Содержание к диссертации
Введение
1 Трехмерные уравнения гидротермодинамики атмосферы и методы их решения 28
1.1 Уравнения гидротермодинамики атмосферы 29
1.2 Методы решения уравнения переноса (адвекции) 33
1.2.1 Одномерное уравнения переноса 36
1.2.2 Двумерное уравнение переноса на сфере 45
1.3 Восстановление скорости ветра из завихренности и дивергенции . 49
1.3.1 Дискретизация дифференциальных операторов на несмещенной сетке 50
1.3.2 Решение уравнений Пуассона на сфере 53
1.4 Решение уравнения горизонтальной диффузии четвертого порядка . 62
1.5 Переменное разрешение по широте 65
2 Двумерная модель мелкой воды на сфере 71
2.1 Формулировка уравнений 72
2.2 Дискретизация двумерной модели 73
2.2.1 Дискретизация по времени 73
2.2.2 Дискретизация по пространству 76
2.2.3 Алгоритм решения системы дискретных уравнений 77
2.3 Результаты тестирования модели 78
2.4 Версия с переменным разрешением по широте 89
2.4.1 Реализация горизонтальной диффузии с переменным коэффициентом по широте 89
2.4.2 Тестирование двумерной модели с переменным разрешением . 92
2.5 Оценка эффективности модели 95
3 Трехмерная глобальная модель гидротермодинамики атмосферы 97
3.1 Формулировка и дискретизация модели 97
3.1.1 Дискретизация по времени 98
3.1.2 Дискретизация по пространству 101
3.2 Проверка динамического блока модели при долгопериодном интегрировании 106
3.3 Реализация поворота полюсов в модели 111
3.4 Параметризации процессов подсеточного масштаба 112
3.4.1 Крупномасштабные осадки 114
3.4.2 Глубокая конвекция 116
3.4.3 Мелкая конвекция 118
3.4.4 Облачность и облачное влагосодержание 120
3.4.5 Радиация 121
3.4.6 Гравитационно-волновое сопротивление 124
3.4.7 Турбулентные потоки и процессы в пограничном слое 128
3.4.8 Процессы на поверхности 131
4 Результаты прогнозов с использованием модели 133
4.1 Результаты прогнозов по данным ЕЦСПП 134
4.2 Система усвоения данных на основе модели 136
4.3 Адаптация модели для работы в системе усвоения данных 141
4.3.1 Инициализация начальных данных на основе цифрового фильтра141
4.3.2 Постпроцессинг 142
4.4 Результаты испытаний системы усвоения данных 143
4.5 Прогнозы с переменным разрешением 150
5 Параллельная реализация модели 154
5.1 Подходы к распараллеливанию модели 158
5.2 Результаты распараллеливания 168
Заключение 171
Литература 174
- Методы решения уравнения переноса (адвекции)
- Дискретизация двумерной модели
- Проверка динамического блока модели при долгопериодном интегрировании
- Система усвоения данных на основе модели
Введение к работе
Повышение качества прогноза погоды - важная задача, имеющая большое практическое значение.
Модель прогноза должна адекватно описывать атмосферные процессы синоптического масштаба с периодами от нескольких часов до нескольких дней, особенно процессы цикло- и фронтогенеза. Модель краткосрочного прогноза погоды должна также описывать часть процессов мезометеорологического масштаба с характерными периодами от десятков минут до нескольких часов.
Точность прогноза фактически является точностью предсказания траектории модельной атмосферы в фазовом пространстве, имеющем размерность 107 и выше. В этом состоит отличие гидродинамического прогноза погоды от моделирования климата, где главным является описание статистики атмосферных процессов.
Основными общепринятыми путями решения задачи повышения качества прогноза являются:
Повышение пространственного разрешения численных моделей. Это позволяет явно описывать процессы все более мелкого масштаба, особенно взаимодействие с неоднородной подстилающей поверхностью и передачу энергии по спектру. Численный прогноз погоды с пространственным разрешением, необходимым для адекватного описания процессов синоптического и мезо-масштаба, является задачей, требующей больших вычислительных ресурсов. Кроме того, оперативный прогноз налагает ограничение на допустимое время счета модели. Поэтому разрешение модели можно повысить только за счет применения эффективных численных методов решения уравнений гидротермо-
динамики атмосферы и эффективного использования современных компьютеров параллельной архитектуры. Эффективность численного метода здесь понимается как затрачиваемое одним процессором время, необходимое для интегрирования системы уравнений модели на один час модельного времени при заданном уровне ошибки воспроизведения атмосферной циркуляции.
Более детализированное описание и учет новых процессов под-сеточного масштаба (т.е. процессов, имеющих характерный пространственный масштаб меньше разрешения модели). Примерами таких процессов являются солнечная радиация, процессы конвекции, микрофизические процессы (коагуляции, автоконверсии) в ходе образования облачности и осадков.
Улучшение систем усвоения атмосферных данных наблюдений. Здесь основным является увеличение количества и качества использования новых типов данных наблюдений, в частности, использование косвенных данных наблюдений с искусственных спутников Земли. Для этого необходима разработка сложных схем четырехмерного усвоения данных наблюдений. Подробный обзор работ по этому направлению приведен в [25].
Отметим, что все три направления взаимосвязаны. Например, при горизонтальном разрешении модели порядка 2,5 км становится ненужным параметрическое описание процессов глубокой конвекции, вместе с тем, необходимо описывать процессы в приземном пограничном слое как трехмерные. В свою очередь, реализация современных схем усвоения данных на основе вариационного подхода или приближенного фильтра Калмана требует многократного интегрирования модели атмосферы, что накладывает жесткие требования
на ее вычислительную эффективность.
Российская научная школа традиционно сильна разработками эффективных численных методов для задач прогноза погоды [11], [12]. Разработанные Г.И.Марчуком в 60-х годах методы расщепления для задач метеорологии затем привели к созданию А.Робером полунеявного метода [16], который позволяет повысить шаг по времени в пять раз по сравнению с явными схемами интегрирования по времени. Этот метод до сих пор используется в большинстве моделей атмосферы.
Автор старается следовать этим традициям. Данная работа посвящена решению первой задачи - повышению разрешения моделей прогноза на основе использования высокоэффективных численных методов. При этом используется набор параметризаций процессов подсеточного масштаба, разработанных в Метео-Франс и используемых для численного прогноза погоды и моделирования климата в диапазоне горизонтальных разрешений 10-200 км при вертикальном разрешении 27-60 уровней [55].
Для реализации глобальной модели с локально высоким разрешением в условиях ограниченных вычислительных ресурсов необходимо применение эффективных численных методов. Эффективность здесь понимается как затрачиваемое одним процессором время, необходимое для интегрирования системы уравнений модели на один час модельного времени при заданном уровне ошибки воспроизведения атмосферной циркуляции. При этом желательно, чтобы используемые алгоритмы обладали дополнительными свойствами, проистекающими из свойств исходных уравнений (например, положительность влаги в процессе переноса). Кроме того, используемые методы должны обладать внутренним параллелизмом, допус-
кающим эффективную реализацию на современных параллельных компьютерах.
В конце восьмидесятых годов модели численного прогноза погоды использовали конечно-разностные методы второго порядка либо спектральные эйлеровы методы решения уравнений гидротермодинамики атмосферы. Под спектральным методом мы будем понимать дискретизацию полных уравнений гидротермодинамики по долготе и широте на основе разложения всех переменных по сферическим функциям в сочетании с разностной дискретизацией по времени и вертикальной координате.
Достоинствами конечно-разностных методов являются их локальность и линейный рост числа арифметических операций по мере увеличения разрешения (по одной координате). Однако, конечно-разностная модель атмосферы на регулярной широтно-долготной сетке, помимо вносимой фазовой ошибки, имеет целый ряд других недостатков. Из-за сходимости меридианов, вблизи полюсов эта сетка имеет большую неоднородность разрешения по долготе и широте (при разрешении по широте 10 км шаг сетки по долготе вблизи полюса составит около 150 м). Этот недостаток приводит к большому ограничению на число Куранта в эйлеровых моделях, проблемам в использовании параллельных итеративных алгоритмов, а также к неоправданным затратам на расчет "лишних" точек сетки (около 25 % от общих затрат).
По сравнению с традиционными конечно-разностными аппроксимациями второго порядка, в спектральном методе отсутствует фазовая ошибка и нелинейная неустойчивость. Другими достоинствами спектрального метода (реализованного на основе спектрально-сеточного преобразования) является однородность разрешения на
сфере, тривиальность решения эллиптических уравнений на сфере, возможность использования редуцированной сетки (т.е. сетки с уменьшающимся числом узлов по долготе по мере приближения к полюсам) для расчета тенденций прогностических переменных вследствие процессов подсеточного масштаба. Основным недостатком спектрального метода является кубический рост числа операций по мере повышения разрешения. Кроме того, метод существенно нелокален, а при спектральном разрешении более 1000 гармоник на сфере возникают проблемы устойчивого вычисления базисных функций - присоединенных полиномов Лежандра. Следует отметить также, что при реализации переменного разрешения [44] невозможно бесконечно наращивать коэффициент растяжения сетки из-за некоторых ограничений метода преобразования координат [39]. Из-за обычно используемого треугольного усечения ряда, при реализации на параллельных компьютерах весьма сложной задачей является обеспечение баланса загрузки всех процессоров.
Помимо очевидных требований точности и вычислительной эффективности на современных параллельных компьютерах, блок динамики современной атмосферной модели должен быть пригоден для различных приложений в диапазоне от краткосрочного прогноза погоды с переменным разрешением по широте до многолетних интегрирований для моделирования климата. Таким образом, возможность иметь в модели переменное разрешение хотя бы по одной горизонтальной координате и сферическую систему координат с повернутыми полюсами представляется весьма необходимой характеристикой. Повернутая система координат не представляет проблем для любого численного метода, в то время как наиболее гибким и удобным путем реализации переменного разрешения в моде-
ли является конечно-разностный, конечно-элементный или конечно-объемный подходы.
Поэтому примерно с конца 80-х годов появляются работы, посвященные исследованию и применению в моделировании атмосферы численных методов для дискретизации в горизонтальной плоскости, хорошо зарекомендовавших себя в других областях вычислительной газовой динамики - схемы с ограниченной вариацией, эйлеровы разностные и полулагранжевы методы высокого порядка. Рассматривались также метод спектральных элементов [102], псевдоспектральный метод [97], двойные ряды Фурье [41], метод конечных элементов на икосаэдральных сетках [58].
Известно, что, начиная с некоторого разрешения, численные методы высокого порядка имеют заметно меньшую ошибку дискретизации при гладких начальных условиях. В частности, по мере повышения порядка численного метода аппроксимации частных производных по пространству фазовая ошибка метода сосредотачивается во все более узком диапазоне самых коротких волн, разрешимых сеткой. Для решаемой нами задачи численного прогноза погоды, требующей разрешения синоптических масштабов, условие минимального разрешения заведомо выполнено, а учитывая относительную гладкость атмосферных течений в гидростатическом приближении, у нас есть основания полагать, что эта высокая точность будет достигнута и на практике. Ряд тестов показал, что, например, полу-лагранжев подход (имеющий третий порядок точности) становится точнее эйлерового разностного (второго порядка) при разрешении глобальной сетки около двух градусов по долготе и широте.
Таким образом, с помощью метода высокого порядка оказывается возможным описать атмосферные процессы заданного масшта-
ба, используя меньшее количество узлов сетки (т.е. более грубое разрешение). В результате, несмотря на большее количество арифметических операций, приходящихся на один узел расчетной области, метод высокого порядка оказывается более эффективным. Как правило, методы высокого порядка демонстрируют свое преимущество начиная лишь с некоторого пространственного разрешения, которое было достигнуто только в конце 80-х годов.
В последнее время большинство спектральных и конечно-разностных моделей численного прогноза погоды применяют сеточный полулагранжев метод для описания адвекции [98]. Предшественник этого метода - обратный метод характеристик - хорошо известен в вычислительной газовой динамике и метеорологии с начала 60-х годов прошлого века (см., например [67]). Однако обратный метод характеристик и его разновидности (например, сеточно-характеристический метод [10]), как правило, применялись только при числах Куранта меньше единицы и имели максимально второй порядок аппроксимации.
Отметим, что если в полулагранжевом методе применить линейную интерполяцию для нахождения значений функции в исходной точке траектории, то, при модуле числа Куранта меньше единицы, этот метод эквивалентен классической схеме направленных разностей.
Современные полулагранжевы схемы, как правило, используют кубическую интерполяцию для нахождения значений функции в исходной точке траектории. Полулагранжев метод при этом имеет ошибку аппроксимации О ((Ах)4/At) (при постоянной скорости ветра) [77]. Этот метод устраняет ограничение величины шага по времени условием Куранта, особенно жестким вблизи полюсов
вследствие сходимости меридианов. Повышение шага по времени (в 3-5 раз) позволяет при заданном разрешении модели ускорить прогноз либо при заданном времени прогноза повысить горизонтальное разрешение. Такое повышение шага по времени не нарушает аппроксимации, так как ограничение по числу Куранта в атмосфере проявляется в основном при расчете достаточно гладких струйных течений в верхней тропосфере.
По сравнению с эйлеровыми конечно-разностными схемами второго порядка, полулагранжев метод дает значительно меньшую фазовую ошибку в решении, а по сравнению со спектральным методом, позволяет избежать эффекта Гиббса. Сущность полулагранже-ва метода состоит в дискретизации уравнения переноса вдоль траекторий, и, таким образом, они являются комбинацией дифференцирования по пространству и времени. Конечные точки траекторий всегда являются точками сетки, в то время как исходные точки чаще всего не совпадают с узлами сетки. Значения переменных в исходных точках получаются интерполяцией (как правило, кубической) с использованием значений в близлежащих точках сетки.
В то же время, в полулагранжевом методе адвекции формально отсутствует свойство сохранения нормы переносимой величины, теоретически необходимое для интегрирования модели на длительные (несколько десятилетий и больше) сроки. Практика показала, что это не сильно влияет на качество решения при использовании модели с разрешением порядка градуса и выше для среднесрочного прогноза погоды. В настоящее время полулагранжев подход широко применяется для моделей краткосрочного и среднесрочного прогноза погоды. Имеется и успешный опыт применения полулагран-жевых моделей для моделирования климата [119], [33]. При этом
применяется восстановление массы атмосферы и влаги на каждом шаге по времени. Конечно, полулагранжев метод неприменим в задачах, требующих строгой консервативности, например, в задачах, имеющих разрывные решения (ударные волны).
Традиционно конечно-разностные модели атмосферы были сформулированы на смещенной сетке типа С, предложенной Арака-вой [13]. Однако позднее было показано [83], [89], что для конечно-разностных моделей несмещенная сетка типа А в сочетании с использованием вихря и дивергенции в качестве прогностических переменных лучше описывает как процесс геострофического приспособления, так и распространение волн Россби по сравнению с традиционной формулировкой (использующей компоненты скорости ветра в качестве прогностических переменных) на сетках В и С. В полула-гранжевой модели несмещенная по горизонтали сетка также позволяет использовать единый набор траекторий для всех переменных модели (для смещенной сетки надо либо переинтерполировать горизонтальные компоненты вектора скорости либо использовать три набора траекторий).
В свою очередь, применение любых разностных схем высокого порядка на смещенной сетке требует интерполяций такого же порядка при переходе с одной сетки на другую (например, для расчета слагаемого Кориолиса на сетке типа С), что приводит к неоправданным усложнениям модели. Отличительными особенностями представленной в работе модели атмосферы являются применение компактных разностей четвертого порядка для аппроксимации неадвективных слагаемых и использование вертикальной компоненты абсолютного вихря и дивергенции в качестве прогностических переменных (что весьма редко встречается в разностных моделях).
Рассмотрим применяемые в мире модели численного прогноза погоды. Ведущие прогностические центры используют для глобального прогноза численные гидродинамические модели с разрешением 40-80 км. Подавляющее большинство моделей (исключение - американская и японская модели) использует полулагранжево представление адвекции и полунеявную схему интегрирования по времени (как правило, двухслойную). Это позволяет повысить величину шага по времени по сравнению со значением, задаваемым числом Куранта, в 3-5 раз. Для представления неадвективных слагаемых уравнений гидротермодинамики применяется либо спектральный метод (Европейский центр среднесрочных прогнозов погоды (ЕЦ-СПП), Метео-Франс, Национальный центр прогнозов окружающей среды (NCEP) США, Япония), либо конечно-разностный (Англия, Германия), либо конечно-элементный (Канада). Модели регионального прогноза имеют разрешение 5-25 км и, как правило, основаны на конечно-разностном подходе. Исключение - модель АЛАДИН (Франция, Марокко и Восточная Европа), основанная на спектральном представлении. Многие региональные модели используют по-лулагранжев подход, большинство основано на полунеявной схеме. Ниже приведены сведения по основным оперативным моделям.
Несомненным лидером среди глобальных моделей является модель Европейского центра среднесрочных прогнозов погоды. Эта модель - спектральная полулагранжева ARPEGE/IFS с двухслойной полунеявной схемой интегрирования по времени [64]. В работе [63] приводится оценки эффективности этой модели: если бы она осталась, как и 80-х годах прошлого века, эйлеровой полунеявной моделью с трехслойной схемой по времени, то прогноз на одни сутки выполнялся бы на той же вычислительной системе в 10
раз медленнее (коэффициент 5 - за счет большого шага по времени в полулагранжевом методе, коэффициент 2 - за счет применения двухслойной схемы по времени вместо трехслойной). В настоящее время эта модель имеет разрешение Тх519 (сеточное разрешение примерно 40 км) и 60 вертикальных уровней, а к 2005 году планируется повысить горизонтальное разрешение до 20 км. Отметим, что, тем не менее, существуют по крайней мере теоретические ограничения на возможность повышения разрешения в спектральном методе. Во-первых, с ростом разрешения растут затраты на преобразования Лежандра, во-вторых, при спектральном усечении более 1000 гармоник на сфере возникает проблема точности (устойчивости) расчета присоединенных полиномов Лежандра по рекуррентным формулам.
Модель ЕЦСПП реализована на вычислительной системе Fujitsu VPP5000 (128 процессоров, суммарная пиковая производительность - 960 ГФлопс), с конца 2002 г. осуществляется переход на IBM Cluster 1600 (к 2006 г. - 1500 процессоров, 5 ТФлопс (5 х 10 операций с плавающей точкой в секунду)).
В американском Национальном центре прогнозов окружающей среды (NCEP) применяется спектральная эйлерова модель GFS с полунеявной схемой интегрирования по времени. В настоящее время разрешение этой модели составляет примерно 75 км (Т170), 42 вертикальных уровня, скоро ожидается переход на спектральное разрешение Т240 и 64 уровня. Модель реализована на вычислительной системе IBM, которая имеет 1104 процессора Power 3/375. Пиковая производительность этой системы - 1656 Гфлопс (миллиардов операций с плавающей точкой в секунду).
В Канадском метеоцентре используется конечно-элементная полулагранжева модель GEM [43]. В этой модели применена двух-
слойная полунеявная схема по времени. Разрешение модели примерно 90 км (0,9 градуса), 28 вертикальных уровней. Модель также имеет конфигурацию с переменным разрешением для регионального прогноза. Используется вычислительная система NEC SX-5, 32 процессора, ее пиковая производительность - 256 Гфлопс. В ближайшее время канадская метеослужба планирует переход на систему IBM, аналогичную системе ЕЦСПП, но с меньшим числом процессоров.
Английская метеослужба (UK МО) применяет конечно-разностную полулагранжеву модель UM с двухслойной полунеявной схемой по времени [46]. Разрешение этой модели - примерно 60 км (0,83 по долготе, 0,5555 по широте). Эта же модель используется как региональная. В английской метеослужбе работают две массивно-параллельные вычислительные системы Cray ТЗЕ, 880 и 640 процессоров, их пиковая производительность 792 и 768 ГФлопс соответственно. В ближайшее время метеослужба осуществит переход на систему NEC SX-6.
Программный комплекс модели Метео-Франс в основном (кроме параметризаций процессов подсеточного масштаба и реализации переменного разрешения по широте) унифицирован с моделью ЕЦСПП ARPEGE/IFS (спектральная полулагранжева модель с двухслойной полунеявной схемой). Разрешение модели - примерно 80 км (Т^298) для конфигурации с постоянным разрешением, 20 км (Т,298с3.5) - для конфигурации с повернутым полюсом и переменным разрешением), 41 вертикальный уровень. Прогнозы выполняются на Fujitsu VPP5000 (32 процессора, суммарная пиковая производительность - 31 ГФлопс) [53].
Германская метеослужба (DWD) применяет конечно-разностную эйлерову модель GME на икосаэдрально-гексагональной сетке
с полунеявной схемой по времени [76]. Для переноса влаги используется полулагранжева схема. Разрешение модели составляет 60 км, 31 уровень. Компьютер - IBM Cluster, состоящий из 1280 процессоров Power 3/375 с пиковой производительностью 1920 Гфлопс.
В России с конца семидесятых годов прошлого века велись работы по созданию глобальной спектральной модели [23], сдерживаемые ограниченными возможностями имеющейся вычислительной техники. В настоящее время в России для среднесрочного прогноза применяется эйлерова спектральная модель с трехслойной полунеявной схемой по времени [8], [24]. Ее разрешение составляет в настоящий момент около 1,4 по долготе и широте (Т85), 31 вертикальный уровень. Модель реализована на вычислительной системе Cray YMP 8Е (8 процессоров, пиковая производительность 2,4 Гфлопс).
Для краткосрочного прогноза в Дании, Финляндии, Исландии, Ирландии, Нидерландов, Норвегии, Испании и Швеции используется модель, сформулированная в ограниченной области, HIRLAM, являющаяся совместной разработкой метеослужб этих стран. Это конечно-разностная эйлерова модель с полунеявной схемой. Разрешение модели в зависимости от конфигурации составляет 5-25 км по горизонтали, 16-31 уровень по вертикали. Модель реализована на многих вычислительных платформах, в частности, на CRAY ТЗЕ, SGI Origin 2800, PC Linux.
В UK МО (английская метеослужба) для краткосрочного прогноза используется та же конечно-разностная полулагранжева модель UM, что и для среднесрочного прогноза, но в ограниченной области. Разрешение модели на Англией примерно 11 км (конфигурация с повернутым полюсом, 0,11 по долготе, 0,11 по широте).
Модель ALADIN, разработанная в Метео-Франс при участии
стран Восточной Европы и Марокко - спектральная полулагранжева, во многом похожа на модель ARPEGE/IFS, но сформулирована в ограниченной области, где используется бипериодизация с последующим двойным разложением в ряд Фурье. Разрешение этой модели составляет 8-14 км в зависимости от конфигурации, 41 уровень.
В Германии, а также в Греции, Швейцарии, Италии для краткосрочного прогноза применяется конечно-разностная эйлерова модель LM. В отличие от большинства моделей, интегрирование по времени осуществляется по явно-неявной двухслойной схеме с расщеплением по времени. Горизонтальное разрешение модели в настоящее время 7-14 км в зависимости от конфигурации, 35 вертикальный уровень [100].
В Канадском метеоцентре используется та же конечно-элементная полулагранжева модель GEM, что и для среднесрочного прогноза, но в конфигурации с повернутым полюсом и переменным разрешением. Разрешение - примерно 24 км по горизонтали, 28 вертикальных уровней
В американском Национальном центре прогнозов окружающей среды конечно-разностная эйлерова модель с полунеявной схемой (ЕТА). Разрешение модели составляет 22 км при 50 уровнях.
В России проходят испытания две различные региональные модели [9], [15].
Таким образом, многие зарубежные метеоцентры применяют один и тот же программный комплекс модели численного прогноза для краткосрочного и среднесрочного прогноза погоды.
В данной работе для глобального прогноза на срок до пяти дней и регионального прогноза с более высоким разрешением на срок до двух-трех дней также используется одна и та же модель,
сформулированная на регулярной широтно-долготной сетке. В первом случае разрешение по долготе и широте постоянно, во втором случае яля достижения локально высокого разрешения в интересующем регионе (Россия) используется переменное разрешение по широте. Использование одной и той же модели для решения двух задач позволяет достичь существенной экономии при разработке, эксплуатации, сопровождении и дальнейшем развитии модели.
На практике существуют два подхода к формулировке моделей регионального прогноза:
Модель с постоянно высоким разрешением, сформулированная в ограниченной области. В этом случае, как правило, боковые граничные условия берутся из другой модели, их необходимо интерполировать не только по пространству, но и по времени. При этом возникает плохо обусловленная задача. Методы разработки граничных условий для таких моделей исследуются в [79]. В качестве примера такой модели можно привести модель HIRLAM, используемую для оперативного прогноза погоды скандинавскими странами, Ирландией и Данией, а также разработанную совместно французской метеослужбой и метеослужбами стран Восточной Европы региональную версию модели ARPEGE-ALADIN. Отметим, что для такого подхода нужно иметь две модели - глобальную, с более грубым разрешением, и региональную, а также блок интерполяции боковых граничных условий.
Глобальная модель с локально высоким разрешением. Такой подход самодостаточен, так как не требует постановки граничных условий на боковых границах, а также при этом упроща-
ется задача построения системы усвоения данных наблюдений. Канадская модель среднесрочного прогноза GEM и французская модель ARPEGE/IFS основаны именно на таком подходе.
В условиях ограниченных ресурсов преимущество имеет второй подход, который принят за основу в данной работе. Целями диссертационной работы являются:
создание полулагранжевой глобальной модели общей циркуляции атмосферы на основе эффективных численных методов, включающей конфигурацию с переменным разрешением по широте; проверка такой модели с помощью общепринятых тестов, в том числе на кратко- и среднесрочных прогнозах погоды;
разработка и выбор эффективных численных методов высокого порядка точности для решения системы уравнений гидротермодинамики атмосферы в гидростатическом приближении, в том числе на сетке с переменным разрешением по широте, проверка этих методов с помощью стандартных тестов;
эффективная реализация программного комплекса модели на параллельных компьютерах;
создание технологии глобального среднесрочного и регионального краткосрочного прогноза на основе единого программного комплекса полулагранжевой модели атмосферы.
Научная новизна результатов диссертационной работы.
Представленная модель общей циркуляции атмосферы, насколько нам известно, является первой трехмерной полулагранжевой моделью атмосферы, доведенной до уровня массовых прогнозов, в которой используется завихренность в качестве прогностической пере-
менной. Ранее известная попытка создания спектральной полула-гранжевой модели с использованием завихренности и дивергенции в качестве переменных модели, описанная в [82], оказалась неудачной. На взгляд автора, причиной послужила неудачная дискретная формулировка нелинейных слагаемых уравнения абсолютного вихря, приводящая к потере точности и устойчивости.
В работе создан эффективный алгоритм для решения эллиптических уравнений на сфере с коэффициентами, не зависящими от долготы, имеющий глобально третий порядок точности. Такие уравнения возникают в задаче восстановления компонент скорости ветра из завихренности и дивергенции, а также при решении системы уравнений для инерционно-гравитационных волн полунеявным методом по времени.
Созданная в работе двумерная версия модели, основанная на уравнениях мелкой воды, превзошла по точности и эффективности эйлеровы спектральные и конечно-разностные модели.
В модели прогноза погоды впервые применены компактные конечные разности четвертого порядка для описания неадвективных слагаемых уравнений по горизонтали. Все отдельно взятые подходы к реализации нашей модели были известны ранее, новым является их сочетание в рамках трехмерной модели атмосферной циркуляции.
Две известные глобальные полулагранжевы модели с переменным разрешением имеют отличия от предлагаемой. Так, в Канаде для оперативных прогнозов, моделирования регионального климата и окружающей среды с 1997 года используется конечно-элементная полулагранжева модель GEM (глобальная многомасштабная модель окружающей среды) [43], которая позволяет иметь переменное разрешение по долготе и широте, а также возможность поворота по-
люсов сферической системы координат. Однако для решения системы линейных уравнений, возникающих при применении полу неявной схемы интегрирования по времени, в этом случае приходится использовать сравнительно дорогой алгоритм (из-за зависимости коэффициентов дискретных уравнений от долготы нельзя применить быстрое преобразование Фурье по этой координате).
В Метео-Франс используется глобальная спектральная полу-лагранжева модель ARPEGE/IFS, в которой также применяется повернутая сферическая система координат, а переменное разрешение по широте получено за счет преобразования Шмидта [54]; разрешение по долготе постоянно на каждом круге псевдошироты. К недостаткам такого подхода, в частности, следует отнести невозможность постоянного разрешения по широте в области высокого разрешения из-за ограничений, налагаемых преобразованием Шмидта [44]. Потенциальные ограничения на увеличение разрешения накладывает и спектральный метод.
Предлагаемый подход позволяет иметь зону постоянного высокого разрешения по широте и вместе с тем использовать эффективный алгоритм решения систем линейных уравнений для полунеявной схемы интегрирования по времени на основе быстрого преобразования Фурье по долготе. Отсутствие переменного разрешения по долготе частично компенсируется возможностью поворота сферической системы координат.
Научная и практическая значимость. Задача улучшения качества прогноза имеет большое практическое значение. Высокая вычислительная эффективность и возможность использования современных параллельных компьютеров в созданной модели позволяют при тех же вычислительных ресурсах повысить разрешение
модели, а значит, и качество прогноза.
Кроме того, наличие эффективной модели требуется и при разработке современных схем анализа данных атмосферных наблюдений, таких как четырехмерное вариационное усвоение и приближенный фильтр Калмана, где необходимо выполнять многократное интегрирование модели. Применение таких систем анализа данных, как свидетельствует мировой опыт, способствует дальнейшему повышению качества прогноза.
Эффективный прямой алгоритм третьего порядка точности для решения уравнений эллиптического типа на сфере с коэффициентами, не зависящими от долготы, представляет интерес не только для моделирования атмосферы, но и для других областей математического моделирования.
Материалы, вошедшие в диссертационную работу, обсуждались на семинарах ИВМ РАН, Гидрометцентра РФ, Национального центра метеорологических исследований (Тулуза, Франция), Университета Эли Картана (факультет математики университета) (Нан-си, Франция). Они докладывались на симпозиуме по высокопроизводительным вычислениям в науках о Земле NATO ASI "High Performance Computing in Geosciences" (Les Houches, France, 1993), международной конференции Advanced Mathematics: Computations and Applications (Новосибирск 1995), 3-й Европейской конференции по вычислительной газовой динамике ECCOMAS-96 (Париж, Франция), симпозиуме "Вычислительная математика в динамике погоды" (Кембридж, Англия, 1996), на 3-й и 4-й двусторонних франко-русских конференциях "Изменчивость и предсказуемость атмосферной и океанической циркуляции" (Нанси, Франция, 1997, Москва 1998), 25-й Ассамблее Европейского геофизического обще-
ства (EGS) (Ницца, Франция 2000), международной конференции "Вычислительная математика и математическое моделирование" (Москва 2000), международной конференции по моделированию, базам данных и информационным системам для атмосферных наук MODAS-2001 (Иркутск), международной конференции по измерениям, моделированию и информационным системам как средствам снижения загрязнений на городском и региональном уровне ENVIROMIS-2002 (Томск), симпозиумах европейской сети в области краткосрочного прогноза погоды (SRNWP) по численным методам (Братислава, Словакия 2001; Тулуза, Франция 2002) и по негидростатическим моделям (Бад-Орб, Германия 2001), международному симпозиуму европейской группы HIRLAM по мезомасштабному моделированию (Дублин, Ирландия 2002), международной конференции по параллельным вычислениям в вычислительной газовой динамике ParCFD03 (Москва, 2003).
Полностью диссертация докладывалась на семинарах Института вычислительной математики РАН и Гидрометцентра РФ. Основные результаты диссертации опубликованы в 8 статьях ([106], [20], [26], [108], [112], [113], [114], [116]) в ведущих зарубежных и отечественных журналах, препринте французского национального исследовательского института по информатике и прикладной математике (INRIA), 5 докладах в трудах международных и российских конференций, 6 расширенных абстрактах группы Всемирной метеорологической организации по численному моделированию (WMO/WGNE), 6 тезисах докладов на международных конференциях.
Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы, содержит 31 рисунок и 7 таблиц. Каждая глава разбита на разделы.
В первой главе рассматриваются трехмерные уравнения гидротермодинамики атмосферы, основные процессы, описываемые этими уравнениями (раздел 1.1), а также эффективные численные методы их решения. Условно эти методы можно разделить на методы решения уравнения переноса (адвекции) и методы дискретизации неадвективных слагаемых уравнений гидротермодинамики атмосферы.
В разделе 1.2 для уравнения адвекции рассматривается по-лулагранжев метод (обратный метод характеристик), имеющий четвертый порядок аппроксимации в случае достаточно гладких течений. Приводятся сравнение его свойств с различными эйлеровыми конечно-разностными и конечно-объемными методами на основе одномерных тестов, а также двумерных тестов на сфере, принятых в метеорологических приложениях.
В разделе 1.3 рассмотрено решение задачи о восстановлении компонент скорости ветра из завихренности и дивергенции на несмещенной по пространству сетке. Изложены аппроксимации основных дифференциальных операторов на сфере с помощью компактных схем четвертого порядка. Эти аппроксимации затем применяются для решения уравнений эллиптического типа на сфере, возникающих в задаче восстановления компонент скорости ветра из завихренности и дивергенции, а также при решении системы уравнений для инерционно-гравитационных волн полунеявным методом. Предложено эффективное обобщение известного прямого гибридного метода с использованием быстрого преобразования Фурье по долготе. Такой метод имеет третий порядок сходимости, что показано с помощью тестовых расчетов.
В разделе 1.4 излагается алгоритм решения уравнения гори-
зонтальной диффузии четвертого порядка на сфере на основе неявной по времени схемы интегрирования.
В разделе 1.5 представлено обобщение методов, изложенных в предшествующих разделах, на случай переменного разрешения по широте.
Во второй главе рассматриваются приложения описанных в первом разделе методов к решению уравнений мелкой воды на сфере. В разделе 2.1 рассмотрена формулировка уравнений с использованием вертикальной компоненты абсолютного вихря в качестве прогностической переменной на несмещенной сетке. Дискретизация модели представлена в разделе 2.2.
В разделе 2.3 описываются результаты стандартного набора тестов для уравнений мелкой воды на сфере. Показано, что двумерная версия модели имеет точность, превосходящую точность эйлеровой спектральной модели, при этом вычислительная эффективность нашей модели в несколько раз выше. В разделе 2.4 приведена модификация формулировки алгоритма горизонтальной диффузии, обеспечивающая зависимость эффективного коэффициента диффузии от локального разрешения модели. В этом же разделе приводятся результаты стандартных тестов из раздела 2.3 для версии модели с переменным разрешением по широте. В заключительном разделе 2.5 оценивается вычислительная эффективность данной модели.
В третьей главе описывается обобщение формулировки двумерной модели и применяемых для ее решения численных методов на случай трехмерной модели общей циркуляции атмосферы, в том числе в версии с переменным разрешением по широте. Последовательно излагаются формулировка трехмерной модели, ее дискретизация по пространству и времени (раздел 3.1).
В разделе 3.2 описывается проверка динамического блока модели с помощью интегрирования на срок 3,5 года в рамках теста с упрощенным аналитическим внешним воздействием. В разделе 3.3 представлена реализация поворотов полюсов сферической системы координат в модели. Кратко описаны используемые параметризации процессов подсеточного масштаба, взятые из французской модели ARPEGE/IFS (раздел 3.4).
В четвертой главе представлены результаты тестирования модели с помощью численных среднесрочных и краткосрочных прогнозов. В разделе 4.1 модель проверялась на пятидневных прогнозах по начальным данным анализов ЕЦСПП за 1996 год при различных разрешениях.
В разделе 4.2 представлено краткое описание системы усвоения данных наблюдений, использованной в экспериментах и разработанной в соавторстве с М.Д.Цырульниковым, А.Н.Багровым, Р.Б.Зариповым. Основой разработанной системы усвоения данных (СУД) служат полулагранжева прогностическая модель, представленная в Главе 3, и схема анализа данных наблюдений Гидрометцентра РФ (авторы - А.Н.Багров, М.Д.Цырульников, Е.В.Локтионова), использующая метод оптимальной интерполяции. Реализована стандартная схема последовательного усвоения "анализ-прогноз" с циклом усвоения 6 час. В разделе 4.3 кратко описаны блоки модели, необходимые для ее работы в составе системы усвоения - инициализация и постпроцессинг.
В разделе 4.4 представлены результаты испытания системы усвоения данных. Разработанная СУД (в режиме с постоянным разрешением) продемонстрировала устойчивую работу при ее тестировании на месячном архиве наблюдений за февраль 2000г. Оценки
качества функционирования СУД (точности шестичасового прогноза, используемого как первое приближение при анализе, а также точности трехсуточных прогнозов) свидетельствуют об эффективности и точности применённых подходов.
В разделе 4.5 показано, что версия модели с переменным разрешением по широте улучшает качество прогноза по России на срок до 3,5 суток по сравнению с версией с постоянным разрешением.
В пятой главе описана параллельная реализация программного комплекса трехмерной модели на основе интерфейса передачи сообщений MPI (раздел 5.1) и приведены результаты параллельных расчетов на различных вычислительных системах (раздел 5.2).
В заключении приведены основные результаты диссертационной работы.
Автор глубоко благодарен своим учителям, академику В.П.Дымникову и чл.-корр. РАН В.Н.Лыкосову за постоянное внимание и поддержку. Автор благодарит Ж.-Ф. Желейна (МетеоФранс), который вдохновил автора и оказал поддержку в создании модели, а также любезно предоставил возможность использования разработанных в Метео-Франс параметризаций процессов подсеточ-ного масштаба. Автор выражает огромную благодарность своим коллегам и соавторам из Гидрометцентра РФ М.Д. Цырульнико-ву, Р.Б.Зарипову, А.Н.Багрову.
Проведенные исследования были поддержаны Российским фондом фундаментальных исследований (проекты 98-05-64209, 01-05-64582), Франко-Русским центром по прикладной математике и информатике им А.М.Ляпунова (проект 02-05), грантом 5го конкурса-экспертизы Комиссии по поддержке молодых ученых РАН 1997 г., а также, частично, проектами ИНТАС 96-2074 и 01-0783.
Методы решения уравнения переноса (адвекции)
Рассмотрим требования, предъявляемые к численным методам моделирования процессов переноса (адвекции), которые вытекают из свойств уравнений гидротермодинамики атмосферы и их решений. В работе [117] были сформулированы требования, которым должен удовлетворять численный метод, предназначенный для моделирования переноса влаги в атмосфере. Среди этих требований транспор-тивность, локальность, консервативность, сохранение формы сигнала и вычислительная эффективность. Транспортивность означает, что возмущение решения может распространяться только в направлении переносящего потока, как это происходит в дифференциальной постановке. Локальность подразумевает, что решение в любой точке области не зависит от значений поля вдалеке от нее. Сохранение формы сигнала значит, что при переносе в бездивергентном потоке форма начального распределения должна сохраняться. Это свойство тесно связано с дисперсионной ошибкой и погрешностью аппроксимации численного метода. Отсутствие этого свойства ведет к появлению ложных экстремумов решения.
В последнее время большинство спектральных и конечно-разностных моделей численного прогноза погоды применяют сеточный полулагранжев метод для описания адвекции [98]. Фактически, для полулагранжевых моделей разница между спектральной и конечно-разностной моделью теперь состоит в дискретизации гори зонтальных производных в неадвективных слагаемых уравнений и в методе решения эллиптических уравнений, возникающих в полунеявной схеме интегрирования по времени.
Современные полулагранжевы схемы устраняют ограничение величины шага по времени условием Куранта, особенно жестким вблизи полюсов вследствие сходимости меридианов. На практике, шаг по времени в полулагранжевых моделях атмосферы может быть в 3-5 раз больше, чем в эйлеровых моделях. Такое повышение шага по времени не нарушает аппроксимации, так как ограничение по числу Куранта в атмосфере проявляется в основном при расчете достаточно гладких струйных течений большой амплитуды в верхней тропосфере. Полулагранжевы схемы, как правило, используют кубическую интерполяцию для нахождения значений функции в исходной точке траектории. При этом ошибка аппроксимации составляет 0((Ax)4/At) (при постоянной скорости ветра) [77].
Полулагранжевы методы точны, абсолютно устойчивы, транс-портивны, локальны, сохраняют форму сигнала, вычислительно эффективны. По сравнению с эйлеровыми конечно-разностными схемами второго порядка, полулагранжев метод дает значительно меньшую фазовую ошибку в решении, а по сравнению со спектральным методом, позволяет избежать эффекта Гиббса. Сущность этих схем состоит в дискретизации уравнения переноса вдоль траекторий, и, таким образом, они являются комбинацией дифференцирования по пространству и времени. Конечные точки траекторий всегда являются точками сетки, в то время как исходные точки чаще всего не совпадают с узлами сетки (в лагранжевом методе система координат связана с движущимися частицами жидкости, что приводит к большим трудностям в практической реализации). Значения пере менных в исходных точках получаются интерполяцией (как правило, кубической) с использованием значений в близлежащих точках сетки.
В предложенной в диссертации модели атмосферной циркуляции для описания адвекции используется именно полулагранжев метод, поэтому представляет интерес сравнение этого метода с известными конечно-разностными и конечно-объемными (эйлеровыми) схемами с помощью стандартных тестов для однородных одно-и двумерных уравнений переноса.
В случае эйлерова метода однородное уравнение переноса на сфере записывается в дивергентном виде какЗдесь q - переносимая величина, D/Dt - полная производная вдоль (двумерной) траектории движения частицы. В свою очередь, исходная точка траектории определяется уравнениемгде г - радиус-вектор точки. Это уравнение обычно решается итерационным методом. Для сходимости достаточно двух итераций [98]. Можно видеть, что полулагранжева форма записи уравнения соответствует уравнению переноса, записанном в адвективном виде.
Рассмотрим одномерное однородное уравнение переноса с постоянной скоростью в периодической области с различными начальными условиями. Для эйлерова метода оно записываетсядля полулагранжева метода это уравнение совпадает с (1.8), но в данном случае траектория одномерна.
Свойства полулагранжева метода для одномерного уравнения переноса сравнивались с различными конечно-разностными эйлеровыми алгоритмами с помощью тестов из работы [40], представляющих собой адвекцию с постоянной скоростью в периодической области при числе Куранта, равным 0,5 и при различных начальных распределениях. Первый тест описывает одномерную адвекцию прямоугольной волны шириной в 10 точек на периодической области размером в 40 точек. Продолжительность расчета составляет 1,25 оборота вокруг области, что соответствует 100 шагам по времени. Второй тест отличается от первого формой начального распределения, которая выбрана треугольной. Третий тест описывает адвекцию гладкого гауссова распределения со стандартным отклонением, равным 0,05, на периодической области размером 80 точек после 5 оборотов вокруг области (800 шагов по времени). Минимум и максимум начального распределения во всех трех случаях составляют 0 и 1 соответственно. Точным решением для всех трех тестов является сдвиг начального распределения на 0,5 шага сетки на каждом шаге по времени.В цитируемой работе изучались форма, минимум и максимум
Дискретизация двумерной модели
Дискретизация по времени основана на двухслойной схеме с экстраполяцией нелинейных слагаемых в уравнениях завихренности и неразрывности на промежуточный уровень по времени п+1/2, а также полунеявной схеме для гравитационных волн, приводящей к уравнению типа Гельмгольца, которое необходимо решать на каждом шаге по времени. Дискретизация такого типа подробно описана, например, в [30].Уравнение абсолютного вихря дискретизируется по времени следующим образом: (2.2) Здесь и далее ( )n+1 - значение слагаемого в конечной точке траектории на новом шаге по времени п + 1, ( )" - значение на текущем шаге по времени п в соответствующей исходной точке траектории. Дискретное уравнение для дивергенции записываетсяв случае, когда полюса географической и вычислительной сеток совпадают, i? и R+ - известные величины из уравнений для скорости на п-м шаге по времени, проинтеполированные в исходную точку:а\ и OL2 описывают изменение ориентации вектора в исходной точке траектории, видимое в конечной точке [30].
Можно заметить, что при использовании разностных схем высокого порядка на несмещенной сетке ротор от дискретных аналогов уравнений (2.1) не может быть согласован с уравнением (2.2). Действительно, в этом случае очень трудно добиться точного уничтожения смешанных производных по Ф.Наконец, уравнение неразрывности дискретизируется какЗдесь Ф = Ф — Ф, Ф - средняя высота (глубина) жидкости.
Значения на промежуточном уровне по времени п + 1/2 для некоторой функции р получаются экстраполяцией рп+1/2 = 3/2рп — 1/2рп 1. Такая же экстраполяция используется для компонент скорости в момент времени п + 1/2, необходимых для нахождения исходных точек траекторий. Линейные слагаемые уравнений осред-нены вдоль полулагранжевой траектории, а нелинейные слагаемые осредняются между исходной и конечной точками траектории на уровне по времени п + 1/2. Заметим, что такая экстраполяция при определенных обстоятельствах может быть неустойчивой. Неустойчивость была обнаружена при использовании такой экстраполяции для вертикальной компоненты скорости в трехмерных моделях с высоким разрешением [57]. Однако на практике такая неустойчивость не встречается в двумерных моделях на сфере. Анализ устойчивости различных двухслойных полулагранжевых схем интегрирования по времени приведен в [78]. В трехмерной версии предусмотрена возможность использования более устойчивой схемы с экстраполя цией вдоль траектории [63].
В модели мелкой воды на сфере, основанной на уравнении потенциального вихря [32] для предотвращения неустойчивости было необходимо применять линеаризованное представление параметра Кориолиса в уравнении вихря. В данной модели устойчивость достигается следующим образом: параметр Кориолиса в (2.2) на уровне по времени п не интерполируется, а вычисляется по известной широте исходной точки траектории, как предложено автором в [109]. Это требует дополнительной интерполяции для величины (1 — D).
Горизонтальная дискретизация неадвективных слагаемых модели основана на компактных разностях четвертого порядка (1.14-1.16). В полулагранжевой адвекции для интерполяции переносимых величин в исходные точки траекторий применяется кубическая сплайн-интерполяция с приближенным обращением трехдиагональных матриц. Свойства такой интерполяции очень близки к свойствам эрмитовой интерполяции с оценками производных с помощью алгоритма CUD-5, представленной в разделе 1.2, но сплайн-интерполяция оказывается дешевле в реализации. Приближенное обращение матриц облегчает параллельную реализацию трехмерной версии модели. Алгоритм поиска исходных точек траекторий на сфере, имеющий второй порядок точности, соответствует [120]. Как и в других полулагранжевых моделях, для интерполяции значений скорости ветра в средних точках траекторий используется трилинейная интерполяция.
Проверка динамического блока модели при долгопериодном интегрировании
Для тестирования модели, а также для проверки возможности применения созданного динамического блока модели для моделирования климата, было осуществлено ее интегрирование на срок 3,5 года при упрощенном аналитическом внешнем воздействии. Для уравне ния притока тепла задана релаксация температуры к равновесному аналитическому профилю, зависящему от широты и вертикальной координаты равновесной температуры определен как коэффициент релаксации Для уравнений движения задано рэлеевское трение в пограничном слое, зависящее от вертикальной координаты Начальные данные - изотермическая атмосфера в состоянии покоя со слабыми возмущениями во всех полях (для нарушения зональной симметрии). Уравнение для влажности и орография отсутствуют. Этот тест был предложен Хелдом и Суарецом [61]). Существенным моментом является отсутствие какой-либо параметризации вертикального перемешивания статически неустойчивых профилей температуры, что налагает жесткие требования на вычислительную устойчивость динамического блока модели. Горизонтальное разрешение было 2 градуса по долготе и широте, по вертикали - 20 равномерно расположенных (как и в экспериментах Хелда-Суареца) сигма-уровней, шаг по времени - 36 мин. Как и в большинстве климатических моделей, при интегрировании модели на каждом шаге по времени производилась глобальная коррекция поля приземного давления для обеспечения сохранения массы. Для устойчивого счета модели в этом тесте была реализована в виде опции более устойчивая схема, предложенная Хорта-лем и реализованная в прогностической модели Европейского центра среднесрочных прогнозов и Метео-Франс IFS/ARPEGE [63]. В двухслойной полулагранжевой схеме интегрирования экстраполяция компонент скорости ветра и нелинейных слагаемых уравнений в конечных точках траекторий была заменена на экстраполяцию вдоль траекторий в исходных точках и осреднением указанных слагаемых вдоль траекторий. Вопросы устойчивости двухслойных по-лулагранжевых схем были рассмотрены в [78]. После модификации схемы по времени модель была успешно проинтегрирована на срок 3,5 года. Осредненные за последние три года интегрирования поля зонально-осредненных температуры, зональной компоненты вектора горизонтальной скорости, а также зонального спектра вертикально проинтегрированной кинетической энергии по долготе показаны на рис. 3.2. На рис. 3.3 приведены зонально-осредненные вторые моменты и v , V T И ТТ. Результаты расчетов показывают близость характеристик модельного климата к опубликованным результатам [61] для эйлеровых спектральной и конечно-разностной моделей. Таким образом, модель может быть применена для моделирования климата. Эти эксперименты были повторены с использованием относительной энтропии в качестве прогностической переменной модели. Ока залось, что результаты моделирования практически не изменились, но использование относительной энтропии требует больших вычислительных затрат.
Одной из необходимых компонент модели атмосферы с локально высоким горизонтальным разрешением в заданном регионе является реализация поворота полюсов сферической системы координат. Для этого изменена полунеявная схема интегрирования по времени - вместо слагаемого Кориолиса в неявной части схемы применена т.н. "неявная адвективная" формулировка этого слагаемого - см. уравнения (3.2). (В полулагранжевых моделях на основе двухслойной схемы по времени слагаемое Кориолиса должно интегрироваться неявно по соображениям устойчивости [59]. В случае обычной (не повернутой) сетки данная модификация практически не влияет на точность прогноза.
Динамический блок модели с повернутыми полюсами сферической системы координат был проинтегрирован на срок один год в рамках теста, предложенного в [61], с искусственным аналитическим внешним воздействием без орографии. Северный полюс расчетной системы координат был помещен над Европейской территорией России в точку с координатами 38 градусов в.д., 60 градусов с.ш. Осред-ненные за последние 6 месяцев интегрирования характеристики зонально осредненных полей и их изменчивости (приведенные к географической сетке) близки к характеристикам модели с "обычной" сеткой. Это объясняется тем, что в данном тесте моделируется сравнительно крупномасштабная атмосферная циркуляция (зональные
Система усвоения данных на основе модели
Стандартным средством восстановления четырехмерных прост ранственно-временных метеорологических полей по данным наблю дений являются схемы циклического усвоения "анализ-прогноз". В таких схемах на шаге анализа усваиваются как текущие наблюдения (непосредственно, с помощью оптимальной интерполяции (ОИ) или других методов), так и прошлые наблюдения (опосредованно, через т.н. первое приближение - поля численного прогноза, стартовавшего с анализа на предыдущем цикле усвоения).
Основой разработанной системы усвоения данных (СУД) служат полулагранжева прогностическая модель, представленная в Главе 3, и схема анализа данных наблюдений Гидрометцентра РФ, основанная на методе ОИ (авторы - А.Н.Багров, М.Д.Цырульников, Е.В.Локтионова) [2], [3], [4]. Реализована стандартная схема последовательного усвоения "анализ-прогноз" с циклом усвоения 6 час. Отличительной особенностью предлагаемой СУД является последовательное усвоение различных типов наблюдений, а также реализация усвоения данных наблюдений в свободной атмосфере с использованием инкрементного подхода (предложены М.Д.Цырульниковым).
Необходимость процедуры последовательного усвоения в применяемой схеме анализа (оптимальная интерполяция) вызвана следующими соображениями.
Трехмерное усвоение приземных наблюдений в локальной схеме оптимальной интерполяции наталкивается на ряд трудностей. Во-первых, приземные данные весьма многочисленны по сравнению с аэрологическими. Поэтому требуется специальная процедура "прореживания" или формирования "супернаблюдений". В противном случае ковариационная матрица может стать плохо обусловленной, что приведет к потере точности анализа. Во-вторых, поле ошибок давления на уровне моря имеет весьма дальние по вертикали корреляции. В локальной же схеме мы не можем учесть такие корреляции и, как следствие, теряем в точности.
В общем случае пересчет ковариационной структуры поля ошибок после каждого шага усвоения является высокозатратной процедурой. Однако для вышеупомянутых пространственно густых приземных наблюдений данная процедура может быть упрощена. Можно показать [26], что для оптимального усвоения наблюдений на следующих шагах анализа не нужно явно вычислять ковариационную матрицу ошибок анализа на предыдущем шаге, а достаточно лишь пересчитать (переопределить) параметры ковариационной модели поля ошибок первого приближения. В данной системе это происходит после усвоения наблюдений приземного давления.
Анализ состоит из нескольких последовательно выполняемых "частных" анализов, причём изменения прогностического первого приближения накапливаются от одного анализа к следующему. Перечень и последовательность анализов таковы: А1 - Анализ давления на уровне модельной орографии; А2 - Анализ температуры воздуха по приземным/приводным наблюдениям; A3 - Анализ температуры подстилающей поверхности; А4 - Анализ влажности по приземным/приводным данным -аналогично анализу А2 выше; А5 - Анализ влагозапаса в снеге; Аб - Анализ (совместный, трехмерный) геопотенциала и ветра на трехмерной сетке анализа (в настоящее время 2,5 градуса по долготе и широте); А7 - Анализ трехмерного поля влажности на сетке анализа.
Анализы А1-А5 производятся непосредственно в узлах модельной сетки. Анализы А6-А7 выполняются на сетке анализа (регулярная широтно-долготная сетка) с последующей переинтерполяцией инкрементов (отклонений "анализ минус первое приближение" на
