Введение к работе
[ _ _І!
Актуальность темы и общая методика исследования. Диссь.^ тация объединяет две тгчы, связанные общей методикой исследования. Первая посвящена развитию конструкции, функциональной модели, операторов в гильбертовом пространстве. Вторая - выросшая из доказательства де Бранжа гипотезы Бибербаха - посвящена оценкам сжимающих операторных цепей. Щиь внешней полной независимости, этих частей диссертации их объединяет тог что и та и другая расположены на стыка теории операторов и теории функций. Взаимопроникновение.' этих облаете." является весьма плодотворным для каждой из них. Если в первой части в большей степени, методы и понятия теории аналитических функций используются для получения теоретико-операторных р.зультатов (хотя в этой области; многочисленны примеры и обратного влияния), то во второй части картина противоположная: абстрактные построения ног-сят чисто операторный характер, а приложения они находят в области: классическое, теории функций.
Функциональные, модели, которым посвящена первая часть диссертации, очень широкоприменяются в теории операторов. В самом общем смысле модель - это фиксированный представитель класса эквивалентных операторов. Классический пример: жордано-ва форма матрицы - модель конечномерного оператора, рассматриваемого с точностью до подобия.
Вреимущества, которые дает использование модели, заключается не только, и дажа не столько, в том, что мы выбираем для изучения самый простой в каком-либо смысле объект среди, аму эквивалентных, сколько в том, что этот объект обладает дополнительными, структурами. В этом причина исключительной продуктивности функциональных моделей.
Пожалуй, наиболее широкую облает* испо; .зования имеет модель нормального (особенно самосопряженного \і унитарного) оператора, которую дает спектральная теорема: нормальный оператор представляется оператором умножения на і зависимую переменную в пространстве квадратично суммируемых функций, заданных на спектре опере ора.
_ 4 -
Почти тридцать лет назад появилась функциональная модель для сжатий в гильбертовом пространстве, построенная на основе спектральной модели, для унитарной дилатации соответствующего сжатия. Аналогично модель для диссипативного оператора порождалась самосопряженной дилатацией. В завершенном виде конструкция этой модели опубликована в кь^ге Б.Секефальви-Вадя-Ч. Фойаша , хотя пионерские работы в этом направлении и введение самого понятия характеристической функции принадлежит М.С.Лившицу .
Практически независимо и совсем на другом языке строят свою модель Л.де Бранж и Дл.Ровн^к , их конструкции, более явно связанн с теорией рассеяния. Фактически, не называя слова "модель", и не столько в.абстрактном контексте, сколько для конкретных задач математической физики, строят модель П.Лакс и Р.Филлипс . Также для исследования задач теории рассеяния, но уже явно опираясь на работы С.-Надя и Фойаша, модифицирует их модель Б.С.Павлов .
В диссертации строится так называемая "бескоординатная модель", которая при выборе конкретного "координатного представления" превращается в модель Надя-Фойаша, де Бранжа-Ровня-
^Секефальви-Радь Б., Фойаш. Ч. Гармонический анализ операторов в гильбертовом пространстве. М.,Мир. 1970.
Лившиц М.С. Об одном классе линейных операторов в гильбертовом пространстве. Мат.сб. 1946. Т.19. С.239-262.
ие бганки L, Roiruyak 3- Сап<жіса tno&tU in quantiun Scatktifuj tkcw^.-In: РегІаіЬсЛіоп tkmy аиі it* application wt Uuan.W- iieckoAviw, Wvfev), Ны 'Уогк , 1966. 2S5-392.
4;Лакс П., Филлипс Р. Теория рассеяния. М., Мир. 1971. .
5) Павлов Б.С. Условия отделимости спектральных компонент
диссипативного оператора. -Изв. AF СССР. Сер. матем. 1975.
Т. 39 . й I. С. 123-148.
ка, Павлова, или принимает другие, формы.
. Во второй части работы строится аппарат квазиортогональных рядов и интегралов, основанный на понятии комплементарного подпространства в том же смысле, в каком ортогональные ряды и интегралы строятся из операции, ортогонального дополнения. Соответствующие, интегральные представления элементов исходного пространства сопровождаются некоторыми, неравенствами (типа неравенства Бесселя) с описанием случаев, когда они превращаются в равенства. Фактически речь идет о коизометрических (т.е. сопряженных с изометрическими) представлениях, опирающихся на некоммутативный аналог неравенства Коши-Буняковского-Шарца.
В качестве следствия общих конструкций предлагаются как известные оценки коэффициентов однолистных функций(в частности, результаты де Бранжа ' и Ровняка '}, '±ак и некоторые другие. Следует отметить, однако, здесь совсем не затрагиваются возможные иные приложения развитой теории к оценкам сжимающих цепей.
ручная новизна. В диссертации построена "бескоординаг-ная" функциональная модель для сжатий, обобщающая известные ранее модели. Шстроенная на этой основе модель для несжямаю-Шх операторов использована для тслучения критерия устойчивости непрерывного спектра почти унитарных сжатий. Кроме того в терминах функциональной модель найдена формула для кратности спектра сжатий с у інечньши дефектами, подсчитана характеристика аІ4с для некоторого класса операторов и проведена квазиподобная классификация сжатий с конечным дефектом и индексом Фредгольма -I.
a)de Biawgci L. Л puwf of the Biehihack conjecture. - Ada Matti.,
1995, Y.154 . 131-152. f,\de bxanqtb L. Povitu of Йіетани Mappinq Fonctiwti.-In.: JUe Bubeihark
Сон\есїаге. Pioceai'uuji o/tke 5^«.pwiu«H)Hthe Occasion 4 tta Pwof. AMS, (kovidence. Wit.
' Rotmtjak 3. Coefficient esti**atej |ot Ricmuwx mappwq J„rtct
Построена теория оценивания решений эволюционных уравнений, основанная на коизометрических представлениях. Продемонстрирована эффективность метода в применении к оценкам коэф -фициентов однолистных функций.'
Приложения. Диссертация носит теоретический характер и результаты могут найти, применение в смежных областях математического анализа. Значительной число конкретных приложений теоретических методов включено в саму диссертацию. Следует отме- : тить, что если круг приложений функциональной модели уже в значительно!' степени сложился, то возможности использования квазиорто- .'йьяых разложений для получения различных оценок' раскрыты далеко не полностью.
Апробация- -работы. Результаты диссертации докладавалксь в разные годы во Всесоюзной школе по теории, операторов в функциональных, пространствах, да семинаре по комплексному и линейному анализу ЛОШ-ЛТУ, на общематаматичеоком семинаре МИАН, на семинара проф. Б.Секефальви-Надя (Сегед, Венгрия), на семеот-ре по теории, операторов в Институте Миттаг-Леффлера (Стокгольм, Швеция), на семинарах университетов г.Лейпцига и г.Хемница (Германия), в Международном Математическом центре им.Стефана Банаха (Варшава, Польша), на ХІУ, XIX и XXI'Международных семинарах по функциональному анализу (Чехословакия). Во первой части был прочитан кура лекций в Математическом институте Чехословацкой Академии Наук, по второй части - в Университете Г.Севилья (Испания).
Публикации. Основные.результаты диссертации, опубликованы в работах, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем диссертации.Диссертация состоит из общего введения и двух частей. Первая часть содержит шесть параграфов, вторая - восемь. В список цитируемой литературы включено ИЗ названий.
