Введение к работе
Актуальность темы. В диссертации рассматривается действие операторов дробного интегрирования и дробного дифференцирования переменного порядка в обобщённых пространствах Гёльдера с характеристикой, зависящей от параметра, и в пространствах переменной гёльдеровости со степенными весами.
В настоящее время проведено большое число исследований по описанию образов и обращению операторов дробного интегрирования и дифференцирования в пространствах Гёльдера. Ещё Г. Харди и Д. Литтлвуд показали, что оператор дробного интегрирования 1"+ постоянного порядка действует из пространства Гёльдера Hq в пространство Н0+а, А + а < 1, с „лучшим" показателем гёльдеровости, а оператор дробного дифференцирования — из пространства Hq,X > а, в пространство Н0~а с „худшим" показателем гёльдеровости. Позднее B.C. Рубиным были получены аналогичные теоремы о действии оператора І"+ в пространствах Гёльдера постоянного порядка со степенными весами. В работах Н.К. Карапетянца и А.И. Гинзбург рассматривались дробные интегралы и дробные производные постоянного порядка в пространствах переменной гёльдеровости и был получен изоморфизм этих пространств, осуществляемый дробным интегралом. Действие операторов дробного интегрирования переменного порядка в пространствах переменной гёльдеровости в безвесовом случае изучено в работах Б. Росса и С.Г. Самко. Здесь было показано, что дробное интегрирование переменного порядка „улучшает" гёльдеровость функций из указанных пространств.
Действие дробного интегрирования и дробного дифференцирования постоянного (вещественного) порядка в пространствах обобщённой гёльдеровости в безвесовом и весовом случаях рассматривалось в работах Х.М. Мурдае-ва и С.Г. Самко. Здесь же был получен изоморфизм указанных пространств, осуществляемый дробными интегралами. В случае постоянного комплексного
порядка интегрирования изоморфизм обобщённых пространств Гёльдера со степенными весами, также осуществляемый оператором дробного интегрирования, был доказан Н.К. Карапетянцем и Л.Д. Шанкишвили.
В диссертационной работе основное внимание уделяется исследованию зависимости отображений, осуществляемых операторами дробного интегрирования и дробного дифференцирования переменного порядка а(х) в обобщённых пространствах Гёльдера переменного порядка Нш^'\[а, Ь]) и в весовых пространствах переменной гёльдеровости Нх(х> (р), от локальных значений а(х), Х(х) и cu(t, х). Так, для обобщённых модулей непрерывности указанных операторов были получены оценки типа Зигмунда. С их помощью доказаны теоремы о действии дробных интегралов и дробных производных переменного порядка в пространствах обобщённой переменной гёльдеровости. Эти теоремы о действии позволили получить метод регуляризации интегральных уравнений Абеля переменного порядка в пространстве Нш^([а,Ь\). Также было изучено действие операторов дробного интегрирования и дробного дифференцирования переменного порядка в весовых пространствах переменной гёльдеровости.
Подобные исследования в случае, когда и характеристика пространства Гёльдера, и порядок дробного интегрирования или дифференцирования зависят от параметра (от конкретной точки и переменного предела интегрирования), ранее не проводились и представляются актуальной задачей.
Цели работы.
Получить оценки типа Зигмунда для обобщённых модулей непрерывности дробных интегралов и дробных производных переменного порядка от функций из пространств обобщенной переменной гёльдеровости;
Доказать теоремы о действии операторов дробного интегродифференци-рования переменного порядка в указанных пространствах;
Отыскать общий вид произведения оператора дробного интегрирования переменного порядка слева на оператор дробного дифференцирования переменного порядка, сохраняющего пространства обобщённой переменной гёльдеровости, и, как следствие, метод регуляризации интегральных уравнений первого рода в этих пространствах;
Исследовать действие операторов дробного интегрирования и дробного дифференцирования переменного порядка в пространствах переменной гёльдеровости со степенными весами.
Научная новизна. Все полученные в данной диссертационной работе результаты являются новыми.
Методы исследования. В работе применяются методы теории функций вещественной переменной и функционального анализа. В частности, для получения теорем о действии операторов дробного интегрирования и дифференцирования в пространствах обобщённой переменной гёльдеровости использован метод оценок типа Зигмунда. Также при доказательстве основных результатов широко применяются известные числовые неравенства.
Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации носят теоретический характер. Они могут быть использованы, например, при исследовании дифференциальных свойств функций и при решении некоторых интегральных уравнений первого рода.
Апробация работы. Наиболее значимые результаты диссертации докладывались на XVI международной конференции „Математика. Экономика. Образование" (Новороссийск, 2008), на XVIII международной конференции „Математика. Экономика. Образование" (Новороссийск, 2010), на Воронежской зимней математической школе „Современные методы теории функций и смежные проблемы" (Воронеж, 2011), неоднократно докладывались на
семинарах кафедры дифференциальных и интегральных уравнений Южного федерального университета „Линейные операторы и функциональные пространства". Также результаты диссертации были представлены на международной конференции молодых учёных „Математический анализ и математическое моделирование" (Владикавказ, 2010).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 работ. Их список приведён в конце автореферата. Публикация [1] выполнена в издании из перечня ведущих периодических изданий, рекомендованных ВАК для опубликования основных научных результатов. В совместных с Б. Г. Вакуловым статьях [1],[7]—[9] Б. Г. Вакулову принадлежат постановка задач, выбор методик исследования и общее руководство работой, а соискателю — реализации указанных методик.
Структура и объём работы. Диссертация состоит из трёх глав, разбитых на параграфы, и списка литературы. Объём работы составляет 102 страницы, библиография — 56 наименований.
Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю кандидату физико-математических наук, доценту Вакулову Б.Г. за постановку задач, поддержку и внимание к работе.
![Чезаровская суммируемость отрицательного порядка рядов Фурье в пространстве p [a, b]](/i/i/4274/45259.png "Чезаровская суммируемость отрицательного порядка рядов Фурье в пространстве p [a, b] Кудрявцев Александр Иванович")
