Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Предварительные сведения 18
1. Основные понятия и обозначения 18
2. Предварительные сведения о нормированных пространствах 19
ГЛАВА 2. Вспомогательные утверждения 35
3. Свойства тел с экстремальными внешними объёмными отношениями 35
4. Оценка гауссовой меры тела 39
5. Оценка мощности є-сети в пространстве операторов . 41
ГЛАВА 3. Обобщение теоремы шарека 45
6. Формулировка теоремы 45
7. Построение нормы 46
8. Оценка вероятности того, что для конкретного оператора 48
9. Доказательство обощённой теоремы Шарека 51
10. Связь между расстоянием Банаха-Мазура и его модифицированным аналогом 53
ГЛАВА 4. Выпуклые оболочки объединений поворотов некоторго абсолютно выпуклого тела 59
11. Шары, полученные объединением нескольких октаэдров . 59
12. Повороты тел с экстремальным внешним объёмным отношением 65
ГЛАВА 5. Обобщение некоторых классических результатов на модифицированное расстояние Банаха-Мазура 70
13. Пространство, равномерно далёкое от всех пространств с малой базисной константой 70
14. Пространство с большими объёмными отношениями 73
15. Пространство, далёкое от всех пространств, допускающих введение комплексной структуры 75
16. Пространство, допускающее введение нескольких комплексных структур 81
Выводы
Заключение
- Предварительные сведения о нормированных пространствах
- Свойства тел с экстремальными внешними объёмными отношениями
- Связь между расстоянием Банаха-Мазура и его модифицированным аналогом
- Повороты тел с экстремальным внешним объёмным отношением
Введение к работе
Работа посвящена некоторым вопросам локальной теории банаховых пространств. Эта теория, возникшая в шестидесятые годы под влиянием работ Гротендика [32], [33] и теоремы Дворецкого [24] о почти сферических сечениях выпуклых тел, является мощным инструментом для изучения геометрических свойств бесконечномерных банаховых пространств. Это, в первую очередь, связано с тем, что многие свойства обусловлены лишь локальной структурой пространства. Локальная теория разрабатывалась в большом количестве работ известных математиков и использует разнообразную, весьма непростую технику (в частности, связанную с применением вероятностных методов для доказательства существования "патологических" примеров). Несмотря на большое количество работ, локальная теория далека от завершённости и содержит множество открытых вопросов.
Многие результаты локальной теории получены благодаря привлечению теоретико-вероятностных соображений. Классический способ доказательства существования объектов, обладающих специальными свойствами, состоит в проверке того, что эти объекты заполняют множество большой меры. Этот метод стал интенсивно использоваться в геометрии банаховых пространств в середине семидесятых годов двадцатого века. К тому времени были приведены достаточно прозрачные вероятностные доказательства теоремы Дворецкого о почти сферических сечениях выпуклых тел (Мильман [13], Фигель [27], Шанков-ский [48]) и появился знаменитый пример Энфло [26] банахова пространства без свойства аппроксимации, конструкция которого почти сразу приобрела вероятностный характер (Дэви [23]). Примерно в то же время появился интерес к изучению конечномерных нормированных пространств. Многие вопросы теории банаховых пространств получили содержательную интерпретацию на конечномерном уровне, а решение ряда бесконечномерных проблем было получено "склейкой" конечномерных результатов. Дополнительный интерес к геометрии конечномерных нормированных пространств возник после публикации работ Глу скина [5], Мильмана и Шехтмана [42], в которых к изучению геометрических свойств были привлечены вероятностные методы. Как следствие появилась возможность изучения свойств типичных конечномерных пространств.
Основные результаты настоящей диссертации опубликованы в работах [2], [3], [4].
Предварительные сведения о нормированных пространствах
Следующий параграф 7 содержит описание построения требуемой нормы. Параграф 8 посвящен доказательству ключевого утверждения, об оценке вероятности того, что конкретный оператор, обладающий некоторыми дополнительными свойствами имеет в построенном пространстве большую норму. И, наконец, параграф 9 содержит собственно доказательство обобщения теоремы Шарека. Это доказательство основано на оценке из параграфа 8 и оценке мощности є-сети в некотором подмножестве пространства операторов.
Последний параграф этой главы посвящен применению обобщённой теоремы Шарека для доказательства того, что тривиальная оценка п точна по порядку в полиномиальной шкале. При этом используется конструкция, предложенная Рудельсоном [45].
Для любого нормированного пространства X положим (сумма т слагаемых по типу 2), для двух n-мерных нормированных пространств X и Y определим пространства W\ и Wi, исходя из соотношений W\ = Xm+i Ym и W2 = Хт Ут+1. В этом параграфе приводится доказательство утверждения, предложенного Рудельсоном в работе [45] без доказательства: можно ввести нормы в пространствах X и Y таким образом, что расстояние Банаха-Мазура между W\ и Wjj будет не меньше, чем с(т)п. Сформулируем это утверждение более точно (см. теорему 10.1). Теорема 0.5. В n-мерных векторных пространствах X и Y можно ввести норму так, что будет иметь место неравенство d(W\,W2) сгсШпИ7!, где c i е_е , для некоторой положительной абсолютной константы А. В работе [15] обсуждается вопрос, насколько велико может быть отношение обычного расстояния Банаха-Мазура к его модифицированному аналогу. Там же приводится пример пространств, для которых d(X,Y) у/п/Inп d(X,Y). Мы же доказываем следующую теорему (см. теорему 10.2). Теорема 0.6. Существуют две последовательности нормированных пространств Хп и Yn таких, что 6\тХп = сІітУп — оо и имеет место неравенство где {еп} — некоторая последовательность, стремящаяся к нулю. Четвёртая глава посвящена изучению конечномерных нормированных пространств, единичные шары которых получены как выпуклые оболочки поворотов некоторого абсолютно выпуклого тела.
В параграфе И мы исследуем класс А г нормированных пространств размерности п, единичные шары которых имеют вид: где В\ — n-мерный октаэдр, Г — конечная группа, состоящая из ортогональных операторов, действующих в En, a U — "случайное" ортогональное преобразование, параметризующее получающееся пространство Ец. Целью является оценка диаметра класса Л г в метрике Банаха-Мазура и в её модифицированном аналоге.
Класс AY является обобщением класса А, рассмотренного в работе [39], когда группа состоит лишь из тождественного оператора, и где доказано, что в классе А существуют экстремально далекие в смысле расстояния Банаха-Мазура пространства. В параграфе 11 мы развиваем это результат в двух направлениях. Первый результат устанавливает, что экстремально далекие пространства существуют и в классах Af, несмотря на то, что шары в этих пространствах инвариантны относительно действия операторов из группы Г и, таким образом, являются "более гладкими" по сравнению с шарами в пространствах класса А. В случае если мощность s группы Г имеет порядок пс диаметр класса AY В степенной шкале имеет порядок п, если же s = 0(ехр(пе)), то диаметр Ai оценивается снизу величиной 8п1 11е. При этом оказывается, что экстремально далекие пространства в классе AY не просто существуют, но составляют "подавляющее большинство". Отметим, что, как доказала Томчак-Егерманн [55], d-диаметр множества всех симметричных n-мерных нормированных пространств (то есть когда группа симметрии состоит из 2"п! элементов) имеет порядок у/п. Линденштраус и Шанковский [35] дали оценку на d-диаметр множества всех п-мерных нормированных пространств, обладающих 1-безусловным базисом, то есть, когда группа симметрии состоит из 2" элементов. Они доказали, что диаметр этого класса в полиномиальной шкале не превосходит и2/3. Храбров в работе [16] доказал, что даже если одно из пространств обладает 1-безусловным базисом, то модифицированное расстояние между ними не превосходит сгг3/4.
Второй результат связан с оценкой диаметра класса AY В модифицированной метрике Банаха-Мазура, которая, как показано в работе [15] и параграфе 10, в некоторых случаях может быть существенно слабее классической метрики Банаха-Мазура. Оказывается, однако, что при s = 0(пс) диаметр класса AY в 5-метрике совпадает с классическим в степенной шкале. Пусть fi — нормированная мера Хаара на ортогональной группе 0(п), s — мощность группы Г С 0(п). Тогда имеет место теорема (см. теорему 11.1).
Свойства тел с экстремальными внешними объёмными отношениями
В этом параграфе мы исследуем класс AY нормированных пространств размерности п, единичные шары которых имеют вид: Вц = conv (J /j(B}lUU(Bl)), где В\ — n-мерный октаэдр, Г — конечная группа, состоящая из ортогональных операторов, действующих в Rn, a U — "случайное" ортогональное преобразование, параметризующее получающееся пространство Ец. Целью является оценка диаметра класса AY в метрике Банаха-Мазура и в ее модифицированном аналоге.
Класс AY является обобщением класса А, рассмотренного в работе [39], когда группа состоит лишь из тождественного оператора, и где доказано, что в классе А существуют экстремально далекие в смысле расстояния Банаха-Мазура пространства. В настоящем параграфе мы развиваем это результат в двух направлениях. Первый результат устанавливает, что экстремально далекие пространства существуют и в классах AY, несмотря на то, что шары в этих пространствах инвариантны относительно действия операторов из группы Г и, таким образом, являются "более гладкими" по сравнению с шарами в пространствах класса А. В случае если мощность s группы Г имеет порядок пс диаметр класса AY В степенной шкале имеет порядок п, если же s = 0(ехр(пе)), то диаметр AY оценивается снизу величиной 5п1 11е. При этом оказывается, что экстремально далекие пространства в классе AY не просто существуют, но составляют "подавляющее большинство".
Второй результат связан с оценкой диаметра класса Ар в модифицированной метрике Банаха-Мазура, которая, как показано в работе [15] и параграфе 10, в некоторых случаях может быть существенно слабее классической метрики Банаха-Мазура. Оказывается, однако, что при s — 0(пс) диаметр класса Ат в 5-метрике совпадает с классическим в степенной шкале.
Пусть и — нормированная мера Хаара на ортогональной группе 0(п): s — мощность группы Г С 0(п). Тогда имеет место Теорема 11.1. 1) Существуют константы с\, сі Є (0,1) такие, что для всякого п 1 выполнено неравенство 2) Существуют константы сз 0 и сч Є (0,1) такие, что для всякого п 1 выполнено неравенство Опишем построение пространства. Пусть gi,...,gn — независимые случайные гауссовские величины с распределениями из класса iV(0,1; ), определенные на некотором вероятностном пространстве (ft,Yi,V). Положим При почти всех и векторы gi(w), дчіи),..., дп(ш) образуют базис пространства Rn. Не умаляя общности, будем считать, что это выполнено при всех и. Пусть векторы /i (си), /2(0;),..., fn{u) — результат ортого-нализации этого базиса, иными словами, если Для каждого и Є ГІ определим ортогональный оператор Uu следующим образом: иш{еі) = fi при 1 і п. Связь между мерой \і на множестве ортогональных операторов и вероятностью V устанавливает следующая Доказательство леммы. В силу единствнности вероятностной меры Хаара, достаточно проверить, что нормированная мера на 0(п), заданная формулой является инвариантной относительно вращений. Для этого рассмотрим произвольный ортогональный оператор U. Векторы д\ = U lg{ — независимые случайные гауссовские величины с распределениями из класса iV(0,l;4)- Положим определяется соотношениями U u{e.i) = j\ для 1 і п. Векторы д\ имеют такие же распределения, что и векторы #,-. Следовательно, случайные матрицы Uu и U u одинаково распределены, поскольку их можно рассматривать как образы одинаково распределенных п2-мерных векторов ( /i,..., дп) и (д[,... ,д п) под действием одного и того же отображения F : Ш.п - Ш.п . Значит имеет место цепочка равенств то есть v(A) = u(UA).
Связь между расстоянием Банаха-Мазура и его модифицированным аналогом
В параграфе 3 мы исследовали свойства абсолютно выпуклых тел К С Ш71, у которых объемное отношение vr(if) или внешнее объемное отношение outvr(JC) имеет порядок -у/п, то есть максимально возможный в степенной шкале.
В работе [39] исследуются нормированные пространства, единичные шары которых имеют вид conv(B U UB ), где U — это некоторый ортогональный оператор. Выясняется, что такие пространства часто обладают патологическими свойствами. В частности, подавляющее число пар ортогональных операторов дают пространства, расстояние Банаха-Мазура между которыми имеет порядок п, то есть максимально возможный в степенной шкале. В рассуждениях предложенных в [39] шар В\ можно заменить на произвольный многогранник К такой, что В\ С К С -В , количество вершин у которого имеет порядок п. Это соображение играет одну из ключевых ролей в предыдущем параграфе. В этом параграфе мы развиваем соответствующие результаты на случай произвольного К. Пусть ц — нормированная мера Хаара на группе ортогональных операторов 0(п). В этом параграфе мы докажем следующую теорему. Теорема 12.1. Пусть К\, Кч, L\ и L i — абсолютно выпуклые тела в Ш.п, В\ — эллипсоид минимального объема для К І и Li. Предположим, что outvr(Ki) = ajy/n и outvr(Lj) = Ьіу/п. Пусть G\j — пространство с шаром conv(ifi U UK2), a Fy — пространство с шаром conv(Li U VL-L), где U и V — ортогональные операторы. Тогда существуют константы с, С Є (0,1) такие, что для всякого п 1 выполнено неравенство Одно из утверждений предыдущего параграфа относится к построению экстремально далеких тел в модифицированной метрике Банаха-Мазура, которая как показано в работе [15] и параграфе 10, в некоторых случаях может быть существенно слабее классической метрики Банаха-Мазура. Доказана следующая Теорема 12.2. В условиях теоремы 12.1 для любого є 0 существуют константы с, С = C(ai,a2,b\,b2,e) Є (0,1) такие, что для всякого п 1 выполнено неравенство /і х u({(U, V) Є 0(п) х 0(п) : d(GUt Fv) Сп1 є}) 1 - с\ Оптимальное значение є существенно зависит от а,- и &,-. В случае когда а,- и 6,- имеют порядок константы подходит то же значение є, что и в предыдущем параграфе. Лемма 12.1. Пусть К, К\, Кч — абсолютно выпуклые тела, для которых ВІ — эллипсоид минимального объема, оператор Т Є Ь(Ш.п) такой, что ssn(T) "0, G\j — пространство с шаром Вц = conv(ifi U UK2). Тогда Доказательство леммы 12.1. Пусть gi,...,gn — независимые случайные гауссовские величины с распределениями из класса iV(0,1; п), определенные на вероятностном пространстве (fi,E,"P). При почти всех и векторы gi(ui), #2( ), ---, 9п(ш) образуют базис, поэтому мы будем считать, что эти векторы образуют базис при любом и. Рассмотрим векторы fi(uj), /2( ), ..., fn(uj), являющиеся результатом ортогонализации этого базиса: то есть, если Ej = Ej(u) = span{ (a;) : 1 Для каждого и ЄІЇ определим Uu Є 0(п) следующим образом: C/W(e;) = fi для 1 і п. Положим QQ = {и Є И : р;-(а;)2 2,1 j п}, тогда в силу теоремы 2.2 выполнено неравенство "Р(По) 1 — я"5 где а Є (0; 1).
Повороты тел с экстремальным внешним объёмным отношением
До этого параграфа мы рассматривали исключительно вещественные пространства. Перенесение результатов на комплексный случай обычно не сложно. Чаще всего достаточно рассматривать га-мерное комплексное пространство, как вещестенное пространство размерности 2га. При таком "вещественном" подходе к комплексным пространствам возникает естественный вопрос, не определяется ли комплексная структура вещественной геометрией пространства. Иначе говоря, существуют ли неизометричные комплексные пространства, изометричные в вещественном смысле? Этому вопросу будет посвящен следующий параграф. В этом параграфе мы обсудим вопрос возможности введения комплексной структуры в вещественном нормированном пространстве. Из теоремы Шарека 2.9 можно извлечь
Следствие. Существует 2п-мерное вещественное нормированное пространство X такое, что для любого n-мерного комплексного нормированного пространства Y имеет место неравенство с?к(Х,У) Су/п, где с — некоторая абслолютная константа.
Это утверждение обобщается на случай модифицированного расстояния. Перед тем как сформулировать основной результат этого параграфа, докажем две вспомогательных леммы. Следовательно, (ui,it2m) = 0- Теперь выберем щ в ортогональном дополнении К линейной оболочке Span{wi,«2m} и положим «2m-l = Аи2. По аналогичным соображениям векторы и2 и «2m-i ортогональны друг другу. Поскольку А — ортогональный оператор, вектор «2т-ь также как и и2, ортогонален span{ui,W2m}- Далее выбираем щ в ортогональ ном дополнении к уже построенным четырём векторам и так далее. В результате получим требуемый ортонормированный базис пространства R2n. Лемма 15.2. Если некоторый оператор А Є L(R2n,IR2") удовлетворяет равенству А2 = — /, то существует ортонормированный базис {щ, и2, ип, vi, v2,..., vn} и невозрастающая последовательность чисел \\ \2 ... \п 1 такие, что оператор А представляется в виде оператора А. Из равенства A l = —А следует, что наборы s-чисел операторов А и А 1 совпадают и в силу единственности Ajt = X n-k+v Рассмотрим теперь группу равных s-чисел, больших единицы: пусть А,-+1 = А,+2 = ... = А;- = А 1. Им соответствует группа равных s-чисел меньших единицы: А2„_г = Агп-і-і = ... = X2n-j+\ = j 1- Обозначим через Е\ = span{«i+i, мі+2,..., uf\ и через F\ = span{v,-+i, vi+2,..., Vj}. Очевидно, что оператор А переводит подпространство Е\ в ортогональное подпространство F\ и при этом для любого х Є Е\ верно, что ЦАжЦг = Arr2. Пространство же FA оператор А переводит обратно в FA. ЯСНО, что FA = spsai{v2n-i,v2n-i-i,... ,v2n_j+i}. Не умаляя общности, считать, что v2n-j = «j, t 2n-j-i = uj+iv, v2n-j+i = Uj и тогда автоматически u2n-j = —Vj, u2n j i = —Vj+i,..., u2n-j+\ = —Vj. Случай A = 1 рассмотрим отдельно. Пусть Аг+і = Аг+2 = ... = А2П-І = 1. Обозначив через Е\ = span{u,-+i,щ+2,...,и2п-і}, получим, что оператор А\ЕІ удовлетворяет условиям леммы 15.1 и поэтому можно считать, что {U,-+I,M,-+2,... ,U2n-i} это как раз указанный в лемме 15.1 базис. Оста лось воспользоваться тем, что подпространства Е\ попарно ортогональ ны и получить тебуемое представление. Теорема 15.1. Существует 2п-мерное вещественное нормиро ванное пространство X такое, что для любого n-мерного комплексного нормированного пространства Y, имеет место неравенство \ni,z п Доказательство. Возьмем 2п-мерное пространство X из теоремы Шарека 2.10, то есть для любого оператора U Є L(E2n,R2n) такого, что U Є M(k, а) верна оценка на норму:
Рассмотрим произвольное n-мерное комплексное нормированное пространство Y. Пространство Y будем рассматривать, как 2гс-мерное вещественное нормированное пространство, в котором можно ввести структуру комплексного нормированного пространства. Отметим, что если на пространстве Y можно ввести комплексную структуру, то существует такой оператор А Є L(E2n,R2n), что норма в пространстве Y является А-инвариантной и выполнено соотношение А2 = —I (это оператор соответствующий оператору умножения на мнимую единицу).
