Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Бифуркации Андронова-Хопфа 7
Глава 2. Переходные процессы в динамических системах второго порядка 12
1. Приведение системы второго порядка к нормальной форме Пуанкаре 13
2. Построение приближённого решения 17
3. Теорема существования и единственности 26
4. Уравнение Ван-дер-Поля 40
Глава 3.. Переходные процессы в динамические системах третьего порядка 45
1. Приведение системы второго порядка к нормальной форме Пуанкаре 46
2. Построение приближённого решения 55
3. Теорема существования и единственности 62
Глава 4. Переходные процессы в системах Рёсслера и Валлиса 68
1. Система Рёсслера 68
2. Системы Валлиса 75
Заключение 86
Список использованных источников 88
- Бифуркации Андронова-Хопфа
- Построение приближённого решения
- Построение приближённого решения
- Системы Валлиса
Введение к работе
Актуальность темы
Многие реальные динамические процессы, изучаемые в физике, химии, биологи, технике, экономике могут быть достаточно адекватно смоделированы системами обыкновенных дифференциальных уравнений. Обычно эти уравнения содержат числовые или функциональные параметры. Эти параметры могут быть объектом управления или могут изменяться под воздействием объективных факторов. Важной особенностью динамических систем является их способность к самоорганизации, т.е. к переходу от неустойчивой простой структуры к более сложной устойчивой структуре. Для каждой структуры есть области устойчивости и неустойчивости в пространстве параметров. Если параметры попадают в область неустойчивости данной структуры, то при определенных условиях может начаться запуск процесса самоорганизации, приводящий к более сложной устойчивой структуре или к динамическому хаосу. Задачу запуска процесса самоорганизации к желательной устойчивой структуре можно разделить на две подзадачи. Первая задача – это задача оптимального управления, целью которого является попадание конечной точки траектории (например, за кратчайшее время) в область, из которой может начаться процесс самоорганизации. Вторая задача заключается в исследовании самого процесса самоорганизации, когда параметры находятся в области неустойчивости простой структуры и устойчивости более сложной структуры. В столь общей постановке эти задачи не могут быть решены. Обычно решаются более частные, конкретно поставленные задачи. Данная работа связана с решением второй задачи для важного класса систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго и третьего порядков. Актуальность задачи изучения процессов перехода от положения неустойчивого равновесия в режим самоорганизации для систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго и третьего порядков связана с тем, что они часто встречаются при решении задач управления. Кроме того, для многих моделей задач управления, описываемых системами обыкновенных дифференциальных уравнений более высокого порядка, устойчивые структуры связаны с определенными решениями систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго и третьего порядков. Предполагается, что параметры системы находятся в области, в которой положение равновесия неустойчиво и есть устойчивый периодический режим. Известно, что такая ситуация может возникать, когда матрица линеаризованной системы имеет комплексное собственное значение с достаточно малой вещественной частью. Известно, какие дополнительные условия достаточно наложить на параметры, чтобы периодический режим был устойчивым (теория бифуркаций Андронова-Хопфа). В данной работе точными математическими методами исследуется самоорганизующийся процесс перехода из произвольной окрестности положения равновесия к устойчивой периодической структуре.
Цель работы
Следуя синергетическому подходу, выделить из широкого множества параметров динамических систем один или два ведущих малых параметра, ответственных за реализацию самоорганизующегося процесса в этих системах, описать переходные процессы от неустойчивого равновесия к устойчивому периодическому режиму.
Научная новизна
Исследован переход из сколь угодно малой окрестности положения неустойчивого равновесия к предельному периодическому режиму для описывающих процессы самоорганизации систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Этот подход принципиально отличается от известных аналитических исследований устойчивости предельного цикла относительно малых возмущений, а также от использования численных методов для ограниченного диапазона параметров динамических систем.
Предложен новый способ приведения динамических систем третьего порядка к нормальной форме с использованием комплексных переменных. Для таких динамических систем выявлены области начальных данных (зависящие от значения малого параметра), из которых осуществляется переход к периодическому режиму, что принципиально отличает динамические системы третьего порядка от систем второго порядка, для которых соответствующий переход происходит из произвольной окрестности положения равновесия.
Основные положения, выносимые на защиту
-
Для динамических систем второго и третьего порядков из широкого множества параметров выделен ведущий малый параметр, ответственный за переходной процесс из малой окрестности неустойчивого положения равновесия к устойчивому периодическому режиму.
-
Преобразование уравнений динамической системы к виду, позволяющему эффективно строить приближенные решения с любой степенью точности по малому параметру. Построение приближённых решений в виде асимптотических рядов по малому параметру, описание классов функций, к которым принадлежат приближенные решения.
-
Доказательство существования решения, для которого построенные ряды являются равномерно асимптотическими по малому параметру.
-
Для систем Рёсслера и Валлиса определение областей значений параметров, при которых осуществляется переход к устойчивому периодическому режиму.
Теоретическая и практическая ценность
Многие встречающиеся в приложениях динамические системы для своего описания требуют введения нескольких (двух и более) параметров, что затрудняет проблемы управления этими параметрами и описание процессов эволюции динамических систем. В диссертации предложен метод построения ведущего параметра (как функции исходных параметров системы), ответственного за описание процесса эволюции системы. Эффективность метода иллюстрируется на трех конкретных прикладных задачах. Предложенная методика выбора параметров и способ построения приближенных решений могут быть применены для исследования достаточно широкого класса прикладных задач управления.
Описанные в диссертации методы могут быть обобщены и применены для исследования динамических систем более высоких порядков, а также для исследования нелинейных функциональных уравнений эволюционного типа.
Методы исследований
Теория управления динамическими системами, методы приведения систем дифференциальных уравнений в окрестности положения равновесия к нормальной форме Пуанкаре при помощи замен зависимых переменных, методы малого параметра для построения асимптотических рядов, методы функционального анализа для доказательства существования неподвижной точки оператора.
Апробация и публикации
Результаты работы докладывались, обсуждались, получили одобрение специалистов на научном семинаре под руководством академика А. А. Петрова в ВЦ РАН (Москва, 2008), на конференции ЭКОМОД-2009 (Киров, 2009), на научных семинарах кафедры высшей математики МФТИ (ГУ) (Долгопрудный, 2007-2009), на семинарах отдела хаотических динамических систем Института системного анализа РАН (Москва, 2005, 2006), на научной конференции МФТИ (ГУ) (Долгопрудный – Москва, 2006) По теме диссертации опубликовано четыре печатных работы, в том числе одна, [1], – в издании из списка, рекомендованного ВАК РФ.
Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка использованных источников. Общий объём работы составляет 92 страницы, включая список использованных источников из 48 наименований.
Бифуркации Андронова-Хопфа
Многие реальные динамические процессы, изучаемые в физике, химии, биологи, технике, экономике могут быть достаточно адекватно смоделированы системами обыкновенных дифференциальных уравнений. Обычно эти уравнения содержат числовые или функциональные параметры. Эти параметры могут быть объектом управления или могут изменяться под воздействием объективных факторов. Знаменитое уравнение Ван-дер-Поля [1] описывает функционирование некоторого радиотехнического устройства и сводится к системе двух уравнений первого порядка были применены для описания колебаний температуры в некоторых областях мирового океана. В книге [3] приведено большое количество систем третьего порядка, применяемых в различных прикладных областях. Важной особенностью динамических систем является их способность к самоорганизации, т. е. к переходу от неустойчивой простой структуры к более сложной устойчивой структуре. Термин самоорганизация был введен Хакеном [4], который впервые отметил важность этого явления для понимания многих процессов. Нужно отметить, что многие технические средства, необходимые для описания процессов самоорганизации, были развиты еще в работах выдающихся математиков девятнадцатого и двадцатого веков. Следует отметить работы Пуанкаре и Ляпунова по исследованию устойчивости движения, работы Колмогорова и ученых его школы [5] по уравнениям реакции-диффузии. Уравнения реакции-диффузии при любых значениях параметров имеют однородные по пространству решения, которые физиками брюссельской школы И. Пригожина [6] и биофизиками [7-8] трактуются как состояния термодинамического равновесия. Вблизи некоторых критических многообразий параметров эти простые равновесия становятся неустойчивыми. Возникающий вследствие неизбежных флуктуации процесс может приводить к неоднородным по пространству диссипативным структурам (стационарным, периодическим, хаотическим и т.п.). В рамках настоящего введения нет возможности перечислить все возможные направления исследований и все научные школы, занимающиеся подобными исследованиями. Большие циклы работ, посвященные многим процессам самоорганизации и теории диссипативных структур, были проведены численными методами в институте прикладной математики им. М. В. Келдыша в школах А.А. Самарского и СП. Курдюмова [9-11]. В работах А.А. Белолипецкого и A.M. Тер-Крикорова [12-14] в аналитической форме методами малого параметра исследовались задачи эволюции стационарного решения нелинейного уравнения теплопроводности, уравнений реакции-диффузии и для абстрактного параболического уравнения после потери устойчивости вблизи простого вещественного собственного решения линеаризованной задачи. В случае кратного вещественного собственного значения матрицы линеаризованной системы подобное же исследование было проведено в работе В.А. Треногина и И.С Недосекиной [15]. В этих работах было показано, что при малых значениях параметра существует двухпараметрическое семейство решений, к которому при определенных условиях эволюционируют решения, начинающиеся в произвольно малой окрестности неустойчивого равновесия. Для каждой структуры есть области устойчивости и неустойчивости в пространстве параметров. Если параметры попадают в область неустойчивости данной структуры, то при определенных условиях может начаться запуск процесса самоорганизации, приводящий к более сложной устойчивой структуре или к динамическому хаосу. Задачу запуска процесса самоорганизации к желательной устойчивой структуре можно разделить на две подзадачи. Первая задача - это задача оптимального управления, целью которого является попадание конечной точки траектории (например, за кратчайшее время) в область, из которой может начаться процесс самоорганизации. Вторая задача заключается в исследовании самого процесса самоорганизации, когда параметры находятся в области неустойчивости простой структуры и устойчивости более сложной структуры. В столь общей постановке эти задачи не могут быть решены. Обычно решаются более частные, конкретно поставленные задачи. Актуальность задачи изучения процессов перехода от положения неустойчивого равновесия в режим самоорганизации для систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго и третьего порядков связана с тем, что они часто встречаются при решении задач управления. Кроме того, для многих моделей задач управления, описываемых системами обыкновенных дифференциальных уравнений более высокого порядка, устойчивые структуры связаны с определенными решениями систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго и третьего порядков. В данной работе будет рассматриваться тот случай, когда параметры системы находятся в области, в которой положение равновесия неустойчиво и есть устойчивый периодический режим. Известно, что такая ситуация может возникать, когда матрица линеаризованной системы имеет комплексное собственное значение с достаточно малой положительной вещественной частью. Также известно, какие дополнительные условия достаточно наложить на параметры, чтобы периодический режим был устойчивым (теория бифуркаций Андронова-Хопфа [16-19]). Если правые части уравнений являются гладкими функциями, то, как показывает качественная теория дифференциальных уравнений, интегральная кривая, начинающаяся- в окрестности положения неустойчивого равновесия, либо за конечное время уйдет в бесконечность, либо может быть неограниченно продолжена.
Построение приближённого решения
Рассмотрим систему, приведенную к нормальной форме (2.5). Введя полярные переменные С, = Re1 , получаем систему уравнений где функции y/x N,y/2 к имеют период 2тг по переменной в, непрерывно дифференцируемы и ограничены при 0 R RQ,— со в +оо, 0 є є0. При достаточно малых значениях R0 и є0 примем в в качестве независимой переменной. Уравнения (2.10) принимают следующий вид Функции D2k + l (є), Е2к (є) имеют производные всех порядков в точке є = 0. В дальнейшем удобно заморозить параметр є в коэффициентах Е 2к+1,Е2к, полагая D2k+l = D2k+] (є), Е2к = Е2к[є). В окончательных формулах следует положить є = є. Будем искать приближенное решение уравнения (2.14) в виде г = а\є2в). Для определения функции аут) получаем уравнение Решение уравнения (2.16), определенное на всей оси, имеет следующий вид где т0 - произвольный сдвиг. Функция а(т) строго возрастает на (- оо, + оо) и отображает (-оо, + оо) на интервал (0, і). Так как а{т)— 0 при т — -оо и а{т) \ при т— +оо, то функция а{т) взаимно однозначно отображает расширенную прямую на отрезок [0,1J. В дальнейшем будет оправдано предположение о том, что при достаточно малых значениях параметра є решение уравнения (2.14) имеет следующую структуру где р{0, о) ограниченная, непрерывно дифференцируемая на множестве (-со, +оо)х[0, і] функция, имеющая период In по переменной в и стремящаяся к нулю при а — 0. Делая в уравнении (2.14) замену переменной (2.17), получаем, что функция р{0? а) должна быть решением уравнения первого порядка в частных производных — + 2а\{1 - а2)— + 2ар + Ъар2 + ар3 + дв LV }да И И + j:s2k-2a D2k+ti + pfk+i]= (2.18) = 82N+2a2N+2(P(s у а(\ + р\в,є). Если функция р{ 9, а) определена, то в силу уравнения (2.15) функция ґ(в) определяется из уравнения dt d6 = 1 + є2а2(є2в)ф(р(в, а(є2в\ є\ в, а(є2в), є), (2.19) где Ф(р, 0,a,s) = Ys2k 2E2k(s)a2k-2(l + р)2к + к=\ + s2N+2a2N$(sya(\ + p\e,s). Ищем приближенное решение уравнения (2.18) в виде N ] к=\ Р = 8м{а)= 2крк{а). (2.20) Подставляя выражение (2.20) в уравнение (2.18) и приравнивая коэффициент при є , получаем уравнение Lpx = (і - а2 )р[{а) + 2арх (а) = -D5a2. (2.21) Если определены функции Р\\а),..., рк{а); к N, то функция рк+](а) определяется из уравнения Lpk = F(a, р, (а),..., рк_х (а)), 0 а 1. (2.22) где F\a, рх,..., рк_\) есть многочлен от переменных /?,,..., рк_х, не содержащий свободного члена. Дадим более подробное, чем в [22] описание класса функций, которому принадлежат функции рк{а). Рассмотрим множество Я[0, і] функций f{a), удовлетворяющих следующим условиям [1]: 1) Функции f\a) непрерывны на отрезке [0,1J, 2) \f(a) Cfa2, 3) \f{\)-f{a\ Cf4) a2 . Множество Н [0, і] является банаховым пространством с нормой ІИІ = SUP /W а2 1/(1)-/И + sup -— (2.23) хе\ [о,0 Vl-fl Из определения (2.23) следует, что
Построение приближённого решения
Замечание 3.3. В главе 2, для системы второго порядка было доказано существование такого числа eQ, что при 0 є є0 предельный цикл является областью притяжения для любой траектории, начинающейся из достаточно малой окрестности положения равновесия. В случае системы третьего порядка ситуация усложняется. При фиксированном малом значении параметра є траектория стремится к предельному циклу, если она начинается из некоторой области притяжения, зависящей от параметра є. В данной главе фактически показано, что область притяжения равномерно стремится к проколотой окрестности точки (О, О, О) при є — +0. Если при фиксированном значении параметра є траектория начинается из точки, не принадлежащей области притяжения, то поведение траектории может быть более сложным, например хаотическим, как это описано в многочисленных работах, использующих численные методы, например [2 В этой главе рассмотрим применение теории, построенной в предыдущих главах, к задачам, встречающимся в приложениях. Многие прикладные задачи теории управления описываются системами дифференциальных уравнений, содержащими несколько (два и более) параметров. Как уже говорилось выше, одна из трудностей исследования таких систем состоит в том, что при разных значениях параметров поведение решений может быть принципиально различным. Для того чтобы продемонстрировать интересующие нас особенности поведения решений, прежде всего, необходимо выделить многообразия в пространстве параметров, на которых интересующие нас явления наблюдаются. На трёх примерах покажем, что существуют такие значения параметров, при которых осуществляются описанные выше переходные процессы к устойчивому периодическому режиму. была предложена в 70-х годах XX века для моделирования некоторых химических реакций с целью решения задач управления. Система имеет два положения равновесия: Рассмотрим поведение системы в окрестности одной из особых точек, например, точки О,. Матрица системы, линеаризованной относительно точки О,: А = О -1 -О 1 а (4.2) Ъ О -//J Собственные значения матрицы А определяются из характеристического уравнения Рассматривается тот случай, когда характеристическое уравнение имеет два комплексно сопряжённых корня с малой положительной вещественной частью. Как известно, в этом случае положение равновесия системы является неустойчивым. Покажем, каким образом можно выбрать значения параметров так, чтобы у матрицы линеаризованной системы получились такие собственные значения. Обозначим собственные значения матрицы (4.2) через (для удобства проведения выкладок действительная часть комплексных собственных значений обозначена через as). Воспользовавшись теоремой Виета для (4.3), получаем систему уравнений: Заметим, что в случае выполнения одного из следующих условий дискриминант положителен и корни уравнения (4.5) действительные: + Я В частности, из (4.7) следует, что корни уравнения (4.5) будут действительными, если параметры удовлетворяют следующим условиям Из (4.8) следует, что в рассматриваемом случае g 1 параметр є можно выбрать малым, только если мало число b 12а(2 — а). Заметим, что в любом из случаев (4.7), (4.8) с помощью уравнений (4.4) можно разложить параметры /л, 8, г по степеням малого параметра. Далее покажем, каким образом можно приближённо описать процессы перехода к предельному циклу.
Системы Валлиса
Формула (4.14) не пригодна для вычисления коэффициента в случае, когда Ckpq(0) = 0. В этом случае коэффициент в форме Vts k\(C) при степени СГСіСз нельзя обратить в ноль, но можно упростить, принимая (е) = 0. "ИЛ Нетрудно показать (см. Главу 3), что все коэффициенты C"2pii(0)& О, поэтому квадратичную форму можно обратить в ноль, вычисляя коэффициенты по формуле (4.14) при к = 2. Форму третьего порядка VS3\) полностью обратить в ноль невозможно, так как при некоторых наборах значений параметров m,p,q коэффициенты при w"fq оказываются малыми. Это происходит в следующих трёх случаях: m = 2,p = l,q = 0, т = і, тр-2, q = 0, т = \, p = l, q = \. Положим соответствующие коэффициенты равными нулю: Все остальные коэффициенты можно вычислить по формуле В системе (4.13) форму 4 порядка так же, как и форму второго порядка, можно полностью обратить в ноль (ввиду отсутствия малых знаменателей в соответствующих уравнениях). Таким образом, с точностью до малых пятого порядка, система (4.13) приводится к виду Если перейти к обозначениям с,х = ", "2 = 4\ "3 = rj, то получим систему Переходя в системе (4.15) к полярным координатам с помощью замены С, — те1 , получаем систему которая легко решается. Первое уравнение — это уравнение с разделяющимися переменными. Ограниченное на всей оси решение получится, только если с, 0. Оно записывается в виде «=,- Решения второго и третьего уравнений системы (4.16) находятся интегриро ванием: где t{), кх к2 — произвольные постоянные. Если в (4.18) положить t = 0, получим ;-(о)= /- — Заметим, что г(о) может быть сделано сколь угодно малым за счёт выбора произвольной постоянной /у. Таким образом, любое малое отклонение из положения равновесия порождает траекторию, стремящуюся к предельному циклу. Несложно видеть, что при t — +00 получается, что г (У)—» const, 7(0 0 (за счёт того, что д — это отрицательное и большое по модулю число). Таким образом, решение системы приближается к предельному циклу, а функция 0(t) задаёт скорость движения по этому циклу. Формулы (4.17), (4.18) и (4.19) приближённо описывают процесс перехода от неустойчивого равновесия к устойчивому циклу. Коэффициенты в этих формулах можно приближённо вычислять с помощью программ символьных вычислений. Если оставлять в уравнениях более высокие степени малого параметра є, то можно получить и более точные решения системы.
