Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Состояние вопроса и постановка задачи 10
1.1. Введение во фракталы 11
1.2. Классификация методов определения фрактальных характеристик объектов 18
1.2.1. Метод Херста 18
1.2.2. Метод Барроу 23
1.2.3. Метод покрытия сеткой. 25
1.2.4. Метод фазового портрета 27
1.2.5. R/R-метод 28
1.2.6. NF-метод 31
1.3. Интерпретация некоторых параметров сигнала, используемых при определении его фрактальных характеристик 34
1.4. Таблица фрактальных параметров 36
1.5. Требования к эталонным типам процессов при исследовании фрактальных методов 37
1.6. Выводы к главе 1 41
ГЛАВА 2. Фрактальная идентификационная шкала на основе Vk- метода 42
2.1. Описание -метода 42
2.2. Исследование метод ом фрактальных и стационарных случайных процессов 44
2.3. Исследование детерминированных процессов и их смесей со случайными процессами методом 49
2.4. Исследование колебательных процессов методом 52
2.5. Фрактальная шкала Vk-метода и ее метрологические характеристики 59
2.6. Сравнительный анализ традиционных методов и Vk- мето да 62
2.7. Выводы к главе 2 64
ГЛАВА 3. Фрактальная идентификационная плоскость на основе К-метода 65
3.1. Описание Рг-метода 65
3.2. Исследование Г2-методом фрактальных и стационарных случайных процессов 67
3.3. Исследование детерминированных процессов и их смесей со стационарным шумом Г7-методом 72
3.3.1. Исследование постоянного во времени процесса К2-методом 72
3.3.2. Исследование линейных процессов и их смесей со стационарным шумом К2-методом 72
3.3.3. Исследование нелинейных процессов и их смесей со стационарным шумом K-методом 74
3.4. Исследование колебательных процессов Г7-методом 77
3.5. Идентификационная плоскость Г2-метода и метрологические характеристики ее параметров 81
3.6. Сравнение Fz-метода с традиционными методами и Vk- мето дом 85
3.7. Выводы к главе 3 88
ГЛАВА 4. Генераторы фрактальных объектов 89
4.1. Классификация фрактальных генераторов 89
4.1.1. Метод средней точки с приращениями во всех точках (МСТПВТ) 89
4.1.2. Метод средней точки с приращениями в средних точках (МСТПСТ) 91
4.1.3. Метод спектрального синтеза (МСС) 93
4.1.4. Метод средней точки для 3D поверхностей (МСТЗ) 95
4.2. Влияние типа задающего генератора на фрактальные свойства объектов 98
4.2.1. Исследование влияния типа задающего генератора одномерных рядов на их фрактальные свойства 98
4.2.2. Исследование влияния типа задающего генератора 3D поверхностей на их фрактальные свойства 100
4.3. Выводы к главе 4 102
ГЛАВА 5. Система виртуальных приборов и ее применение к анализу процессов 104
5.1. Описание исследовательской системы виртуальных приборов 104
5.1.1. Режим «ONE» 105
5.1.2. Режимы «GRAPH», «ABOUT» и «EXIT» 109
5.2. Анализ сейсмических сигналов 110
5.2.1. Характерные особенности сейсмосигнала 110
5.2.2. Выводы по анализу сейсмических сигналов 111
5.3. Выводы к главе 5 113
Заключение 114
Литература 116
Приложение 1 122
- Требования к эталонным типам процессов при исследовании фрактальных методов
- Исследование детерминированных процессов и их смесей со случайными процессами методом
- Исследование нелинейных процессов и их смесей со стационарным шумом K-методом
- Исследование влияния типа задающего генератора одномерных рядов на их фрактальные свойства
Введение к работе
Актуальность проблемы. Задачи анализа и классификации сигналов сложной формы возникают при контроле и диагностике в областях медицины и техники, при изучении физических явлений и процессов, сложных нелинейных динамических систем и объектов. При решении таких задач, в основном используются методы математической статистики, спектрального и корреляционного анализов, которые выявляют характеристики сложного процесса, не дающие полной информации о нем. При этом сами характеристики описываются достаточно сложными выражениями со множеством влияющих параметров. Распознавание процессов осуществляется на основании данных характеристик по принципу «похож — не похож».
С возникновением в 1975 году фрактальной геометрии, связанной с именем Б.Мандельброта, стало возможным описание, упорядочивание и представление сложных сигналов фрактальными моделями, в достаточно простом и наглядном виде. Фрактальный подход, в последнее время, все больше применяется для решения задач идентификации процессов и объектов, отличающихся наличием компонент хаотического, детерминированного и периодического характера. Подтверждением этого являются работы Х.Херста, Э.Лоренца, Е.Федера, А.В.Данильца, В.Д.Борисова, Г.С.Садового, Ю.Н.Кликушина и др. в которых была высказана и обоснована идея возможности классификации и распознавания процессов сложной формы фрактальными методами. В работах этих ученых рассматривались вопросы, связанные с идентификацией процессов определенных групп, например, фрактальных, стационарных, периодических или детерминированных, однако вопросы комплексного представления таких процессов в рамках единого описания остается открытым. Идею фрактальной комплексной оценки характеристик и классификации сложных процессов и объектов развивает настоящая работа.
Таким образом, тема диссертационной работы, посвященная разработке фрактальных методов идентификации сложных процессов и систем и созданию на их основе эмпирических порядковых шкал, является актуальной.
Цель работы: расширение диапазона идентификации процессов сложной формы и увеличение быстродействия систем распознавания, использующих фрактальные шкалы.
Задачи исследований:
разработка и исследование методов фрактального анализа, ориентированных на комплексную оценку свойств сложных сигналов и объектов, отличающихся наличием компонент хаотического, детерминированного и периодического характера;
разработка технологии создания и использования идентификационных шкал на основе разработанных фрактальных методов для решения задач электрических и магнитных измерений;
исследование метрологических характеристик предложенных идентификационных шкал;
разработка программной системы распознавания и классификации сигналов, основанной на их фрактальном анализе.
Методы исследования. Для решения поставленных задач использовался аппарат теории фракталов, теории вероятности, математической статистики и статистического моделирования.
Научная новизна работы заключается в решении задачи расширения диапазона идентификации процессов сложной формы на основе фрактальных шкал и включает:
разработку фрактальных методов классификации стационарных, фрактальных и колебательных сигналов;
исследование метрологических характеристик фрактальных идентификационных шкал;
создание системы виртуальных приборов, основанной на фрактальных
шкалах и предназначенной для распознавания и классификации сигналов
в реальном масштабе времени.
Основные положения, выносимые на защиту.
Методы фрактального анализа, позволяющие решить задачу расширения диапазона идентификации процессов сложной формы.
Впервые созданные идентификационные шкалы, на основе разработанных фрактальных методов, позволяющие классифицировать сигналы сложной формы, включая стационарные, фрактальные, детерминированные, колебательные и их смеси.
Применение разработанных фрактальных шкал в системах виртуальных приборов, предназначенных для классификации и анализа сигналов сложной формы в реальном масштабе времени.
Практическая ценность работы определяется тем, что на основании предложенных методов были созданы инструменты анализа и классификации сигналов различной формы, которые обеспечивают:
расширение диапазона классов сигналов — стационарных, фрактальных, колебательных — при отображении их единой моделью;
Требования к эталонным типам процессов при исследовании фрактальных методов
В таблице 3.5 представлен характер распределения погрешности при оценке параметра Z. Максимальная систематическая погрешность не превосходит 9% (кроме КОШИ), уровень случайной погрешности зависит от количества реализаций исследуемого процесса (в таблице 3.5 приведено для 100 реализаций). Погрешность при определении квазипериода у колебательных процессов не превосходит 11%.
По значению сэ из (3.6) оценивается колебательность процесса. Если cJLg(Nmax) 5.55, то процесс не является колебательным и идентификация проводится по параметрам линейной модели (3.3), при этом Z=hjc3, А=аэ-Ьэ. Если условие (3.7) не выполяется (процесс находится в колебательной области на рис.3.14), тогда оценивается квазипериод колебательного процесса по формуле (2.8).
На рис.3.14 представлена идентификационная плоскость -метода, разбитая на фрактальные области: колебательную, линейную, детерминированную, стационарную, квазистационарную, фрактальную, ультрафрактальную и ультралинейную. В колебательной области лежат процессы, имеющие колебательный характер. В линейную область попадают процессы с абсолютно линейной зависимостью, не имеющие шумовой компоненты. Детерминированную область занимают процессы с четко выраженным детерминированным трендом. Стационарную область занимают случайные стационарные эргодические процессы, не имеющие тренда. В квазистационарную область ложатся процессы с неявно выраженной переменной трендовой составляющей. Во фрактальной области процессы характеризуются наличием трендовой составляющей с переменным (0.86 Z 1.26) и постоянным (1.26 Z 1.53) трендом. В ультрафрактальной области процессы имеют постоянный нелинейный тренд. В ультралинейной области процессы характеризуются постоянным, ультрамонотонным трендом. Рис.3.14 проиллюстрирован сигналами с характерными формами для той области, в которой они расположены. Стрелками показана динамика фрактальных характеристик сигналов, в зависимости от изменения их формы. Широкой стрелкой показано движение сигналов на идентификационной плоскости Р -метода при увеличение в них шумовой компоненты (уменьшение ОСШ). Жирной пунктирной линией, расположенной под углом примерно в -45 относительно оси Z, показана критическая граница, дойдя до которой, сигнал, с увеличивающейся в нем шумовой компонентой, перестает «падать» и направляется в область стационарности.
Характерным свойством для линейных сигналов является то, что при уменьшении ОСШ они движутся до критической границы вдоль линии примерно Z-2. С увеличением степени нелинейности ультрамонотонные сигналы смещаются вправо-вниз, а при увеличении в них уровня шума — стремятся вниз к критической границе. Уменьшение ОСШ в колебательных процессах ведет к перемещению их в области стационарности или квазистационарности. 3.6. Сравнение -метода с традиционными методами и К -методом
Сравнение с традиционными методами. Чтобы сравнить традиционные методы Херста и Барроу с -методом, найдем соотношение между фрактальными параметрами этих методов. Для этого будем находить значения Z и А для фрактальных процессов с 0 # 1. Количество реализаций 1000 при каждом значении Н, объем данных 1000. При этом погрешность значения ZHe превысит 9%, параметра Л — 13% (см.таблицу 3.1). На рис.3.15 показан результат исследования — зависимости между Z, А и Н, которые в первом приближении можно описать линейными уравнениями вида:
Подставив эти выражения в формулу (1.2) можно выразить фрактальную размерность процесса через Z и А: Проводя сравнение достоверности полученных результатов классическими и предложенными методами (таблица 3.6), можно отметить, что относительные погрешности определения фрактальных параметров данными методами примерно равны и не превосходят 10%. В таблице 3.6 представлены относительные погрешности параметров сравневаемых методов для фрактальтных процессов при объеме выборки 1000 и количестве реализаций 100. 1 Способность различать фрактальные (персистентные и антиперсистентные) и стационарные процессы; 2)погрешность определения фрактальных параметров не превосходит 10%. Различия методов: 1)основным отличием Г2-метода от традиционных является его способность выделять класс колебательных процессов, оценивая их периодичность; 2)выделять идеально линейные процессы; 3)проводить классификацию детерминированных процессов; 4)различать стационарные случайные процессы по их закону распределения; 5)на основе Г2-метода создана идентификационная фрактальная плоскость форм (рис.3.14), которой не имеют традиционные фрактальные методы. Сравнение с -методом. Сходства: 1)оба метода способны идентифицировать процессы по их форме; 2)способность методов выделять класс колебательных процессов и оценивать их квазипериодичность; 3)методы классифицируют случайные стационарные процессы по их закону распределения; 4)оба метода идентифицируют фрактальные процессы по степени их фрактальности; 5)способность методов выделять процессы с ультралинейным трендом. Различия: 1)на основе -метода создана фрактальная порядковая шкала форм, которая более наглядно демонстрирует их упорядочивание, чем Г2-метод; 2)Г2-метод способен более детально идентифицировать линейно изменяющиеся процессы и оценивать степень зашумленности колебательных процессов.
Исследование детерминированных процессов и их смесей со случайными процессами методом
Алгоритм работы EXSYS в режиме «ONE»: 1) выбор режима «ONE» (кнопка «ONE»); 2) открытие и чтение файла данных (кнопка «OPEN»); 3) выбор интересующего участка анализа в «Окне сигнала» (кнопки «S», « » и « »); 4) выбор нужных функций анализа с помощью «Кнопок анализа»; 5) активизация процесса анализа (кнопка «START»); 6) после завершения процесса анализа появятся четыре «Окна анализа», путем перебора закладок «Окон анализа» можно просмотреть результаты анализа; 7) если результаты удовлетворяют, то их можно сохранить в графическом файле (кнопка «SAVE»), в противном случае, продолжить анализ данных текущего файла (повторить пункты 3-7), либо открыть другой файл (повторить пункты 2-7). Пример содержимого графического файла, созданного EXSYS, представлен в Приложении 3. Режим «GRAPH» позволяет просмотреть ранее созданный графический файл, содержащий результаты анализа какого-либа сигнала. Режим «ABOUT» дает информацию о системе EXSYS и ее создателе. Режим «EXIT» обеспечивает завершение работы с системой EXSYS. Процессы, протекающие в земной коре, играют не маловажную роль в жизни человека. Землетрясения, извержение вулканов имеют иногда катастрофические последствия для местных народов. Поэтому, изучение, анализ, прогнозирование сейсмических процессов являются актуальными проблемами для жизни человека. Целью данного исследования является установление возможности прогноза данных процессов через определение их фрактальных свойств. Анализируемые процессы представлены в виде оцифрованных сигналов с сейсмодатчиков, собранных в течение месяца с 15 января 1999 года по 14 февраля 1999 года. Анализ фрактальных характеристик данных процессов проводился с помощью системы EXSYS классическим методом Херста и разработанными автором Vz- и Vk-методами. Результаты экспериментов для суток, недель и месяца представлены в Приложении 3. заканчиваются около 6 часов, все остальное время суток — дневное. Поэтому анализ проводится за весь период (сутки, неделя, месяц) и отдельно за ночные и дневные интервалы этого периода. Проведенные эксперименты позволяют сделать следующие выводы. За сутки: 1) исследуемый сигнал в течение суток не относится к классу колебательных и не является стационарным, т.к. К 0.6 и Z 0.6 (А 0), а значит имеет тренд скрытый или явный; 2) фрактальность ночных периодов выше, чем у дневных и суточных т.к. Кн Кд, КН КС и ZH Zd, ZH ZC. За неделю: 1) сигнал является фрактальным в целом для всех недель, т.к К 0.75 и Z 0.86 (А 0),и носит антиперсистентный характер с явным трендом; 2) фрактальность ночных периодов выше, чем у дневных и суточных т.к. Кн Кд, КН КС и ZH Zd, ZH ZC; 3) в среднем за недельные периоды фрактальность сигнала выше, чем за суточные. За месяц: 1) сигнал является фрактальным с ясно выраженным знакопеременным трендом; 2) фрактальность ночного периода выше, чем у дневного за месяц и месячного, т.е. ночной период за месяц имеет более выраженный тренд; 3) дневной период за месяц имеет знакопеременный тренд. В целом можно сделать следующие выводы: 1) сейсмосигналы является фрактальным, имеющим знакопеременный тренд; 112 2) сигналы в ночные периоды наиболее фрактальны, т.е. имеют более выраженный тренд, чем в дневные периоды; 3) наличие тренда в сигнале позволяет сделать прогноз его поведения в будущем. 1. Разработана и реализована на программном уровне исследовательская система виртуальных приборов, включающая традиционные (математическая статистика, спектральный и корреляционный анализ) и фрактальные методы анализа характеристик сигналов. 2. Система виртуальных приборов позволяет идентифицировать исследуемые сигналы по их фрактальным характеристикам, параметры которых оцениваются непосредственно по показаниям фрактальных виртуальных приборов. 3. Разработанные в главах 2 и 3 настоящей работы фрактальные методы применены для анализа фрактальных свойств сейсмосигналов. В результате было выяснено, что процессы протекающие в земной коре носят вовсе не стационарный характер, а имеют знакопеременный тренд, который в ночные периоды более выражен, чем в дневные. В работе рассмотрены вопросы, связанные с разработкой и исследованием фрактальных методов идентификации процессов и возможности построения на их основе порядковых шкал.
Проведенные исследования показывают, что классические статистическо-вероятностные методы анализа не способны эффективно решать задачи анализа сложных сигналов, например, фрактальных, характеризующихся наличием связанных между собой трендовах и хаотических компонент. Подобные задачи более просто решаются фрактальными методами. Однако, эти методы способны идентифицировать узкий класс фрактальных и, близких к ним, сигналов. Поэтому в данной работе поставлена и решена задача расширения диапазона идентификации процессов сложной формы. При этом лично автором получены следующие результаты.
Выявлен ряд параметров — размах сигнала, размах приращения сигнала, размах накопленного отклонения сигнала от среднего, — обеспечивающих построение фрактальных идентификационных шкал, обладающих более широким диапазоном классификации по сравнению с известными. Сформулированы требования к сигналам, предназначенным для тестирования фрактальных методов.
Исследование нелинейных процессов и их смесей со стационарным шумом K-методом
Понятия «фрактал» и «фрактальная геометрия», появившиеся в конце 70-х, с середины 80-х прочно вошли в обиход математиков и программистов [8]. Слово фрактал образовано от латинского fractus и в переводе означает состоящий из фрагментов. Оно было предложено Бенуа Мандельбротом в 1975 году [9] для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимался. В его работах [10-26] использованы научные результаты ученых, работавших в период 1875-1925 годов в той же области (Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф и другие). Но только в наше время удалось объединить их работы в единую систему.
Внимание, которое привлекают фракталы, видимо, имеет несколько причин. Во-первых, фракталы очень просты при моделировании многих явлений и процессов, которые трудно отличить от естественных. Во-вторых, при фрактальном анализе процессы сложной формы на фрактальных плоскостях представляются в достаточно простой и наглядной форме, что позволяет получить больше информации о процессе, в частности, анализировать нестационарные процессы.
В настоящее время, наибольшее применение фракталы нашли в машинной графике и компьютерных системах сжатия информации. Они приходят на помощь, например, когда требуется, с помощью нескольких коэффициентов, задать линии и поверхности очень сложной формы. С точки зрения машинной графики, фрактальная геометрия незаменима при генерации искусственных облаков, гор, поверхности моря. Фактически найден способ легкого представления сложных неевклидовых объектов, образы которых весьма похожи на природные [27-33].
Фракталом, по определению Мандельброта, называется объект, размерность Хаусдорфа-Безиковича (фрактальная размерность) которого не равна его топологической размерности и может принимать нецелочисленные значения [34]. Многочисленные исследования [35-40] показывают, что фрактальная геометрия является обобщением евклидовой, имеющей дело с целочисленными, топологическими размерностями (0-точка, 1-линия, 2-плоскость, 3-объем). К фрактальным объектам относятся все природные объекты, например, такие как береговая линия Норвегии, имеющая размерность 1.52, облака — 2.31, кровеносная система человека — 2.7 и т.п. [41]. На данный момент обоснованной физической интерпретации дробной размерности нет, хотя в работе [42] предпринята такая попытка.
Основным свойством фракталов является самоподобие. В самом простом случае небольшая часть фрактала содержит информацию обо всем объекте, т.е. вид фракталов практически не меняется при любом увеличении. Определение фрактала, данное Мандельбротом, звучит так: "Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому" [Я]. Процессы, порождающие самоподобные структуры известны довольно давно. Это процессы с обратной связью, в которых одна и та же операция повторяется снова и снова, при этом, результат одной итерации является начальным значением следующей. Но здесь очень важно, чтобы зависимость между результатом и начальным значением была нелинейной. Одним из исследователей фракталов стал Гастон Жюлиа, который открыл множество Жюлиа, представляющее собой границу, в различных частях которой встречается одна и таже форма разных масштабов. Он установил, что можно восстановить всю границу по любой ее части. С тех пор в математике и в физике стали широко изучаться самоподобные структуры, в том числе и фракталы.
Геометрические фракталы самые наглядные. В двухмерном случае их получают с помощью некоторой ломаной (или поверхности в трехмерном случае), называемой затравкой или первоначальным генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломаную-генератор, в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры, получается геометрический фрактал. На рис. 1.1-1.6 представлены наиболее известные геометрические фракталы и их первоначальные генераторы.
Алгебраические фракталы. Это самая крупная группа фракталов. Получают их с помощью нелинейных процессов в л-мерных пространствах. Наиболее изучены двухмерные процессы. Интерпретируя нелинейный итерационный процесс, как дискретную динамическую систему, можно пользоваться терминологией теории этих систем: фазовый портрет, установившийся процесс, аттрактор и т.д. Известно, что нелинейные динамические системы обладают несколькими устойчивыми состояниями. То состояние, в котором оказалась динамическая система после некоторого числа итераций, зависит от ее начального состояния. Поэтому каждое устойчивое состояние (или как говорят - аттрактор) обладает некоторой областью начальных состояний, из которых система обязательно попадет в рассматриваемые конечные состояния. Таким образом, фазовое пространство системы разбивается на области притяжения аттракторов. Если фазовым является двухмерное пространство, то, окрашивая области притяжения различными цветами, можно получить цветовой фазовый портрет этой системы (итерационного процесса). Меняя алгоритм выбора цвета, можно получить сложные фрактальные картины с причудливыми многоцветными узорами.
Исследование влияния типа задающего генератора одномерных рядов на их фрактальные свойства
Метод основан на статистической обработке той физической величины, которая наиболее полно отражает исследуемое свойство объекта. Этот метод используется для анализа одномерных временных рядов. Пусть имеется ряд наблюдений {х], х2, ..., хп) некоторой величины X объема выборки N. Находится средняя дисперсия приращений W, как функция задержки AN: где а - некоторая постоянная для конкретного процесса, 0B j- пок а затель Барроу, который равен показателю Херста Н, т.е. В=Н. Таким образом фрактальная размерность D определяется как:
Для нахождения показателя Барроу В зависимость W=f(AN) строится в двойном логарифмическом масштабе (рис. 1.14), затем полученные экспериментальные точки аппроксимируются прямой, угловой коэффициент которой есть В. Вся область фрактальности ограничена линиями с В=0 и В=1. Она делится прямой с В-0.5 на персистентную и антиперсистентную (на рис. 1.14 области П и А соответственно). Случай В=0.5, соответствует обычному броуновскому движению, в котором отсутствует долговременная кореляция (на рис. 1.14 область С).
Реализация метода. При реализации автором метода Барроу были получены следующие результаты: полученные значения показателя В соответствуют теоретическим, однако стационарные случайные процессы, соответствующие обычному броуновскому движению, имеют значение В=0, что не согласуется с теорией (В=0.5).
В результате проведенных исследований были выявлены следующие недостатки этого метода. 1) Неоднозначность при аппроксимации экспериментальных точек прямой на фрактальной плоскости из-за их нелинейного расположения, что не позволяет достаточно точно и правильно описать зависимость W=f(AN). 2) Неспособность метода различать стационарные случайные процессы в зависимости от вида закона распределения плотности вероятности. 3) Высокая вариабельность результатов наблюдения, в результате чего приходится увеличивать количество анализируемых результатов для приемлемых оценок случайной погрешности.
Метод покрытия сеткой [41] позволяет определить фрактальную размерность физических объектов, имеющих геометрические размеры. Эти объекты могут быть как замкнутыми (береговые линии островов, поверхность планет), так и незамкнутыми (часть береговой линии, участок поверхности). Данный метод основан на покрытии фрактального объекта, например кривой (поверхности), сеткой с разметом ячейки д д (рис. 1.15, а). Изменяя величину д, подсчитывается количество ячеек N(d), полностью покрывающих кривую (поверхность). Фрактальная размерность D находится через предел:
Недостатком метода является то, что фрактальную размерность D можно определять лишь у кривых, имеющих физические размеры, например, границы островов, береговые линии рек, побережья и т.д. Размерность, например, временных рядов таким методом определить невозможно, т.к. для покрытия сеткой необходимо, чтобы по обеим осям координат были одни единицы измерения.
Метод покрытия сеткой замкнутых объектов является частным случаем метода покрытия сеткой [41]. Он применяется для нахождения фрактальной размерности физических замкнутых объектов, которые имеют площадь и периметр. Например, контур береговой линии острова, граница государства, поверхность Луны и т.п. являются замкнутыми объектами, но береговая линия реки не является замкнутым объектом. Объект покрывается сеткой с размером ячейки 5 8 (рис. 1.15, б) и подсчитывается количество ячеек, полностью покрывающих границу объекта L(5) и его площадь А(8). При 8—»0 фрактальная размерность находится из соотношения периметра и площади объекта, полученного Мандельбротом: L(b)=NyX%(1-D)[A(b)]D/\ где X —некоторое произвольно малое число, N\ — количество отрезков длины А -у/Дб) , составляющих периметр объекта. Данный метод [43] предназначен для оценки фрактальной размерности одномерных рядов через корреляционную размерность фазового портрета. Пусть имеется ряд наблюдений {xj, х2, ..., хп} некоторой величины X. TV-объем выборки. Путем произвольной, но постоянной задержки г создается двумерный фазовый портрет из K=N-r точек у fa ;xi+ т) при Ш К Затем вычисляются расстояния между каждой парой точек yt по формуле Пифагора: Таким образом получился ряд расстояний между точками фазового портрета {Zj}i=jL при L-(K-l)K/2. После этого находится корреляционный интеграл С(г) для значений Обг тах{\ где в(х) — функция Хевисайда, имеющая значение 0 если аргумент отрицателен и 7 — если положителен. Полученная зависимость C=f(r) строится в двойном логарифмическом масштабе (рис. 1.16). Угловой коэффициент v аппроксимирующей прямой есть корреляционная размерность фазового портрета, которая является оценкой фрактальной размерности исходного ряда «снизу», т.е. D=v.
Похожие диссертации на Методы идентификации процессов на фрактальных шкалах
