Содержание к диссертации
Введение
1 Негладкая задача вариационного исчисления с переменным запаздывающим аргументом 23
1.1 Постановка основной задачи с переменным запаздыванием 23
1.1.1 Постановка основной задачи 23
1.1.2 Эквивалентная постановка задачи 23
1.2 Постановка вспомогательной задачи с постоянным запаздыванием . 24
1.2.1 Постановка вспомогательной задачи 24
1.2.2 Эквивалентная постановка вспомогательной задачи 25
1.3 Точная штрафная функция вспомогательной задачи с постоянным запаздыванием 26
1.3.1 Точная штрафная функция 26
1.4 Игольчатая вариация функционала Фд 28
1.4.1 Функционал Фд 28
1.4.2 Игольчатая вариация функционала ФА при 6>i,02 Є [О, Г-Л) 29
1.4.3 Необходимые условия сильного экстремума 41
1.4.4 Исследование двухточечного необходимого условия 42
1.4.5 Игольчатая вариация функционала Фд при 9г Є [О,Г - h), 92 Є [Т - htT) и при ви62Є[Т-Н,Т) 46
1.4.6 Необходимые условия сильного экстремума
1.4.7 Исследование двухточечного необходимого условия 48
1.5 Необходимые условия сильного экстремума 52
1.5.1 Необходимые условия экстремума 52
1.6 Условие Лежандра-Клебша 52
1.7 Условия Эрдмана-Вейерштрасса 55
1.8 Необходимые условия для основной задачи с постоянным запаздыванием 61
1.9 Необходимые условия экстремума для основной задачи 64
1.9.1 Двухточечное необходимое условие 64
1.9.2 Необходимые условия сильного экстремума для основной задачи 67
2 Негладкая задача вариационного исчисления с ограничениями типа x'(t) — l(x{t),t) < 0 70
2.1 Введение 70
2.2 Постановка задачи 70
2.3 Эквивалентная постановка задачи 71
2.4 Точная штрафная функция 72
2.5 Игольчатая вариация функционала f(z) 72
2.6 Вариация функции (p(z) 78
2.7 Необходимые условия сильного экстремума . 84
2.8 Исследование двухточечного необходимого условия 85
2.8.1 Случай первый 86
2.8.2 Случай второй 92
2.9 Негладкая задача вариационного исчисления с ограничениями типа l{x(i),t) <0 95
2.9.1 Постановка задачи 95
2.10 Необходимые условия сильного экстремума . 95
2.11 Необходимые условия экстремума 96
3 Задача вариационного исчисления с отклоняющимся аргументом 98
3.1 Введение ' 98
3.2 Постановка задачи 98
3.3 Эквивалентная постановка задачи 99
3.4 Локальные минимумы 102
3.5 Свойства функции ip - 104
3.5.1 Классическая вариация z 104
3.5.2 Случай z$'Z 108
3.5.3 Случай ze Z 114
3.6 Точная штрафная функция 119
3.6.1 Свойства функции G 119
3.7 Необходимые условия экстремума 126
Заключение 132
Литература 133
Приложение 139
- Постановка вспомогательной задачи с постоянным запаздыванием
- Игольчатая вариация функционала ФА при 6>i,02 Є [О, Г-Л)
- Необходимые условия сильного экстремума
- Игольчатая вариация функционала f(z)
Введение к работе
Вариационное исчисление имеет более чем трехвековую историю, является составной частью теории оптимизации и по сей день не стоит на месте. Сложные задачи, возникающие в механике, экономике, биологии и других науках, предъявляют все более жесткие требования, новые конструктивные методы решения. Благодаря развитию негладкого анализа появилась реальная возможность решать многие из этих задач, осмыслить предыдущий опыт, по-новому взглянуть и обобщить уже знакомые вещи. Большие возможности в развитии вариационного исчисления возникли в результате развития выпуклого анализа, теории минимакса, квазидифференциального исчисления.
В работах по гидродинамике Л. Эйлер заметил (см. [67], [43], [25], [2]), что на поведение жидкости в данный момент времени влияет ее поведение в предыдущие моменты времени, т.е. предыстория. Задачи, связанные с геометрией, привели Эйлера к изучению уравнений, в которых производная в текущий момент зависит от значений функции в предшествующие моменты. Аналогичные явления также были замечены в механике сплошных сред и в изучении полета электрона. Однако систематическое изучение свойств уравнений с последействием началось только с 1910 г., именно с работ О.А. Полосухиной, Э. Шмидта, Ф. Шюрера и Г. Хильба. Начиная примерно с 1937 г. почти одновременно Р. Беллманом, А.Д. Мышкисом, Е. Райтом эти изучения были связаны с потребностями прикладных наук и в первую очередь потребностями теории автоматического регулирования, а именно, с резким усложнением систем авто регулирования.
Известно, что электронная система передачи и обработки сигналов содержит емкости, индуктивности, трансформаторы с длинными проводами, по которым с конечной скоростью перемещается ток. Все это замедляет скорость реагирования системы по сравнению с реальным временем протекания процесса, например процесса работы другого электронного прибора.
Еще одним примером задержки сигнала в цепи обратной связи является ЭВМ, работающая как составная часть большой системы. Например, на космическом аппарате вычислительная машина, решающая большое количество задач, не способна обработать все сигналы сразу и мгновенно. И тогда приходится формировать управляющие воздействия со значительной задержкой.
Следующая задача оптимального управления приводится к рассматриваемым в диссертации задачам. Пусть управляемая система описывается уравнением с отклоняющимся аргументом вида x(t) ~ f (x(t),x{t - Л), x(t - h), t) + cu(t), (0.1) где x(і) — функция, описывающая поведение системы, a u(t) — управление, действующее лишь на отрезке [0,Т]. — 7 —
При заданном управлении u(t) поведение системы (0.1) определяется, если задать начальную функцию на отрезке длиной h. Пусть известно поведение <р() системы (0.1) на отрезке [— Ті,0] и требуется так выбрать управление, чтобы в момент Т траектория движения проходило через заданную точку хі. При этом требуется минимизировать функционал т u2{t) dt. (0.2)
Условие (0.2) можно трактовать как требование о минимизации энергии, ис пользуемой для управления системой. Выражая u(t) из уравнения (0.1) и подставляя в функционал (0,2), приходим к задаче о минимуме функциона ла _ / [x{t)-f{x(t),x(t-h),x{t Jo с краевыми условиями x{t)'=(p(t) .при ie[-h,0]; ft),*)]2 dt . (0.3) ж(Т) = xj.
Очевидно, что задержка сигнала происходит и в том случае, когда управление некоторыми техническими объектами ведется на большом расстоянии. При этом необходимо время на доставку сигнала управления к объектам.
В. экономических системах отклоняющийся аргумент обычно содержится в управлении, и запаздывание управляющего сигнала может измеряться годами, а иногда и десятилетиями [35], [25].
Характерными примерами экономических задач с отклоняющимся аргументом (запаздыванием) в управлении являются задачи, в которых имеет место: запаздывание ввода в разработку производственных мощностей в зависимости от выделенных ресурсов; задержки в пути, на складах, в производстве и т.д.
Все большее проникновения математики в социологию, медицину, биологию и другие разделы приводит к созданию математических моделей процессов. При этом многие из моделей содержат уравнения с последействием.
Проблемы поиска экстремума сложных, целевых функций при наличии ограничений естественным образом появляются при решении самых разнообразных прикладных задач. Для численного решения задач оптимального управления не существует универсальных методов. Принцип максимума Л.С. Понтрягина [48] и метод динамического программирования Веллмана [3] являются мощными математическими методами для исследования задач оптимального управления. Диапазон прикладных задач, в которых эти методы нашли эффективное приложение, очень разнообразен. Заметим, что предположения о гладкости использовались существенно и входили в формулировки основных результатов теории оптимальности.
Существует большое количество практических задач, где как функционал качества, так и ограничения описываются негладкими функциями [12], [9], [14], [19], [53]-[59], [60], [63], [72], [73], [74], [37]. Такие задачи требуют разработки специальных методов исследования. Теория и методы исследования негладких функций получили в 70-х годах существенное развитие в работах Д. Варги, Дж. Данскина, В.Ф. Демьянова [48]-[69], А.Д. Иоффе [29], Ф. Кларка [33], Б.Ш. Мордуховича, Е.А. Нурминското, Б.Н. Пшеничного [49]-[50], Р. Рокафеллара [51], A.M. Рубинова [20], В.М. Тихомирова, В.В. Федорова [60], Н.З. Шора [63] и др. Одновременно с исследованием необходимых условий оптимальности в различных задачах теории управления шла разработка численных методов их решения. Здесь можно отметить наряду с выше указанными работы Ф.П. Васильева [6], Т.К. Виноградовой [8]-[9] и [37], Н.Л. Григоренко, Ю.Г. Евтушенко, А.П. Жабко [25], В.И. Зубова [27]— [28], В.В. Карелина [37], Н.Е. Кирина, И.А. Крылова, В.В. Кулагина [37], А.Б. Куржанского, Н.Н. Моисеева [40], С.К. Мышкова [37], М.С. Никольского, Л.Н. Полякова [18] и [37], Р.П. Федоренко, Ф.Л. Черноусько [61] и др.
Одним из примеров задач оптимального управления с негладким критерием качества являются задачи на минимакс.
В работах [14], [9] для функционала /ТJ (и) = max / g(x,u}z}r)dr, (0.4) zz Jo где Z — компакт в Mra, с использованием различных видов вариаций [20] управления были получены необходимые условия в форме поточечного, пакетного и интегрального принципов минимакса.
В [12] необходимые условия в виде принципа максимума для функционала (0.4) были получены с использованием техники, развитой А.Я. Дубовицким и А.А. Милютиным.
Как и при решении практических задач, так и в самой математике возникают задачи не дифференцируемой оптимизации. В настоящее время численные методы решения задач оптимального управления даже с гладким функционалом строятся в основном на необходимых условиях оптимальности.
Приведем в качестве примера еще две минимаксные задачи оптимального управления, которые могут быть исследованы методами, рассмотренными в диссертации.
Задача об оптимальной стабилизации спутника. Следуя работе [61], рассматривается задача о торможении вращательного движения спутника при — 9 — помощи установленных на нем двигателей. Минимизируемой величиной в задаче является тормозной импульс.
Движение спутника относительно его центра инерции в некоторых случаях можно рассматривать как вращение твердого тела вокруг неподвижной точки и описывать это вращение динамическими уравнениями Эйлера (J/D (LQ (ІЛГ
А-± + (С- B)qr = oi«i, В— + (А - С)гр = а2и2, С— + {В~ A)pq = а3щ. at at at (0.5)
Здесь А, В, С — главные центральные.моменты инерции, р, q, г — проекция угловой скорости на главные центральные оси инерции. В правых частях системы стоят моменты сил относительно этих осей.
Предполагается, что моменты создаются тремя двигателями, закрепленными на теле. Двигатели создают тяги щ, щ, щ; плечи приложения сил ai,
Предполагая, что в начальный момент тело вращается, запишем начальные условия для системы (0.5):
Р=Р0, a = Q0: г = г0г ПРИ t = 0.
Задача заключается в определении управлений щ, щ, щ, затормаживающих к фиксированному моменту t — Т вращение спутника V — 0) Я — 0, г — 0, при і = Т и минимизирующих функционал (максимальный импульс) іах / =1=3 /0 J = max І І uA dt.
Второй пример. Математические модели автономных подводных морских подвиэ/сных объектов (МПО). Данная задача более подробно изучена в работе [7]. Рассмотрим полную систему, представленную в виде где х — полный вектор состояния МПО, fou± — вектор внешних сил и моментов, не зависящий от вектора ж, S — вектор состояния исполнительных органов системы управления. Наряду с объектом (0.6), введем в рассмотрение математическую модель динамики приводов: * = ВД«), (0-7) а также некоторую конкретную математическую модель алгоритмов автоматического управления, т.е. уравнения законов управления u = L(x,6,t), (0.8) где через и обозначен вектор управляющих сигналов, а через L — некоторый оператор, заданный на движениях МП О и приводов, и в общем случае зависящий от времени. В частности, в качестве (0.8) можно принять уравнения некоторых упрощенных тестовых законов управления.
Рассмотрим какое-либо определенное движение x(t) МПО, удовлетворяющее замкнутой системе управления (0.6)-(0.8) при определенных начальных условиях ж(0) = #о, 5(0) = 80 и определенных внешних воздействиях fout — /(*)
Теперь введем в рассмотрение упрощенную по отношению к (0.6) математическую модель МПО, которую мы представим в виде системы дифференциальных уравнений xs = Fs{xs,8Jmhk), (0.9) где через xs обозначен вектор такой же размерности, что и ж, определяющий состояние полной математической модели (0.6) объекта управления. Выбор вектор функции Fs определяется заданием структуры уравнений упрощенной системы.
При выбранной структуре, а следовательно — при заданном виде вектор-функции Fs, необходимо указать те числовые параметры, назначения которых регулируют меру адекватности упрощенной модели по отношению к исходной. В уравнениях (0.9) эти параметры объединены в вектор S; Є R?, который подлежит выбору на последующем этапе упрощения.
Выбор вектора к Є W настраиваемых параметров упрощенной модели осуществляют в процессе решения задачи идентификации, существо которой сводится к следующему. Зафиксируем некоторый вектор к и найдем движение xs(t, к) МПО в замкнутой системе (0.9), (0.7), (0.8) при тех же начальных условиях же(0) = жо, 5В{0) = 5q и внешних воздействиях fmt — f(t), при которых строилось движение x{t) в системе с моделью МПО (0.6). Введем вектор e(t,k) = x(t) — x(t, к) невязки между двумя рассмотренными движениями МПО, удовлетворяющими исходной и упрощенной системам, соответственно. В качестве числовой характеристики невязки, можно принять следующее выражение
1(к) = max / \xi(t) - %i{t,k)\dt . (0.10) »=l:n j0
Очевидно, что качество представления динамики МПО с помощью ее упрощенной модели будет тем выше, чем меньше величина 1{к). В связи с этим ставится следующая оптимизационная задача
1(к) —J- min, х l kettk где через Qfc обозначено допустимое множество настраиваемых параметров. — 11 —
Допустимое множество, в простейшем варианте, представимо в виде: &k ~ {к Є Ж | kji < kj < kj2, j = 1 : p} .
Здесь величины kji, kj2, ограничивающие искомые параметры снизу и сверху, задаются заранее из физических соображений.
Вариационные методы и принципы играют важную роль во многих разделах механики, математической физики и прикладной математики [61]. Интерес к вариационным задачам объясняется рядом причин: многие фундаментальные законы механики и физики имеют характер вариационных принципов; в теории управления вариационные формулировки возникают при требовании оптимальности управляемого процесса; вариационные методы часто оказываются эффективным средством численного решения разнообразных задач.
В начале развития теории оптимизации применялись простейшие вариации — вариации по направлениям [21], [22], [29]. Так были получены необходимые условия в задачах конечномерного анализа и в классическом вариационном исчислении. Помимо вариаций по направлениям, в вариационном исчислении применялись вариации иной природы, метод локальных вариаций [61]. Вейерштрасс для вывода необходимых условий сильного экстремума применял вариации, получившие название "игольчатых" [11], [69]. В теории оптимального управления использование игольчатых вариаций позволило получить новые условия ("принцип максимума" Л. С. Понтрягина [48]). Ниже применяется двухточечная вариация игольчатого типа (компенсирующая вариация см. [16], [15]), с помощью которой удается получить необходимые условия , пригодные и для исследования некоторых негладких задач вариационного исчисления (см. [53]-[59]).
В настоящей работе изучается задача нахождения экстремальных значений функционала / на множестве Q метрического пространства X. Такая задача называется задачей условной оптимизации [15]. В данной работе реализуется следующая общая схема решения задачи условной оптимизации (случай Q ф X). Задача нахождения экстремума функционала / на множестве О сводится к задаче оптимизации некоторого (вообще говоря, отличного от /) функционала на всем пространстве X. Указанное сведение проводится с помощью точных штрафных функций. Присутствующий в точной штрафной функции неизвестный множитель А при помощи двухточечной "компенсирующей" вариации игольчатого типа "исчезает".
Разработанный аппарат позволяет не только вывести единообразным и стандартным способом большинство известных классических результатов вариационного исчисления, но и получить "новые" условия в форме, допускающей их конструктивную реализацию. В качестве других применений изложенного подхода, не описанных здесь, отметим задачи теории оптимального управления как с гладкими, так и негладкими функционалами.
Содержание диссертационной работы включает в себя данное введение, список основных обозначений, три главы, содержащих основные результаты, приложения, списка литературы из 75 наименований и имеет общий объем 149 страниц.
В первой главе рассматривается негладкая задача вариационного исчисления с переменным запаздывающим аргументом. В параграфе 1.1 приводится постановка основной задачи. Исследуется на экстремум функционал fT1{х) = max / Fi(x(t),x(t - h(t)),x'{t),x'(t - h(t))}t) dt (0.11) при условиях x(t) = x0(t) V t Є [-fc(O), 0]; x(Q) = xQ(Q) = x0 и x(T) = хг. (0.12)
Функция h(t) — непрерывно дифференцируемая, положительная и удовлетворяющая условию h'(t) < 1 на [—h(0),T], подынтегральные функции Fi{x1 x,z,z,t)vi є I : N будем считать непрерывными вместе с —- и -т~ по всем ох ох своим аргументам на Mr х [0,Т], а заданную функцию Xo(t) — дифференцируемой при всех t [—ft(0), 0].
Требуется найти х* Г, такое, что
I(x*) = min/(ж), (0.13) Q = { х Є Р*[0, Т] | х(0) = х0, х(Т) = азі }. (0.14)
В параграфе 1.2 приводится постановка основной задачи, но при условиях, что N — 1 и запаздывание постоянное, т.е. h(t) — h ~ const.
Примером вариационной задачи такого типа может служить задача о минимуме времени, необходимом на перемещение точки A{0,xq) в положение B(T,xj), если скорость движения V(t,x(t), x(t — h)) зависит не только от положения точки в данный момент, но и от некоторого предшествующего положения движущийся точки. Задача сводится к исследованию на экстремум функционала у/1 + x>2{t) f0 V(t,x(t),x{t~h)) При этом естественными граничными условиями будут, например x(t) — хо(і) при — h < t < 0 и х{Т) = х\.
Далее, производим замену переменных x(t) ~ х0 + / z(t) dr, Jo — 13 — т.е. переходим от пространства фазовых переменных x(t) Є fi к соответствующему пространству производных z(t) = x'(t) Є Z. В пункте 1.2.2 сформулирована задача после указанной выше замены переменных. А именно, исследуем на экстремум функционал рТ rt pt—h f(z)= F(x0+ / г(т)іїт,х0+ / z{r)dT,z(t),z(t-h),t)dt (0.15) Jo Jo Jo на множестве Z={zzP[0,T\\x0+ f z(t)dt = xA, (0.16) где jP[0, Г] — класс кусочно-непрерывных ограниченных на [0,Т] функций. Затем доказывается, что задача
1{х) —> min (0.17) эквивалентна задаче f{z) —> min (0.18) в том смысле, что если ж* є О — решение задачи (0.17) (где JV = 1 и запаздывание h(t) ~ h — const), то функция z*(t) = x*'{t) является решением задачи (0.18); и обратно, если z* Z доставляет минимум функционалу / на множестве Z, то функция x*(t) = Xq -f l z*(r)dr является решением задачи Jo (0.17).
Точная штрафная функция для задачи (0.18) и ряд метрик в пространстве
Р[0,Т] введены в параграфе 1.3. Положим
Ы*) = f(z) + Ау.(г), где А > 0, Ф) = dt-\-XQ — х\
Функция Фд(г) называется штрафной функцией, а число А — штрафным параметром. В [15] (см. также [17]) показано, что функция Фд(#) является функцией точного штрафа. Далее в параграфах 1.4-1.8 исследуется функционал Фд(г).
Понятие двухточечной игольчатой вариации вводится в параграфе 1.4. Выберем и зафиксируем произвольные ц Є (0,1), v Є Ж, v\ Є М, &і7 &% Є [О,?7), где 9t<$2-
Возможны 3 случая: І)0і,02Є[О,Т-А),
II) $х Є [0,T - h), а 02 Є [Т - h,T)}
В пункте 1.4.2 рассматривается случай J, когда 0i, 02 [0,Т — fr). Тогда при достаточно малых є > 0 будет (01,01 + ^) с.>(*),. (02,02 + (1-^К)сОД, ; l" j где Д(^) — множество точек [О, Т], в которых функция z{t) непрерывна. Положим ( z(t), t [0і,0ї + ^) U [02, 02 + {1 -rj)e), . Ф) = \ v, te [01,01 + т?є), (0.20)
Функция #є() кусочно-непрерывна на [0, Г], т.е. ^(і) Є F[0,T] для всех є > 0, удовлетворяющих (0.19). Функция Д#() — z(t) — z{t) называется двухточечной вариацией кривой z(t).
Далее с помощью (0.20) выводится двухточечная вариация функций x(t):, z(t — h), x{t — К).
В результате получаем разложение
ФаЫ - Фх(«) = zHi(z,z, 01, 02, т?, v, vi) + о(е), (0.21) #1 (^,2,01, #2, *7, U, Vl) = = ч[ V^F(ffi) + V^fc + 00 + (v - zfa)) [ih(!h) + ^(ft + 0і)] | + + (1 - Ч){V,1)gF(02) + V,wF(h + 02) + + ( - ^(02)) [^і(02] + ifa(h + 02)] | + АД^. (0.22)
Известно [15], что если z* Є Z — точка локального минимума функционала f(z) на множестве Z, то в этой точке должно выполняться необходимое условие минимума функции Фд(#): $x(z) - ФА(>) \1(~*\ —
Ф\(г*) = liminf ^И ^^ > 0.
В пункте 1.4.3 приведены необходимые условия экстремума.
Теорема 0.1 Для того, чтобы точка z* Є Z доставляла минимум функционалу f(z) на множестве Z, необходимо, чтобы ^OiA^[0JT~h]Jv,v1&Rtr}e[0Jl]. (0.23)
Учитывая (0.22) и то, что
4VJlF(e) = F(x(0)7x(e-h),v,z(e-k),e)- - F(x(9),х(в- h),z(9),z(9 - h),9), (0.25) ' V,tVF(h + e) = F(x{h + 0)1x(9),z(h + 0)tv1h + O)- - F(x(h + в), х(в), z(h + 9), z{9), h + Є), (0.26) фг(в) = J F'x(x{t),x{t ~ h), z(t),z(t - h),t) dt, (0.27) Ін{9)^ f F^(x{t),x(t-h),z(t)yz(t-h),t)dt/ (0.28)
Функции под знаком интеграла в (0.27) и (0.28) кусочно-непрерывны, поэтому фі(в) и ф2(0) непрерывны и кусочно непрерывно-дифференцируемы.
Неравенство (0.24) называется двухточечным необходимым условием, для задачи с постоянным запаздыванием.
Далее, в пункте 1.4.4 проводится более детальное исследование условия (0.24). Возьмем любые г\ Є [0,1), v Є R, а в качестве v\ положим «1 =^(02)-^(^-^)).
Тогда множитель при А в последнем слагаемом в левой части (0.24) обратится в нуль. Справедливо следующее утверждение:
Теорема 0.2 Для того, чтобы точка z* Є Z доставляла минимум функционалу f{z) па мноокестве Z, необходимо) чтобы #і{У,2*, 01, 02, и, а) = = Vw*F(0i) + V,,,.F(A + 0i) + + (v - г*(0і)) [<0i(0i) + «ft + 0j) - фх{в2) - Mh + 02)] + + Цр{х*{Є2),х*{в2 - h),z*{02) - a(v - z*(9i))t z*{92 - h),02) - - F(x*(62),x% ~ h)iZ*{Q2),z*{e2 - ft),02) + + F(x*{B2 + ft), s*(02), ^*(02 + ft), 2*^2) - a(v - z*(0a)), 02 + ft) - - F(X*{02 + ft),Z*(02),2*(02 + ft),^*(02),02 + ft)) > 0 V0b 02 Є [0, T - A], v Є Ж, a > 0. (0.29)
Следствие 0.1 Накладывая на F(x7 ж, z, z: t) требования дифференцируемо-emu no z и z, из (0,29) при a 4- 0 имеем V^F(0!) + VXtVF(h + 0i) + + (« - **№)) [«00 + «ft + *0 - ^i№) - «ft + 2) - -(«-^№)){^№) + W + 02)} = - vu,^(01) + v^a + 00 + + (U - й*(0і)) {«0i) + «A + 0i) - 1/(02) - «Л + 03) - - i^(02) - i^A + 02)} > OV0i, 02 Є [0,T - A], w є Ш. (0.30)
Условие (0.30) называется обобщенным необходимым условием Вейершт-расса для задачи с постоянным запаздыванием.
Следствие 0.2 При v = z*{9\) функция H1(v) = H1(z\z*,e1,e2,v,a) в (0,29) достигает своего наименьшего значения, равного нулю. Поэтому, если F(x, х, z, z, t) дифференцируема по z и z, то по необходимому условию минимума функции H~i[v) в точке v = z*{9i) имеем необходимое условие dHi{v\ dv v~z*{9x) — 17- pt ph+t Kit) (*) + K{t-k) (* + *)=/ K(t) (r) dr + / 2. (r) rfr + С Vie [О, Г-ft]. (0.31)
Условие (0.31) называется интегральным уравнением Эйлера для задачи с постоянным запаздыванием.
В пунктах 1.4.5-1.4.7 аналогично случаю / рассматриваются случаи II и III.
В параграфе 1.5 собраны окончательные результаты по всем трем рассмотренным случаям, а именно необходимые условия сильного экстремума.
Условия Лежандра-Клебша и Эрдмана-Вейерштрасса приведены в параграфах 1.6 и 1.7, соответственно.
Необходимые условия экстремума для основной задачи с постоянным запаздыванием выписаны в параграфе 1.8.
Двухточечное необходимое условие, обобщенное необходимое условие Вей-ерштрасса, уравнения Эйлера в интегральной и дифференциальной формах, для основной задачи с переменным запаздывающим аргументом при N = 1 и N >.1 приведены в параграфе 1.9.
Во второй главе рассматриваются две негладкие задачи вариационного исчисления с ограничениями типа x'(t) — l(x(t),t) < 0 и l(x(tf), і) < 0, соответственно.
Постановка задачи с ограничением типа дифференциального неравенства дана в параграфе 2.2. Пусть Т > 0 фиксировано, а функция l(x,t) непрерывна вместе с gj-;'j по всем своим аргументам на Ж X [0, Г].
Зафиксируем жо 1 и хі Є 1. Положим
О = { х е Р^О, Т] | х(0) = х0, х(Т) = хъ x'(t) - l(x(t),t) < 0 V* Є [0,Г]}. (0.32)
Предположим, что ГЗ т^ 0- Рассмотрим функционал
1{х)= f F(x{t),x'(t),t)dt, (0.33) где подынтегральная функция F(x,z,t) непрерывна вместе с -—— по всем их своим аргументам на 1 х R х [О, Т].
Требуется найти ж* є Г, такое, что
I{x*)=uanl{x). (0.34) — 18-
В параграфе 2.3, снова с помощью замены x(t) = х0 + / z{r) dr, прово- (0.35) (0.36) (0.37) (0.38) (0.39) (0.40) (0.41) Jo дится переформулировка поставленной выше задачи. Рассмотрим функцио- f(z)= [ F(x0+ f z(r)dT,z(t),t) Jo Jo на множестве Z^{zP[0,T] | Л0(Т,)=0, /a(M) = 0We[0,T]}, где ho(T7 z) := xq — x\ + і z(t) dr7 hi(t,z) := z(t) - Z(rp0 + / ^(r)
Показано, что задача f(z) —) min. эквивалентна задаче
В параграфе 2.4 вводится точная штрафная функция Ф\^) — f(z) + \
Применяя двухточечную игольчатую вариацию к задаче (0.35)-(0.36), в параграфе 2.5 получаем вариацию функционала f(z): /() - f(z) = 1{хе) - 1{х) = i)\ VvF(Bi) +{v~ z(*0)VW \ + + (1 - v)\VVlF(e2) + («і - г(62))ф{0й) ф{9)= J Fl(x{i),z(t),i)dt, Jo VvF(t) = F(x(t),v,t) - F(x{t),z(t),t). + о(є), (0.43) — 19-
Вариация функции
Двухточечное необходимое условие имеет следующий вид.
Теорема 0.3 Для того, чтобы точка z* являлась сильной экстремалью, необходима, чтобы *?(veF(0i) + (v - г*№)Ж0і)} + + max Wi(t)>0 Vi6cr0(.O AL[max{o, и - l(s*(0i),0i)}wi(*i) + + (v-«*№))[wb-W«i)]] + + (1-77} [maxjo, vi - /(гг*(02), 02)}уч(02) + + («1 - з?&2)) [wo - ^1()]] J > 0 V 0b02 [0,7], u, «1 R, 4 [0,1]. (0.45)
Более детальное исследование двухточечного необходимого условия (0.45) проводится-в параграфе 2.8. Это исследование разбивается на два случая. Получены обобщения условий Вейерштрасса, уравнений Эйлера в дифференциальной и интегральной формах:
ГТ Гт дііх(т) г) РкФ) + I Fl{t){x{r),z(rlr)dT + C^ ^' V(r)rfr- - Cwx(t) - CwQ = 0 Vtecr0(z*). (0.46)
Условие (0.46) является обобщением "интегрального уравнения Эйлера".
В параграфе 2.9 приведена постановка негладкой задачи вариационного исчисления с ограничениями типа l{x{i),tj < 0. А именно, пусть Т > 0 и ч - dl(xyi) фиксировано и функция l{x,t) непрерывна вместе с —^—- по всем своим аргументам наЁх [0, Т]. Зафиксируем жо 6 К и Ж] ft. Положим П = {ж Р^О.Т] | х(0) = <г0, х(Т) = хи l(x{t),t) < 0 Vt Є [0,Т]}. (0.47) Требуется найти ж* Є П, такое, что ф*) = тт1(ж). (0.48)
Здесь функционал /(ж) тот же, что и в задаче (0.34).
С помощью выкладок, аналогичных тем, что были сделаны в параграфах 2.3-2.8 для задачи (0.34), в параграфах 2.10-2.11 получаем двухточечное необходимое условие, ряд следствий из него, обобщенное необходимое условие Вейерштрасса и уравнения Эйлера. В частности, доказывается, что имеет место условие F*(*) + / K«r)tz{r)tr)dr~ fT Ql (x (t) t) -C d Vffl dt - Cw0 = 0 Vt Є
Условие (0.49) является обобщением интегрального уравнения Эйлера.
В третьей главе рассмотрена вариационная задача с ограничениями сложной структуры. В параграфе 3.2 приведена постановка следующей задачи:
Зафиксируем у$ єЖжуї Є Ж, такие, что уо <уі. Положим to = min{0,3/0}, t\ — max{T, уі} и введем множество функций
П = | [у, и] СМО, Т] х С%, h] | у(0) = »0) у{Т) = уъ / u(t)dt = 1, l{y{t\y!{tlu{t),u(y{t)),t) = О, y'(t) > 0 Vt Є [0, T], u(t) > 0 Vt є [t0, *i] V (0-50)
Положим ж = [y,«] и рассмотрим функционал /(ж) = 1{у,и) = /* 2^),y'(t),u(t),n(y(t)),t) dt, (0.51) — 21 — где подынтегральную функцию F(y, у, и, и, t) и функцию I {у, у, и, и, і) будем dF dF dF dF Ы dl ді ді считать непрерывной вместе с -^-, -тгг, -т—) -^Г) ~тг, 77= > 7Т~ и тгг по всем оу аг/ aw aw 'ay ду аи ои своим аргументам на Ж4 х [О, Т].
Требуется решить следующую задачу: 1(х) —У rnin.
В параграфе 3.3, после замены переменных, сформулирована эквивалентная постановка задачи. В этом же параграфе доказана их эквивалентность. Пусть
Щ+ I Z2(r)dr = J bo
У(*)=9Ь+ / e*(T)<*r' "(*) = Jo гі(*)єС[0,Г], z2{t) Є Clto,^}, щеЯ тогда имеем автоматическое выполнение следующих условий из (0.50):
3/(0) = Уо, y'{t) = егі^ > 0 Vt Є [0,Т] и u{t) > 0 Vt [t0, ti]. Множество Z можно представить в виде Z={z = [zi,Z2,uo]U | *>(*) = 0 }, (0.52) где I/ = С[0,Т] х C[t0, ij х Ж, (0.53) ?(2Г) = [ h22(t,z)dt + hl{t0,tbz) + hl{T,z) Jo h0(T,«) := № - ух + / е*<т> dr, (0.54) /*i «о+/ ^г(т) dr (*о,*ъ*) := / е ^
Щ+ I z2(r)dT * ,). (0.56) ; 7t0
Далее с помощью классической вариации, получены выражения вариаций функционалов В параграфе 3.6 представлены теоремы, при удовлетворении условий которых функция f(z) + Xcp(z) является функцией точного штрафа. — 22- В последнем параграфе приведено необходимое условие экстремума. Это условие было использовано при построение численного алгоритма поиска экстремалей. В заключении приведен краткий обзор проделанных исследований, сформулированы основные результаты диссертационной работы. В первом параграфе Приложения содержатся алгоритмы и методы решения задач, рассмотренных в третьей главе, а также приведены примеры. Во втором параграфе описан пример решения задач, исследованных во второй главе. Диссертация в целом, а также ее отдельные положения и полученные результаты докладывались на XIII международной конференции "Проблемы теоретической кибернетики" (г. Казань, 2002); на международном симпозиуме International School of Mathematics "G. Stampacchia" 38th Course "Variational Analysis and Applications" (Erice - Sicily, 2003); на XII Всероссийской конференции "Математическое программирование и приложения" (г. Екатеринбург, 2003); на XXXII, XXXIII, XXXIV и XXXV научных конференциях "Процессы управления и устойчивость" факультета прикладной математики - процессов управления СПбГУ (г. Санкт-Петербург), а также на семинарах кафедры математической теории моделирования систем управления СПбГУ. По результатам выполненных исследований опубликовано восемь печатных работ [53]-[59], [74]. — 23- Пусть Т 0 фиксировано. Если х Є Рг[0,Т} и to Є [0, У) — точка разрыва функции х (і), то для определенности будем считать, что где /і — постоянное положительное запаздывание, а функцию F(x,x,z,z7t) dF OF будем считать непрерывной вместе с -г— и -— по всем своим аргументам ах ох на Ш х [О, Т], а заданную функцию хоОО дифференцируемой при всех іє[-Л,0]. Требуется найти х Є Гі, такое, что Примером вариационной задачи такого типа может служить задача о минимуме времени, необходимом на перемещение точки A(Q,XQ) В положение В(Т,х\), если скорость движения V(t,x(t}, x(t — h)) зависит не только от положения точки в данный момент, но и от некоторого предшествующего положения движущийся точки. Задача сводится к исследованию на экстремум функционала естественными граничными условиями будут, например формулируем поставленную выше задачу (1.14)-(1.15). Положим где Р[0, Т] — множество кусочно-непрерывных ограниченных на [О, Т] функций. Если 0 Є [0,Т) — точка разрыва функции z(t), то для определенности полагаем В точке t Т полагаем Введем функционал Покажем, что задача в том смысле, что если х Є Q — решение задачи (1.20), то функция z (t) — x {t) является решением задачи (1.21); и обратно, если z Є Z доставляет эквивалентна зад Положим ж (і) — я?о + / (т) dr. Возьмем любое х є Q и положим г(ї) = x (t). Из (1.16) Поскольку ж Є — произвольное, то 1{х ) = min/(2:), т.е. ж — решение xefl задачи (1.20). Итак, если z Є Z — точка глобального минимума функционала / на множестве Z, то x (t) = жо+ / z {T) dr Є Q и является точкой глобального Jo минимума функционала 1(х) на Q, и обратно, если х О — точка глобального минимума функционала 1{х) на О, то z (t) = x (t) Є Z и является точкой глобального минимума / на . Функция Ф\(г) называется штрафной функцией, а число А — штрафным параметром. В [15] (см. также [17]) представлен ряд теорем, при выполнении которых функция ФА (г) является функцией точного штрафа. На множестве Р[0, Т] введем в рассмотрение следующие метрики: В (1.23) функция / (гє(т) - z{r)) dr непрерывна, поэтому sup достигается Jo (следовательно можно писать max), а в (1.25) sup может и не достигаться. Между pi, р2 и / з существует следующая связь: PiUi, ) = max j. fit f (ze{r) - Z{T)) dr f L%(i)-z( ) «/0 JO fit = т.е. Таким образом, метрика / мажорирует метрики р2 и pi, а метрика рэ мажорирует метрику рі. Если z Є Z — точка локального минимума функционала f на множестве Z, то из (1.26) следуют включения { pz{z7 г ) } С [z p2(z, 2 ) є} С [z I p3(2;f 2 ) є}. Отсюда заключаем, что точка локального минимума функции / на множестве Z в метрике р\ является точкой локального минимума и в метрике р , и в метрике рз) а точка локального минимума / в метрике р2 является точкой локального минимума и в метрике рз Теперь нетрудно заметить, что если аче С минимум функционалу f на множестве Z, то функция x (t) = XQ + l z {r)dr о является решением задачи (1.20). Действительно, пусть х Є Q и возьмем любое z Є Z. Тогда функция x(t) — 0+ / z{r) dr будет кусочно непрерывно-дифференцируемой и х{Т) = XI, т.е. J G U, следовательно, Поскольку г Є Z — произвольное, то f(z ) =шід/( ), т.е. г — решение задачи (1.21). Пусть теперь z Є , Положим ж (і) — я?о + / (т) dr. Возьмем любое х є Q и положим г(ї) = x (t). Из (1.16) Поскольку ж Є — произвольное, то 1{х ) = min/(2:), т.е. ж — решение xefl задачи (1.20). Итак, если z Є Z — точка глобального минимума функционала / на множестве Z, то x (t) = жо+ / z {T) dr Є Q и является точкой глобального Jo минимума функционала 1(х) на Q, и обратно, если х О — точка глобального минимума функционала 1{х) на О, то z (t) = x (t) Є Z и является точкой глобального минимума / на . Функция Ф\(г) называется штрафной функцией, а число А — штрафным параметром. В [15] (см. также [17]) представлен ряд теорем, при выполнении которых функция ФА (г) является функцией точного штрафа. На множестве Р[0, Т] введем в рассмотрение следующие метрики: В (1.23) функция / (гє(т) - z{r)) dr непрерывна, поэтому sup достигается Jo (следовательно можно писать max), а в (1.25) sup может и не достигаться. Между pi, р2 и / з существует следующая связь: PiUi, ) = max j. fit f (ze{r) - Z{T)) dr f L%(i)-z( ) «/0 JO fit = т.е. Таким образом, метрика / мажорирует метрики р2 и pi, а метрика рэ мажорирует метрику рі. Если z Є Z — точка локального минимума функционала f на множестве Z, то из (1.26) следуют включения { pz{z7 г ) } С [z p2(z, 2 ) є} С [z I p3(2;f 2 ) є}. Отсюда заключаем, что точка локального минимума функции / на множестве Z в метрике р\ является точкой локального минимума и в метрике р , и в метрике рз) а точка локального минимума / в метрике р2 является точкой локального минимума и в метрике рз Теперь нетрудно заметить, что если z Є Z является точкой локального минимума функционала / на множестве Z с метрикой рь то функция и является сильной экс x (t) = ж о + / % {т) dr принадлежит множеству О трем ал ью функционала 1(х) на множестве П. Если же z є ? является точкой локального минимума функционала / на множестве Z с метрикой р% или рз то функция x (t) = XQ + / 2 (r)(fo-является слабой экстремалью функционала 1(х) на множестве fi. (в метрике pi). Если z Є Z — точка локального минимума функции f на множестве Z (в метрике pi), то найдется А оо; такое, что при А А точка z является точкой локального минимума функционала Ф\ ) = f{z) + \ p{z) на Р[0, Г] (в той же метрике pi). на множестве Z С Р[0,Т], заданном соотношением (1.16). Множество Z можно представить в эквивалентном виде Вариационное исчисление имеет более чем трехвековую историю, является составной частью теории оптимизации и по сей день не стоит на месте. Сложные задачи, возникающие в механике, экономике, биологии и других науках, предъявляют все более жесткие требования, новые конструктивные методы решения. Благодаря развитию негладкого анализа появилась реальная возможность решать многие из этих задач, осмыслить предыдущий опыт, по-новому взглянуть и обобщить уже знакомые вещи. Большие возможности в развитии вариационного исчисления возникли в результате развития выпуклого анализа, теории минимакса, квазидифференциального исчисления. В работах по гидродинамике Л. Эйлер заметил (см. [67], [43], [25], [2]), что на поведение жидкости в данный момент времени влияет ее поведение в предыдущие моменты времени, т.е. предыстория. Задачи, связанные с геометрией, привели Эйлера к изучению уравнений, в которых производная в текущий момент зависит от значений функции в предшествующие моменты. Аналогичные явления также были замечены в механике сплошных сред и в изучении полета электрона. Однако систематическое изучение свойств уравнений с последействием началось только с 1910 г., именно с работ О.А. Полосухиной, Э. Шмидта, Ф. Шюрера и Г. Хильба. Начиная примерно с 1937 г. почти одновременно Р. Беллманом, А.Д. Мышкисом, Е. Райтом эти изучения были связаны с потребностями прикладных наук и в первую очередь потребностями теории автоматического регулирования, а именно, с резким усложнением систем авто регулирования. Известно, что электронная система передачи и обработки сигналов содержит емкости, индуктивности, трансформаторы с длинными проводами, по которым с конечной скоростью перемещается ток. Все это замедляет скорость реагирования системы по сравнению с реальным временем протекания процесса, например процесса работы другого электронного прибора. Еще одним примером задержки сигнала в цепи обратной связи является ЭВМ, работающая как составная часть большой системы. Например, на космическом аппарате вычислительная машина, решающая большое количество задач, не способна обработать все сигналы сразу и мгновенно. И тогда приходится формировать управляющие воздействия со значительной задержкой. Следующая задача оптимального управления приводится к рассматриваемым в диссертации задачам. Пусть управляемая система описывается уравнением с отклоняющимся аргументом вида где x(і) — функция, описывающая поведение системы, a u(t) — управление, действующее лишь на отрезке [0,Т]. При заданном управлении u(t) поведение системы (0.1) определяется, если задать начальную функцию на отрезке длиной h. Пусть известно поведение р() системы (0.1) на отрезке [— Ті,0] и требуется так выбрать управление, чтобы в момент Т траектория движения проходило через заданную точку хі. При этом требуется минимизировать функционал Условие (0.2) можно трактовать как требование о минимизации энергии, ис пользуемой для управления системой. Выражая u(t) из уравнения (0.1) и подставляя в функционал (0,2), приходим к задаче о минимуме функциона Очевидно, что задержка сигнала происходит и в том случае, когда управление некоторыми техническими объектами ведется на большом расстоянии. При этом необходимо время на доставку сигнала управления к объектам. В. экономических системах отклоняющийся аргумент обычно содержится в управлении, и запаздывание управляющего сигнала может измеряться годами, а иногда и десятилетиями [35], [25]. Характерными примерами экономических задач с отклоняющимся аргументом (запаздыванием) в управлении являются задачи, в которых имеет место: запаздывание ввода в разработку производственных мощностей в зависимости от выделенных ресурсов; задержки в пути, на складах, в производстве и т.д. Все большее проникновения математики в социологию, медицину, биологию и другие разделы приводит к созданию математических моделей процессов. При этом многие из моделей содержат уравнения с последействием. Проблемы поиска экстремума сложных, целевых функций при наличии ограничений естественным образом появляются при решении самых разнообразных прикладных задач. Для численного решения задач оптимального управления не существует универсальных методов. Принцип максимума Л.С. Понтрягина [48] и метод динамического программирования Веллмана [3] являются мощными математическими методами для исследования задач оптимального управления. Диапазон прикладных задач, в которых эти методы нашли эффективное приложение, очень разнообразен. Заметим, что предположения о гладкости использовались существенно и входили в формулировки основных результатов теории оптимальности. Существует большое количество практических задач, где как функционал качества, так и ограничения описываются негладкими функциями [12], [9], [14], [19], [53]-[59], [60], [63], [72], [73], [74], [37]. Такие задачи требуют разработки специальных методов исследования. Теория и методы исследования негладких функций получили в 70-х годах существенное развитие в работах Д. Варги, Дж. Данскина, В.Ф. Демьянова [48]-[69], А.Д. Иоффе [29], Ф. Кларка [33], Б.Ш. Мордуховича, Е.А. Нурминското, Б.Н. Пшеничного [49]-[50], Р. Рокафеллара [51], A.M. Рубинова [20], В.М. Тихомирова, В.В. Федорова [60], Н.З. Шора [63] и др. Одновременно с исследованием необходимых условий оптимальности в различных задачах теории управления шла разработка численных методов их решения. Здесь можно отметить наряду с выше указанными работы Ф.П. Васильева [6], Т.К. Виноградовой [8]-[9] и [37], Н.Л. Григоренко, Ю.Г. Евтушенко, А.П. Жабко [25], В.И. Зубова [27]— [28], В.В. Карелина [37], Н.Е. Кирина, И.А. Крылова, В.В. Кулагина [37], А.Б. Куржанского, Н.Н. Моисеева [40], С.К. Мышкова [37], М.С. Никольского, Л.Н. Полякова [18] и [37], Р.П. Федоренко, Ф.Л. Черноусько [61] и др. Одним из примеров задач оптимального управления с негладким критерием качества являются задачи на минимакс. В работах [14], [9] для функционала Теорема 1.4 Для того, чтобы точка z є Z доставляла минимум функционалу f(z) на множестве Z, необходимо, чтобы #i(z , 2 , 01,02, «, ) О V 0Ь 02 Є [0: -4, vet, а 0, (1.138) H2(z ,z ,6u92tv,a) 0 V0i Є [0,Т-h]t02 Є[Т - h,T\, v Є Ж, a О, (1.139) Hz(z\z\OuS%v,a) 0 V0i,02 Є [Г - Л,Г], v R, a 0, (1.140) где Я! задается (1.98), Я2 - fli ), Я3 - (1.125). Условия (1.138), (1.139) и (1.140) являются необходимыми условиями для того, чтобы кривая x (t) = #о + / z {r) dr была сильной экстремалью функ ционала 1{х) на множестве Q. Пусть функция F{x,XjZ,z,t) дифференцируема по х, х, z, z и непрерывна dF dF dF OF вместе с -—-, - , --— и -— , то в точках непрерывности функции z справед дх ах oz oz лива (см. (1.110), (1.137)) Теорема 1.5 ДЛЯ того, чтобы функция х доставляла слабый (сильный) локальный минимум в задаче (1.14) (1-1 )? необходимо, чтобы было выполнено уравнение Эйлера: Условие Лежандра суть условие "второго порядка", т.е. условие, связанное со второй вариацией. Вторая вариация для функционалов классического вариационного исчисления — это квадратичный функционал. В [10] 31 доказано, что на кривой % {t) при t Є [—h, Т], доставляющей слабый минимум функционалу /(ж), вторая вариация неотрицательна. Мы же получим условие Ле-оісандра из условия Вейерштра,сса (см. (1.97), (1.122), (1.123)). Д опустим, что функция F(x,x,z,z,t) имеет вторые непрерывные производные по z и z. Тогда функция (см. (1.97)) H1{v) = H1(z\z%e1,$2,v,v) = = Jv Fih) + Vz,vF(h + Єг) + + + (w - г (0і)) [ (ад + Фг(Н + бі) - &(02) - (А + б2)] } + (\-7i) F{x\h\x\h - / ), №) - \zy2 - Л),6 2) -F(x (92),x {92 .h),z (92),z (92 h),92) + + F(x (e2 + h),x (92),z (e2 h),z ($2) - - (v - z (91))y92 + h) г -F(x (62 + h),x {62),z (e2 + Ь), (02), б2 + Л) j О V0i, #2 6 [О, Т - ft], v є R, Ї/ [0,1], (1.142) дважды непрерывно дифференцируема по v и в точке и = (#i) достигает своего минимального значения, равного нулю. Поэтому tf iMU O, (1-143) Условие (1.143) уже рассматривалось выше. Выписывая подробно (1.144), получаем fd F(x (91)tx (e1 - ft), (0i) « № - ЩЛ) П\ д? + flaff(a: (fli + А),д»(0і),г (Рі + ft),z (0i),gi + ft) + z2 + tj fd2F(x (e2),x (e2-h),z (e2),z (02-h),92) — r\ 1 c?2 , 0 ( (02 +A, a4fc), № +ft), №),& + ft)l + 312—— )- \/9ъв2е [0,T-h]. (1.145) Отсюда сокращая на т) О + dz2 d2F(x (0l + fe), a; (0i), z (0i + ft), z (0Q, 0i + h) dz2 V \д2Р{х {в2),х {в2 - h),z (02) (92 - h),62) Ї — dz2 d2F(x (82 + Kx {92),z (e2)+h,z (e2%e2 + h) y n V0i,02 [0,Т-Л]. (1.146) Устремляя j? к нулю, имеем 92,Р(ж (0), х (в - А), z (0), z (0 - /І), 0) &г2 а2 (ж (0+/і),ж (0); ( + /г), (0);0+Д) + . V0G ГО,Г-Ы. (1.147) ozl Условие (1.147) называется условием Лежандра-Клебша. Аналогичное условие получается и во втором случае из (1.122). В третьем случае из (1.123), выписывая подробно условие н"М І ,,д , о, получаем d2F{x {91\x {9l-h),z\91),z {81-h),91) в?— — + V d2F{x {82),x (92-h),z (92),z {82 h),92) Q 1 — 77 dz2 V0x,02e[T-A,T]. (1.148) Отсюда, сокращая на г/ О, ffJVCfli), s (0i - h), Q9i), z {8l - h), 0t) dz2 i r, (62) 2-/1), (02), 3- ),02) Q 1-ї? 5 2 — V0i,02e [T-fc,T]. (1.149) Устремляя ту к нулю, имеем d2F(x (e),x4e-h),z (e),z40 h;),e) г п v v h—v J2 K J—- - - 0 V0e[T-/i,T]. (1.150) Условие (1.150) называется условием Леоісандра-Клебша. Теорема 1.6 Если на допустимой кривой х т.е. х є Єї, достигает слабого минимума функционал (1.13), то вдоль этой кривой необходимо выполняется условие Лежапдра d2F(x {t), x (t - ft), z (t), z {t - ft), t) dz2 + с , v ,„ т »„ -, W,«V -r »„ . w, „ т 0 [0; T _ (1Л51) d2F(x (t+h),x (t),z (t+h),z (t),t+h) dz d2F{x (t), x (t - h),z (t), z (t - h),t) 2 0 Vte[T-ft,T]. (1.152) 1.7 Условия Эрдмана-Вейерштрасса Пусть z Z — точка локального минимума функции f(z) на Z в метрике pi или р2- Рассмотрим подробнее точки разрыва функции z (t). Точка разрыва функции z (t) называется угловой точкой кривой x (t) = х$ + / z {r) dr. Jo Лемма 1.1 Пусть Q — тючка разрыва функции z (t). Если о (О, Г — h), то dF(x {i0), x (tQ - ft), ( ,), z .(to - A), 0) , dz dF(x {to + h),x (to)yz +(t0 + ft),4( 0), o + k) af(x (t0),a; ( 0 - h),z l{h),z _{h - ft), b) + cte , 9F(a! (to + /г),д? ( 0),г!.( 0 + ft),z _{t0),t0 + ft) H - — з , (l.lod} а если t0 Є (T — ft,T), mo 9F(a; ( o),g4 o 0,4( о).4( о )» ) _, dz = dF(x {t0),x {t0 - h),z _(t0),z _(tQ - ft),t0) где 4 (t0) = lim z (), zl (t0) = lim z (t). Цo tfto , (1.154) Доказательство. Сперва установим справедливость условия (1.153). Функция в правой части (1.109) непрерывна, поэтому функция в левой части тож Пусть J : 0 — С, J=J(co\, соъ ш3, а 4% (О Ш6) есть функция, отличная от постоянной и аналитическая в некоторой области 0, 0 с С6, достаточной при рассмотрении конкретной задачи. Зафиксируем произвольную точку z0 є Е, zG О, и образуем на классе S функционал Ставится задача отыскать множество D значений этого функционала. Следуя традиции, множество D будем называть областью. Поскольку функционал (3.1) является непрерывным [3], а класс S - связным и компактным, то область D связна и замкнута [2]. Следовательно, достаточно найти границу L множества D. Точка /о є L называется неособой точкой границы, если существует такая внешняя для D точка /е, что расстояние между точками 1е и /о равно расстоянию между 1е и областью D, то есть Множество Lo неособых точек границы плотно в L. Таким образом, для решения поставленной задачи достаточно найти L0. Функции, вносящие неособые граничные точки функционала, называют граничными функциями этого функционала. Пусть /(г, є) =f(z) + EQ(Z) + o(z, є) - вариационная формула в классе S. Функционал (3.1) является дифференцируемым [3], и его можно представить в виде TlycTbf(z) - некоторая граничная функция этого функционала, вносящая точку /0. В силу (3.2) имеет место соотношение /о - /J W(z, є)) - /J, из которого следует, что всякая граничная функция необходимо удовлетворяет неравенству Лемма 3.1 Пусть f{z) - граничная функция функционала (3.1). Тогда множество j\Е) не имеет внешних точек. Доказательство. Предположим, что область/(E) имеет внешнюю точку w, а значит, бесконечно много внешних точек. Рассмотрим условие (3.3), выбрав (1.5) в качестве функции сравнения. Оно примет вид где P(w) - полином второй степени, С- произвольное постоянное. Дробь в условии (3.4) равна нулю, Действительно, если бы она была отличной от P(w) нуля, то, положив С -ё"9, где p = arg- ——j, получили бы, что левая часть отрицательна. Значит, P(w) = 0. Это возможно только длядвух точек, в то время как (3.4) должно выполняться для любой из бесконечного числа внешних точек. Полученное противоречие доказывает лемму.О Применив неравенство (3.3) совместно с вариационной формулой (1.3), получаем дифференциальное уравнение для граничной функции. Это уравнение называют также уравнением Шиффера-Голузина. Теорема 3.1. Каждая граничная функция функционала (3.1) удовлетворяет в круге Е дифференциально-функциональному уравнению Причем правая часть уравнения (3.5) на окружности \z\=\ неположительна. Доказательство. Условие (3.3) в случае выбора вариационной формулы (1.3) примет вид В этом условии выражение в фигурных скобках равно нулю, иначе при надлежащем выборе параметра р получили бы, что левая часть последнего неравенства отрицательна. Поскольку - произвольная точка круга Е, то, заменив Q на z, получаем, таким образом, дифференциальное уравнение для граничной функции w =f{z). Вычисления показывают, что оно имеет вид (3.5). Выбрав теперь вариационную формулу (1.6), посредством (3.3) приходим к неравенству Уравнение (3.5) содержит ряд неизвестных параметров, зависящих от искомой функции, и проинтегрировать его не удается. Однако возможно провести его качественный анализ и, как следствие, получить качественную характеристику области/ (), а именно, описание границы этой области. Из аналитической теории дифференциальных уравнений [15] следует, что всякое решение уравнения (3.5) может иметь только алгебраические особые точки, и только конечное их число. Значит, граничная функция w =/(г) имеет на окружности z = 1 конечное число алгебраических особенностей и удовлетворяет уравнению (3.5) и в замкнутом круге Ё. Вспомним, что область /(E) не имеет внешних точек. Таким образом, приходим к заключению, что граница Г образа круга Е при отображении w =f(z) состоит из конечного числа аналитических кривых, причем бесконечно удаленная точка принадлежит границе в силу однолистности области /(E). Введем следующие обозначения: М— множество конечных концевых точек/Х«), [ /J \ = 1, границы Г; Г0 - множество внутренних точек /(у), у = 1, аналитических кривых, составляющих границу Г; Н — множество общих концов f{rf), \ ц = 1, аналитических кривых, составляющих границу Г. Предположим сначала, что f(/t) є М. Тогда существует такая окрестность К(р) точки [І, что на множестве Е П K(pt) граничная функция и ее производная могут быть представлены в виде Предположим теперь, что/(г}) є Н. Тогда существует такая окрестность К{ц) точки 7» что на множестве Е ҐІ К(г[) граничная функция и ее производная могут быть представлены в виде кривые, имеющие точку f(rj) общим концом, образуют в ней угол, равный аж. Обратимся к дифференциально-функциональному уравнению (3.5). Используя (3.6), отметим, что если/( ) є Л/, то левая часть уравнения имеет в точке z = (л нуль не ниже второго порядка. Следовательно, правая часть уравнения в этом случае содержит множитель (z fi) по меньшей мере во второй степени, в то время как B{z) является полиномом шестой степени. Таким образом, граница Г может иметь не более трех конечных концевых точек. Рассмотрим вещественную функциюПостановка вспомогательной задачи с постоянным запаздыванием
Игольчатая вариация функционала ФА при 6>i,02 Є [О, Г-Л)
Необходимые условия сильного экстремума
Игольчатая вариация функционала f(z)
Похожие диссертации на Применение теории точных штрафов в негладких задачах вариационного исчисления
