Введение к работе
Актуальность темы. В диссертации исследуются асимптотические свойства субгармонических функций нулевого порядка, а также свойства медленно меняющихся функций, которые используются при изучении роста субгармонических функций нулевого порядка.
Изучением роста субгармонических функций нулевого порядка занимались Валирон Ж., Гольдберг А.А, Братищев А.В., Коробейник Ю.Ф., Заболоцкий Н.В., Шеремета М.Н. и др. математики.
Асимптотические свойства медленно меняющихся функций исследовались Балкемой АА, Гелуком Ж.Л., Де Хаан Л., Гольдбергом АА и рядом других авторов.
Исследование асимптотики отношения положительных, определённых на луче функций и правильно меняющихся функций (в частности, отношения функций нулевого порядка и медленно меняющихся функций) часто всречается как в работах по математическому анализу, так и в работах по другим разделам математики. Замена правильно меняющейся функции на эквивалентную ей функцию с большим числом "правильных" свойств позволяет в ряде случаев получить о функции, которую сравнивают с правильно меняющейся функцией, дополнительную информацию. Отметим, что в такого рода исследованиях бывает важно, чтобы суперпозиция нескольких функций, одна из которых является правильно меняющейся функцией, была выпуклой или вогнутой.
Задача изучения взаимосвязи между ростом максимума модуля субгармонической функции и распределением масс её ассоциированной (по Риссу) меры, является одной из центральных задач тео-" рии субгармонических функций. Случай субгармонических функций нулевого порядка интересен сочетанием свойств различных классов
ими
с РОС НАЦИОНАЛЬНАЯ | БИБЛИОТЕКА I
субгармонических функций. Так логарифм модуля трансцендентной целой функции нулевого порядка (важный частный случай субгармонической функции нулевого порядка) имеет и свойства, сходные со свойствами логарифма модуля целой функции конечного положительного порядка, и свойства, сходные со свойствами логарифма модуля полинома.
Цель работы. Цель работы — построить для любой монотонной медленно меняющейся функции эквивалентную ей бесконечно дифференцируемую функцию, которая обладала бы рядом дополнительных свойств, в частности, модули всех её производных были бы правильно меняющимися функциями, знак каждой производной был бы постоянным на луче (0, оо), при этом для эквивалентной функции сохранялись бы свойства исходной функции (если таковые имелись), связанных с выпуклостью или вогнутостью некоторых суперпозиций исходной функции. Кроме того, в диссертации ставится цель установить взаимосвязь между гладко меняющимися функциями и функциями из некоторого подкласса уточнённых порядков. Целью работы также является получение формул типа и нижнего типа субгармонической функции нулевого порядка, а также точных оценок типа.
Методы исследования. Использованы методы теории субгармонических функций и математического анализа. Для получения результатов применён ряд интегральных преобразований, которые являются обобщениями известных интегральных преобразований на отрезке и на луче.
Научная новизна. Все основные результаты являются новыми. Решены следующие задачи:
1. Дня любой монотонной медленно меняющейся функции Л(г) с помощью ряда интегральных преобразований построена бесконечно дифференцируемая на луче (0,с») функциз^р^одули всех производных которой являются правильно меняющимися функциями, а
знаки производных на луче (0, сю) постоянны, причём если Л(ег) выпукла на некотором луче, то г) строго выпукла на R, а если 1пЛ(ег) вогнута на некотором луче, то \ад(ег) строго вогнута на R.
2. Установлена взаимосвязь между гладко меняющимися функци
ями и совершенными уточнёнными порядками; которые составляют
подкласс бесконечно дифференцируемых сильных уточнённых поряд
ков.
Получены формулы типа и нижнего типа субгармонической функции нулевого порядка.
Получены точные оценки типа субгармонической функции нулевого порядка через её верхнюю и нижнюю плотности распределения масс, а также через верхнюю плотность распределения масс и нижний тип этой функции.
Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Результаты могут быть использованы в теории целых, мероморфных, субгармонических, ^-субгармонических функций, в теории- приближения функций и в выпуклом анализе.
Апробация диссертации. Основные положения, представленные в диссертационной работе, докладывались и обсуждались на семинаре по теории функций в Институте математики с ВЦ Уфимского научного центра РАН, на уфимском городском семинаре по теории функций комплексного переменного им. чл.-корр. АН СССР А.Ф. Леонтьева и на международной конференции "Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы", Уфа, 2000 г.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в шести работах, список которых приведён в конце автореферата. Из шести работ три выполнены в соавторстве с научным руководителем проф. В.В. Напалковым. Результаты диссертации, которые опубликованы в этих трёх работах, получены автором диссертации.
Структура диссертации» Диссертация состоит из введениями трёх глав. Объём: 126 страниц. Библиография: 54 названия.
