О следах функций анизотропных пространств с дифференциально-разностными характеристиками на гладких многообразиях и в бесконечности Шмырев Геннадий Александрович

Содержание к диссертации

Введение

ГЛАВА I. О следах функций анизотропных пространств Никольского-Бесова на гладких многообразиях 19

1. Классы рассматриваемых функций. Вспомогательные утверждения 19

2. Классы рассматриваемых областей 32

3. Граничные свойства функций на поверхностях класса Гельдера 39

4. Некоторые свойства функций, суммируемых с весом 59

5. Формулировка и доказательство теорем о следах и продолжении с поверхностей 78

ГЛАВА II. О поведении на бесконечности функций, определяемых одним классом квазиэллип тических операторов 83

Литература 99

• Классы рассматриваемых функций. Вспомогательные утверждения
• Классы рассматриваемых областей
• Граничные свойства функций на поверхностях класса Гельдера
• Формулировка и доказательство теорем о следах и продолжении с поверхностей

Введение к работе

В диссертации рассматриваются функции, принадлежащие анизотропным классам с дифференциально-разностными характеристиками, и исследуются вопросы, связанные со следами таких функций на гладких поверхностях и в бесконечности.

Обзор современного состояния теории вложения различных функциональных пространств, в частности, теории вложений разных измерений и обширную библиографию по данному вопросу можно найти в

Вопрос о граничных свойствах функций с локально-суммируемыми обобщенными производными до некоторого порядка впервые был рассмотрен С.Л.Соболевым в связи с исследованием полигармонического уравнения (см.l0j ). В дальнейшем эта проблематика интенсивно развивалась в исследованиях по различным задачам математической физики и теории функций. Например, при постановке краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений возникает вопрос о следах функций из соответствующих весовых классов [п - 25*} . Граничным свойствам различных весовых классов посвящены работы [26 - 35*} .

В настоящее время наибольшей завершенности достигла теория следов изотропных (т.е. имеющих одинаковые свойства гладкости по всем переменным) классов функций. Это во многом объясняется тем, что такие классы, как классы С.Л.Соболева, С.М.Никольского, 0.В.Бесова, инвариантны относительно гладкой замены переменных, что позволяет свести изучение следа функции на достаточно гладкой поверхности к плоскому случаю. Результаты теории вложений разных измерений, связанные с ослаблением гладкости границы, приведены в [36 - 42І , [іоо] . йс-

_ 4 -

следованию граничных свойств более общих классов функций посвящены работы [43 - 59\ и др.

В анизотропном случае, т.е. когда свойства гладкости функций различны по разным координатам, до конца исследованными в настоящее время являются лишь следы на подпространствах [2] , [з] , [зі| , [60 - 65J . Различие изотропных и анизотропных пространств проявляется хотя бы в том, что в анизотропном случае даже линейное преобразование может не сохранять класс, и свойства функции в области зависят не столько от гладкости границы, сколько от геометрии области. Характер такой зависимости исследовался в Гз] , [4І] , [66 - 68І . В работах [з] , [69 - 7l] приведены условия на область (условия

Х-рога, где Z- показатель гладкости класса), при которых теоремы вложения в области имеют тот же вид, что и во всем пространстве. Отметим также работы [42] , [70] , [94] ,[юб].

Анизотропные пространства могут быть инвариантны относительно специальных преобразований координат. Как было показано в [72] для весовых анизотропных Соболевских пространств, достаточно гладкая замена переменных относительно "регулярной" координаты, не затрагивающая остальные переменные, сохраняет класс. Тем самым вопрос о следах в областях, граница которых имеет достаточно высокую гладкость и выражается через "регулярную" координату, сводится гладкой заменой переменных к известному случаю следов на подпространствах. Таким образом, в анизотропных пространствах для решения вопроса о следах достаточно изучить свойства функций на нерегулярных кусках границы. Для анизотропных пространств Соболева такое исследование было проведено в [73] , [74J , где были доказаны прямые и обратные теоремы о следах. В дальнейшем эти результаты были перенесены на весовые классы Соболева [75] и классы Бесова . Близкие

исследования в плоском случае были проведены в [68] для классов функций, равных нулю в начале координат вместе с производными до определенного порядка. При этом, если кривая, на которой изучается след, имеет в начале координат меньший, чем в [7б], порядок касания с координатной осью, то теорема о ретракции формулируется в терминах весовых пространств. Настоящая диссертация продолжает эти исследования.

В гл. I диссертации результаты работ [73] , \ч] , 7б] переносятся на случай шкалы по параметру Q > l s s **>

анизотропных пространств О.В.Бесова 0*2.'"' дОО

Наряду с изучением следов функций на многообразиях большой интерес представляет исследование их поведения на бесконечности, что непосредственно связано с возможностью аппроксимации финитными функциями. Для функций из пространств

L_p(E_rt')")T^; —-.fcLpJ, ft>p , С.В.Успенский [34] устано-

вил существование для любой функции Jcx) постоянной c(f) такой, что «Jtoc) стремится к С(\) почти по всем лучам, и получил оценку скорости стабилизации. Эти результаты были обобщены С.Л.Соболевым на случай изотропных пространств L_p (Е„)

І77І , а затем на случай весовых пространств L_? ^ №_RJ її] ,

и сформулированы в виде "Теоремы о выходе на многочлен". Под

выходом функции

стремление разности СэО - А Сх) к нулю по некоторым

направлениям (лучам; прямым, параллельным координатным осям; по любым кривым, уходящим в бесконечность), либо ограниченность

разности ^СЯС)-,Л СэО _в некоторой весовой Lta. - норме. В дальнейшем такие исследования были проведены для анизотропных пространств Соболева Г78] , лиувиллевских классов

весовых классов, как изотропных, так и анизотропных, при различных условиях на вес [80 - 89j , а также пространств функций, определяемых с помощью дифференциальных [ЗІ , \7б] , [78І, [90 - 953 »^или псевдодифференциальных операторов [79І , [96 -99") . Отметим, что задание пространств с помощью операторов иногда удобнее, чем задание с помощью полунорм, так как дает возможность для функций из таких пространств написать интегральное представление через фундаментальное решение. Такой подход позволяет свести исследуемые вопросы к оценкам входящих в представление интегралов (как правило, сингулярных). Так в [92] , [93] при дополнительном условии, что средние стремятся к нулю при стремлении к бесконечности параметра усреднения, получены точные оценки убывания функций на бесконечности. В работах [78J , L79J , [97і для операторов с однородным символом доказаны теоремы о выходе на полином в смысле ограниченности некоторых La, -норм от функции или ее производных (в зависимости от порядка оператора). Для операторов высокого порядка с однородным символом при дополнительном требовании равенства нулю моментов до определенного порядка в [і, гл. 12 J , [97І доказаны теоремы о равномерном выходе на полином при стремлении 13М—* .

В гл. 2 диссертации результаты работы 197] переносятся на случай квазиэллиптических операторов высокого порядка с неоднородным символом (т.е. при наличии младших членов).

Рассмотрим подробнее содержание диссертации. В частности, приведем точные формулировки результатов, которые выносятся на защиту.

В I описываются классы рассматриваемых функций, вводятся понятия, необходимые для формулировки теорем,и приводятся

вспомогательные утверждения. Следуя [з ] , через ->_{р Q} CG) будем обозначать пространство функций с конечной нормой

где - некоторое достаточно малое число (как показано в [3, теорема 18.2J , при различных нормы эквивалентны), Tfi± ,

Kj - целые неотрицательные числа, такие что А\>ч ^ ^> ,

с а, ..., ,

< I^а при &с,эс^+/1гЛ^б«:а ^с ^;

^ О при Сх,х+ тсКвДс G,

при @гоо пространство В_р0о(6-) будем обозначать через с нормой

Будем предполагать, что область 6г удовлетворяет слабому условию -рога Гз] , т.е. существует покрытие Q - U Q_K такое, что

_{чаи- и u f^-e^W]}

_с,

_U(o.i)

К, -рог радиуса k_K . Здесь _с , l-і, ...,« ,-параметры,

входящие в определение класса, ^_к , S>;_K , ^_C-_K , /г_к -

некоторые числа, которые выбираются таким образом, чтобы -

рог с вершиной в точке 0С б* целиком содержался в области

Q . Относительно границы f области Q. предполагаем,

что она является гладким многообразием класса L , Кляилос^ ,

т.е. окрестность любой точки ЭС₀1 допускает представление вида

Заметим, что такое представление может быть неоднозначно. Далее предполагается, что из допустимых представлений вида (0.2) выбирается параметризация по той координате, по которой класс имеет лучшие свойства гладкости. След функции будем понимать в среднем, а именно, будем говорить, что функция

9^..^ оО имеет на куске 6'. ^^-,^-1,^1,-^ поверхности Г след jjg- » описываемый функцией Х- , если

^i_i)--'5w₁,...₎x_i.._1>2C_|jM)...^_Klc-L_pCe„.₁)

Везде в дальнейшем полагаем, что в направлении координаты 0С_І класс Вр л имеет наилучшую гладкость, ъ^ yykxoc j (регу-

лярная координата). Куски границы, выражаемые через регулярную координату будем называть регулярными. Будем считать, что множество точек на Р , в окрестности которых невозможно представление через регулярную координату, является гладким многообразием размерности (И- 50 и после гладкой замены переменных

вида

5₄=x_t+ Фсж»,...,ж^, х.= х_і; і.я,...,л

переходит в многообразие, лежащее в гиперплоскости 3^ = 0 (будем называть его критическим).Как показывает приведенная в I лемма I, именно в окрестности критического многообразия следует изучать граничные свойства, поскольку изучение следов на регулярных кусках сводится к известному случаю следов на гиперплоскостях.

Лемма I. Пусть 4Сх") в Ел/l ^; * CQ-) , где область

\х удовлетворяет слабому условию -рога и такова, что

существует линейный ограниченный оператор продолжения с Q

на все Е„_ . Пусть -c_t - та.ос c_t- . Тогда преобразование

1 Uin

где феС^Е^О ,к>4 ₉№4>\* А/<оо,

инвариантно относительно класса.

Для доказательства данной леммы, а также последующих утверждений используется интегральное представление Ильина-Бесова через разности [ 3, формула 7(97)1 :

Е ^

_{Є, Ел (о.з)}

ГДЄ d^s. <(.. , і~±_л . П. , yn>yn&.yLL^-'L_t , -Є_с- -

і* «Л n. _m

единичный вектор і -ой координаты, Д.(т) - Voa -я разность с шагом х в направлении Q- , о <.% <± - достаточно малое число, lf> і , JM,- - финитные функции такие, что носителем представления (0.3) является с -рог вида (0.1).

В 2 описываются классы областей Q- , на границе которых

исследуются следы функций пространства Е) L ' (в) . Как

было отмечено выше, достаточно изучать их лишь в окрестности критического многообразия. Пусть Х₀ - некоторая точка критического многообразия. Тогда в ее окрестности кусок поверхности Г допускает представление только через нерегулярную координату (обозначим ее через х_и )'

СС_П-- Ч>Са') _; ос'-Сх^..., x_n.J, VfrC7E_n.₁),m><^a.

Будем предполагать, что функция tftx') удовлетворяет следующим условиям

d_n-KUc.

"к

Tl\ 6 До/ ( ^{l0Cil при оі}*^>к<іч

^^a?l L 1 при ci*$KoL_C)

(0.4)

где К-о. і,..., c4l . t-l,...,n-l > *Г'і fi^maxi^

Обозначим ^)^0-Г1(ос-о^ . Везде далее считается, что

область Q- содержится в цилиндре Q с #) * R «В силу того, что ^— г О вне плоскости х<-О (по определению КрИТИЧеС-кого многообразия), кусок границы | по теореме о неявных функциях может быть представлен в виде

— x± -

*i^a

^(оО при ct_i>o₇ ^_г(х^л) при эско,

где Х^СХ^..^ qO Є Z> .

Считая, что область 2) удовлетворяет слабому условию

С -(.(і » ) -рога, где . входят в определение класса,

наложим следующие ограничения на поведение функций *\ \_ и ^ в окрестности критического многообразия:

(^2

Vx⁹ x'+^G 2) jM._k ^{не зависят} от X"¹ ,^ ;

{^\,1Л^ к.^, ,V-.,-,_r-V.^]^

Vx^fc ^⁴ 2)1л) , где /Dlk) - подобласть области 2) , выметаемая v -рогами длины ft с вершиной на ^«Q , т.е.

где хЧ ^ 2) ,otf$k Л,;= tl .

Геометрический смысл условий (0.4) - (0.6) таков, что в точках критического многообразия порядок касания касательной плоскости с поверхностью Г определяется отношением ^i/ %с .

В 3, 4 показано, что любая функция У-Сх) 6 '' ' YQ)

представима в виде суммы (JCx}= JiGc)+4>C). Здесь

а ф Coc_lo x¹") имеет вид , где

флоО- достаточно гладкая функция. При этом функция J^Coc")

на каждом куске границы 1 -1 Пі^осі^>0] , > "^ П{ос₁<о^ _f

рассматриваемая как функция точки х^-Сос, .. ос*") » обладает граничными свойствами такими же, как и в случае следов на гиперплоскостях. Граничные свойства функции Ч?(эс_Л>.__ ,3:^) на Р

в окрестности критического многообразия ГщЭс^ о j , рассматриваемой, как функция точки х'~ Сэс₄^ ...^ос^.^) _$ описываются в

_,-эе.

соответствующих весовых пространствах со степенным весом loc^V .

При этом имеют место в некотором смысле обратные утверждения о
продолжении. ₀ д

Лемма 3. Пусть (f(.X)G В_р>е (G*) , Q"^Q_{0\%^^>< ] ,

_L- m&oc t_L t 1^-UJi > p- . Пусть область Q удовлет-

воряет слабому условию -рога, а область Vj - слабому условию -с -рога. Тогда след У)-* ~^"~Сое"*) существует и имеет место оценка

где ^с~ -7r(@i~ ъ) » -2,..., ^л » ^не зависит от/. Лемма 4. Пусть поверхность р имеет вид Т^-^И, х⁰^^), где функция ^Сос\) удовлетворяет условиям (0.5), (0.6), а область CD удовлетворяет слабому условию с -рога. Тогда, если

^)6 В_р"_в Ш)_; где г=(*₂,... _ _Ї№ ) , ?_t-|Ы- т)

J - 2 п » ^i- иааос ^.. , то существует функция 3&с_4іоЛ,

определенная на Q. , такая что У- - у (ос') и

- ІЗ -

где < ~ [уі. _л _. ₁ 2_п ) , С не зависит от } и f . В 4 приведены следующие утверждения: Лемма 7. Пусть область Q- имеет вид

где функция ^f(oc') удовлетворяет условиям (0.4) По функции 5(0О ^ Вр ₀ (Q) построим некоторую функцию фсоСі,..., Х_л)

(см. формулу (43)), для которой, как будет доказано, имеет место

и для любого Э>о выполняется оценка

где .2^0,4.,..., (rW+4X&>2). jKf>*,..., jV* )

р_:х %(?*- |^ » С не зависит от Зсх') Здесь

Лемма 8. Пусть функция )(%') , x'-fa^.,. ОС*.*} , удовлетворяет условиям

¹¹^'%^-0 * >

_{Co") " *-* ^}¹_{^ і U}¹_^⁸_?

a-i Г Г .... _в f<9

p,e

Пусть область Q- удовлетворяет условиям предыдущей леммы.
Тогда существует функция JjCoOe Е> fG) такая, что

и имеет место оценка

где С не зависит отї и } .

В 5 приводятся основные результаты гл. I: формулируются и доказываются теоремы о следах и продолжении функций анизотропных классов B_p^_e(Q) , ^4,...,«Д 1<р<т*, i^6>$oo.

Теорема І. Пусть области Q и й-СГН^-сД удовлетворяют слабому условию с -рога и $? -рога соответственно. Пусть Г-^м* является гладким многообразием

класса С* » ^гДе т> ІЇ . і Г- *ос ^ПУ^СТЬ $№*-ции ЦЧу/) и ^i(ос), ^гСОс⁷) , задающие поверхность Г в виде

и соответственно

С ^0x0 при эс^о, удовлетворяют условиям (0.4) - (0.6). Пусть функция

Тогда существуют функции <Уі_ и <уг- такие, что:

^\п ~ Jl⁺ Т2. Ї 71 ^и ^- ^как Функции точки
*Y^f-(rr y } удовлетворяют оценкам

где 9Є-- 0, і,... , Ш + 1)] + 2) , pi -^ (At - ) ,

0-1,...,^-1 ; функции iv = $iL₊ . ^i'7j.\j—
где Г^Л- Г Л \X₁>o'i , Г"- ГГЦХі<ОІ, , как функции
точки зі¹ і (.. л. ) удовлетворяют оценкам

^{w; *'Ч» "*Ч* KW4«"H Ч&«-}

Здесь ^c^T^i"p) » 0-2-,--., п. » С не зависит от ? Сое) .

Теорема 2. Пусть области (J. , Э и поверхность Г удовлетворяют условиям теоремы I. Пусть на Г заданы две

функции X и ^_г такие, что как функции точки ос'-Сое^ зе_к-ї) они удовлетворяют условиям

9Є-- o,i,- -, (rtil-v і) (] +21 ' ^а Функции = ^\_?л , <С~- ^ 1 , как функции точки х¹=Сос_я?...₇ осО

удовлетворяют условиям

Тогда существует функция J¹ (*>- "pj С й-J такая, что на ' выполняется 7 ]_г ^ 7лЛ 'І і и имеет место оценка

^1№_{*\',в^ *} ^с(11_^^? _W ^u_>^{x0_4^⁺

_'^И_'^в_'\^«^\.с^^ііі;ю_Чу»А

не зависит от

7і_ » ?Т- » &

В гл. II диссертации исследуется поведение на бесконечности функций, определяемых одним классом квазиэллиптических операторов.

Пусть оператор J^Cbl имеет вид

Здесь ХЧае^.^эе*.) . ^аСі,—,0 -муль-

тивекторы такие, что X.*-=.m.Y" » $; " Ч » ь* 1, —, И. _t

где mc , i-c - целые числа. Предполагается, что характеристи
ческие многочлены оператора J/L ГИ и его главной части
Н₀СЭД ^ 2 а_лЪ^ , Ґ^Х> J^t ... * cUKn , удов-

летворяют условиям:

если

С , Q не зависящие от % е R положительные постоянные. По определению, It (ос) 6 Ь^. ду

і) \ Ічіх)\Сі+іхО" 4х<,

E.

v\

^{2) іил,ф\= \№vuu\*oW—>}

зД Х^СЙ'Щ*)^⁰ , 0.|6l^.

Теорема. Пусть 4Л(х)& Lv,* л/ Он) » ^где Р> ^и ^ таковы, что р>*^+1 , |0Н в^С^+О*! ( ⁰rW^^$, ^

входят в определение оператора 4.СЙ1 ) Тогда существует единственный полином Jm

Сх) такой, что

I U(x) - 01гСХ) W С (і* \хО ИіЛ, Ц |1_{} (0}.₇₎

где т. - целое число такое, что т.+ 1> — " >/№ ,

І^ ft 0^ * An* ^+іW)

Как показывает пример полигармонического оператора, условие 3), т.е. равенство нулю моментов до определенного порядка, необходимо для выполнения оценки (0.7), т.е. равномерного выхода на полином. При этом порядок ус скорости стабилизации точен.

Доказательство теоремы проводится с помощью интегрального представления Ильина-Успенского через дифференциальные операторы [92*1 .

Основные результаты диссертации опубликованы в работах LI05 - 108 Jи докладывались на международной конференции по дифференциальным уравнениягл с частными производными (Новосибирск, 1983), на Всесоюзной школе по теории функций, посвященной 100-летию со дня рождения академика Н.Н.Іузина (Кемерово, 1983), на семинаре отдела функционального анализа ИММ АН КазССР (Длма-Ата, 1983) и на объединенном семинаре отделов геометрии и топологии, теории функций и функционального анализа ИМ СО АБ. СССР (1984г.).

Классы рассматриваемых функций. Вспомогательные утверждения

В диссертации рассматриваются функции, принадлежащие анизотропным классам с дифференциально-разностными характеристиками, и исследуются вопросы, связанные со следами таких функций на гладких поверхностях и в бесконечности.

Обзор современного состояния теории вложения различных функциональных пространств, в частности, теории вложений разных измерений и обширную библиографию по данному вопросу можно найти в

Вопрос о граничных свойствах функций с локально-суммируемыми обобщенными производными до некоторого порядка впервые был рассмотрен С.Л.Соболевым в связи с исследованием полигармонического уравнения (см.l0j ). В дальнейшем эта проблематика интенсивно развивалась в исследованиях по различным задачам математической физики и теории функций. Например, при постановке краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений возникает вопрос о следах функций из соответствующих весовых классов [п - 25 } . Граничным свойствам различных весовых классов посвящены работы [26 - 35 } .

В настоящее время наибольшей завершенности достигла теория следов изотропных (т.е. имеющих одинаковые свойства гладкости по всем переменным) классов функций. Это во многом объясняется тем, что такие классы, как классы С.Л.Соболева, С.М.Никольского, 0.В.Бесова, инвариантны относительно гладкой замены переменных, что позволяет свести изучение следа функции на достаточно гладкой поверхности к плоскому случаю. Результаты теории вложений разных измерений, связанные с ослаблением гладкости границы, приведены в [36 - 42І , [іоо] . исследованию граничных свойств более общих классов функций посвящены работы [43 - 59\ и др.

В анизотропном случае, т.е. когда свойства гладкости функций различны по разным координатам, до конца исследованными в настоящее время являются лишь следы на подпространствах [2] , [з] , [зі , [60 - 65J . Различие изотропных и анизотропных пространств проявляется хотя бы в том, что в анизотропном случае даже линейное преобразование может не сохранять класс, и свойства функции в области зависят не столько от гладкости границы, сколько от геометрии области. Характер такой зависимости исследовался в Гз] , [4І] , [66 - 68І . В работах [з] , [69 - 7l] приведены условия на область (условия Х-рога, где Z- показатель гладкости класса), при которых теоремы вложения в области имеют тот же вид, что и во всем пространстве. Отметим также работы [42] , [70] , [94] ,[юб].

Анизотропные пространства могут быть инвариантны относительно специальных преобразований координат. Как было показано в [72] для весовых анизотропных Соболевских пространств, достаточно гладкая замена переменных относительно "регулярной" координаты, не затрагивающая остальные переменные, сохраняет класс. Тем самым вопрос о следах в областях, граница которых имеет достаточно высокую гладкость и выражается через "регулярную" координату, сводится гладкой заменой переменных к известному случаю следов на подпространствах. Таким образом, в анизотропных пространствах для решения вопроса о следах достаточно изучить свойства функций на нерегулярных кусках границы. Для анизотропных пространств Соболева такое исследование было проведено в [73] , [74J , где были доказаны прямые и обратные теоремы о следах. В дальнейшем эти результаты были перенесены на весовые классы Соболева [75] и классы Бесова . Близкие исследования в плоском случае были проведены в [68] для классов функций, равных нулю в начале координат вместе с производными до определенного порядка. При этом, если кривая, на которой изучается след, имеет в начале координат меньший, чем в [7б], порядок касания с координатной осью, то теорема о ретракции формулируется в терминах весовых пространств. Настоящая диссертация продолжает эти исследования.

Классы рассматриваемых областей

Анизотропные пространства могут быть инвариантны относительно специальных преобразований координат. Как было показано в [72] для весовых анизотропных Соболевских пространств, достаточно гладкая замена переменных относительно "регулярной" координаты, не затрагивающая остальные переменные, сохраняет класс. Тем самым вопрос о следах в областях, граница которых имеет достаточно высокую гладкость и выражается через "регулярную" координату, сводится гладкой заменой переменных к известному случаю следов на подпространствах. Таким образом, в анизотропных пространствах для решения вопроса о следах достаточно изучить свойства функций на нерегулярных кусках границы. Для анизотропных пространств Соболева такое исследование было проведено в [73] , [74J , где были доказаны прямые и обратные теоремы о следах. В дальнейшем эти результаты были перенесены на весовые классы Соболева [75] и классы Бесова . Близкие исследования в плоском случае были проведены в [68] для классов функций, равных нулю в начале координат вместе с производными до определенного порядка. При этом, если кривая, на которой изучается след, имеет в начале координат меньший, чем в [7б], порядок касания с координатной осью, то теорема о ретракции формулируется в терминах весовых пространств. Настоящая диссертация продолжает эти исследования.

В гл. I диссертации результаты работ [73] , \ч] , 7б] переносятся на случай шкалы по параметру анизотропных пространств О.В.Бесова 0 2. " дОО Наряду с изучением следов функций на многообразиях большой интерес представляет исследование их поведения на бесконечности, что непосредственно связано с возможностью аппроксимации финитными функциями. Для функций из пространств Lp(Ert )")T; —-.fcLpJ, ft p , С.В.Успенский [34] устано вил существование для любой функции Jcx) постоянной c(f) такой, что «Jtoc) стремится к С(\) почти по всем лучам, и получил оценку скорости стабилизации. Эти результаты были обобщены С.Л.Соболевым на случай изотропных пространств Lp (Е„) І77І , а затем на случай весовых пространств L? №RJ її] , и сформулированы в виде "Теоремы о выходе на многочлен". Под выходом функции j СаО на полином J Сое) понимается либо стремление разности СэО - А Сх) к нулю по некоторым направлениям (лучам; прямым, параллельным координатным осям; по любым кривым, уходящим в бесконечность), либо ограниченность разности СЯС)-,Л СэО в некоторой весовой Lta. - норме. В дальнейшем такие исследования были проведены для анизотропных пространств Соболева Г78] , лиувиллевских классов весовых классов, как изотропных, так и анизотропных, при различных условиях на вес [80 - 89j , а также пространств функций, определяемых с помощью дифференциальных [ЗІ , \7б] , [78І, [90 - 953 »или псевдодифференциальных операторов [79І , [96 -99") . Отметим, что задание пространств с помощью операторов иногда удобнее, чем задание с помощью полунорм, так как дает возможность для функций из таких пространств написать интегральное представление через фундаментальное решение. Такой подход позволяет свести исследуемые вопросы к оценкам входящих в представление интегралов (как правило, сингулярных). Так в [92] , [93] при дополнительном условии, что средние стремятся к нулю при стремлении к бесконечности параметра усреднения, получены точные оценки убывания функций на бесконечности. В работах [78J , L79J , [97і для операторов с однородным символом доказаны теоремы о выходе на полином в смысле ограниченности некоторых La, -норм от функции или ее производных (в зависимости от порядка оператора). Для операторов высокого порядка с однородным символом при дополнительном требовании равенства нулю моментов до определенного порядка в [і, ГЛ. 12 J , [97І доказаны теоремы о равномерном выходе на полином при стремлении 13М— .

В гл. 2 диссертации результаты работы 197] переносятся на случай квазиэллиптических операторов высокого порядка с неоднородным символом (т.е. при наличии младших членов). Рассмотрим подробнее содержание диссертации. В частности, приведем точные формулировки результатов, которые выносятся на защиту. В I описываются классы рассматриваемых функций, вводятся понятия, необходимые для формулировки теорем,и приводятся вспомогательные утверждения. Следуя [з ] , через - р Q CG) будем обозначать пространство функций с конечной нормой,

Граничные свойства функций на поверхностях класса Гельдера

По формуле замены переменных в силу условий на функцию Ф имеем с константой С , не зависящей от j-CX) , в силу ограниченности оператора продолжения с Q на все Е„_ получаем отсюда утверждение леммы.

Пусть область С удовлетворяет слабому условию о. -рога, граница 1= 0- области Q- является гладким многообразием класса С , m -с . Как было показано в I, вопрос о граничных свойствах функций класса B..CG) сводится к их исследованию на нерегулярных, т.е. представимых в виде кусках границы.

Пусть множество Г!" {(ос ос )б1 s rj - = 0 \ -является гладким (jl - 2 ) - мерным многообразием и после гладкой замены переменных переходит в многообразие, лежащее в гиперплоскости сс±-=. о -Поскольку в силу леммы I такое преобразование сохраняет класс, то будем считать, что рассматриваемый кусок границы уже обладает таким свойством.

По определению, многообразие rfl{ :i=oj будем называть критическим многообразием. Наложим некоторые условия геометрического характера на поверхность Г в окрестности критического многообразия. Пусть поверхность Г имеет вид 0Cn = f (ос .) , где функция у е С C rt i) , т t , Везде далее считаем, что область Q содержится в цилиндре Qc З) 5 R . В силу определения критического многообразия вне плоскости ос = о имеет место - т О .По теореме о неявных функциях рассматриваемый кусок границы может быть представлен в виде при xi oj Считая, что область 2) удовлетворяет слабому условию , где л.і входят в определение пространства Вр S ) наложим следующие ограничения на поведение функций Ч Сх ) и гС0 ) в окрестности критического многообразия: Условия (19), (21), (22) на границу Г области Q были введены С.В.Успенским [73Іщж изучении граничных свойств анизотропных классов С.Л.Соболева. Будем считать, что существует такая -окрестность ( о . 1 ) критического многообразия 7)3) (обозначим ее через 2) ), принадлежащая области 2) , что а) для любой точки Ч Є 2)с существует п± такое, что б) если точка Х& 2)g , a -( 2,..., ) Удовлетво ряет оценке то точка в) существует такое О , не зависящее от 1ъ , ос t что если точка то точка -- 0С+ і 6 X t\ (k/z)t (26) если Oi- d1 , 2,..., fo K C в Как отмечалось в работе f73j , условия а) - в)) есть следствие требований на область Я) и поверхность / .

Так как нас интересует поведение функций в окрестности критического многообразия, то будем полагать их равными нулю вне некоторой -окрестности D 2) . Для упрощения вычислений в дальнейшем нам будет полезна следующая

Формулировка и доказательство теорем о следах и продолжении с поверхностей

Применяя оценку (12) и данное неравенство, получаем с уче-то ограниченности функций .Подставляя полученную оценку в Jv , применяя обобщенное неравенство Минковского по t , 1/ , v. , неравенство Гелъдера по V , интегрируя по СС , ч , VL , имеем ( как и выше, Q((i)-[3: Ел- : \с±\ " ) (применяя неравенство Харди после замены и учитывая условия v l , ma max vv , получаем) (применяя неравенство Харди после замены -C IL к и прини-мая во внимание условие W;s -о- -V- , имеем) Оценим Jv . Обозначим A(t )s maoc(0, J Из финитности функций j_ и условий ul fiftSh vn O % Ctf0 ( Л wvtirU» ), Ы получим 4+ &ViU\ CWJ. Подставляя данное выражение в J-j , применяя обобщенное неравенство Минковского по t , IT , u , неравенство Гель дера по М{ , интегрируя по X , Ч1 , U. , получаем (учитывая условия ha maoe. t:v , wai, и применяя неравенство Харди после замены К - n , имеем) (применяя неравенство Харди после замены ъ.\ с= п. и учитывая условие Р- - —р , получаем) (поскольку O fCt.S) (ctjt 1)( 1 2) , то имеем) Из оценок (62) - (65) получаем Оценки \ g 0 С эс ; ХЛ} \\ л . v , 11У Ч р проводятся аналогично. Лемма доказана. 5. Формулировка и доказательство теорем о следах и продолжении с поверхностей Теорема I. Пусть области удовлетворяют слабому условию -рога и -с -рога соответственно. Пусть P- Q- является гладким многообразием класса L , где т ± = гассос -с . Пусть функ ции ф(ос ) и С "1), ЧгСзЯ , задающие поверхность Г в виде: и соответственно Здесь СС - _ C i р ) » L- 2,.-.-, П. , С не зависит от У Теорема 2. Пусть области Q. , $) и поверхность Р удовлетворяют условиям теоремы I. Пусть на Р заданы две функции її, и $2. такие, что как функции точки // , -v они удовлетворяют условиям

Похожие диссертации на О следах функций анизотропных пространств с дифференциально-разностными характеристиками на гладких многообразиях и в бесконечности

Исследование количественных характеристик операторов вложения классов аналитических функций в весовые пространстваПарфенов, Олег Германович

О следах дифференцируемых функций на группах КарноПупышев Илья Михайлович

Описание следов, характеризация главных частей в разложении Лорана классов мероморфных функций с ограничениями на рост характеристики Р. НеванлинныБеднаж Вера Аркадьевна

Классификация пространств бэровских функций, пространств непрерывных конечнозначных функций и свободных периодических топологических группГензе, Леонид Владимирович

Характеристические свойства некоторых операторов гармонического анализа в весовых пространствах функций ограниченной средней осцилляции и пространствах ХардиФам Тиен Зунг

Теоремы об интерполяции функциональных пространств функций, определенных в многомерной областиЯхья Халиль Хассан

Вложение пространств функцийАльперин, Михаил Исаакович

Нелинейные непрерывные функционалы на топологических пространствах функцийЛазарев, Вадим Ремирович

Интегральные операторы в пространствах функций на однородных группах и на областях RnГулиев, Вариф Сабирович

Базисы в банаховых пространствах функций одной переменной, удовлетворяющих обобщенному усиленному условию ГельдераБычков, Андрей Борисович