как Поскольку деформация описывается как ж,- = ХІ{ХДІ t), образующие тетраэдра до деформации и после нее связаны соотношением следовательно, объем деформированного тетраэдра имеет вид: Используя известный факт из алгебры, а именно где А - произвольная матрица 3x3 и е - тензор Леви-Чивита, см. Spencer (1980, с.8), и переходя к пределу при 8Хд — 0, (пг = 1,2,3), заключаем таким образом, изохорная деформация всегда соответствует detF = J = 1. Условие несжимаемости может также быть выражено в терминах малых движений. Используя (1.3), имеем: В случае малых движений 0(uitmumii) g. 1, таким образом условие несжимаемости принимает вид: Глава J. Основные уравнения 18 Учитывая условие несжимаемости (1.13), введем энергетический потенциал в виде Первое слагаемое в правой части (1.22) связано с основной частью напряжения (определяемой через деформацию) и имеет наиболее общий вид для несжимаемого трансверсально изотропного предварительно напряженного материала, т.е. зависит от четырех инвариантов вида Второе слагаемое в правой части (1.22), которое с учетом (1.13) является нулем для всевозможных деформаций материала, создает реакционное напряжение при отсутствии работы. Скалярная величина р, обычно называемая давлением, играет роль множителя Лагранжа и выбирается из уравнений движений и граничных условий. Отметим, что давление р может быть разделено на конечное статическое давление pressure р в конфигурации Ве и малое динамическое дополнительное давление р , т.е. Выведем теперь уравнения бесконечно малых движений.
Рассмотрим малые движения, наложенные на состояние равновесия Ве, которые с учетом (1.3) и (1.24) могут быть представлены в виде см. Ogden(1997, с. 328). Движения, не соответствующие (1.25), с настоящего момента исключаются из рассмотрения. Уравнения движения могут быть получены из уравнений сохранения количества движения, см. Spencer (1980, с. 134). В отсутствие внешних сил они имеют вид Глава J. Основные уравнения где 7г = 7r(F,j») - тензор номинального напряжения, являющийся транспонированным тензором напряжений Кирхгофа, см. например, Spencer (1980, с. 133), р - объемная плотность материала, а точка вверху величины обозначает ее дифференцирование по времени. Уравнения (1.26) сформулированы в естественной конфигурации Б0. Они могут быть переписаны для состояния равновесия в виде Раскладывая тензор номинальных напряжений в ряд Тейлора в окрестности состояния равновесия J3e, и учитывая (1.25), получим с точностью до второго порядка: Связь между напряжением и деформацией с учетом (1.22) может быть записана в терминах номинального тензора напряжений и энергетического потенциала как Уравнения движения (1.32) будут в дальнейшем рассматриваться вместе с линеаризованным условием несжимаемости (1,21). В случае энергетического потенциала (1.22) тензор упругости может быть выражен в терминах производных W0 по инвариантам Ii}I2,h н U, т.е. Представим выражение для тензора упругости в виде В (1.36) первое слагаемое (В -к1) не включает в себя производных по инвариантам /3 и h и является прямой аналогией тензора упругости в случае несжимаемого предварительно напряженного изотропного материала. В более явном виде Эквивалентные выражения для тензора упругости в рамках модели рассматриваемого материала были по-видимому впервые получены в статье Chadwick & Whit-worth (1986). Отметим, что тензор упругости обладает симметрией В кі = Вкщ. Выпишем в явном виде ненулевые компоненты полученного тензора упругости (предполагаем, что направление волокна было задано в (1.11)) где Bmjki - соответствующие компоненты тензора упругости и малые деформации ей связаны с перемещениями через 2еи = ukil +щ1к. Поскольку статический тензор напряжения Коши в конфигурации равновесия Ве должен тождественно равняться нулю, В дальнейшем мы будем изучать случай, когда материал считается почти нерастяжимым в направлении волокон. Соответствующий энергетический потенциал может быть записан в Потенциал, определенный в (1.63), может быть получен разложением в ряд Тейлора в случае, когда величина (U — 1) является малой. Можно показать, что включение линейного слагаемого относительно 74 — 1 не меняет ситуации и что Е является модулем растяжения вдоль направления волокна, см. Rogerson & Scott (І992а) и Scott (1992). Мы будем рассматривать случай, когда Е значительно больше всех прочих материальных констант и является величиной порядка 0((Ц — І)-1). В нерастяжимом пределе будем полагать, что Е — оо и /4 - 1 - 0 так, что E{h — 1) — Г0, где Г0 - произвольное натяженке волокна.
Условия сильной эллиптичности
Хотя мы предполагаем a priori, что корни квадратного уравнения (2.7) действительны, нужно наложить дополнительные ограничения, гарантирующие физически реалистичное поведение материала. Обзор возможных подходов к этой проблеме приведен в работе Wang & Truesdell (1973). В рамках данной работы мы наложим ограничения на скорости, которые могут быть найдены из уравнения (2.7), а именно потребуем, чтобы они были действительными для произвольного п. Такое ограничение носит название условий сильной эллиптичности, близкое к нему, но несколько более слабое условие встречается в литературе под именем условия Адамара. Мы приведем достаточные условия сильной эллиптичности в общем случае, а также необходимые и достаточные условия в более частных случаях двумерного движения в главных плоскостях предварительной деформации, а также трехмерного движения в случае двуосной предварительной деформации. Легко установить, что необходимые и достаточные условия сильной эллиптичности эквивалентны требованию, чтобы оба корня уравнения (2.7), были положительными, вследствие чего фазовые скорости были бы действительными. Это Глава 2. Волны в трансверсально анизотропном упругом материале 36 условие записывается в виде После некоторых преобразований, возможно выразить fCi и /Сг как где материальные постоянные 7ij, 0 j и My являются линейными комбинациями компонент тензора упругости: В случае, когда состояние Во является изотропным, Zee & S tern berg (1983) вывели необходимые и достаточные условия сильной эллиптичности, соответствующие v1 0 для всех п. Однако, в настоящем случае влияние анизотропии осложняет дело, поэтому мы приведем лишь достаточные условия сильной эллиптичности. Из соотношений (2.8)-(2.10) достаточные условия могут быть получены в виде являются также и необходимыми. Следует отметить, что вышеприведенные условия являются достаточно сильными и не разрешают все возможные типы физически реалистичного поведения. Тем не менее, они являются условиями, гарантирующими действительные скорости в любых направлениях распространения. В общем случае получение необходимых и достаточных условий сильной эллиптичности наталкивается на некоторые трудности, связанные с влиянием анизотропии. Однако, в случае трех главных плоскостей предварительной деформации ситуация упрощается, и критерий сильной эллиптичности может быть получен сравнительно легко. Рассматривая плоскость (n,-, rij), из (2.7) имеем: Условие распространения в главных плоскостях может быть факторизовано, таким образом выражения корней v2, соответствующих плоскости (щ, пД обозначаемые через v\(ij) и Щ ), могут быть получены в явной форме.
Первый из них имеет вид Эта скорость будет положительной если, и только если Выражение для другой скорости в плоскости (щ, nj) имеет вид В этом случае, во-первых, рассмотрим тг = 0, п;- = 1 и тг» = 1, п, = 0, откуда Глава 2. Волны в трансверсально анизотропном упругом ма териале 38 Затем рассмотрим щ ф 0, щ ф 0; принимая во внимание (2.20), требуем, чтобы дискриминант правой части (2.19) был отрицательным, т.е. что без потери общности может быть преобразовано к виду Таким образом, необходимые и достаточные условия сильной эллиптичности для главных плоскостей могут быть получены в форме Отмстим, что легко установить соответствие между полученными условиями (2.23) и условиями для плоской задачи в изотропном несжимаемом предварительно напряженном материале, см. например Ogden & Roxburgh (1993). Рассмотрим теперь частный случай общей трехмерной задачи, когда предварительная деформация является двуосной, то есть два главных значения равны между собой, например, Xi = А2 — А,. Следовательно, из условия несжимаемости, А3 = А-2. В этом случае ненулевые компоненты тензора упругости могут быть записаны в виде Глава 2, Волны в трансверсалъно анизотропном упругом материале 39 Можно показать, что в этом частном случае уравнение (2.7) может быть факто-ризовано в случае произвольного направления распространения. Действительно, дискриминант уравнения (2.7) записывается в виде: Из (2.25) заметим, что 0ц — 721 — 0, откуда видно, что дискриминант V является полным квадратом, а корни пред ставимы в форме Попытаемся вывести условия, необходимые и достаточные для того, чтобы обе скорости v\ и V2 были действительными во всех направлениях распространения волн. Из(2.28)ь заметим, что критерий действительности V\ может быть сформулирован как Рассмотрим теперь (2.28)2 как биквадратную функцию ns, и попытаемся вывести искомые условия для v\ 0 на интервале 0 п 1.
Во-первых, эта функция должна быть положительна на границах интервала, следовательно, 713 О и 7зі 0- Более того, если на интервале существуют критические точки функции tjf (тіз) значение функции в этих точках также должно быть положительным v\ 0. Обсудим два возможных случая, связанных со знаком старшего коэффициента (2.28)2, т.е. случаи 7із + 7зі - Wu 0 и 713 + 7зі — Wu 0. Если 7із Глава 2. Волны в трансверсально анизотропном упругом материале 40 В случае 7із + 7зі — 2 Аз 0 функция может иметь минимум на интервале, т.е. Если минимум функции имеет место внутри рассматриваемого интервала, то условие того, что v\ положительно эквивалентно условию отрицательности дискриминанта , т.е. - /713731 Аз л/ііМзи а поскольку У7із7зі тш{7із»7зі} то в случае минимума внутри интервала условие v\ 0 эквивалентно Таким образом, необходимые и достаточные условия положительности v\ в случае минимума функции вне интервала 0 п\ 1 могут быть представлены в форме Заметим также, что в случае 2Аз = 7із + 7зь выражение квадрата скорости волны имеет видг = 7із(пі + nl) + 7zinb н будет положительным при выполнении условий 7із 0,7зі 0- Подводя итоги, объединим условия (2.29), (2.30), (2.32) и (2.34). В результате критерий сильной эллиптичности для случая двуосной предварительной деформации может быть сформулирован как 2.3 Поверхность обратных скоростей при двуосной деформации В этом параграфе мы рассмотрим поверхность обратных скоростей и изучим некоторые из ее свойств, связанных с выпуклостью. Если скорости t i(n) и г 2(п) Глава 2. Волны в траисверсально анизотропном упругом материале 41 действительны для всех п, то поверхность обратных скоростей определяется вектором обратных скоростей s = пи"1, где п пробегает множество единичных векторов, Поверхность в этом случае состоит из двух листов. Глубокое исследование поверхностей обратных скоростей представлено в монографии Musgrave (1970). В случае материала, свободного от внутренних ограничений, поверхность обратный скоростей образована тремя листами. Однако, в нашем случае выполняется условие несжимаемости, поэтому поверхность составлена двумя листами. На иллюстрациях, приведенных в этом параграфе, использован линейный энергетический потенциал.
Поверхность обратных скоростей в главных плоскостях
Рассмотрим плоскость (лі,п2). В этом случае уравнения листов поверхности имеют вид соответствующие двум окружностям радиусов 7Їз и 721» соответственно. Заметим, что поскольку эта плоскость перпендикулярна направлению волокна, нерастяжимость вдоль волокна не может влиять на поведение материала. Поверхность обратных скоростей В ПЛОСКОСТИ (Пі,П3) В случае плоскости (щ,щ) поверхность обратных скоростей задается Типичные иллюстрации поверхности обратных скоростей в плоскости (si,s3) в случае Е ; 1 приведены на Рис. (2.5). Поверхности в обоих случаях имеют ряд сходств. Внешние поверхности являются эллипсами. Форма внутренних поверхностей стремится к нерастяжимому пределу, т.е. тонкой юле с диском перпендикулярно волокну и тонким лучом вдоль волокна. Повторим, что в общем случае из-за наличия двух внутренних ограничении несжимаемости и иерастяжимости может распространяться только одна волна, хотя есть два исключительных направления распространения (вдоль и по нормали к направлению волокна), в которых распространяются две волны. Отметим также два возможных поведения, приведенных на двух иллюстрация Рис. 2.5, связанных с количеством точек пересечения внутренней и внешней поверхностей. Две точки пересечения при 5i = 0, присутствуют в обоих случаях. Однако из Рис. 2.5(b) видно, что возможно появление дополнительных точек пересечения, что по-видимому зависит от параметров материала. Отметим в заключение, что ввиду того, что мы рассматриваем двуосную деформацию, результаты в случае плоскости (п2. з) будут идентичны полученным для плоскости (пьп3). Волновая поверхность является полярным отражением поверхности обратных скоростей относительно единичной сферы. Компоненты поверхности, соответствующей поверхности обратных скоростей S(s), определяются как где V задается в виде V = (d/dsi,d/ds2,d/ds3), см. Musgrave(1970). Геометрия волновой поверхности обычно достаточно сложна, но тем не менее волновая поверхность оказывает помощь в понимании распространения волн, особенно в анизотропных средах. Грубо говоря, волновая поверхность представляет собой расположение волны, прошедшей через источник в настоящий момент, в следующий момент времени. В случае двуосной деформации, когда два листа поверхности обратных скоростей 5i(s) и Si(s) определяются из (2.37) и (2.38), соответствующие координаты и уравнения волновой поверхности имеют вид На Рис. 2.6(a), 2.6(b), 2.6(c) и 2.6(d), приведены сечения волновой поверхности для растущего значения модуля растяжения вдоль направления волокна. Два листа волновой поверхности показывают распространяющуюся энергию всевозможных перемещений из источника, расположенного в центре.
Если оба листа выпуклы, то в любом направлении будут возникать два перемещения при прохождении двух волновых фронтов. Этот случай представлен на Рис. 2.6(a). Однако, с ростом Е можно наблюдать, как появляются острые концы, см. Рис. 2.6(b), 2.6(c) и 2.6(d). В этих направлениях частицы будут испытывать четыре отдельных перемещения. С ростом Е видно, что концы начинают доминировать поведение, так что в нерастяжимом пределе практически во всех направлениях будут иметь место четыре перемещения. Похожие графики приводились для ели и берилла, см. Musgrave (1970), На Рис. 2.7(a), 2.7(b), 2.7(c) and 2.7(d) представлены соответствующие поверхности обратных скоростей. Заметим, что налицо связь между образованием острых концов в случае волновой поверхности и не-эллипсоидным поведением поверхности обратных скоростей. В этой главе рассматривается задача о распространении поверхностной волны в пространстве из предварительно напряженного, трансверсально анизотропного, несжимаемого упругого материала. Задача решается для произвольного направления волокна в плоскости, и произвольного угла распространения. Показано, что скорость поверхностной волны в большой степени определяется величиной нормального напряжения в конфигурации равновесия. Затем изучается характеристическое уравнение, при этом выделяются некоторые частные случаи, в которых решение задачи значительно упрощается. Также мы исследуем (численно и асимптотически) частный случай, когда материал считается почти нерастяжимым в направлении волокон. Асимптотический анализ в главном дает результаты, соответствующие идеализированному случаю не растяжимости. По результатам этой главы оформлена публикация, см. Prikazchikov & Rogerson (2004).
Рассмотрим задачу о распространении поверхностных волн в полу-пространстве из упругого трансверсально анизотропного предварительно напряженного несжимаемого материала, с внешней нормалью, направленной вдоль оси х , и волокном, лежащим в плоскости (хі,х3) в конфигурации равновесия Ве. Уравнения движения имеют вид (1.43)-(1.45), линеаризованное условие несжимаемости - (1.46), Решения относительно перемещений и дополнительного давления ищутся в виде гармонических волн, распространяющихся в плоскости {ху,х$), экспоненциально убывающих от плоскости х% = 0, с волновой нормалью направленной под углом в косись т.е. Критерий существования нетривиальных решений полученной системы, может быть сформулирован в виде характеристического уравнения, являющегося кубическим относительно параметра q2. Вводя обозначения и используя также обозначения (2.11), характеристическое уравнение может быть представлено в форме Заметим, что уравнение (3.7) принимает более простой вид в случае предварительно напряженного изотропного несжимаемого материала, и было по-видимому впервые получено в статье Rogerson & Sandiford (1999). Аналогичные результаты для случая изотропного предварительно напряженного несжимаемого материала были получены Pichugin (2002). Во-первых, рассмотрим случай, когда направление волокна сов-падает с одной из главных осей предварительной деформации, т.е. х3 или х\, при этом предварительная деформация является двуосной, т.е. например, Ai = А2 = А, следовательно, из условия несжимаемости имеем А3 = А-2. В этом случае можно показать, что выполняются условия (2.25), и характеристическое уравнение записывается в виде Уравнения (3.32) образуют линейную однородную систему относительно трех произвольных постоянных V K Необходимое и достаточное условие существования нетривиальных решений заключается в равенстве нулю соответствующего определителя, откуда получаем.
Частные случае направления распространения и направления волокна
Пять кривых соответствуют различным углам распространения, а именно 15, 30", 45, 60" и 75, соответственно. При построении кривых использовался линейный энергетический потенциал (1.62), в котором с1 = с2=сз = С4 = 1- Отмстим, что ввиду того, что уравнение (3.39) является квадратным относительно а?, кривые имеют квази-параболический вид. Легко заметить, что значение нормального напряжения сг2 играет важную роль в отношении существования действительной скорости поверхностной волны. Вообще говоря, распространение поверхностной волны возможно лишь для значений сг2 в интервале между двумя критическими значениями, соответствующими v = 0, которые были ранее обозначены через а} и of. Максимальное значение на каждой из кривых соответствует переходу поверхностной волны в объемную, при этом обыч- но справедливо q = 0. Следует отметить, что по-видимому поверхностная волна быстрее переходит в объемную при угле распространения близком к углу волокна и что этому случаю также соответствует более широкий интервал стабильности в аг- Похожие результаты приводились ранее для плоской задачи распространения поверхностной волны вдоль осей предварительной деформации в изотропной предварительно напряженной несжимаемой упругой полу-плоскости, см. Dowaikh & Ogden (1990), а также в случае идеализированного волокнистого материала, см. Rogerson (1998) и трехмерного изотропного предварительно напряженного упругого несжимаемого полу-пространства, см. Rogerson & Sandiford (1999). 3.4 Частные случае направления распространения и направления волокна Рассмотрим некоторые частные случаи, позволяющие существенно упростить анализ. 3.4.1 Распространение перпендикулярно волокну Рассмотрим сначала случай, когда направление распространения перпендикулярно направлению волокна, например, в тг/2 и ф = 0.
В этом случае, подстановка волновых решений в уравнения движения приводит к распаду общей системы на плоскую и анти-плоскую задачу. В случае плоской задачи, характеристическое уравнение является би-квадратным относительно параметра q, и может быть представлено в виде Уравнение поверхностной волны в этом случае также сильно упрощается, и может быть записано как Отметим, что все компоненты упругого тензора, участвующие в (3.43), свободны от влияния анизотропии. Динамическое поведение в этом случае повторяет поведение изотропного предварительно напряженного несжимаемого упругого материала. Соответствующие результаты были получены в статье Dowaikh & Ogden (1990). Аналогичный результат может быть получен в другом случае перпендикулярных направлений волокна и распространения, т.е. при в = 0 и ф — тг/2. В этом случае аналог (3,43) записывается как Следует отметить, что все компоненты упругого тензора, входящие в уравнение поверхностной волны (3.44), независимы от влияния анизотропии. 3.4.2 Распространение вдоль волокна Другой случай, в котором задача распадается на плоскую и анти-плоскую, имеет место при распространении параллельно направлению волокна вдоль осей Ох\ или Ох3. Рассмотрим сначала случай 9 = ф = 0. Характеристическое уравнение в плоской задаче принимает вид а уравнение поверхностной волны записывается как Аналогичные результаты могут быть получены в случае В = ф 7г/2, при этом уравнение поверхностной волны имеет вид: В обоих случаях, т.е. при распространении вдоль или перпендикулярно направлению волокна, уравнение поверхностной волны является квадратным в терминах а2. Следовательно, существование действительной скорости поверхностной волны возможно лишь в некотором интервале 72. Более детально этот вопрос изучался в статье Dowaikh & Ogden (1990). 3.5 Случай почти нерастяжимого материала Рассмотрим теперь случай, когда предполагается, что модуль растяжения материала вдоль направления волокон значительно больше модуля растяжения в направлении перпендикулярно волокнам. В этом случае энергетический потенциал может быть получен разложением общего потенциала в ряд Тейлора в окрестности состояния нерастяжимости h = 1, и имеет вид (1.63). По аналогии с общим случаем получаем характеристическое уравнение: и ф-в = ф, ф+в = С- Так как модуль растяжения Е является большим параметром, его вхождение в выражение для коэффициентов выделено явно. В этом параграфе мы будем подразумевать, что величины с верхним индексом "звездочка", например 7ij,0tj и т.д., обозначают соответствующие величины, полученные для энергетического потенциала вида Wo(h hі з)іСм, (1.63), при этом выражения а? , і — 1,..,5 могут быть получены по аналогии с (3.8).
Корни характеристического уравнения (3.48) должны удовлетворять следующим соотношениям: где величины .Fj, г = 1,.., 7 независимы от Е и имеют вид Предполагая, что модуль растяжения Е является большим параметром, получим: следовательно один из корней q\,q\,q\ является величиной порядка 0(E), а два других - порядка 0(\). Без потери общности положим q\ — 0(E), q\ — 0(1) и q\ = 0(\), Разложим параметры q\,q\,ql в ряды по Е 1. В случаеq\ имеем: Подставляя полученное в характеристическое уравнение (3.48), получим выражения для коэффициентов 7І- Первые три коэффициента выписаны ниже: Заметим, что построенный асимптотический процесс позволяет получить любое необходимое количество коэффициентов 7І- В случае q\ и q\ предположим: Глава 3. Распространение поверхностных волн 76 Асимптотические разложения для q\ и gf могут быть получены в виде Легко проверить, что величины i , j = 2,3, удовлетворяют главному порядку характеристического уравнения Для дальнейшего анализа нам потребуются лишь первые члены разложений, т.е. Граничные условия могут быть записаны в виде: Для вывода главного порядка уравнения поверхностной волны нам понааобится Глава 3. Распространение поверхностных воли 77 также получить выражения для коэффициентов, определенных в (3.35) и (3.37); где АІ ,Т І получаются из выражений (3.35), (3.37) прямой заменой компонент упругого тензора на компоненты с верхним индексом , соответствующие энергетическому потенциалу Подставляя асимптотические разложения для 91,92, 7з. приведенные в (3.55), а также выражения для Аь и Т І, данные в (3.58), в уравнение поверхностной волны (3.38), получаем в главном порядке Так как величины ; и f являются корнями главного порядка характеристического уравнения (3.54), уравнения (3.61) может быть представлено в форме Уравнение (3.63) может быть выведено еще одним способом. Используя тот же вид энергетического потенциала (1.63), мы можем начать анализ с уравнений движения (1.43)-( 1.45).
