Содержание к диссертации
Введение
1 Литературный обзор 8
1.1 Математическое моделирование сложных реакций 8
1.2 Постановка обратных задач химической кинетики. Задача минимизации критерия
1.3 Алгоритмы численного решения. Методы минимизации функционалов при решении обратной кинетической задачи
1.4 Интервальный подход при решении кинетических задач 27
2 Интервалы неопределенности в обратных задачах химической кинетики
2.1 Двойственная задача 31
2.2 Неоднозначность решения 34
2.3 Задача определения интервалов по Канторовичу 36
2.4 Метод расчета областей 3 8
3 Применение параллельных вычислений для нахождения областей неопределенности кинетических параметров
3.1 Проблематика параллельных вычислений 42
3.2. Схема распараллеливания 45
3.3 Структура базы данных 47
3.4. Расчет ускорения и эффективности параллельной программы 51
4 Вычислительный эксперимент для реакции гидроалюминирования олефинов
4.1 Кинетическая модель частных реакций гидроалюминирования олефинов
4.2 Дифференциальные уравнения на графах 63
4.3 Графы реакции 69
4.4 Численное определение констант 72
4.5 Расчет интервалов и областей неопределенности 77
4.6 Кинетический анализ схем 84
4.7 Анализ эффективности программы 91
Заключение 93
Литература
- Алгоритмы численного решения. Методы минимизации функционалов при решении обратной кинетической задачи
- Неоднозначность решения
- Схема распараллеливания
- Расчет интервалов и областей неопределенности
Введение к работе
Актуальность проблемы
Исследование механизма сложной химической реакции, математическое моделирование каталитического процесса, определение условий его промышленной реализации требуют детального исследования кинетики рассматриваемой реакции. Построение и анализ кинетической модели есть один из этапов идентификации механизма сложной химической реакции. Кинетическая модель включает стадийную схему реакции, уравнения скорости каждой элементарной стадии, зависимости кинетических параметров от температуры, численные значения параметров.
Кинетическая модель является основой математического моделирования химических реакций. Чтобы построить любую модель, необходимо знать её основные элементы, основные законы, которые модель должна отразить, алгоритм построения. Таким образом, для построения кинетической модели нужно знать химические вещества и элементарные стадии, которые являются ее основными элементами, основным законом является закон действующих масс, а алгоритмом построения - методы вывода кинетических уравнений и методы поиска кинетических констант.
Задача численного определения параметров кинетических моделей относится к классу обратных задач идентификации механизмов сложных химических реакций, основная сложность которых - недостаточная информативность измерений. Гипотетические схемы о механизмах реакций включают большое количество веществ и реакций между ними. Математическое описание реакций представляет собой систему дифференциальных уравнений, число неизвестных которой равно числу участвующих в реакции веществ. В то же время непосредственному измерению доступна только часть из этих веществ, поэтому возникает обратная задача определения параметров системы дифференциальных уравнений (констант скоростей химических реакций), воспроизводящих часть ее решений. Следствием недостаточной информативности может стать неединственность решения обратной задачи.
Кинетические измерения задаются внутри некоторого интервала точности, определяемого величиной погрешности измерений. Решением обратной задачи определения кинетических параметров становится некоторая область, вариация кинетических констант внутри которой сохраняет требуемое качество описания измерений.
Классическая постановка задачи математической обработки эксперимента решает эту задачу методом максимального правдоподобия и путем определения статистических доверительных интервалов. В этом случае необходимо знание статистического закона распределения погрешности измерений, которое для реальных систем, как правило,
отсутствует.
Другая постановка расчета области неопределенности констант была сделана Л. В. Канторовичем. Она не требует знания информации о статистических свойствах распределения погрешности измерений. Необходимо только знание величины предельно допустимой погрешности эксперимента. Такая информация, как правило, присутствует у экспериментатора.
Целью представленной работы является развитие методов определения областей по кинетическим константам, каждая точка внутри которых описывает измерения в пределах их вариации, допускаемой величиной предельно допустимой погрешности.
Задачи исследования:
определение кинетических параметров реакции, минимизирующих критерий соответствия расчета эксперименту;
постановка проблемы расчета областей неопределенности решения обратных задач химической кинетики;
разработка методов и алгоритмов нахождения областей неопределенности пространства кинетических параметров с использованием многопроцессорных технологий;
создание пакета прикладных программ, реализующих разработанные алгоритмы;
проведение вычислительного эксперимента и расчет областей неопределенности для реакции гидроалюминирования олефинов.
Научная новизна работы:
Сформулирована задача нахождения областей неопределенности решения обратных задач химической кинетики.
Разработан метод и алгоритм нахождения областей и интервалов неопределенности.
Создан комплекс программ для расчета областей с использованием многопроцессорных вычислений.
Проведен вычислительный эксперимент для реакции гидроалюминирования олефинов, на основе которого определены области параметров для реакции гидроалюминирования олефинов под действием АЮи'з, СІАЮи^, НАЮи'2 при условии вариации измерений в пределах их погрешности. Проведен анализ взаимного соответствия различных частных кинетических схем реакции, выделены кинетические схемы с минимальным числом стадий, описывающие заданные массивы измерений.
Практическая значимость работы
Разработанный программный комплекс обладает дружественным интерфейсом и высоким уровнем сервиса, позволяющим использовать его непосредственно конечному пользователю, т.е. химику-экспериментатору. Программный продукт используется для расчета областей неопределенности кинетических параметров реакций металлокомплексного катализа, внедрен в практику работы экспериментальных лабораторий Учреждения Российской академии наук «Институт нефтехимии и катализа РАН» (ИНК РАН), применяется для построения кинетических моделей сложных каталитических реакций, в том числе промышленно значимых. Разработанный программный продукт используется при чтении курса «Информационно-аналитическая система обратных задач химической кинетики» на кафедре математического моделирования ГОУ ВПО «Башкирский государственный университет» (БашГУ).
Апробация работы
Результаты диссертационной работы доложены на следующих конференциях и семинарах:
Всероссийская научно - практическая конференция «Обратные задачи в приложениях» (г. Бирск, 19 - 20 июня 2008г.).
Всероссийская молодежная конференция по квантовой и математической химии (г. Уфа, 6-9 октября 2008г.).
Международная научная конференция «Параллельные вычислительные технологии 2009» (г. Нижний Новгород, 30 марта - 3 апреля 2009г.).
Международная научная конференция «Параллельные вычислительные технологии 2010» (г. Уфа, 29 марта - 2 апреля 2010г.).
Научные семинары лаборатории математической химии ИНК РАН, математического и химического факультетов БашГУ.
Публикации
По результатам работы опубликовано 3 статьи в журналах, рекомендованных ВАК для опубликования результатов диссертаций, и 5 работ в сборниках трудов Международных и Всероссийских научных конференций.
Структура и объем диссертации
Материал диссертационной работы изложен на 103 страницах машинописного текста. Состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы (102 наименования), содержит 6 таблиц и 33 рисунка.
Алгоритмы численного решения. Методы минимизации функционалов при решении обратной кинетической задачи
Исследование механизма сложной химической реакции, математическое моделирование каталитического процесса, определение условий его промышленной реализации требуют детального исследования кинетики рассматриваемой реакции. Построение и анализ кинетической модели есть один из этапов идентификации механизма сложной химической реакции. Кинетическая модель включает стадийную схему реакции, уравнения скорости каждой элементарной стадии, зависимости кинетических параметров от температуры, численные значения параметров.
Кинетическая модель является основой математического моделирования химических реакций. Чтобы построить любую модель, необходимо знать её основные элементы, основные законы, которые модель должна отразить, алгоритм построения. Таким образом, для построения кинетической модели нужно знать химические вещества и элементарные стадии, которые являются ее основными элементами, основным законом является закон действующих масс, а алгоритмом построения — методы вывода кинетических уравнений и методы поиска кинетических констант.
Задача численного определения параметров кинетических моделей относится к классу обратных задач идентификации механизмов сложных химических реакций, основная сложность которых — недостаточная информативность измерений. Гипотетические схемы о механизмах реакций включают большое количество веществ и реакций между ними. Математическое описание реакций представляет собой систему дифференциальных уравнений, число неизвестных которой равно числу участвующих в реакции веществ. В то же время непосредственному измерению доступна только часть из этих веществ, поэтому возникает обратная задача определения параметров системы дифференциальных уравнений (констант скоростей химических реакций), воспроизводящих часть ее решений. Следствием недостаточной информативности может стать неединственность решения обратной задачи.
Кинетические измерения задаются внутри некоторого интервала точности, определяемого величиной погрешности измерений. Решением обратной задачи определения кинетических параметров становится некоторая область, вариация кинетических констант внутри которой сохраняет требуемое качество описания измерений.
Классическая постановка задачи математической обработки эксперимента решает эту задачу методом максимального правдоподобия и путем определения статистических доверительных интервалов. В этом случае необходимо знание статистического закона распределения погрешности измерений, которое для реальных систем, как правило, отсутствует.
Другая постановка расчета области неопределенности констант была сделана Л. В. Канторовичем. Она не требует знания информации о статистических свойствах распределения погрешности измерений. Необходимо только знание величины предельно допустимой погрешности эксперимента. Такая информация, как правило, присутствует у экспериментатора.
Целью представленной работы является развитие методов определения областей по кинетическим константам, каждая точка внутри которых описывает измерения в пределах их вариации, допускаемой величиной предельно допустимой погрешности.
Задачи исследования: - определение кинетических параметров реакции, минимизирующих критерий соответствия расчета эксперименту; - постановка проблемы расчета областей неопределенности решения обратных задач химической кинетики; - разработка методов и алгоритмов нахождения областей неопределенности пространства кинетических параметров с использованием многопроцессорных технологий; - создание пакета прикладных программ, реализующих разработанные алгоритмы; - проведение вычислительного эксперимента и расчет областей неопределенности для реакции гидроалюминирования олефинов. Научная новизна работы: 1. Сформулирована задача нахождения областей неопределенности решения обратных задач химической кинетики. 2. Разработан метод и алгоритм нахождения областей и интервалов неопределенности. 3. Создан комплекс программ для расчета областей с использованием многопроцессорных вычислений. 4. Проведен вычислительный эксперимент для реакции гидроалюминирования олефинов, на основе которого определены области параметров для реакции гидроалюминирования олефинов под действием АІВії з, СІАІВи г, НА1Ви 2 при условии вариации измерений в пределах их погрешности. Проведен анализ взаимного соответствия различных частных кинетических схем реакции, выделены кинетические схемы с минимальным числом стадий, описывающие заданные массивы измерений.
Практическая значимость работы.
Разработанный программный комплекс обладает дружественным интерфейсом и высоким уровнем сервиса, позволяющим использовать его непосредственно конечному пользователю, т.е. химику-экспериментатору. Программный продукт используется для расчета областей неопределенности кинетических параметров реакций металлокомплексного катализа, внедрен в практику работы экспериментальных лабораторий Учреждения Российской академии наук «Институт нефтехимии и катализа РАН» (ИНК РАН), применяется для построения кинетических моделей сложных каталитических реакций, в том числе промышленно значимых. Разработанный программный продукт используется при чтении курса «Информационно-аналитическая система обратных задач химической кинетики» на кафедре математического моделирования ГОУ ВПО «Башкирский государственный университет» (БашГУ).
Неоднозначность решения
Развитие интервального анализа состоялось в XX веке, причём оно оказалось тесно связанным с развитием и распространением практических вычислений. А оформление интервального анализа в самостоятельную научную дисциплину вообще стало возможным лишь с появлением ЭВМ.
В 1951 году П. Двайер [36] в США рассматривал специальный случай замкнутых интервалов (числовые диапазоны) в связи с необходимостью учёта погрешностей в численном анализе. В [37] впервые были использованы и современные термины «интервал», «интервальный». Кроме того, Т. Сунага заложил основы интервального алгебраического формализма и дал весьма нетривиальные примеры применений новой техники, в частности, в численном решении алгебраических уравнений и задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений [38].
Первой монографией по интервальному анализу была вышедшая в 1966 году книга Р.Е. Мура, которая во многом способствовала становлению этого направления [39].
В России «интервальную» историю можно отсчитывать с 20-х годов прошлого века, и связана она с именем видного советского математика В.М. Брадиса. Ему принадлежит так называемый метод границ - способ организации вычислений, приводящий к достоверным двусторонним границам точного значения вычисляемого результата, фактически аналогичный интервальной арифметике [40]. В докомпьютерную эпоху «метод границ» имел мало шансов на широкое воплощение в вычислительной практике, так как требовал увеличения числа производимых операций и строгого их выполнения. В 1962 году в одном из первых выпусков «Сибирского математического журнала» появилась статья Леонида Витальевича Канторовича [41], обозначившего эту тематику как приоритетную для отечественной вычислительной науки. Она написана чрезвычайно ясно и чётко, будучи кратким конспектом лекций, прочитанных автором. В этой статье акцент в приложениях нового подхода делается как на повышении точности и надёжности численных алгоритмов, так и на перспективах развития аппарата для оперирования с ограниченными неопределённостями.
В последние двадцать лет продолжается интенсивная разработка алгоритмов интервальных вычислений и их реализация на компьютерах (включая пакеты программ для решения различных задач). Понимание теории и использование подходящих языков программирования становится необходимым средством современных надежных научных вычислений.
Задачи с интервальными неопределённостями и неоднозначностями являются важнейшей сферой приложений интервального анализа, а само интервальное описание неопределённости - одним из наиболее популярных, наряду с нечётким (размытым) и вероятностным (стохастическим) описаниями. Большое разнообразие постановок задач с интервалами на входе доставляет идентификация в условиях неопределённости, когда данные об объекте, получаемые в результате измерений, либо каким-нибудь другим способом, не известны точно, но нам всё равно требуется найти или как-то оценить параметры объекта. Вплоть до конца прошлого века модели неопределённости, используемые при оценке параметров, имели, главным образом, стохастический или вероятностный характер, основываясь на известных распределениях рассматриваемых величин и т.п. Но во многих практических ситуациях недостаточно информации для того, чтобы считать неопределённые факторы подчиняющимися какой-либо вероятностной модели (к примеру, отсутствует статистическая однородность результатов испытаний), либо эти факторы могут не удовлетворять тем или иным (часто весьма обременительным) условиям, которые на них налагает вероятностная модель неопределённости. Таковыми являются требования независимости исходных величин или специальный вид их распределений и т.п. В настоящее время интервальное представление факторов неопределённости привлекает всё большее внимание инженеров, как наименее ограничительное и наиболее адекватное многим практическим постановкам задач [42].
На темы интервальной кинетики химических реакций был опубликован ряд работ [43-51].
В качестве одной из вычислительных методик функционирования интервальных моделей рассмотрена методика взвешенного эллипсоида неопределенности (ВЭН) [52]. Методика ВЭН с достаточной степенью точности описывает экспериментальные данные и позволяет одновременно оценивать несколько кинетических характеристик химической реакции (в нашем случае это начальная концентрация реагента и сумма констант скорости обратимого процесса). Последнее является очень важной и на практике мало и трудно решаемой задачей (например, для целей кинетических методов анализа).
В работе [53] находят все возможные значения кинетических параметров, совместимые с «воротами» замеров, т. е. такие, которые обеспечивали бы при численном моделировании системы дифференциальных уравнений прохождение смоделированных концентраций через все ворота замеров. Соответствующее множество называют множеством совместных коэффициентов ("set membership uncertainty" [54]) или, по-другому, информационным множеством.
В [46] был рассмотрен вопрос использования метода центра неопределенности (МЦН) для решения задач химической кинетики. Значительная часть работ В.А. Суханова с соавторами [48, 55] посвящена аппроксимации множества неопределенности эллипсоидом и, в том числе, разработке рекуррентных алгоритмов построения эллипсоида. Однако, в работах [56, 57] была показана нецелесообразность применения метода МЦН для обработки экспериментальных данных по ряду причин.
В основу метода, предлагаемого в работах О.Е. Родионовой и А.Е. Померанцева [58] под названием «простые интервальные вычисления» (simple interval calculation, SIC), положен способ построения интервального прогноза линейной зависимости. Простые интервальные вычисления предлагается использовать для решения задачи калибровки многофакторной линейной модели и прогнозирования выходной переменной по новым измерениям совместно с проекционными методами многофакторного анализа такими, как регрессия на главные компоненты, регрессия на латентные структуры и т.п. [59, 60].
Кроме того, в работах О.Е. Родионовой и А.Е. Померанцева поднимается вопрос о выборе верхней границы ошибок наблюдений єтах при отсутствии информации о ней и предлагается несколько эмпирических правил выбора етах, основанных на разного рода показателях качества предсказания (ширина прогнозного интервала, соотношение предсказанного интервала и интервала, соответствующего тестовым калибровочным образцам и т.п.).
Схема распараллеливания
На протяжении многих лет неопределенность, присущая исходным данным, описывалась с помощью задания статистических характеристик ошибок измерений. Однако проверка таких предположений и учёт влияния неопределенностей исходных данных на конечные результаты оставались невозможными из-за отсутствия данных о погрешностях и их распределениях.
При анализе данных стандартным допущением является принцип нормального распределения погрешности [61]. Это предположение неоднократно подвергалось критике. Обычно погрешность измерения скорее ограничена, чем нормальна, что показывают многочисленные исследования [62,63].
При обработке кинетических измерений применяется метод выравнивания по Чебышеву [64], где в качестве критерия используется функция (1.32). В этом методе из всей экспериментальной информации выбирается только (п+1) точка, где п — число определяемых параметров. Этот массив образует систему, решение которой наилучшее в чебышевском смысле оценки параметров. Таким образом, критерий основан на физически ясной идее: описать экспериментальные данные таким образом, чтобы была обеспечена равномерная точность описания по всей исследуемой области.
Задача чебышевского выравнивания в случае линейной зависимости системы (1.28) (зависимость от с произвольная) эквивалентна следующей задаче линейного программирования [65]:
Из свойств задач линейного программирования вытекает возможность дополнения системы ограничений (2.1) системой любых линейных ограничений на исходные параметры, например ограничения типа: ах кх рх...ап кп рп. (2.2)
Из физических соображений такие ограничения часто бывают известны, и их использование уменьшает неопределенность решаемых задач.
Определение погрешности параметров и ее связи с величиной погрешности измерений возможно путем оценки влияния отдельных измерений на значения параметров и минимум критерия, которая может быть получена с помощью аппарата сопряженных задач [66, 67]. Оценки значимости должны быть: 1) объективно обусловлены измерениями; 2) устойчивы при малых колебаниях измеряемых величин (в пределах погрешности измерений).
В теории линейного программирования сопряженными являются двойственные задачи. Двойственные задачи были введены Л. В. Канторовичем при создании линейного программирования, их анализ составляет основное содержание математической экономики [68]. Именно Л.В. Канторовичу принадлежит идея применения линейного программирования при математической обработке измерений.
Выпишем по известной в линейном программировании методике двойственную задачу к задаче, возникающей при определении параметров методом выравнивания по Чебышеву: определить вектор оценок
При решении двойственной задачи не используется дополнительная информация по сравнению с прямой задачей, то есть двойственные оценки обусловлены только измерениями. Из первой теоремы двойственности [69] следует, что если (k ;X;u ;v ) — решения прямой и двойственной задачи, то: Обозначим Z = и] - v . Физический смысл величины Z - это скорость изменения Я при изменениях каждой в отдельности компоненты W,. Величины Z] характеризуют изменения Л, при малых колебаниях w, и являются оценками значимости каждого отдельного измерения при определении параметров. Из теории двойственности [70] следует, что малые колебания w, не меняют решений двойственной задачи. Опыт применения чебышевского критерия для решения кинетических задач [71-74] показывает, что с этой точки зрения обычная для каталитических реакций погрешность «10-15% мала, т.е колебания измерений в ее пределах не меняют решений двойственной задачи. Следовательно, согласно второй теореме двойственности, сохраняется подсистема из («+7)-ого измерения, определяющая чебышевские оценки параметров. Устойчивость решений двойственной задачи делает понятной малую чувствительность чебышевского решения к колебаниям измерений в пределах погрешности. Она нарушается, если среди измерений есть выпадающие, содержащие грубую ошибку. Это дает возможность обнаружения выпадающих измерений и выбора условий эксперимента для их проверки [73]. 2.2 Неоднозначность решения
Допустим, мы нашли параметры, соответствующие минимуму критерия, и они достаточно хорошо описывают измерения. Но для одной модели могут существовать несколько наборов параметров, одинаково хорошо описывающих измерения, которые существенно различаются. Возможно, стоит не искать точечные оценки параметров, а находить области в пространстве параметров, каждая точка внутри которой описывает измерения с заданным уровнем точности. В математической статистике такая задача решается путем введения доверительных интервалов [75]. Заметим, что для нахождения доверительных интервалов необходима информация о виде закона распределения погрешности измерений, которая, как говорилось ранее, в кинетическом эксперименте отсутствует.
Однако область допустимых значений параметров без использования информации о законе распределения ошибки измерений может быть установлена с помощью методов линейного программирования [41].
Расчет интервалов и областей неопределенности
Теперь перейдем от одномерного интервала к многомерной области. Под многомерной областью неопределенности будем понимать множество точек - значений кинетических констант, в каждой из которых при численном моделировании протекания реакции выполняется система неравенств (2.9). Таким образом, каждая точка области неопределенности соответствует единственному набору констант для всех рекций. Решив с данным набором констант прямую кинетическую задачу определения концентраций веществ, находим невязку между рассчитанными концентрациями при моделировании и экспериментальными данными. Эта невязка по определению должна быть меньше допустимой максимальной погрешности ,..
Таким образом, если кинетическая модель реакции включает п кинетических констант, область неопределенност будет и-мерной. Мы ставим перед собой задачу нахождения двумерных проекций области неопределенности на плоскость по парам кинетических констант.
Кинетическая реакция может быть описана системой нелинейных дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями. Неизвестными в задаче являются константы скоростей элементарных реакций ( ,, к2,..., к,).
Задача определения области неопределенности разбивается на две подзадачи.
Первая подзадача. Нахождение хотя бы одного набора констант, удовлетворяющего системе неравенств (2.9).
Для этого необходимо решить задачу минимизации критерия соответствия расчетных и экспериментальных данных (2.8). Результатом решения этой задачи являются значения величин к,к,...,к: соответствующие наилучшему (в некотором смысле) приближению к реальным константам. Если же при подстановке этих констант в систему дифференциальных уравнений и нахождения расчетных значений концентраций компонентов, они не удовлетворяют системе неравенств, то это может означать, что были взяты слишком маленькие значения погрешности г,, либо среди замеров есть один или несколько неверных. Вторая подзадача. Задача нахождения области была поставлена как задача нахождения проекций многомерной области на двумерную плоскость по парам кинетических констант. Таким образом, область представляет собой множество значений пары констант (кх,ку) при фиксированных остальных константах. Для нахождения проекции области неопределенности, каждая точка которой удовлетворяет системе неравенств, используется перебор, организованный следующим образом. После решения первой подзадачи мы имеем набор констант, удовлетворяющий системе неравенств, а, следовательно, принадлежащий искомой области, допустим (к? ,к%,...,к,...,к,...,к). Этот набор будет служить нам начальной точкой поиска. Зафиксируем все константы, кроме кх и ку. Теперь зафиксируем одну из этих двух констант, допустим кх. Найдем интервал неопределенности для константы ку, как это было показано в главе 2.3. Далее, вместо константы кх возьмем константу кх +h, для которой опять определим интервал неопределенности для ку. Продолжим эту процедуру до тех пор, пока не достигнем правой границы области. Затем, для нахождения левой границы, повторяем ту же процедуру, только вместо шага h берем —h. Таким образом, мы получим искомую область неопределенности для пары констант (кх,ку).
Предложенный метод поиска области неопределенности имеет большую вычислительную сложность. В каждой точке области необходимо решать прямую задачу - систему дифференциальных уравнений, после чего проверять совместность системы неравенств. При этом количество таких областей для z кинетических констант будет равно числу сочетаний из z по 2 [79]:
Таким образом, при количестве констант, равному 6, мы будем иметь 15 областей, при 10 константах - уже 45 и т.д. Такой способ нахождения области неопределенности методом перебора по точкам множества кинетических констант, в каждой из которых необходимо решить систему дифференциальных уравнений и проверить совместность системы неравенств, является весьма трудоемкой задачей и требует большого объема вьиислений. Эффективным средством решения таких ресурсоёмких задач является использование технологии параллельных вычислений на распределенных системах кластерного типа.
На пути перехода от персонального компьютера к суперкомпьютеру с параллельной архитектурой имеются определенные трудности, которые, с одной стороны, связаны с выбором конкретной технологии распараллеливания, а с другой - с подбором таких численных методов, которые позволяли бы успешно осуществить распределение данных и вычислений по процессорам. Эффективность параллельной программы зависит от того, как равномерно загружены все процессоры вычислениями и как в ней организован межпроцессорный обмен, который обычно является самой медленной частью алгоритма и может значительно снизить эффект от увеличения числа используемых процессоров.
Одним из факторов эффективного использования высокопроизводительной многопроцессорной вычислительной техники является применение специальных методов математического моделирования. В связи с этим, одной из задач современной науки является развитие технологии математического моделирования, рассматривающей многопроцессорные вычислительные системы как основной аппарат для вычислений [80-82]. Также стоит отметить, что методы моделирования с использованием высокопроизводительных компьютеров часто оказываются единственным способом получения информации об исследуемых явлениях, так как возможности теоретического и экспериментального изучения этих явлений ограничены методическими и техническими трудностями.
