Введение к работе
Актуальность темы. Волновым уравнением описываются многочисленные физические процессы: колебания струны, продольные и крутильные колебания стержней и пружин, колебания давления в длинных газопроводах, колебания напряжения и силы тока в электрических проводах, длинные волны цунами и т.д.
Построение теории и методов решения задач оптимального управления волновыми процессами ввиду их большого разнообразия и сложности предполагает обычно конкретизацию вида волнового уравнения и граничных условий, что определяет в конечном итоге и общность полученных результатов. Подавляющее число работ как в отечественной, так и в зарубежной литературе посвящено исследованиям задач оптимального управления, в которых правая часть дифференциального уравнения либо равна нулю, а управляющие воздействия сосредоточены на границах, либо линейна по решению, либо содержит нелинейность конкретного вида. В настоящее время возникла необходимость обобщения соответствующих задач вместе с реализацией новых подходов к их изучению. В диссертационной работе рассматривается задача оптимального управления нелинейным волновым уравнением с нелинейными граничными условиями, которые являются обобщением условий первого, второго и третьего рода. Правая часть волнового уравнения нелинейна по решению и его первым частным производным по времени и пространственной переменной, которые описывают соответственно скорость смещения и упругую силу. В качестве управлений фигурируют два вида измеримых функций: распределенное управление и управле-
ния, сосредоточенные на границах. На управляющие функции наложены ограничения типа включения. Целевой функционал имеет нелинейные терминальную и интегральную составляющие. В рамках такой сравнительно общей постановки задачи оптимального управления проведено ее качественное и конструктивное исследование. Оно существенно использует расширенную, или продолженную систему четырех уравнений первого порядка, порожденную волновым уравнением. Плодотворность и эффективность этой системы проявлется как при построении обобщенного решения начально-краевой задачи, так и при исследовании задачи оптимального управления.
Общность постановки, оригинальность методики, направленность работы на получение как качественных результатов, так и конструктивных методов, а также большая прикладная значимость исследуемых задач оптимального управления свидетельствуют об актуальности данной темы.
Цели работы состоят в построении обобщенного решения волнового уравнения, удобного для исследования задач оптимального управления волновыми процессами, получении необходимых условий оптимальности в таких задачах и обосновании принципиальной возможности применения для рассматриваемой задачи известных численных методов, основанных на этих необходимых условиях оптимальности.
Основными задачами работы являются
введение понятия обобщенного решения нелинейного волнового уравнения, позволяющего наиболее точно указать его свойства и привести к вариационному принципу максимума при исследовании задачи оптимального управления процессами, описываемыми этим уравнением;
вывод необходимого условия оптимальности в виде вариационного принципа максимума в задаче оптимального управления волновыми процессами;
построение итерационных методов решения задачи оптимального управления, основанные на вариационном, конечномерном и линеаризованном принципах максимума.
Методы исследования основаны на теории дифференциальных уравнений с частными производными, теории оптимального управления и численных методов. В работе применяются метод характеристик, метод последовательных приближений, проводится вывод и анализ формул приращения целевого функционала на различных типах вариаций управлений.
Основные результаты диссертации, выносимые на защиту:
Обоснование существования и единственности обобщенного решения нелинейного волнового уравнения с краевыми условиями первого, второго и третьего рода с получением точных оценок скорости роста решений относительно входных данных и выявлением основных свойств решения.
Необходимые условия оптимальности для задач оптимального управления волновым уравнением в виде вариационного, конечномерного и линеаризованного принципов максимума.
Численные методы, основанные на необходимых условиях оптимальности, обладающие свойствами релаксаци-онности и сходимости.
Научная новизна. Общая постановка волновой задачи с граничными условиями, охватывающими все три типа классических граничных условий, является новой. Нестандартной является идея определения обобщенного решения волнового уравнения как решения интегральной системы, полученной из эквивалентной исходному волновому уравнению гиперболической системы четырех дифференциальных уравнений первого порядка в инвариантах Римана. Для задач такого типа наряду с доказательством существования и единственности обобщенных решений впервые установлены точные оценки роста решения и его первых производных по времени и пространственной переменной относительно входных данных. Проведенный анализ динамики возмущений инвариантов Римана, вызванных вариациями распределенного управления вдоль характеристик и игольчатым варьированием граничных управлений, позволил вывести в задаче оптимального управления волновым процессом новое необходимое условие оптимальности в виде вариационного принципа максимума. Доказано, что конечномерный и линеаризованный принципы максимума являются следствиями вариационного принципа максимума. Разработаны итерационные методы, основанные на вариационном, конечномерном и линеаризованном принципах максимума.
Теоретическая и практическая значимость работы. Полученные в диссертации теоретические результаты вносят вклад в теорию управления волновыми процессами. Предлагаемые методы и подходы открывают новые возможности для эффективного решения прикладных задач оптимального управления волновым уравнением с управляемыми граничными условиями.
Результаты диссертации являются составной частью исследований, выполняемых в Иркутском государственном университете в рамках следующих НИР, в которых соискатель является официальным исполнителем: гранты Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 08-01-00709-а на 2008-2010 гг. и 11-01-00713 на 2011-2013гг) и Федеральная целевая программа "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" на 2009-2013 гг.
Материалы диссертации используются в учебном процессе кафедры методов оптимизации Иркутского государственного университета (курсовые и дипломные работы, дисциплины специализации).
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях и семинарах:
III межвузовской зональной конференции, посвященной памяти проф. Б.А. Бельтюкова, "Математика и проблемы ее преподавания в вузе" (Иркутск, 2007);
школе-семинаре "Нелинейный анализ и экстремальные задачи" (Иркутск, 2008);
XIV Байкальской международной школе-семинаре "Методы оптимизации и их приложения" (Иркутск, 2008);
международной конференции "Оптимальное управление: теория, методы и приложения", посвященной 70-летию со дня рождения профессора О.В. Васильева (Иркутск, 2009);
XV Байкальской международной школе-семинаре "Методы оптимизации и их приложения" (Иркутск, 2011);
семинаре отделения методов управления и исследования
операций Института динамики систем и теории управления СО РАН (Иркутск, 2012).
Публикации и личный вклад автора. По теме диссертационной работы опубликовано 7 работ, в которых отражено ее основное содержание. В число указанных работ входят 3 статьи [1]-[3] в журналах из Перечня рецензируемых научных журналов ВАК РФ (редакция 2011 г.), статья в научном журнале [4], 3 полных текстов докладов [5-7] в материалах всероссийских и международных конференций. Работы [1], [3], [5]-[7] выполнены в нераздельном соавторстве с научным руководителем.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и списка литературы, содержащего 82 наименования. Общий объем диссертации составляет 151 страницу, включая 26 рисунков.
