Содержание к диссертации
Введение
1 Обозначения и предварительные сведения 18
1.1 Группы Карно и функциональные пространства 18
1.2 О слодах функций из пространств Соболева W на группах Карно . 22
1.3 Интегральные неравенства 24
1.4 Интерполяционные теоремы 25
2 Теоремы типа Уитни о продолжении дифференцируемых функций 28
2.1 Формула Тейлора на группах Карно 28
2.1.1 Свойства дифференциальных операторов 28
2.1.2 Формула Тейлора 30
2.2 Теоремы типа Уитни для пространств Липшица 32
2.2.1 Пространства Липшица 32
2.2.2 Свойства многочленов тейлоровского тина на группах Карно 34
2.2.3 Декомпозиция Уитни 37
2.2.4 Оператор продолжения 40
2.2.5 Доказательство теоремы о продолжении 42
2.2.6 Теорема о продолжении для пространства Липшица с модулем непрерывности более общего вида 48
2.3 Обобщение классической теоремы Уитни на группах Карно 50
3 О граничных значениях дифференцируемых функций 55
3.1 Пространства И^(П) и /&(fi) 55
3.1.1 Внутренние метрики 56
3.1.2 Эквивалентные нормировки 57
3.2 Граничные значения дифференцируемых функций 61
3.2.1 Пополнение метрических пространств 61
3.2.2 Существование оператора следа 61
3.2.3 Существование оператора продолжения 63
3.3 Продолжение дифференцируемых функций за границу области определения 71
4 Следы функций из пространств Соболева на множествах Альфорса групп Карно 75
4.1 О d-мерах Альфорса 75
4.2 Ядро Бесселя и бесселевы потенциалы 78
4.3 Теорема о следах 83
4.4 Теорема о продолжении 106
4.4.1 Декомпозиция Уитни и оператор продолжения 107
4.4.2 Леммы 108
4.4.3 Доказательство теоремы о продолжении 116
4.5 Продолжение функций классов IVp(fl) за границу области 124
4.5.1 Леммы 125
4.5.2 Оператор продолжения 129
4.5.3 Аппроксимация С-гладкими функциями 135
4.6 Граничные значения функций классов Wlp{i1) 139
5 Краевая задача для полисубгармонического уравнения 142
- О слодах функций из пространств Соболева W на группах Карно
- Теорема о продолжении для пространства Липшица с модулем непрерывности более общего вида
- Продолжение дифференцируемых функций за границу области определения
- Декомпозиция Уитни и оператор продолжения
Введение к работе
АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. В конце 30-х годов прошлого века в широко известной серии работ С. Л. Соболев определил понятие обобщенной производной и исследовал классы функций, имеющих обобщенные производные класса Lp до заданного порядка. Для этих классов, получивших названия пространств Соболева Wp, он установил теоремы вложения, которые нашли многочисленные применения в теории дифференциальных уравнений и других областях математики. В дальнейшем в работах С. М. Никольского, О. В. Бесова, И. Стейна и других математиков была развита теория вложения классов функций.
Необходимость введения пространств с обобщенным дифференцированием была продиктована задачами теории уравнений в частных производных. Постановка краевых задач для дифференциальных уравнений приводит к необходимости интерпретировать граничные значения или следы функций на множествах меньшей размерности.
Существует несколько различных подходов к определению следов. Один из них основан на теореме Лебега о дифференцировании. В этом случае след функции на множестве ненулевой емкости определяется как предел средних значений функции по шарам, радиусы которых стремятся к нулю. Другой способ определения следов основан на интегральных представлениях функций. Ещё один подход использует приближение функций из рассматриваемых пространств гладкими функциями. В этом случае следом функции называется предел последовательности следов гладких функций, сходящихся к данной функции в норме исходного пространства.
Вопрос корректной постановки краевой задачи приводит к задаче описания пространства следов для данного функционального пространства. При этом желательно иметь обратимую характеристику следов.
Вопросы вложения функциональных пространств разных измерений изучались еще С. Л. Соболевым (см. монографию [15]). Он доказал теоремы вложения пространств Wp(M.n) в Lq(MJn). Эти результаты были точными в шкале Lq, однако не были обратимыми.
Впервые полное описание следов функций из пространств Соболева Wp(G), где
G — область в Ш.п с достаточно гладкой границей, было получено при р = 2 Н. Арон-шайном [22] и независимо от него Л. Н. Слободецким [16]. В работе Э. Гальярдо [26] получены обратимые характеристики следов для пространства Wp(G), 1 ^ р < сю, в области G с липшицевой границей.
Описанию следов функций из пространств Wp(Rn), где 1<р<сю, />0 — целое, на линейных подпространствах Ш.т, где 0 < т < п — целое, посвящены работы многих математиков: Н. Ароншайна, Л. Н. Слободецкого, Э. Гальярдо, П. И. Лизор-кина [10], С. В. Успенского [20] и др. В окончательном виде задача решена в работах О. В. Бесова [2,3], и результат можно записать в виде
W^Wn)\Rm = B^p(Rm), ще/3 = 1-(п- т)/р > 0.
Пространства В@ были определены в работах О. В. Бесова и получили название пространств Бесова.
Задача описания следов функций из пространств Бесова Bp^(M.n), где а > 0, 1 ^ V-,4 ^ > в окончательном виде была решена О. В. Бесовым [3]. Этой работе предшествовали результаты О. В. Бесова, С. М. Никольского (для q = сю — см. книгу [12, гл. 6]), М. Тейблсона [34], В. И. Буренкова [24] и др. Результат кратко можно записать в виде
B«q(Rn)\Rm = B^q(Rm), где /3 = а - (п - т)/р.
Аналогичным образом описываются следы функций из пространств Wp(G), Blpq{G) и Hlp(G) = Blpoo(G) на неплоских подмножествах G, где G — область в Мга с гладкой границей. Наиболее важен случай, когда рассматриваются следы функций на границе 8G области G. В различных случаях при 1 < р < сю такие результаты для многообразий Тт гладкости не меньшей / установлены Э. Гальярдо, Н. Ароншайном, В. М. Бабичем и Л. Н. Слободецким [1], О. В. Бесовым, С. М. Никольским [13] (для Hlp(G)), Л. Н. Слободецким [17], С. В. Успенским [20]. В этих случаях следы также характеризуются в терминах пространств Бесова:
Wlp(G)\rm = Blp{Tm), Blq(G)\rm = B^q(Tm), где Р = I - (п - т)/р > 0.
Шкала пространств Соболева вкладывается в шкалу пространств бесселевых потенциалов Lp(M.n), где а > 0 — действительное число, 1 < р < сю. Задача описания следов бесселевых потенциалов на Ш.т, где 0 < т < п — целое, решена в работах И. Стейна [33], Н. Ароншайна, Ф. Муллы и П. Шептыцкого [23], П. И. Лизорки-на [11] и других математиков. Результат состоит в том, что
L»(Era)|Rm = B^p(Rm), ГдеР = а-(п- т)/р > 0.
Для областей G С Ш.п, границы которых содержат углы, изучение подобных вопросов было начато СМ. Никольским для пространств Н1р и продолжено Г. Н. Яковлевым [21] (для плоской области), М. Ю. Васильчиком, В. И. Буренковым, В. Г. Ма-зьей, С. В. Поборчим и другими математиками.
Обратимая характеристика наборов следов функций вместе с их производными из пространств Wp(G) и Blpq(G) на липшицевых многообразиях Гт, где I — (п — т)/р Є (0, сю) \ N, предложена О. В. Бесовым [4, 5] (случай / = 1 был исследован ранее Э. Гальярдо). Она приводится в терминах многочленов типа многочленов Тейлора. Подобные многочлены использовались еще X. Уитни [35] при характеризации следа / раз непрерывно дифференцируемой функции на произвольном замкнутом множестве (см. также книгу И. М. Стейна [18]).
В работе [31] А. Йонссон и X. Валлин комбинируют подход X. Уитни с подходом О. В. Бесова. Они изучили следы функций из пространств бесселевых потенциалов Lp, 1 < р < сю, и Бесова В , 1 < р, q < со, [3 = а — (п — d)/p Є (0, сю), заданных во всем пространстве Кга, на замкнутых множествах Yd С Ш,п хаусдорфовой размерности d, 0 < d < п, с некоторыми условиями регулярности (в современной литературе такие множества называются множествами Альфорса). Они определили обобщенные пространства Бесова B^q(Td), в терминах которых описали следы функций при (3 ф N. В случае (З Є N описание следов было приведено через аппроксимационную характеристику. Для построения оператора продолжения авторы модифицировали подход Уитни.
Для пространств Соболева в плоских и пространственных областях с кусочно-гладкими нелипшицевыми границами вопросы описания граничных значений изуча-
лись в работах Г. Н. Яковлева, В. Г. Мазьи, В. Г. Мазьи и С. В. Поборчего, М. Ю. Ва-сильчика и др.
С. К. Водопьянов использовал модифицированный подход Уитни для описания граничных значений функций из пространств Соболева W^(G) и Никольского H^G), заданных в произвольной области евклидова пространства [6]. Преимущество этого метода состоит в том, что он применим к любой области, независимо от гладкости ее границы.
Однако, многие вопросы в теории вложения функциональных пространств остаются открытыми. Одно из направлений для исследований — изучение пространств в областях с нерегулярными границами. Другое направление — более сложные геометрии, отличные от евклидова пространства. Важный класс таких геометрий представляют пространства Карно — Каратеодори и, в частности, группы Карно.
Сумма квадратов горизонтальных векторных полей алгебры Ли группы Карно представляет собой субэллиптический оператор. Субэллиптические операторы удовлетворяют условиям гипоэллиптичности Л. Хёрмандера и, следовательно, обладают тем важным свойством, что обобщенное решение краевых задач с гладкой правой частью для такого оператора представляет собой гладкую функцию. В настоящее время теория субэллиптических уравнений интенсивно развивается. Многие задачи, решение которых известно для уравнений эллиптического типа, все еще остаются открытыми в субэллиптической теории.
Проблемы корректной постановки и разрешимости краевых задач для субэллиптических уравнений приводят нас к задаче описания следов функций классов Соболева на группах Карно.
Обобщение классических результатов на случай более общих геометрий сопряжено с определенными трудностями. Многие фундаментальные теоремы анализа, справедливые в евклидовом пространстве, либо не выполняются на группах Карно, либо их доказательство требует новых методов.
В работе [25] Д. Даниелли, Н. Гарофало и Д. М. Нхеу изучают следы функций из пространства Wp(Q), 1 < р < сю, где П — область в пространстве Карно — Каратеодори, на множествах Альфорса. Авторы доказывают теоремы о следах и продолжении,
а также приводят примеры множеств Альфорса на группах Карно, определяя соответствующую меру Альфорса. Так, множеством Альфорса будет граница области П класса С2 двухступенчатой группы Карно, если рассмотреть на ней определенную специальным образом периметрическую меру. В качестве следствия авторы получают теорему о граничных значениях функций из пространства Соболева Wp(Q), где П — ограниченная область двухступенчатой группы Карно с границей класса С2.
По-прежнему остаются актуальными и вопросы продолжения для гладких и лип-шицевых функций при различных условиях. В серии недавних работ Ч. Феффер-мана [27] получены некоторые обобщения классической теоремы Уитни. В работах А. А. Клячина и В. М. Миклюкова [8, 9] была рассмотрена задача продолжения функций с ограничениями на градиент. В этом случае задача может быть сведена к проблеме продолжения липшицевых функций в псевдометрическом пространстве. Полученные авторами результаты были применены к проблемам разрешимости краевых задач для уравнений с частными производными.
ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Целью данной работы является описание следов гладких функций и функций из пространств Соболева Wp, определенных на группах Карно и в областях групп Карно.
МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ. В работе используются методы гармонического анализа и теории функциональных пространств, геометрии пространств Карно — Каратеодори и функционального анализа.
НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Все основные результаты, полученные в диссертации, являются новыми и снабжены строгими доказательствами.
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Результаты работы имеют теоретическое значение. Методы и результаты работы могут быть применены в теории функциональных пространств при исследовании свойств дифференцируемых функций, в теории субэллиптических уравнений.
АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты диссертации докладывались на XLIV Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 2006 г.), на VIII конференции по функциональным пространствам (Бедлево, Польша, 3-7 июля 2006 г.), на семинарах Новосибирского госу-
дарственного университета (руководитель профессор С. К. Водопьянов), на семинаре Института математики СО РАН им. С. Л. Соболева (руководитель академик Ю. Г. Решетняк).
ПУБЛИКАЦИИ. Результаты диссертации опубликованы в работах [36-44].
ОБЪЕМ И СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы из 74 наименований.
О слодах функций из пространств Соболева W на группах Карно
Для областей G С W1, границы которых содержат углы, изучение подобных вопросов было начато С. М. Никольским [33] для пространств Н1р и продолжено Г. Н. Яковлевым [45] (для плоской области), В. Г. Мазьей, С. В. Поборчим, М. К). Ва-сильчиком, В. И. Буренковым и другими математиками.
Обратимая характеристика наборов следов функций вместе с их производными из пространств \Vp(G) и В1 (G) па липшицевых многообразиях F", где 1—(п—т)/р Є (0, oo)\N, предложена О. В. Бесовым [4,5 (случай / = 1 был исследован ранее Э. Гальярдо [G1]). Она приводится в терминах многочленов типа многочленов Тейлора. Подобные многочлены использовались еще X. Уитни [74] при характеризации следа / раз непрерывно дифференцируемой функции на произвольном замкнутом множестве (см. также книгу И. М. Стейна [41]). В работах [65-67] А. Йонссон и X. Валлин комбинируют подход X. Уитни с подходом О. В. Бесова. Они изучили следы функций из пространств бесселевых потенциалов Lp, 1 р оо, и Бесова Вс л, 1 р, q оо, /? = a—(n—d)/p Є (0, оо), заданных во всем пространстве Rn, на замкнутых множествах Td С К хаусдорфовой размерности d, 0 d п, с некоторыми условиями регулярности (в современной литературе; такие множества называются множествами Альфорса). Они определили обобщенные пространства Бесова B q{Td), в терминах которых описали следы функций при Р . N. В случае /? Є N описание следов было приведено через аинроксимационную характеристику. Для построения оператора продолжения авторы модифицировали подход Уитни [74] (см. также [41]).
Существует много частных результатов для пространств Соболева, заданных в области с кусочно-гладкой нелипшицевой границей. Предполагается, что граница области представляет собой кусочно-гладкую, нерегулярную поверхность с нулевыми углами (пики или гребни). В этом случае описание граничного поведения функций существенно зависит от геометрии области. В работах Г. Н. Яковлева [46], В. Г. Ма-зьи [28], В. Г. Мазьи и С. В. Поборчего [29,30], М. 10. Васильчика были получены результаты для пространства W , 1 р оо, заданного в плоской области, на границе этой области. М. 10. Васильчик получил описание следов функций из Wlp(G) вместе с производными для I 1, 1 р оо и плоской области G, имеющей внешний или внутренний инк (нулевой угол) па границе [7,8], а также исследовал некоторые случаи областей в Rn при п 3 с нулевыми углами на границе, в частности, случай вершины внешнего пика и некоторые виды гребней при / = 1, 1 р оо [6[.
С. К. Водопьянов использовал модифицированный подход Уитни для описания граничных значений функций из пространств Соболева \V (G) и Никольского Я ,((7), заданных в произвольной области евклидова пространства [9-11,72,73]. Преимущество этого метода состоит в том, что он применим к любой области независимо от гладкости ее границы.
Однако, многие вопросы в теории вложения функциональных пространств остаются открытыми. Одно из направлений для исследований — изучение пространств в областях с нерегулярными границами. Другое направление — более сложные геометрии, отличные от евклидова пространства. Важный класс таких геометрий представляют пространства Карно — Каратеодори и, в частности, группы Карно. Сумма квадратов горизонтальных векторных нолей алгебры Ли группы Карно представляет собой субэллиптический оператор. Субэллиптические операторы удовлетворяют условиям гипоэллиптичности Л. Хёрмандера [63] и, следовательно, обладают тем важным свойством, что обобщенное решение краевых задач с гладкой правой частью для такого оператора представляет собой гладкую функцию. В настоящее время теория субэллинтических уравнений интенсивно развивается. Многие задачи, решение которых известно для уравнений эллиптического типа, все еще остаются открытыми в субэллиитической теории.
Проблемы корректной постановки краевых задач для субэллинтических уравнений приводят пас к задаче описания следов пространств Соболева на группах Карно.
Обобщение классических результатов на случай более общих геометрий сопряжено с определенными трудностями. Многие фундаментальные теоремы анализа, справедливые в евклидовом пространстве, либо не выполняются на группах Карно, либо их доказательство требует новых методо) ».
В работе [56] Д. Даниелли, Н. Гарофало и Д. М. Нхеу изучают следы пространства 1 ( 7), 1 р оо, где ft — область в пространстве Карно — Каратеодори, на множествах Альфорса. Авторы доказывают теоремы о следах и продолжении, а также приводят примеры множеств Альфорса на группах Карно, определяя соответствующую меру Альфорса. Так, множеством Альфорса будет граница области Q класса С2 двухступенчатой группы Карно, если рассмотреть на ней определенную специальным образом периметрическую меру. В качестве следствия авторы получают теорему о граничных значениях функций пространства Соболева 11 (0), где І1 — ограниченная область класса С2 двухступенчатой группы Карно. В работе [54] доказано, что это утверждение верно и для областей класса С1 1.
По-прежнему остаются актуальными и вопросы продолжения для гладких и лнн-ишцевых функций при различных условиях. В серии недавних работ Ч. Фсффер-мана [57) получены некоторые обобщения классической теоремы Уитни. В работах А. А. Клячина и В. М. Миклюкова [23,24] была рассмотрена задача продолжения функций с ограничениями на градиент. В этом случае задача может быть сведена к проблеме продолжения липшнцевых функций в исевдометрическом пространстве. Полученные авторами результаты были применены к проблемам разрешимости краевых задач для уравнений с частными производными.
Теорема о продолжении для пространства Липшица с модулем непрерывности более общего вида
В 2.2.1 приводятся основные определения. В 2.2.2 доказана лемма 2.2 о многочленах тейлоровского типа. В 2.2.3 сформулирована и доказана лемма 2.3 о разбиении типа Уитни открытого множества с непустой границей на копечпократпый набор шаров {ВІ}, радиусы которых сравнимы с расстоянием до границы. По этому набору шаров строится разбиение единицы { }. В 2.2.4 определяется оператор продолжения Ek : Lip(7, F) — Lip(7, &), а в 2.2.5 доказывается теорема 2.2. В 2.2.6 сформулирована и доказана теорема 2.3, которая является обобщением теоремы 2.2 на случай пространств Липшица с более общим модулем непрерывности.
В 2.3 сформулирована и доказана теорема 2.4, обобщающая классическую теорему Уитни [74] для функций класса С1. Для / = 1 на группах Гейзенберга соответствующий результат был получен в работе [60].
Теорема 2.4. Пусть набор функций {fj}d(j) k заданных на F, удовлетворяет следующим условиям: 1) І/Л ОІ М, d(J) к, на любом компактном подмножестве множества F; 2) Rj(x,y) = o(p(y 1x)k d(J 1) в том смысле, что для любых є 0 их Є F существует 5 = 8(Е, Х) 0, такое, что для всех х,у Є F, удовлетворяющих условиям р(х 1х) 5 и р(х 1у) 8, выполняется неравенство Тогда оператор Ek из теоремы 2.2 задает продолжение набора фупщий {//} па всю группу &. Продолженная функция / = Ek({fj}) принадлежит классу Ck (G), т. е. для всех J, где d(J) к, существуют непрерывные производные X 1 f, причем XJf\F = fj. Третья глава посвящена описанию граничных значений функций из пространств Соболева W,( ) (где I 0 — целое) и Никольского # (0) (гДе 0 нецелое), заданных в произвольной области Q группы Карно [18,19]. Основные результаты главы — теорема 3.3 о продолжении с границы в область и теорема 3.4 о продолжении функции за границу области определения. В этой главе для продолжения функций используется модификация метода Уит-ни, предложенная С. К. Водопьяновым [9]. Метод основан на новых эквивалентных нормировках пространств дифференцируемых функций в областях, в которые явным образом входят геометрические характеристики области определения, а именно — с каждым функциональным пространством, заданным в некоторой области, ассоциируется своя внутренняя метрика области, и эквивалентная норма пространства определяется в терминах этой метрики. Таким образом, вместо области и ее границы рассматривается соответствующее метрическое пространство, пополненное по внутренней метрике элементами несобственной границы, которая и будет областью определения граничных значений, или следов, функции. Глава 3 состоит из трех параграфов. В 3.1 определяются функциональные пространства W Q) и # (fi). Определения эквивалентны стандартным и отличаются от них тем, что вместо класса эквивалентных функций в качестве элемента пространства рассматривается его представитель, непрерывно дифференцируемый достаточное количество раз. Определение. Пусть к О — целое; число, І Є (к, к + 1], а = I — к. Функция /, заданная в области її С G, имеющая в її все непрерывные производные XJ f однородных порядков d(J) к, принадлежит пространству // ,(0), если / — нецелое (соответственно W Q), если / — целое), если конечна норма Здесь (х,у) — кратчайшая горизонтальная кривая, соединяющая точки х и у. Если I — целое, то а = 1, и определение означает, что производные XJf порядка / — 1 удовлетворяют в її условию Липшица. В 3.1.1 определяются внутренние а-метрики в области її. В 3.1.2 в терминах внутренних метрик определяются пространства Lip(/, fln) и доказывается их эквивалентность соответствующим пространствам М (2) и Я о(0) (теорема 3.1). Определение. Пусть к 0 — целое число, / Є (к, к + 1], а = / — к. Функция /, определенная в области Q и имеющая производные XJf однородных порядков d( J) : к, принадлежит пространству Lip(/,Qa), если конечна норма где Rj(x,y) — остаток тейлоровского разложения функции XJf(x), d(J) к, в окрестности точки у, a о!а)п — внутренняя а-метрика в области fi. В 3.2 получено описание граничных значений функций из рассматриваемых пространств. В 3.2.1 определяется пополнение П„ области Q по внутренней а-метрике. В 3.2.2 описаны пространства граничных значений Lip(/,c%2a), областью определения которых является л-граница dfla = Qa\Q области Q, и доказано существование оператора следа tr; : Lip(/,Qa) — L\p(l,dfla) (теорема 3.2). Оператор следа tr/ строится следующим образом: функция и ее производные продолжаются по непрерывности на пополнение Qn, а затем рассматривается ограничение полученного набора функций на 0Qa. В 3.2.3 доказана теорема 3.3 о продолжении. Для построения оператора продолжения extfc : Lip(/, дІа) — Lip(/, Qa) снова используется разбиение Уитии. Теорема 3.3. Пусть Г2 — произвольная область в G. Существует лилейный ограниченный оператор продолжения extfc : Lip(/, dQa) — Lip(/, QQ), І Є (к, к + 1], a = I - к, такой, что композиция tx/ о extfc является тождественным отображением. В 3.3 доказана теорема 3.4 о достаточных условиях продолжения функций из пространств И о(П) и 11 (0,) за границу области определения. Теорема 3.4. Пусть к 0 — целое число, / Є (fc, к+1], а = 1—к. Пусть Г2 — область в G, и пусть внутренняя а-метрика dafl(x,y) локально эквивалентна в области Q a-мегприке р(у 1х)а, то. е. существуют константы М, г О такие, что для любых точек х, у Є Q, удовлетворяющих неравенству р(у 1х) г, выполняется неравенство datn(x,y) Мр(у 1х)а. Тогда существует линейный ограниченный оператор продолжения extfc : W1 ) - И(С) ПрИ / є N (a = 1) или extfc : Я (П) - Я (С) при І І N (а Є (0,1)). Четвертая глава работы посвящена вопросу описания следов функций из пространств Соболева WJ,(G) (/ 0 — целое, 1 р оо), заданных на всей группе Карно G, на (і-множествах Альфорса F, где I — (Q — d)/p 0 — нецелое (см. 20]). В этой же главе рассматриваются вопросы описания граничных значений и продолжения за границу области функций классов Соболева \Vlp(L), заданных в ограниченной области с гладкой границей на двухступенчатой группе Карно [20,34]. Определение. Пусть 0 d Q. Замкнутое множество F называется (/-множеством Альфорса, если существует такая мера //, заданная на F, что для некоторого г0 0 имеем
Продолжение дифференцируемых функций за границу области определения
Глава посвящена описанию следов функций из пространств Соболева Wj,(G), заданных на всей группе Карно G, на (/-множествах Альфорса. Характеристика следов функций из пространств Соболева приводится в терминах обобщенных пространств Бесова. Результаты главы являются обобщением теорем Л. Иоиссоиа и X. Валли-на [G7] о следах бесселевых потенциалов І(МП) в евклидовом пространстве.
Кроме того, в этой главе рассматриваются пространства Соболева, определенные в областях на двухступенчатых группах Карно. Доказана теорема о продолжении функций классов Соболева за границу области определения (обобщение теоремы П. Джонса [68]). В качестве следствия приведена теорема о граничных значениях функций из пространств Соболева, заданных в ограниченной области класса С2 двухступенчатой группы Карно.
В этом параграфе сформулированы и доказаны некоторые свойства (/-мер (и d-множеств) Альфорса (см. определение 1.5 в гл. 1). Определение 4.1. Пусть Е С G. Обозначим Ad {Е) — a(d)inf ]T)rf, где нижняя і грань берется по всем не более чем счетным покрытиям множества Е шарами ВІ С G, (J Bi D E с радиусами г е. Тогда (/-мерной мерой Хаусдорфа множества F назы г вается предел Ad(E) = ПтЛ (Е). Здесь a( f) — константа, при подходящем выборе которой AQ(E) = mesE совпадает с мерой Лебега на G. Размерностью Хаусдорфа множества Е называется число dimF = inf{(/ : A i{E) = 0}. Заметим, что d\mE Q для всех Е С G. Замечание 4.1. Если Ad(E) = 0, то для любой положительной меры ft, где Действительно, пусть Bv = B{xv,rv), г„ r0, J #f Э Д тогда /t(F) / (- ) C]Cr a ЭТУ (;УММУ можно сделать сколь угодно малой, если Ad(E) = 0. 1. .Если F — d-множество Лльфорса, то dim(F П B(x,r)) = d, х Є F7 г 0, и Л р — d-мера на F. 2. Если Ц\ и Ц2 d-меры па F, то существуют константы С\,Сч 0 такие, что C\fi\ : //2 Сг/ і Доказательство. Докажем утверждение 1. Пусть F — (/-множество Лльфорса с d-мерой //, г0 0 фиксировано. Для х Є F, 0 г г0 и счетного набора шаров - с радиусами г = г0, где \jBt D F П В(х, г), из определения cf-меры получаем г Cird = ft{B(x, г)) / ( Д) CVf Однако, для любого е 0 можно так выбрать і і набор {ВІ}, что последняя сумма не превосходит C-j(s + A,i(F П В(х,г))). Отсюда следует Ad{FDB(x,r)) %4, х Є F, г r0. Чтобы получить обратное неравенство, воспользуемся методом покрытий. Пусть В(х,г), г г0, — таков, что Ad{F( )B(x,r)) 0, выберем t Ad(FDB(x,r)), и пусть 0 є го — г. По лемме Гейне — Бореля о покрытиях, можно покрыть F Ґ1 В(х, г) конечным набором открытых шаров Si С В(х,г + е) с центрами в F Г\ В(х,г) и радиусами меньше є. Можно из {Si} выбрать подсемейство {ВІ} непересекающихся шаров, такое, что U5i С U А ; гДе Pi шаР с центром в центре шара Д и радиусом в т раз больше, где т = 2к2 + к. Действительно, пусть В\ — шар Si с наибольшим диаметром. Если B\,...,Bk уже выбраны, то Вк+\ — шар Si с наибольшим диаметром из тех шаров Sj, что SjDBi = $,1 = 1,... ,к, если это множество непусто. Если Bfc = В(хк,Гк), то / = В(хк,тГк). Докажем, что Sj С (J/?j, тогда очевидно (J5,- С \jPi- Предположим, что Sj не входит в набор {Вк}, поскольку в противном случае очевидно Sj С {jPi- Ясно, что по построению радиусы Гк убывают с ростом к. Выберем наименьшее к такое, что г%+1 r(Sj), где r(Sj) — радиус 5,-. (Если rt г(5_,-) для всех і, то в качестве; & возьмем общее число шаров В{.) Если бы Sj П Д = 0 для всех і = 1,..., к, то 5j мог бы быть выбран в качестве Дц-і- Поэтому для некоторого jo, 1 jo А;, верно Sj Ґ1 . 7 0) причем r(Sj) гу0 (поскольку к — наименьший номер, для которого +і r(Sj)). Докажем, что Sj С /3j0 = B(Xj0,mrj0). Действительно, пусть х — произвольная точка из Sj, и пусть у Є Sjd Bjo, а щ — центі) -. Тогда р(х х) к{р{у-1х) + p(xj0ly)) к(к(р(уг1х) + (уГ1 )) + rjo) K2(r{Sj) + r{Sj)) + Ktj0 (2к2 + к)гіо = mrio. Так как (J/% Э (J5j D Fni (o;,r), то, но определению меры Хаусдорфа, t a{d)Y r{f3i)d a( i) E(rnrj)d, если є достаточно мало. Но, но свойствам меры /г, CiZrf Ем(Д) = MUA) ц(В{х,г + є)) C2{r + e)d. Устремляя е - 0 и і — A (F П Б(ж,г)), мы заключаем, что Ad(FП ЇЇ(ж,г)) a(d) (mri)J a{d)mdC C2rd, xeG,r r0. Следовательно, A,I\F (і-мера на F. Мы видим, что 0 Ad(Fn В{х,г)) со, х- Є F, г 0, и следовательно, dim(F Г) Z?(.x,r)) = сі, х Є F, г 0.
Декомпозиция Уитни и оператор продолжения
В книге С. Л. Соболева [38] описай вариационный метод решения краевых задач для эллиптических уравнений. Одним из приведенных в книге примеров является полигармоническое уравнение порядка 21: А1и = 0, где Д — оператор Лапласа н R. Мы рассмотрим аналогичную задачу на двухступенчатой группе Карно, ограничиваясь поиском слабого решения.
Пусть Q — ограниченная область класса С2 на двухступенчатой группе Карно G. Рассмотрим краевую задачу для уравнения с частными производными, которое мы но аналогии с евклидовым случаем будем называть полисубгармоническим:
Здесь набор граничных значений {tpj} Є В2 " {Oil), а коэффициенты Cj 0. В случае евклидова пространства при подходящем выборе коэффициентов Cj оператор уравнения совпадает с оператором Дг. Мы будем искать решение задачи (5.1)-(5.2) в классе 1 ( ) Определение 5.1. Функция и Є IVJ(Q) называется слабым решением задачи (5.1) о (5.2), если она удовлетворяет условиям (5.2), и для любой функции h ЄЦ/2( ) Если слабое решение и достаточно гладкое, то но формуле интегрирования по частям получаем для всех h E\V 2{ty- И3 основной леммы вариационного исчисления следует, что и является решением задачи (5.1)-(5.2) в обычном смысле. Теорема 5.1. Существует единственное слабое решение задачи (5.1)-(5.2) в классе W Ct)- Этим решением является функция, па которой достигается минимум функционала D(u) = D(u, и) среди всех функций и Є IV fi), удовлетворяющих условиям (5.2). Замечание 5.1. Уравнение (5.1) называется уравнением Эйлера для функционшіа D(u). Доказательство. Сначала докажем, что задача минимизации функционала D{u) на множестве 1 (( ./}) функций и Є W2 (fi), удовлетворяющих условиям (5.2), имеет решение, и притом единственное. В силу теоремы 4.5 множество ({ Л) непусто. Так как 0 D(u) со для всех и Є 1 2( )) то существует d = inf D(u) 0. Выберем последовательность {щ}, щ Є ({ Л) такую, что d = lim D(uk). Та-кую последовательность будем называть минимизирующей. Так как "t2"J Є ({ Л ) то D{ -) d. Сп{)ав(!длішо равенство параллелограмма: Действительно, Таким образом, для любых к, j N(e) выполняется и (ufc — Uj) 4е. Отсюда следует, что последовательность (} фундаментальна в И ($2), если задать в этом пространстве эквивалентную норму формулоіі (4.59). Действительно, в этом случае интегралы но дії в (4.59) равны нулю, и 11 - «jll (fi) = {D{uk - Uj))]/2. В силу полноты (2) существует предел ІІП1 Uk = Щ. к— оо Покажем, что функция щ удовлетворяет условиям (5.2). Так как щ — щ в Wl2 (П), то из (4.59) получаем для d(J) ,1-1: при к — со. Поскольку левая часть неравенства не зависит от А:, то она равна 0, и XJU0\OQ = y?j для всех d(J) I — 1. Теперь установим, что D(uo) = с/. Имеем: Осталось доказать единственность функции г о. Пусть существуют две функции щ,и2 Є г({ }) rraKI1(;) что D(ui) = D(u2) = - Тогда последовательность ui,U2,ii\,ii2,... является минимизирующей и, следовательно, сходящейся, что возможно ЛИШЬ При Щ = U2 Итак, мы нашли решение вариационной задачи. Полученная функция щ будет слабым решением задачи (5.1)-(5.2). 144 Действительно, так как на функции uo достигается минимум функционала D(u) среди всех функций и Є 1 (( ./})) т0 Для всех ЄТ 2( ) и е выполняется D{UQ) D(M0 + th). Из необходимого условия экстремума следует Так как щ удовлетворяет условиям (5.2), то она является слабым решением задачи (5.1)-(5.2).
