Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Проверка согласованности вискозиметрических данных в методе крутильных колебаний
1Л. Развитие теории крутильно-колебательного вискозиметра 16
1.2. Математическое введение в метод измерения 19
1.3. Особенности восстановления вязкости 29
1.4. Одновременное измерение вязкости и плотности жидкости 36
1.5. Пространственные течения жидкости в вискозиметре 47
ГЛАВА 2. Теория крутильного вискозиметра для неньютоновских жидкостей
2.1. Вискозиметр, заполненный реостабильными жидкостями 54
2.2. Исследование жидкостей с упругостью 66
2.3. Выбор реологической модели и определение ее коэффициентов 79
2.4. Идентификация неньютоновского поведения жидкометаллических систем 90
2.5. Метод вынужденных колебаний 99
ГЛАВА 3. Возможности вибрационного метода для наблюдения и измерения нелинейных свойств жидкостей
3.1. Метод и его математическая формулировка 106
3.2. Особенности движения зонда и жидкости и способы оценки свойств ПО
3.3. Комментарии к традиционной теории метода затухающих колебаний 114
3.4. Оценивание неньютоновских свойств нестационарным методом 125
3.5. Маятниковый вискозиметр 130
ГЛАВА 4. Параметрическая идентификация неньютоновских высокотемпературных жидкостей
4.1. Цели и задачи параметрической идентификации 134
4.2. Постановка задач исследования 137
4.3. Наблюдаемость и идентифицируемость модели по данным эксперимента 139
4.4. Реализация процедуры идентификации 143
4.5. Определение точности и проверка адекватности модели 146
Выводы 151
Библиографический список
- Особенности восстановления вязкости
- Исследование жидкостей с упругостью
- Особенности движения зонда и жидкости и способы оценки свойств
- Наблюдаемость и идентифицируемость модели по данным эксперимента
Особенности восстановления вязкости
При заполнении тигля образцом массой М, во-первых, вследствие увлечения ее движущимися ускоренно стенками цилиндра возрастает эффективный момент инерции подвесной системы и увеличивается период колебаний г: T TQ, а во-вторых, растет скорость затухания колебаний: S SQ, вследствие дополнительной диссипации механической энергии системы, обусловленной вязким трением между подвергаемыми сдвигу слоями жидкости. Часто она ставится более узко: при известной из других экспериментов плотности требуется спрогнозировать значение вязкости. Обратная задача заключается Определение параметров жидкости при измеренных характеристиках установки и колебаний представляет собой прямую задачу вискозиметрии. в определении закона колебаний а = a(t), т.е. зависимости от времени / углового смещения а цилиндра из положения равновесия.
При разработке вискозиметрической теории необходимо построить связи между наблюдаемыми в эксперименте и оцениваемыми параметрами, включая вычислительное сопровождение обработки данных, позволяющее рационально выполнять оценку. В настоящем случае соотношения устанавливаются на основе закона колебаний тигля исходя из решения системы дифференциальных уравнений, описывающих основные законы переноса. Но даже при наличии точного решения можно получить некорректные значения свойств жидкости, обусловленные сильным влиянием ошибок в данных эксперимента, и поэтому развитые методы необходимо скорректировать с учетом аппарата теории чувствительности. Построение моделей высокотемпературных вискозиметрических экспериментов из фундаментальных законов сохранения и прочие сопряженные вопросы приведены в прил. 1.
Математическую модель эксперимента в цилиндрической системе координат представим в виде: 1) уравнение движения цилиндра d2a 250 da N Р —Т+——г+—а = -; (1.1) dt2 т0 dt К К где Р - момент сил, приложенных к цилиндру со стороны среды, который, например, для ньютоновской среды определяется как ЛН г dr г d(p dz где N - коэффициент упругости нити подвеса; г - радиальная координата (г = 0 на оси цилиндра); z - осевая координата (z = 0 на нижнем торце цилиндра, z = 2H - на верхнем), в различных методиках: [122, 172] и пр., приняты различные положения начала координат; ср - угловая координата; &r,w,z радиальная, азимутальная и осевая составляющие вектора скорости; Gr(p,rz,... соответствующие компоненты тензора напряжений (см. также прил. 1). Для получения однозначного решения систему необходимо дополнить начально-краевыми условиями и реологическим уравнением состояния.
Описание процессов сложными моделями, представляющими системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, требуют выполнения трудоемких расчетов, зачастую не позволяющих получить приемлемые для приложений результаты. С другой стороны излишние упрощения могут не отражать существенные особенности эксперимента и поэтому при его математическом моделировании важен адекватный учет всех значимых факторов. Так, в традиционной теории метода использованы следующие положения: 1) скольжение между средой и внутренней поверхностью тигля отсутствует; 2) амплитуды колебаний малы, что в свою очередь позволяет допустить: {у 2.1) течение жидкости в цилиндре осесимметричное, 2.2) единственной существенной компонентой поля скорости является 9ф; 3) рассматривается регулярный режим затухающих колебаний. Анализ в рамках положений 1 и 2.1 позволяет обсудить влияние вторичных течений на колебания вискозиметра и для ньютоновской жидкости выполнен в п. 1.5. Начально-краевые условия для (1.1)-(1.4) тогда Ф имеют вид: г = 0 .9е = ,9 = z/ = О- г = R ,9с = ,9 =0 ,9 = da/ /? fc Справедливость допущения о малости нелинейных членов в уравнениях движения обосновывается тем, что радиальная и осевая составляющие скорости течения не вносят вклад в момент сил трения относительно оси цилиндра (см. (1.2)), а поправки к касательной компоненте имеют более высокий порядок малости. Это обстоятельство для ряда ситуаций было подтверждено экспериментально Вершаффельтом (Vershaffelt) [10, 122].
Условия (1.5) отвечают вискозиметру, закрытому крышкой, а для случая свободной поверхности следует рассмотреть помимо прочего возможность существования поверхности жидкости в форме, отличной от плоской - образование мениска, условия смачивания средой стенок, возникновения пленки на ней и пр. Заметим, что задача о колебаниях вискозиметра является сопряженной: в уравнение движения тигля (1.1) входит момент сил трения на его поверхности, а граничное условие для уравнения движения жидкости (1.5) содержит кинематические характеристики колебаний цилиндра.
Гл. 1 посвящена развитию теории крутильно-колебательного метода для традиционно предполагаемого типа жидкости - ньютоновского, а исследование течений неньютоновских сред при учете дополнительно и условия 2.2 является предметом изучения гл. 2. В этом случае для ньютоновской среды, используя реологическую модель в виде
Уравнения (1.6), (1.7) в совокупности с (1.1), (1.2) и (1.5) для компоненты &р и используются в традиционной теории (см. прил. 2, где при необходимости детально рассмотрено построение основных расчетных уравнений метода), в которой для линейных сред обычно пренебрегают переходными процессами (положение 3). Введем безразмерные переменные:
Исследование жидкостей с упругостью
Для модели Фойгта при больших в и для модели Максвелла при малых в (для сред, близких к вязким) функция /(We,o) на плоскости параметров We,0 имеет овраг, ось которого перпендикулярна оси вязкости. Определение упругих свойств в этих случаях, когда функция слабо изменяется вдоль оси оврага, невозможно. Для модели Фойгта при малых 9 (для сред, близких к упругим) или для модели Максвелла при больших в функция также имеет овраг, но с несколько наклоненной к оси о осью, на которой могут возникать локальные минимумы при дальнейшем переходе к предельному случаю жидкостей. Тогда можно определить один из параметров при другом фиксированном, а возможность получения надежной оценки зависит в большей степени от чувствительности свойств к параметрам колебаний и установки. Предварительный анализ чувствительности можно выполнить в рамках упрощенной модели (2.6), а затем дополнить его расчетами по размерной модели, определив ошибки, вносимые всеми параметрами установки и колебаний (M,R,K и пр.), в т.ч. с учетом торцовых поверхностей. Полученные результаты используются при планировании оптимального эксперимента, выполняемого, например, путем моделирования условий опыта, включая обработку данных, с внесенным в измеряемые параметры шумом при одновременной и независимой оценке свойств.
Адекватной в плане одновременной оценки вязких и упругих свойств является область Г, где значения длин вязкой и упругой волн близки. Практически представляет интерес случай слабо выраженных упругих свойств, поэтому рассмотрим диапазон от соответствующего области Г значения We и ниже. Взаимное влияние ошибок в вязкости и времени релаксации при одновременном оценивании значительно слабее, чем при определении вязкости и плотности ньютоновской среды, поэтому можно изучать ошибки в величине We при независимой ее оценке. При измерении только вязкости ситуация аналогична приведенному для ньютоновской среды (см. п. 1.3, 1.4). Не следует забывать и о высокой чувствительности к ошибкам в 5 в районе пиков функции 8 = S( Q ) (и Я = Л(о)), которых для вязкоупругих сред может быть несколько, а также максимума д = (We), наблюдавшегося в т.ч. в области Г (в общем случае определяемого параметрами 0 и We).
При планировании эксперимента установлено, что метод затухающих колебаний малоэффективен для наблюдения слабо упругих свойств в виду узкого диапазона условий эксперимента, а именно, возможных значений 0. В области Г чувствительности we минимальны и, например, we,A 0,1 1, а при уменьшении числа We на порядок значение у- А увеличивается в 5-Ю раз и далее всякий раз приблизительно на порядок при его дальнейшем уменьшении на порядок. Чувствительность еЛ также как и при We = 0, при расчете по мнимой части функции качества (2.7) обычно на несколько порядков выше, а с ростом We растет число ее локальных минимумов. Анализ в рамках размерной модели показал аналогичные результаты: в Г все функции чувствительности принимали значения порядка единицы за исключением I//QT, WVT которые при cRe = clm Для А ОД составляли несколько сотен, а при уменьшении А на порядок увеличивались почти на порядок.
Пример. Проверим, можно ли определить время релаксации воды и какие должны быть условия эксперимента (о неньютоновских свойствах воды - см., в частности, [8, 107]). Примем условия, обеспечивающие We = 10" . Тогда для Л = 0,05...0,2, 0 = 5...25 получаем, что чувствительности we,A ...104, We 105 ...106 и У\уе,Л Ю3. Оценку упругих свойств с ошибкой порядка 10% можно получить, если обеспечить точность измерения АА, Aj 10 , Ад-10 ; при расчете только по Re(F) (2.6) \уеЛ Ю , т.е. Ад 10 .В реальных опытах такая точность не реализуется (это касается, прежде всего, Ад), и в дальнейшем анализе нет необходимости. В случае свободных колебаний частота низкая: 10- ...10 Гц, а в режиме вынужденных колебаний частота обычно 10 Гц. Тогда можно осуществить близкие значения длин волн, когда чувствительность числа We к ошибкам в измеряемых параметрах оптимальна (но может оказаться и неприемлемой), и в таком варианте метода попытаться наблюдать вязкоупругость воды в рамках [174]. Обратим внимание, что при наличии ошибок в данных при решении обратной, а затем и прямой задач вискозиметрии путем моделирования экспериментов даже для ньютоновской среды можно получить значения упругих свойств, близкие к возможно наблюдаемым. Так, при Л = 0,15, %о=\2 и ошибкам, отвечающих табл. 1.1, получаем We 0,05. Нелинейные вязкоупругие среды. Феноменологическая модель Джонсона-Сигельмана (Ш.ЗО) привлекает пристальный интерес в связи с обнаруженными недавно явлениями генерации четных и нечетных гармоник основной частоты в спектре сдвиговых напряжений расплавов полимеров (см., например, [131]). В последнее время она стала широко использоваться также в качестве рабочей модели при обсуждении явлений образования т.н. сдвиговых зон, наблюдаемых в водных растворах ПАВ, органических растворах металлокомплексов, течениях лиотропных жидких кристаллов, при наличии нитеобразных мицелл. Течение нелинейной вязкоупругой жидкости рассмотрим на примере этой модели, отражающей неаффинные деформации. Поведение сред активно изучается для течения Пуазейля и цилиндрического течения Куэтта (см., например, [159, 193]), а в [164] исследовано движение в осциллирующей системе (около колеблющейся в своей плоскости пластины) при известном законе колебаний зонда.
Особенности движения зонда и жидкости и способы оценки свойств
Результаты исследования (см. рис. 3.4, 3.5) могут быть положены в основу методов оценки реологических параметров. Продемонстрируем один из них на примере среды с т = 2. Пусть b = 1, т.е. в параметрах d, А и пр. (3.5) примем вязкость V = COQ К І р. Произведение у/3 не зависит от v, и при уР = const, .y = var и некотором т получим серию резонансных кривых, соответствующих разным v, с резонансными частотами Ярез и амплитудами дрез (см. рис. 3.3а для т = 1: например, для ур = 1 значения = 10,1 и 0,1). Тогда показатель т удобно определять по зависимости дрез=йрез(Л ез)и в частности по величине агс при больших значениях Арез, когда dcLe3/dApe3 0 (рис. 3.7а). Заметим, что функция aac = аас(т) является монотонно возрастающей.
Оценку т и К можно выполнить исходя из поведения кривых арез=йрез(/?) и Лрез = Лрез(/?) (Рис- 3.76, в). Так, кривая, соответствующая т=\ на рис. 3.76, асимптотически стремится к прямой с угловым коэффициентом 1//?. Постоянную К при известном т можно оценить, полагая v в (3.5) равной константе и определяя Ъ при заданных и у = const из амплитудных характеристик, аналогичных приведенным на рис. 3.5а. Представляет интерес также обсуждение кривых вида Л,Єз = Л)ез( ) и йрез=арез( ) а функцию качества можно построить и по значениям, отвечающим амплитудным кривым и пр.
Выскозиметрическог уравнение для ньютоновской среды. Рассмотрим частный случай ньютоновской среды [42], когда Ь = т = \ (модель (3.2), (3.4), (3.6)—(3.8)). Разыскивая закон колебаний пластины в виде получаем вискозиметрическое уравнение где в = со I COQ = 1 / Я, А = (8/(2л;)) -соїщ- коэффициент затухания; = V-1; 8 - логарифмический декремент затухания колебаний; в - безразмерная частота.
Для ньютоновской среды параметры колебаний в и А не зависят от начальной амплитуды колебаний 0 и определяются одним параметром А
(рис. 3.8, 3.9). Высокие значения 8 ограничивают интервал целесообразных значений А, которые можно уменьшить конструктивно, в частности, за счет увеличения массы колебательной системы. Установившиеся колебания пластины, погруженной в такую жидкость, являются затухающими гармоническими.
Переходные процессы при движении пластины. Изосинхронность колебаний нарушается при реализации переходных процессов, когда помимо основного колебания имеется дополнительно апериодическая и периодическая составляющие. Развитие колебаний во времени в зависимости от условий эксперимента и свойств среды можно определить, например, операторными методами, как в [102], или путем численного моделирования. Так, для сильновязких сред, отвечающих при прочих равных условиях высоким значениям А, колебания затухают быстрее, чем завершается переходный режим, что вносит ошибку в определение вязкости (т.е. комплекса А в терминах (3.8)) по А. Нарис. 3.10 показана зависимость нормированного декремента A = 21n1/2/AА от n = N/2, где N - номер колебания, i,2 - соседние экстремальные значения ( 1 2), А -значение декремента, отвечающее соответствующему значению А из (3.10). Так, при Л = 0,15 колебания почти затухают при N 4, а отклонение декремента от истинного, определенного по (3.10), составляет в среднем 5%. Варианты аналитических решений. В существующей на настоящее время постановке метода, которую далее будем называть традиционной (см., например, [28, 81, 105]), оценка v производится с помощью следующего уравнения (при коэффициенте затухания в отсутствии среды AQ = 0): Vvp = [fiM/Syfasllnfa /х2 ), (3.11) где Э - время, за которое амплитуда колебаний уменьшается от Х\ до х2. Напомним вывод (3.11), т.к. к нему будем - обращаться в дальнейшем. Уравнение колебаний можно представить в виде
Уравнение (3.11) получено из зависимости для щ (3.14), отвечающей вынужденным колебаниям (в (3.11) принято со = щ [105]). Назовем построенное в терминах параметров (3.8) выражение (3.11) расчетным вариантом 1 и проанализируем систематические ошибки, вносимые его некорректностью. Положим, что верное значение со известно (например, из (ЗЛО)), и получим вариант 2. В выражении (3.11) присоединенная масса не учитывалась. Учтем ju согласно традиционной методике [105], что соответствует варианту 3. В варианте 4 приняты корректные выражение для массы pi\ и значение со. И, наконец, рассмотрим также вариант 5, где проведен верный учет массы / , но принято со = щ. Расчетные зависимости А = Д(Л) для всех перечисленных вариантов занесены в табл. 3.1.
Зависимость А от условий эксперимента, отвечающая вариантам 1-5, отражена на рис. 3.11. Здесь сплошная линия отвечает истинному решению (ЗЛО), далее его будем называть вариантом 6; номера моделей отмечены у кривых. Из рис. 3.11 видно, что наибольшее согласие с решением 6 дает вариант 5, т.е. можно предположить, что условие со = COQ слабо влияет на корректность результата. Тогда для практического использования почти без модификации традиционного метода (3.11) можно порекомендовать именно эту модель, но скорее из эмпирического подхода, чем из физически обоснованного, т.к. даже кривая 4 с верными массой щ и частотой со, проходит дальше от кривой 6. Это расхождение кривых 4 и б связано с неучетом в варианте 4 всех факторов: зависимость (3.11) получена из решения для вынужденных колебаний, и ее неточности обусловлены зависимостью А, как справедливо отмечено в [28], от частоты (что учтено в варианте 5, но в (3.11) отсутствует). Постепенный учет в варианте 1 частоты со, а затем и массы fi\ делает эту кривую более пологой и проходящей ниже верной кривой 6, а «поднимает» ее до кривой 6 ранее не обсуждаемый в теории метода [28] учет А в выражении для силы трения. При этом уравнение колебаний (3.25) в безразмерном виде
Наблюдаемость и идентифицируемость модели по данным эксперимента
Проведен линейный анализ устойчивости, в т.ч. построены кривые нейтральной устойчивости, исследована зависимость собственных значений от условий опыта, и обнаружено, что возникновения неустойчивости в реальных экспериментах, при малых угловых смещениях цилиндра, не происходит, а вопрос заслуживает подробного рассмотрения при очень высоких частотах в режиме вынужденных колебаний.
Исследовано влияние вторичных течений, возникающих у торцовых поверхностей, на закон колебаний и установлено, что для использования традиционных расчетных выражений в экспериментах по проверке согласованности, когда требуется высокая точность наблюдаемых в эксперименте параметров, целесообразно ограничиться областью слабовязкого приближения при высотах столба жидкости, больших радиуса.
Выявлены возможности крутильно-колебательного метода по наблюдению неньютоновских свойств и продемонстрированы возможности экспериментальной идентификации реологической принадлежности жидкостей и их характеристик. Впервые развиты подходы к измерению нелинейных свойств, прежде всего слабо выраженных, когда вывод о типе жидкости выполняется из прецизионных измерений параметров колебаний, и к интерпретации данных по расплавам с учетом нелинейностей.
Обсуждены гидродинамические особенности, которые необходимо принимать во внимание при численном моделировании экспериментов с неньютоновскими средами. Так, выявлен рост области развитого течения для вязкопластичных и псевдопластичных жидкостей и уменьшение этой области для дилатантных сред, проанализирована динамика развития твердотельных зон в бингамовской жидкости в процессе затухания крутильных колебаний, изучено влияние упругости жидкости на ее движение, сформулированы рекомендации по численным расчетам таких течений в осциллирующих вискозиметрических системах. Разработана методология численного моделирования вязкопластичного поведения жидкости в тигле и в рамках измеряемых в эксперименте параметров продемонстрирована степень соответствия приближенных моделей бингамовской.
Установлено нарушение свойства изосинхронности колебаний вискозиметра, заполненного нелинейными средами. Изменение с течением времени периода и декремента затухания колебаний объяснено с помощью ньютоновской модели в терминах кажущейся вязкости. Полученные оценки для изменения параметров колебательных процессов в зависимости от неньютоновских свойств жидкостей могут существенно превосходить точность измерений, что позволяет предположить наблюдаемость эффектов, обусловленных таким их характером, и идентифицируемость свойств и в натурных экспериментах.
Обнаруженные закономерности в движении вискозиметра положены в основу выбора реологической модели, в рамках которой по закону колебаний определяются параметры жидкостей. Развит ряд способов измерения свойств линейных и нелинейных вязкопластичных, вязкоупругих, вязких, упругих вязкопластичных жидкостей. Оценена чувствительность линейных свойств жидкостей, в т.ч. вязкоупругих, к ошибкам в измерении параметров установки и колебаний и обсуждены особенности эксперимента по оцениванию слабо упругих свойств.
Разработан аналитический метод, эффективный для практических приложений в прямой и обратной задачах вискозиметрии нелинейных сред, в котором используются точные решения для линейных жидкостей. При апробации метода на численных моделях установлена его высокая сходимость, что в т.ч. позволяет подтвердить их достоверность. На основе метода выполнена интерпретация опытных данных по жидким металлам и выявлен нелинейно вязкий тип поведения, в общем случае с наличием упругой составляющей, проявляющийся в основном в области аномалий или малых значений исследуемого температурного диапазона, в частности, между точками солидуса и ликвидуса. Объяснены некоторые противоречия на температурных зависимостях вязкости.
Для режима вынужденных крутильных колебаний построена математическая модель эксперимента и развита теория для наблюдения нелинейно вязких и упругих вязкопластичных свойств. Исследовано их влияние на измеряемые в эксперименте параметры: амплитудно-фазовые характеристики, спектры кинематических и динамических параметров системы, и предложены способы оценивания.
Установлены особенности вынужденных и затухающих колебаний зонда в вибрационном вискозиметре в неньютоновских жидкостях и разработаны основы для изучения их свойств. Для нестационарного метода построены вискозиметрические уравнения для линейных сред, позволяющие решать прямую и обратную задачи. Проанализированы неточности в традиционных зависимостях метода, приводящие к неверной интерпретации опытных данных, и в рамках теории чувствительности оценены ошибки, связанные с использованием такой методики и наличием переходных процессов.
В рамках создания теоретических положений экспериментальной базы по изучению неньютоновских свойств высокотемпературных жидкостей рассмотрены иные, эпизодически встречающиеся, методы. Так, для маятникового вискозиметра подобная задача сведена к таковой для вибрационного метода и выполнена обработка данных, полученных в условиях модельных экспериментов капиллярным методом. 6) Разработаны общие для систем высокотемпературной вискозиметрии методы параметрической идентификации и установлены наблюдаемость и идентифицируемость течений. На основе построенных алгоритмов восстановлены реологические свойства и их статистические характеристики по измеряемым в эксперименте параметрам колебаний. Представлены условия для планирования оптимального эксперимента по обнаружению и оцениванию неньютоновских свойств жидких сред, а также рекомендации по оптимизации параметров экспериментальных установок для обсуждаемых задач оценки параметров. Выполнено оптимальное планирование в экспериментах по одновременной оценке вязкости и плотности ньютоновской среды крутильно-колебательным методом.
